2015年度春学期 統計学 第５回 分布をまとめる ― 記述統計量（平均・分散など） (2015. 5. 14)
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関西大学総合情報学部 「統計学」（担当：浅野晃）
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- 10. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 代表値とは こんなことはできないので， http://www3.ic-net.or.jp/~yaguchi/houwa/daihannya.htm
- 17. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 平均 データ 術平均 データを x1, x2, . . . , xn，総データ ) は次の式で定義されます。 ¯x まり，算術平均 ＝（データの合計 数値の数 （データサイズ） n，総データ数を n とするとき，算 れます。 ¯x = x1 + x2 + · · · + xn n = のとき
- 18. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 平均 データ 術平均 データを x1, x2, . . . , xn，総データ ) は次の式で定義されます。 ¯x まり，算術平均 ＝（データの合計 数値の数 （データサイズ） n，総データ数を n とするとき，算 れます。 ¯x = x1 + x2 + · · · + xn n = のとき 平均 n，総データ数を n とするとき，算術平均 (ar ます。 ¯x = x1 + x2 + · · · + xn n = 1 n n i=1 xi データの合計）／（データ数）です。ふつう，
- 19. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 平均 データ 術平均 データを x1, x2, . . . , xn，総データ ) は次の式で定義されます。 ¯x まり，算術平均 ＝（データの合計 数値の数 （データサイズ） n，総データ数を n とするとき，算 れます。 ¯x = x1 + x2 + · · · + xn n = のとき 平均 n，総データ数を n とするとき，算術平均 (ar ます。 ¯x = x1 + x2 + · · · + xn n = 1 n n i=1 xi データの合計）／（データ数）です。ふつう， 和
- 20. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 度数分布から平均を求める 度数分布とは，これでした 50 62 75 78 48 50 60 75 75 60 78 58 78 55 56 70 60 79 18 63 67 85 25 40 50 以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 20 4 0.08 (8%) 25 35 30 3 0.06 (6%) 35 45 40 3 0.06 (6%) 45 55 50 8 0.16 (16%) 55 65 60 12 0.24 (24%) 65 75 70 8 0.16 (16%) 75 85 80 9 0.18 (18%) 85 95 90 3 0.06 (6%) x x x 計 計 50 1 (100%)
- 21. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 度数分布から平均を求める 平均=(データの合計)/(データサイズ) =([階級値 度数]の合計)/(データサイズ) =[階級値 (度数/データサイズ)]の合計 =[階級値 相対度数]の合計 50 62 75 78 48 50 60 75 75 60 78 58 78 55 56 70 60 79 18 63 67 85 25 40 50 以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 20 4 0.08 (8%) 25 35 30 3 0.06 (6%) 35 45 40 3 0.06 (6%) 45 55 50 8 0.16 (16%) 55 65 60 12 0.24 (24%) 65 75 70 8 0.16 (16%) 75 85 80 9 0.18 (18%) 85 95 90 3 0.06 (6%) x x x 計 計 50 1 (100%)
- 22. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 度数分布から平均を求める 平均=(データの合計)/(データサイズ) =([階級値 度数]の合計)/(データサイズ) =[階級値 (度数/データサイズ)]の合計 =[階級値 相対度数]の合計 50 62 75 78 48 50 60 75 75 60 78 58 78 55 56 70 60 79 18 63 67 85 25 40 50 以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 20 4 0.08 (8%) 25 35 30 3 0.06 (6%) 35 45 40 3 0.06 (6%) 45 55 50 8 0.16 (16%) 55 65 60 12 0.24 (24%) 65 75 70 8 0.16 (16%) 75 85 80 9 0.18 (18%) 85 95 90 3 0.06 (6%) x x x 計 計 50 1 (100%)
- 23. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 度数分布から平均を求める 平均=(データの合計)/(データサイズ) =([階級値 度数]の合計)/(データサイズ) =[階級値 (度数/データサイズ)]の合計 =[階級値 相対度数]の合計 50 62 75 78 48 50 60 75 75 60 78 58 78 55 56 70 60 79 18 63 67 85 25 40 50 以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 20 4 0.08 (8%) 25 35 30 3 0.06 (6%) 35 45 40 3 0.06 (6%) 45 55 50 8 0.16 (16%) 55 65 60 12 0.24 (24%) 65 75 70 8 0.16 (16%) 75 85 80 9 0.18 (18%) 85 95 90 3 0.06 (6%) x x x 計 計 50 1 (100%)
- 24. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 度数分布から平均を求める 平均=(データの合計)/(データサイズ) =([階級値 度数]の合計)/(データサイズ) =[階級値 (度数/データサイズ)]の合計 =[階級値 相対度数]の合計 50 62 75 78 48 50 60 75 75 60 78 58 78 55 56 70 60 79 18 63 67 85 25 40 50 以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 20 4 0.08 (8%) 25 35 30 3 0.06 (6%) 35 45 40 3 0.06 (6%) 45 55 50 8 0.16 (16%) 55 65 60 12 0.24 (24%) 65 75 70 8 0.16 (16%) 75 85 80 9 0.18 (18%) 85 95 90 3 0.06 (6%) x x x 計 計 50 1 (100%)
- 25. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 度数分布から平均を求める 平均=(データの合計)/(データサイズ) =([階級値 度数]の合計)/(データサイズ) =[階級値 (度数/データサイズ)]の合計 =[階級値 相対度数]の合計 50 62 75 78 48 50 60 75 75 60 78 58 78 55 56 70 60 79 18 63 67 85 25 40 50 以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 20 4 0.08 (8%) 25 35 30 3 0.06 (6%) 35 45 40 3 0.06 (6%) 45 55 50 8 0.16 (16%) 55 65 60 12 0.24 (24%) 65 75 70 8 0.16 (16%) 75 85 80 9 0.18 (18%) 85 95 90 3 0.06 (6%) x x x 計 計 50 1 (100%)
- 26. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 度数分布から平均を求める 平均=(データの合計)/(データサイズ) =([階級値 度数]の合計)/(データサイズ) =[階級値 (度数/データサイズ)]の合計 =[階級値 相対度数]の合計 50 62 75 78 48 50 60 75 75 60 78 58 78 55 56 70 60 79 18 63 67 85 25 40 50 以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 20 4 0.08 (8%) 25 35 30 3 0.06 (6%) 35 45 40 3 0.06 (6%) 45 55 50 8 0.16 (16%) 55 65 60 12 0.24 (24%) 65 75 70 8 0.16 (16%) 75 85 80 9 0.18 (18%) 85 95 90 3 0.06 (6%) x x x 計 計 50 1 (100%)
- 30. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「ばらつき」を数字で 分布は，大小ばらばらなデータの集まり どのくらいばらばらかを， 数字で表そう 分散と標準偏差 分布をもっとも簡単に１つの数字で表したの らいばらついているか」は表現できません。そ C があるとします。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
- 31. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「ばらつき」を数字で 分布は，大小ばらばらなデータの集まり どのくらいばらばらかを， 数字で表そう 分散と標準偏差 分布をもっとも簡単に１つの数字で表したの らいばらついているか」は表現できません。そ C があるとします。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 どう違う？
- 32. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「ばらつき」を数字で 分布は，大小ばらばらなデータの集まり どのくらいばらばらかを， 数字で表そう 分散と標準偏差 分布をもっとも簡単に１つの数字で表したの らいばらついているか」は表現できません。そ C があるとします。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 どう違う？ 平均は どれも5
- 33. 2015 A.Asano,KansaiUniv. レンジとばらつき A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 野 晃／統計学（2013 年度秋学期） 第５回 (2013. 10. 24)
- 34. 2015 A.Asano,KansaiUniv. レンジとばらつき A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 野 晃／統計学（2013 年度秋学期） 第５回 (2013. 10. 24)
- 35. 2015 A.Asano,KansaiUniv. レンジとばらつき Cは，最大と最小の差［レンジ］が 違う A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 野 晃／統計学（2013 年度秋学期） 第５回 (2013. 10. 24)
- 36. 2015 A.Asano,KansaiUniv. レンジとばらつき Cは，最大と最小の差［レンジ］が 違う A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 野 晃／統計学（2013 年度秋学期） 第５回 (2013. 10. 24) A, Bはレンジは同じだが，
- 37. 2015 A.Asano,KansaiUniv. レンジとばらつき Cは，最大と最小の差［レンジ］が 違う A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 野 晃／統計学（2013 年度秋学期） 第５回 (2013. 10. 24) A, Bはレンジは同じだが， Bのほうがばらついている ように見える
- 38. 2015 A.Asano,KansaiUniv. レンジとばらつき Cは，最大と最小の差［レンジ］が 違う A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 野 晃／統計学（2013 年度秋学期） 第５回 (2013. 10. 24) A, Bはレンジは同じだが， Bのほうがばらついている ように見える
- 39. 2015 A.Asano,KansaiUniv. レンジとばらつき Cは，最大と最小の差［レンジ］が 違う A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 野 晃／統計学（2013 年度秋学期） 第５回 (2013. 10. 24) A, Bはレンジは同じだが， Bのほうがばらついている ように見える
- 40. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という いばらついているか」は表現できま があるとします。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
- 41. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という いばらついているか」は表現できま があるとします。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 0
- 42. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という いばらついているか」は表現できま があるとします。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 00
- 43. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という いばらついているか」は表現できま があるとします。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 0 00
- 44. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という いばらついているか」は表現できま があるとします。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 0 0 00
- 45. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という いばらついているか」は表現できま があるとします。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 0 +20 00
- 46. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という いばらついているか」は表現できま があるとします。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 0 +20 00-2
- 47. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という いばらついているか」は表現できま があるとします。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 0 +20 00-2 +2
- 48. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という いばらついているか」は表現できま があるとします。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 0 +2-2 0 00-2 +2
- 49. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という いばらついているか」は表現できま があるとします。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 0 +2 +5-2 0 00-2 +2
- 50. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という いばらついているか」は表現できま があるとします。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 0 +2 +5-2-5 0 00-2 +2
- 51. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という いばらついているか」は表現できま があるとします。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 0 +2 +5-2-5 0 0 00-2 +2
- 52. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という いばらついているか」は表現できま があるとします。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 0 +2 +5-2-5 0 0 00-2 +2 0
- 53. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という いばらついているか」は表現できま があるとします。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 0 +2 +5-2-5 0 0 00-2 +2 0 +2
- 54. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という いばらついているか」は表現できま があるとします。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 0 +2 +5-2-5 0 0 00-2 +2 0-2 +2
- 55. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という いばらついているか」は表現できま があるとします。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 0 +2 +5-2-5 0 0 00-2 +2 0-2 +2 +3
- 56. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という いばらついているか」は表現できま があるとします。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 0 +2 +5-2-5 0 0 00-2 +2 0-3 -2 +2 +3
- 57. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という いばらついているか」は表現できま があるとします。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 0 +2 +5-2-5 0 0 00-2 +2 0-3 -2 +2 +3+4
- 58. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という いばらついているか」は表現できま があるとします。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 0 +2 +5-2-5 0-4 0 00-2 +2 0-3 -2 +2 +3+4
- 59. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という いばらついているか」は表現できま があるとします。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 0 +2 +5-2-5 0 +5-4 0 00-2 +2 0-3 -2 +2 +3+4
- 60. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という いばらついているか」は表現できま があるとします。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 0 +2 +5-2-5 0 +5-5 -4 0 00-2 +2 0-3 -2 +2 +3+4
- 61. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 偏差 偏差を平均したら，AとBのばらつきの 違いが表せる？ 各数値と平均との差を［偏差］という いばらついているか」は表現できま があるとします。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 0 +2 +5-2-5 0 +5-5 -4 0 00-2 +2 0-3 -2 +2 +3+4
- 62. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 偏差の平均？ いばらついているか」は表現できま があるとします。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 0 +2 +5-2-5 0 +5-5 -4 0 00-2 +2 0-3 -2 +2 +3+4
- 63. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 偏差の平均？ だめ。平均したらゼロ いばらついているか」は表現できま があるとします。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 0 +2 +5-2-5 0 +5-5 -4 0 00-2 +2 0-3 -2 +2 +3+4
- 64. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 偏差を２乗する 偏差を２乗したら，全部正の数に なるから，それから平均する 分布をもっとも簡単に１つの数字で表 いばらついているか」は表現できま があるとします。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 0 +2 +5-2-5 0 +5-5 -4 0 00-2 +2 0-3 -2 +2 +3+4
- 65. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 偏差を２乗する 偏差を２乗したら，全部正の数に なるから，それから平均する 分布をもっとも簡単に１つの数字で表 いばらついているか」は表現できま があるとします。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 0 +2 +5-2-5 0 +5-5 -4 0 00-2 +2 0-3 -2 +2 +3+4 25 4 4 0 0 0 0 4 4 25
- 66. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 偏差を２乗する 偏差を２乗したら，全部正の数に なるから，それから平均する 分布をもっとも簡単に１つの数字で表 いばらついているか」は表現できま があるとします。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 0 +2 +5-2-5 0 +5-5 -4 0 00-2 +2 0-3 -2 +2 +3+4 25 4 4 0 0 0 0 4 4 25 25 16 9 4 0 0 4 9 16 25
- 67. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 分散 いばらついているか」は表現できませ があるとします。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 0 +2 +5-2-5 0 +5-5 -4 0 00-2 +2 0-3 -2 +2 +3+4 25 4 4 0 0 0 0 4 4 25 25 16 9 4 0 0 4 9 16 25
- 68. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 分散 いばらついているか」は表現できませ があるとします。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 0 +2 +5-2-5 0 +5-5 -4 0 00-2 +2 0-3 -2 +2 +3+4 25 4 4 0 0 0 0 4 4 25 25 16 9 4 0 0 4 9 16 25 平均 6.6
- 69. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 分散 いばらついているか」は表現できませ があるとします。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 0 +2 +5-2-5 0 +5-5 -4 0 00-2 +2 0-3 -2 +2 +3+4 25 4 4 0 0 0 0 4 4 25 25 16 9 4 0 0 4 9 16 25 平均 6.6 平均 10.8
- 70. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 分散 いばらついているか」は表現できませ があるとします。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 0 +2 +5-2-5 0 +5-5 -4 0 00-2 +2 0-3 -2 +2 +3+4 25 4 4 0 0 0 0 4 4 25 25 16 9 4 0 0 4 9 16 25 平均 6.6 平均 10.8 ［分散］＝(偏差)2の平均
- 72. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 分散と標準偏差 ［分散］＝(偏差)2の平均 式で書くと 均」のかわりに「（偏差）2 の平均」を用います。（偏差）2 は ち「各データについての偏差の２乗の合計を総データ数 す。これが分散 (variance) です。式で書くと，各データ するとき，分散 σ2 はつぎのようになります。 σ2 = 1 n (x1 − ¯x)2 + (x2 − ¯x)2 + · · · + (xn − ¯x)2 = 1 n n i=1 (xi − ¯x)2 標準偏差 (standard deviation, SD) といいます。データ 2，すなわち平方メートルになってしまいますが，標準偏 ぜ偏差の絶対値をとらずに偏差を２乗するのか？
- 73. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 分散と標準偏差 ［分散］＝(偏差)2の平均 式で書くと 均」のかわりに「（偏差）2 の平均」を用います。（偏差）2 は ち「各データについての偏差の２乗の合計を総データ数 す。これが分散 (variance) です。式で書くと，各データ するとき，分散 σ2 はつぎのようになります。 σ2 = 1 n (x1 − ¯x)2 + (x2 − ¯x)2 + · · · + (xn − ¯x)2 = 1 n n i=1 (xi − ¯x)2 標準偏差 (standard deviation, SD) といいます。データ 2，すなわち平方メートルになってしまいますが，標準偏 ぜ偏差の絶対値をとらずに偏差を２乗するのか？
- 74. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 分散と標準偏差 ［分散］＝(偏差)2の平均 式で書くと 均」のかわりに「（偏差）2 の平均」を用います。（偏差）2 は ち「各データについての偏差の２乗の合計を総データ数 す。これが分散 (variance) です。式で書くと，各データ するとき，分散 σ2 はつぎのようになります。 σ2 = 1 n (x1 − ¯x)2 + (x2 − ¯x)2 + · · · + (xn − ¯x)2 = 1 n n i=1 (xi − ¯x)2 標準偏差 (standard deviation, SD) といいます。データ 2，すなわち平方メートルになってしまいますが，標準偏 ぜ偏差の絶対値をとらずに偏差を２乗するのか？ 1番の数値
- 75. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 分散と標準偏差 ［分散］＝(偏差)2の平均 式で書くと 均」のかわりに「（偏差）2 の平均」を用います。（偏差）2 は ち「各データについての偏差の２乗の合計を総データ数 す。これが分散 (variance) です。式で書くと，各データ するとき，分散 σ2 はつぎのようになります。 σ2 = 1 n (x1 − ¯x)2 + (x2 − ¯x)2 + · · · + (xn − ¯x)2 = 1 n n i=1 (xi − ¯x)2 標準偏差 (standard deviation, SD) といいます。データ 2，すなわち平方メートルになってしまいますが，標準偏 ぜ偏差の絶対値をとらずに偏差を２乗するのか？ 1番の数値
- 76. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 分散と標準偏差 ［分散］＝(偏差)2の平均 式で書くと 均」のかわりに「（偏差）2 の平均」を用います。（偏差）2 は ち「各データについての偏差の２乗の合計を総データ数 す。これが分散 (variance) です。式で書くと，各データ するとき，分散 σ2 はつぎのようになります。 σ2 = 1 n (x1 − ¯x)2 + (x2 − ¯x)2 + · · · + (xn − ¯x)2 = 1 n n i=1 (xi − ¯x)2 標準偏差 (standard deviation, SD) といいます。データ 2，すなわち平方メートルになってしまいますが，標準偏 ぜ偏差の絶対値をとらずに偏差を２乗するのか？ 1番の数値 データの平均
- 77. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 分散と標準偏差 ［分散］＝(偏差)2の平均 式で書くと 均」のかわりに「（偏差）2 の平均」を用います。（偏差）2 は ち「各データについての偏差の２乗の合計を総データ数 す。これが分散 (variance) です。式で書くと，各データ するとき，分散 σ2 はつぎのようになります。 σ2 = 1 n (x1 − ¯x)2 + (x2 − ¯x)2 + · · · + (xn − ¯x)2 = 1 n n i=1 (xi − ¯x)2 標準偏差 (standard deviation, SD) といいます。データ 2，すなわち平方メートルになってしまいますが，標準偏 ぜ偏差の絶対値をとらずに偏差を２乗するのか？ 1番の数値 データの平均 n個たして nで割る
- 78. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 分散と標準偏差 ［分散］＝(偏差)2の平均 式で書くと 均」のかわりに「（偏差）2 の平均」を用います。（偏差）2 は ち「各データについての偏差の２乗の合計を総データ数 す。これが分散 (variance) です。式で書くと，各データ するとき，分散 σ2 はつぎのようになります。 σ2 = 1 n (x1 − ¯x)2 + (x2 − ¯x)2 + · · · + (xn − ¯x)2 = 1 n n i=1 (xi − ¯x)2 標準偏差 (standard deviation, SD) といいます。データ 2，すなわち平方メートルになってしまいますが，標準偏 ぜ偏差の絶対値をとらずに偏差を２乗するのか？ 1番の数値 データの平均 n個たして nで割る 分散の平方根を［標準偏差］という
- 79. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 度数分布から分散を求める データの平均=[階級値 相対度数]の合計 50 62 75 78 48 50 60 75 75 60 78 58 78 55 56 70 60 79 18 63 67 85 25 40 50 以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 20 4 0.08 (8%) 25 35 30 3 0.06 (6%) 35 45 40 3 0.06 (6%) 45 55 50 8 0.16 (16%) 55 65 60 12 0.24 (24%) 65 75 70 8 0.16 (16%) 75 85 80 9 0.18 (18%) 85 95 90 3 0.06 (6%) x x x 計 計 50 1 (100%)
- 80. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 度数分布から分散を求める データの平均=[階級値 相対度数]の合計 分散＝(偏差)2の平均 = [(偏差)2 相対度数]の合計 = [(階級値データの平均)2 相対度数]の合計 50 62 75 78 48 50 60 75 75 60 78 58 78 55 56 70 60 79 18 63 67 85 25 40 50 以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 20 4 0.08 (8%) 25 35 30 3 0.06 (6%) 35 45 40 3 0.06 (6%) 45 55 50 8 0.16 (16%) 55 65 60 12 0.24 (24%) 65 75 70 8 0.16 (16%) 75 85 80 9 0.18 (18%) 85 95 90 3 0.06 (6%) x x x 計 計 50 1 (100%)
- 81. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 度数分布から分散を求める データの平均=[階級値 相対度数]の合計 分散＝(偏差)2の平均 = [(偏差)2 相対度数]の合計 = [(階級値データの平均)2 相対度数]の合計 50 62 75 78 48 50 60 75 75 60 78 58 78 55 56 70 60 79 18 63 67 85 25 40 50 以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 20 4 0.08 (8%) 25 35 30 3 0.06 (6%) 35 45 40 3 0.06 (6%) 45 55 50 8 0.16 (16%) 55 65 60 12 0.24 (24%) 65 75 70 8 0.16 (16%) 75 85 80 9 0.18 (18%) 85 95 90 3 0.06 (6%) x x x 計 計 50 1 (100%)
- 82. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 度数分布から分散を求める データの平均=[階級値 相対度数]の合計 分散＝(偏差)2の平均 = [(偏差)2 相対度数]の合計 = [(階級値データの平均)2 相対度数]の合計 50 62 75 78 48 50 60 75 75 60 78 58 78 55 56 70 60 79 18 63 67 85 25 40 50 以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 20 4 0.08 (8%) 25 35 30 3 0.06 (6%) 35 45 40 3 0.06 (6%) 45 55 50 8 0.16 (16%) 55 65 60 12 0.24 (24%) 65 75 70 8 0.16 (16%) 75 85 80 9 0.18 (18%) 85 95 90 3 0.06 (6%) x x x 計 計 50 1 (100%)
- 83. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 度数分布から分散を求める データの平均=[階級値 相対度数]の合計 分散＝(偏差)2の平均 = [(偏差)2 相対度数]の合計 = [(階級値データの平均)2 相対度数]の合計 50 62 75 78 48 50 60 75 75 60 78 58 78 55 56 70 60 79 18 63 67 85 25 40 50 以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 20 4 0.08 (8%) 25 35 30 3 0.06 (6%) 35 45 40 3 0.06 (6%) 45 55 50 8 0.16 (16%) 55 65 60 12 0.24 (24%) 65 75 70 8 0.16 (16%) 75 85 80 9 0.18 (18%) 85 95 90 3 0.06 (6%) x x x 計 計 50 1 (100%)
- 84. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 度数分布から分散を求める データの平均=[階級値 相対度数]の合計 分散＝(偏差)2の平均 = [(偏差)2 相対度数]の合計 = [(階級値データの平均)2 相対度数]の合計 50 62 75 78 48 50 60 75 75 60 78 58 78 55 56 70 60 79 18 63 67 85 25 40 50 以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 20 4 0.08 (8%) 25 35 30 3 0.06 (6%) 35 45 40 3 0.06 (6%) 45 55 50 8 0.16 (16%) 55 65 60 12 0.24 (24%) 65 75 70 8 0.16 (16%) 75 85 80 9 0.18 (18%) 85 95 90 3 0.06 (6%) x x x 計 計 50 1 (100%)
- 91. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 平均を表す式 平均=[階級値 相対度数]の合計から平均を求める計算により E(X) = x xf(x) で表すことにします。 )2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き方を用いれば = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) わち分散は，σ2 で表すこともよくあります。こうする
- 92. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 平均を表す式 平均=[階級値 相対度数]の合計から平均を求める計算により E(X) = x xf(x) で表すことにします。 )2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き方を用いれば = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) わち分散は，σ2 で表すこともよくあります。こうする
- 93. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 平均を表す式 平均=[階級値 相対度数]の合計から平均を求める計算により E(X) = x xf(x) で表すことにします。 )2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き方を用いれば = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) わち分散は，σ2 で表すこともよくあります。こうする
- 94. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 平均を表す式 平均=[階級値 相対度数]の合計から平均を求める計算により E(X) = x xf(x) で表すことにします。 )2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き方を用いれば = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) わち分散は，σ2 で表すこともよくあります。こうする
- 95. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 平均を表す式 平均=[階級値 相対度数]の合計から平均を求める計算により E(X) = x xf(x) で表すことにします。 )2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き方を用いれば = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) わち分散は，σ2 で表すこともよくあります。こうする
- 96. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 平均を表す式 平均=[階級値 相対度数]の合計から平均を求める計算により E(X) = x xf(x) で表すことにします。 )2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き方を用いれば = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) わち分散は，σ2 で表すこともよくあります。こうする
- 97. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 平均を表す式 平均=[階級値 相対度数]の合計から平均を求める計算により E(X) = x xf(x) で表すことにします。 )2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き方を用いれば = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) わち分散は，σ2 で表すこともよくあります。こうする
- 98. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 平均を表す式 分布そのものを，ひとつの変数Xで 表している 平均=[階級値 相対度数]の合計から平均を求める計算により E(X) = x xf(x) で表すことにします。 )2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き方を用いれば = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) わち分散は，σ2 で表すこともよくあります。こうする
- 99. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 平均を表す式 分布そのものを，ひとつの変数Xで 表している 平均=[階級値 相対度数]の合計から平均を求める計算により E(X) = x xf(x) で表すことにします。 )2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き方を用いれば = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) わち分散は，σ2 で表すこともよくあります。こうする E(X) を μで表すと
- 100. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 分散を表す式 分散=[(偏差)2 相対度数]の合計 x わち平均を µ で表すことにします。 わち (X − µ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き方を V (X) = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくあります ます。 て，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を考えると E(g(X)) = x g(x)f(x)
- 101. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 分散を表す式 分散=[(偏差)2 相対度数]の合計 x わち平均を µ で表すことにします。 わち (X − µ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き方を V (X) = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくあります ます。 て，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を考えると E(g(X)) = x g(x)f(x)
- 102. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 分散を表す式 分散=[(偏差)2 相対度数]の合計 x わち平均を µ で表すことにします。 わち (X − µ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き方を V (X) = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくあります ます。 て，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を考えると E(g(X)) = x g(x)f(x)
- 103. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 分散を表す式 分散=[(偏差)2 相対度数]の合計 V(X) を σ2で表すことも多い x わち平均を µ で表すことにします。 わち (X − µ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き方を V (X) = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくあります ます。 て，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を考えると E(g(X)) = x g(x)f(x)
- 104. 2015 A.Asano,KansaiUniv. モーメントした，度数分布から平均を求める計算により E(X) = x xf(x) すなわち平均を µ で表すことにします。 すなわち (X − µ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き V (X) = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) す。V (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくありま なります。 表して，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を考える わち平均を µ で表すことにします。 わち (X − µ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き方を V (X) = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくあります ます。 て，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を考えると E(g(X)) = x g(x)f(x)
- 105. 2015 A.Asano,KansaiUniv. モーメントした，度数分布から平均を求める計算により E(X) = x xf(x) すなわち平均を µ で表すことにします。 すなわち (X − µ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き V (X) = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) す。V (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくありま なります。 表して，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を考える わち平均を µ で表すことにします。 わち (X − µ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き方を V (X) = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくあります ます。 て，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を考えると E(g(X)) = x g(x)f(x)
- 106. 2015 A.Asano,KansaiUniv. モーメントした，度数分布から平均を求める計算により E(X) = x xf(x) すなわち平均を µ で表すことにします。 すなわち (X − µ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き V (X) = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) す。V (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくありま なります。 表して，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を考える わち平均を µ で表すことにします。 わち (X − µ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き方を V (X) = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくあります ます。 て，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を考えると E(g(X)) = x g(x)f(x)
- 107. 2015 A.Asano,KansaiUniv. モーメントした，度数分布から平均を求める計算により E(X) = x xf(x) すなわち平均を µ で表すことにします。 すなわち (X − µ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き V (X) = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) す。V (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくありま なります。 表して，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を考える わち平均を µ で表すことにします。 わち (X − µ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き方を V (X) = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくあります ます。 て，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を考えると E(g(X)) = x g(x)f(x)
- 108. 2015 A.Asano,KansaiUniv. モーメントした，度数分布から平均を求める計算により E(X) = x xf(x) すなわち平均を µ で表すことにします。 すなわち (X − µ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き V (X) = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) す。V (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくありま なります。 表して，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を考える わち平均を µ で表すことにします。 わち (X − µ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き方を V (X) = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくあります ます。 て，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を考えると E(g(X)) = x g(x)f(x)
- 109. 2015 A.Asano,KansaiUniv. モーメント 一般に した，度数分布から平均を求める計算により E(X) = x xf(x) すなわち平均を µ で表すことにします。 すなわち (X − µ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き V (X) = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) す。V (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくありま なります。 表して，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を考える わち平均を µ で表すことにします。 わち (X − µ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き方を V (X) = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくあります ます。 て，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を考えると E(g(X)) = x g(x)f(x)
- 110. 2015 A.Asano,KansaiUniv. モーメント 一般に した，度数分布から平均を求める計算により E(X) = x xf(x) すなわち平均を µ で表すことにします。 すなわち (X − µ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き V (X) = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) す。V (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくありま なります。 表して，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を考える わち平均を µ で表すことにします。 わち (X − µ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き方を V (X) = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくあります ます。 て，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を考えると E(g(X)) = x g(x)f(x) して，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) E(g(X)) = x g(x)f(x) 散は (5) 式の特殊な場合と考えることができま な場合として，E(Xk) や E((X −µ)k)（k は自然 とよびます。E(Xk) を原点のまわりのモーメン メントとよんで µk で表します。平均 µ は，実 は平均のまわりの２次のモーメント µ2 である う名前は，力学の用語からの類推から来ていま
- 111. 2015 A.Asano,KansaiUniv. モーメント 一般に した，度数分布から平均を求める計算により E(X) = x xf(x) すなわち平均を µ で表すことにします。 すなわち (X − µ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き V (X) = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) す。V (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくありま なります。 表して，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を考える 原点のまわりの k次モーメント わち平均を µ で表すことにします。 わち (X − µ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き方を V (X) = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくあります ます。 て，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を考えると E(g(X)) = x g(x)f(x) して，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) E(g(X)) = x g(x)f(x) 散は (5) 式の特殊な場合と考えることができま な場合として，E(Xk) や E((X −µ)k)（k は自然 とよびます。E(Xk) を原点のまわりのモーメン メントとよんで µk で表します。平均 µ は，実 は平均のまわりの２次のモーメント µ2 である う名前は，力学の用語からの類推から来ていま
- 112. 2015 A.Asano,KansaiUniv. モーメント 一般に した，度数分布から平均を求める計算により E(X) = x xf(x) すなわち平均を µ で表すことにします。 すなわち (X − µ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き V (X) = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) す。V (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくありま なります。 表して，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を考える 原点のまわりの k次モーメント わち平均を µ で表すことにします。 わち (X − µ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き方を V (X) = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくあります ます。 て，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を考えると E(g(X)) = x g(x)f(x) して，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) E(g(X)) = x g(x)f(x) 散は (5) 式の特殊な場合と考えることができま な場合として，E(Xk) や E((X −µ)k)（k は自然 とよびます。E(Xk) を原点のまわりのモーメン メントとよんで µk で表します。平均 µ は，実 は平均のまわりの２次のモーメント µ2 である う名前は，力学の用語からの類推から来ていま 平均は1次モーメント
- 113. 2015 A.Asano,KansaiUniv. モーメント 一般に した，度数分布から平均を求める計算により E(X) = x xf(x) すなわち平均を µ で表すことにします。 すなわち (X − µ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き V (X) = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) す。V (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくありま なります。 表して，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を考える 原点のまわりの k次モーメント わち平均を µ で表すことにします。 わち (X − µ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き方を V (X) = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくあります ます。 て，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を考えると E(g(X)) = x g(x)f(x) して，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) E(g(X)) = x g(x)f(x) 散は (5) 式の特殊な場合と考えることができま な場合として，E(Xk) や E((X −µ)k)（k は自然 とよびます。E(Xk) を原点のまわりのモーメン メントとよんで µk で表します。平均 µ は，実 は平均のまわりの２次のモーメント µ2 である う名前は，力学の用語からの類推から来ていま 表して，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を E(g(X)) = x g(x)f(x) 分散は (5) 式の特殊な場合と考えることができます 殊な場合として，E(Xk) や E((X −µ)k)（k は自然 ）とよびます。E(Xk) を原点のまわりのモーメント ーメントとよんで µk で表します。平均 µ は，実は ) は平均のまわりの２次のモーメント µ2 である う名前は，力学の用語からの類推から来ています 平均は1次モーメント
- 114. 2015 A.Asano,KansaiUniv. モーメント 一般に した，度数分布から平均を求める計算により E(X) = x xf(x) すなわち平均を µ で表すことにします。 すなわち (X − µ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き V (X) = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) す。V (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくありま なります。 表して，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を考える 原点のまわりの k次モーメント わち平均を µ で表すことにします。 わち (X − µ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き方を V (X) = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくあります ます。 て，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を考えると E(g(X)) = x g(x)f(x) して，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) E(g(X)) = x g(x)f(x) 散は (5) 式の特殊な場合と考えることができま な場合として，E(Xk) や E((X −µ)k)（k は自然 とよびます。E(Xk) を原点のまわりのモーメン メントとよんで µk で表します。平均 µ は，実 は平均のまわりの２次のモーメント µ2 である う名前は，力学の用語からの類推から来ていま 表して，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を E(g(X)) = x g(x)f(x) 分散は (5) 式の特殊な場合と考えることができます 殊な場合として，E(Xk) や E((X −µ)k)（k は自然 ）とよびます。E(Xk) を原点のまわりのモーメント ーメントとよんで µk で表します。平均 µ は，実は ) は平均のまわりの２次のモーメント µ2 である う名前は，力学の用語からの類推から来ています 平均は1次モーメント
- 115. 2015 A.Asano,KansaiUniv. モーメント 一般に した，度数分布から平均を求める計算により E(X) = x xf(x) すなわち平均を µ で表すことにします。 すなわち (X − µ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き V (X) = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) す。V (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくありま なります。 表して，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を考える 原点のまわりの k次モーメント わち平均を µ で表すことにします。 わち (X − µ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き方を V (X) = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくあります ます。 て，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を考えると E(g(X)) = x g(x)f(x) して，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) E(g(X)) = x g(x)f(x) 散は (5) 式の特殊な場合と考えることができま な場合として，E(Xk) や E((X −µ)k)（k は自然 とよびます。E(Xk) を原点のまわりのモーメン メントとよんで µk で表します。平均 µ は，実 は平均のまわりの２次のモーメント µ2 である う名前は，力学の用語からの類推から来ていま 表して，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を E(g(X)) = x g(x)f(x) 分散は (5) 式の特殊な場合と考えることができます 殊な場合として，E(Xk) や E((X −µ)k)（k は自然 ）とよびます。E(Xk) を原点のまわりのモーメント ーメントとよんで µk で表します。平均 µ は，実は ) は平均のまわりの２次のモーメント µ2 である う名前は，力学の用語からの類推から来ています 平均は1次モーメント 平均のまわりの k次モーメント
- 116. 2015 A.Asano,KansaiUniv. モーメント 一般に した，度数分布から平均を求める計算により E(X) = x xf(x) すなわち平均を µ で表すことにします。 すなわち (X − µ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き V (X) = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) す。V (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくありま なります。 表して，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を考える 原点のまわりの k次モーメント わち平均を µ で表すことにします。 わち (X − µ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き方を V (X) = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくあります ます。 て，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を考えると E(g(X)) = x g(x)f(x) して，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) E(g(X)) = x g(x)f(x) 散は (5) 式の特殊な場合と考えることができま な場合として，E(Xk) や E((X −µ)k)（k は自然 とよびます。E(Xk) を原点のまわりのモーメン メントとよんで µk で表します。平均 µ は，実 は平均のまわりの２次のモーメント µ2 である う名前は，力学の用語からの類推から来ていま 表して，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を E(g(X)) = x g(x)f(x) 分散は (5) 式の特殊な場合と考えることができます 殊な場合として，E(Xk) や E((X −µ)k)（k は自然 ）とよびます。E(Xk) を原点のまわりのモーメント ーメントとよんで µk で表します。平均 µ は，実は ) は平均のまわりの２次のモーメント µ2 である う名前は，力学の用語からの類推から来ています 平均は1次モーメント 平均のまわりの k次モーメント 分散は2次モーメント
- 117. 2015 A.Asano,KansaiUniv. モーメント 一般に した，度数分布から平均を求める計算により E(X) = x xf(x) すなわち平均を µ で表すことにします。 すなわち (X − µ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き V (X) = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) す。V (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくありま なります。 表して，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を考える 原点のまわりの k次モーメント わち平均を µ で表すことにします。 わち (X − µ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き方を V (X) = E((X − µ)2 ) = x (x − µ)2 f(x) (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくあります ます。 て，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を考えると E(g(X)) = x g(x)f(x) して，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) E(g(X)) = x g(x)f(x) 散は (5) 式の特殊な場合と考えることができま な場合として，E(Xk) や E((X −µ)k)（k は自然 とよびます。E(Xk) を原点のまわりのモーメン メントとよんで µk で表します。平均 µ は，実 は平均のまわりの２次のモーメント µ2 である う名前は，力学の用語からの類推から来ていま 表して，「変数 X の関数 g(X) の平均」E(g(X)) を E(g(X)) = x g(x)f(x) 分散は (5) 式の特殊な場合と考えることができます 殊な場合として，E(Xk) や E((X −µ)k)（k は自然 ）とよびます。E(Xk) を原点のまわりのモーメント ーメントとよんで µk で表します。平均 µ は，実は ) は平均のまわりの２次のモーメント µ2 である う名前は，力学の用語からの類推から来ています 平均は1次モーメント 平均のまわりの k次モーメント 分散は2次モーメント 3次・４次・…は？
- 118. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 歪度 平均のまわりの 3次モーメント 歪度 f(x) x µ α3 > 0α3 < 0 図 1: 歪度（ヒストグラムの上辺を連続曲線で表示） 歪度>0歪度<0 （ヒストグラムを曲線であらわした） ヒストグラムの偏り
- 119. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 尖度 平均のまわりの 4次モーメント 尖度 尖度：大尖度：小 （ヒストグラムを曲線であらわした） ヒストグラムの尖り具合 f(x) x µ α4: 大 α4: 小 図 2: 尖度（同上）
- 120. A.Asano,KansaiUniv.
- 125. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「試験で70点」は優れているのか 一緒に受けた人たちが 平均60点で 標準偏差5点 各データからμを引く 平均μ0 X 平均0 X – μ 各データを (1 / σ)倍する X – μ σ0 図 3: 度数分布の変換 今日の演習 １．下の度数分布表について，表の空欄を埋めて，平均・分散を求めてください． 階級 階級値 相対度数 階級値×相対度数 偏差 (偏差)2 (偏差)2 × 相対度数 0∼9（点） 5 0.04 10∼19 15 0.16 各データからμを引く 平均μ0 X 平均0 X – μ 各データを (1 / σ)倍する 図 3: 度数分布 平均30点で 標準偏差20点 30 70 7060
- 126. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「試験で70点」は優れているのか 70点の 「地位」 は同じ。 一緒に受けた人たちが 平均60点で 標準偏差5点 各データからμを引く 平均μ0 X 平均0 X – μ 各データを (1 / σ)倍する X – μ σ0 図 3: 度数分布の変換 今日の演習 １．下の度数分布表について，表の空欄を埋めて，平均・分散を求めてください． 階級 階級値 相対度数 階級値×相対度数 偏差 (偏差)2 (偏差)2 × 相対度数 0∼9（点） 5 0.04 10∼19 15 0.16 各データからμを引く 平均μ0 X 平均0 X – μ 各データを (1 / σ)倍する 図 3: 度数分布 平均30点で 標準偏差20点 30 70 7060
- 127. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「地位」を数字で表す 一緒に受けた人たちが 平均60点で 標準偏差5点 各データからμを引く 平均μ0 X 平均0 X – μ 各データを (1 / σ)倍する X – μ σ0 図 3: 度数分布の変換 今日の演習 １．下の度数分布表について，表の空欄を埋めて，平均・分散を求めてください． 階級 階級値 相対度数 階級値×相対度数 偏差 (偏差)2 (偏差)2 × 相対度数 0∼9（点） 5 0.04 10∼19 15 0.16 20∼29 25 0.08 7060
- 128. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「地位」を数字で表す 70点の人は，平均を 標準偏差の2倍上回っている 一緒に受けた人たちが 平均60点で 標準偏差5点 各データからμを引く 平均μ0 X 平均0 X – μ 各データを (1 / σ)倍する X – μ σ0 図 3: 度数分布の変換 今日の演習 １．下の度数分布表について，表の空欄を埋めて，平均・分散を求めてください． 階級 階級値 相対度数 階級値×相対度数 偏差 (偏差)2 (偏差)2 × 相対度数 0∼9（点） 5 0.04 10∼19 15 0.16 20∼29 25 0.08 7060
- 129. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「地位」を数字で表す 70点の人は，平均を 標準偏差の2倍上回っている 一緒に受けた人たちが 平均60点で 標準偏差5点 各データからμを引く 平均μ0 X 平均0 X – μ 各データを (1 / σ)倍する X – μ σ0 図 3: 度数分布の変換 今日の演習 １．下の度数分布表について，表の空欄を埋めて，平均・分散を求めてください． 階級 階級値 相対度数 階級値×相対度数 偏差 (偏差)2 (偏差)2 × 相対度数 0∼9（点） 5 0.04 10∼19 15 0.16 20∼29 25 0.08 平均30点で 標準偏差20点 7060
- 130. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「地位」を数字で表す 70点の人は，平均を 標準偏差の2倍上回っている 一緒に受けた人たちが 平均60点で 標準偏差5点 各データからμを引く 平均μ0 X 平均0 X – μ 各データを (1 / σ)倍する X – μ σ0 図 3: 度数分布の変換 今日の演習 １．下の度数分布表について，表の空欄を埋めて，平均・分散を求めてください． 階級 階級値 相対度数 階級値×相対度数 偏差 (偏差)2 (偏差)2 × 相対度数 0∼9（点） 5 0.04 10∼19 15 0.16 20∼29 25 0.08 平均30点で 標準偏差20点 7060 70点の人は，やはり平均を 標準偏差の2倍上回っている
- 131. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標準得点 平均を 標準偏差の2倍上回っている 各データからμを引く 平均μ0 X 平均0 X – μ 各データを (1 / σ)倍する 0 図 3: 度数分布の変換 今日の演習 １．下の度数分布表について，表の空欄を埋めて，平均・分散を求めてください． 階級 階級値 相対度数 階級値×相対度数 偏差 (偏差)2 (偏差)2 × 0∼9（点） 5 0.04 10∼19 15 0.16 20∼29 25 0.08 30∼39 35 0.12 40∼49 45 0.10 7060
- 132. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標準得点 平均を 標準偏差の2倍上回っている 各データからμを引く 平均μ0 X 平均0 X – μ 各データを (1 / σ)倍する 0 図 3: 度数分布の変換 今日の演習 １．下の度数分布表について，表の空欄を埋めて，平均・分散を求めてください． 階級 階級値 相対度数 階級値×相対度数 偏差 (偏差)2 (偏差)2 × 0∼9（点） 5 0.04 10∼19 15 0.16 20∼29 25 0.08 30∼39 35 0.12 40∼49 45 0.10 7060 ［標準得点］が2点
- 133. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標準得点 平均を 標準偏差の2倍上回っている 各データからμを引く 平均μ0 X 平均0 X – μ 各データを (1 / σ)倍する 0 図 3: 度数分布の変換 今日の演習 １．下の度数分布表について，表の空欄を埋めて，平均・分散を求めてください． 階級 階級値 相対度数 階級値×相対度数 偏差 (偏差)2 (偏差)2 × 0∼9（点） 5 0.04 10∼19 15 0.16 20∼29 25 0.08 30∼39 35 0.12 40∼49 45 0.10 平均を標準偏差の2倍 下回っているなら 7060 ［標準得点］が2点
- 134. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標準得点 平均を 標準偏差の2倍上回っている 各データからμを引く 平均μ0 X 平均0 X – μ 各データを (1 / σ)倍する 0 図 3: 度数分布の変換 今日の演習 １．下の度数分布表について，表の空欄を埋めて，平均・分散を求めてください． 階級 階級値 相対度数 階級値×相対度数 偏差 (偏差)2 (偏差)2 × 0∼9（点） 5 0.04 10∼19 15 0.16 20∼29 25 0.08 30∼39 35 0.12 40∼49 45 0.10 平均を標準偏差の2倍 下回っているなら 7060 ［標準得点］が2点 標準得点が-2点
- 141. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 分布の変換（続き） 分布中の各数値から，平均を引いて 標準偏差で割る 平均0 標準偏差σ 平均0 X – μ 各データを (1 / σ)倍する X – μ σ0
- 142. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 分布の変換（続き） 分布中の各数値から，平均を引いて 標準偏差で割る 平均0 標準偏差σ 平均0 X – μ 各データを (1 / σ)倍する X – μ σ0 各数値を (1/σ)倍
- 143. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 分布の変換（続き） 分布中の各数値から，平均を引いて 標準偏差で割る 平均0 標準偏差σ 平均0 X – μ 各データを (1 / σ)倍する X – μ σ0 各数値を (1/σ)倍 各数値の偏差は
- 144. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 分布の変換（続き） 分布中の各数値から，平均を引いて 標準偏差で割る 平均0 標準偏差σ 平均0 X – μ 各データを (1 / σ)倍する X – μ σ0 各数値を (1/σ)倍 各数値の偏差は (1/σ)倍
- 145. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 分布の変換（続き） 分布中の各数値から，平均を引いて 標準偏差で割る 平均0 標準偏差σ 平均0 X – μ 各データを (1 / σ)倍する X – μ σ0 各数値を (1/σ)倍 各数値の偏差は (1/σ)倍 分散は(偏差)2の平均
- 146. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 分布の変換（続き） 分布中の各数値から，平均を引いて 標準偏差で割る 平均0 標準偏差σ 平均0 X – μ 各データを (1 / σ)倍する X – μ σ0 各数値を (1/σ)倍 各数値の偏差は (1/σ)倍 分散は(偏差)2の平均 (1/σ)2倍
- 147. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 分布の変換（続き） 分布中の各数値から，平均を引いて 標準偏差で割る 平均0 標準偏差σ 平均0 X – μ 各データを (1 / σ)倍する X – μ σ0 各数値を (1/σ)倍 各数値の偏差は (1/σ)倍 分散は(偏差)2の平均 (1/σ)2倍 標準偏差は分散の平方根
- 148. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 分布の変換（続き） 分布中の各数値から，平均を引いて 標準偏差で割る 平均0 標準偏差σ 平均0 X – μ 各データを (1 / σ)倍する X – μ σ0 各数値を (1/σ)倍 各数値の偏差は (1/σ)倍 分散は(偏差)2の平均 (1/σ)2倍 標準偏差は分散の平方根 (1/σ)倍
- 149. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 分布の変換（続き） 分布中の各数値から，平均を引いて 標準偏差で割る 平均0 標準偏差σ 平均0 X – μ 各データを (1 / σ)倍する X – μ σ0 各数値を (1/σ)倍 各数値の偏差は (1/σ)倍 分散は(偏差)2の平均 (1/σ)2倍 標準偏差は分散の平方根 (1/σ)倍 平均0 標準偏差1
- 150. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 式で書くと 分布そのものをXとすると Z = (X - μ) / σ と変換すると，Zは平均0，標準偏差1
- 151. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 受験産業でいう「偏差値」 平均0，標準偏差1の分布Zを，さらに W = 10Z + 50 と変換すると，Wは平均50，標準偏差10 これが［偏差値］ 偏差値70 平均よりも，標準偏差の2倍 上回っている 偏差値40 平均よりも，標準偏差の1倍 下回っている