関西大学総合情報学部・統計学（担当・浅野晃）

1. A.Asano,KansaiUniv.
2019年度春学期 統計学
浅野 晃
関西大学総合情報学部
分布をまとめる̶平均・分散
第５回

2. A.Asano,KansaiUniv.

3. A.Asano,KansaiUniv.
代表値🤔🤔

4. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
代表値とは
3
統計学が相手にするのは，
「分布」しているデータ
データをこんな
ふうに読めれば
いいけれど…
http://www3.ic-net.or.jp/~yaguchi/houwa/daihannya.htm
（大般若会の写真）

5. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
代表値とは
4
こんなことはできないので，
•ひとつの数にまとめる
http://www3.ic-net.or.jp/~yaguchi/houwa/daihannya.htm
•図示する（ヒストグラム）

6. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
代表値とは
4
こんなことはできないので，
•ひとつの数にまとめる
http://www3.ic-net.or.jp/~yaguchi/houwa/daihannya.htm
［代表値］
•図示する（ヒストグラム）

7. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
代表値とは
4
こんなことはできないので，
•ひとつの数にまとめる
http://www3.ic-net.or.jp/~yaguchi/houwa/daihannya.htm
［代表値］
数字で表されていれば，
計算ができる
•図示する（ヒストグラム）
（大般若会の写真）

8. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
平均
5
とくに［算術平均］は
代表的な代表値
（算術）平均
＝（データの総和）÷（数値の個数）

9. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
平均
5
とくに［算術平均］は
代表的な代表値
（算術）平均
＝（データの総和）÷（数値の個数）
↑
” ／ ”でも同じ意味

10. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
平均
6
データ x1, x2, . . . , xn，
数値の個数
（データサイズ）
n
のとき
平均 ¯x =
x1 + x2 + · · · + xn
n
=
1
n
n
i=1
xi

11. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
平均
6
データ x1, x2, . . . , xn，
数値の個数
（データサイズ）
n
のとき
平均 ¯x =
x1 + x2 + · · · + xn
n
=
1
n
n
i=1
xi和

12. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
データサイズ？
7
「データ」という言葉は，
数値の集まりをさす
（１つ１つの数値ではない）
データの中に含まれる数値の個数を
データの大きさ（サイズ）という

13. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
データサイズ？
7
「データ」という言葉は，
数値の集まりをさす
（１つ１つの数値ではない）
データの中に含まれる数値の個数を
データの大きさ（サイズ）という
家族(family)という言葉に似ている

14. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
度数分布から平均を求める
8
度数分布とは，これでした
以上 未満 階級値 度数 相対度数
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (18%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計 計
50 1 (100%)

15. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
度数分布から平均を求める
9
平均=(データの合計)/(データサイズ)
=([階級値×度数]の合計)/(データサイズ)
=[階級値×(度数/データサイズ)]の合計
=[階級値×相対度数]の合計
以上 未満 階級値 度数 相対度数
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (18%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計 計
50 1 (100%)

16. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
度数分布から平均を求める
9
平均=(データの合計)/(データサイズ)
=([階級値×度数]の合計)/(データサイズ)
=[階級値×(度数/データサイズ)]の合計
=[階級値×相対度数]の合計
以上 未満 階級値 度数 相対度数
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (18%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計 計
50 1 (100%)

17. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
度数分布から平均を求める
9
平均=(データの合計)/(データサイズ)
=([階級値×度数]の合計)/(データサイズ)
=[階級値×(度数/データサイズ)]の合計
=[階級値×相対度数]の合計
以上 未満 階級値 度数 相対度数
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (18%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計 計
50 1 (100%)

18. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
度数分布から平均を求める
9
平均=(データの合計)/(データサイズ)
=([階級値×度数]の合計)/(データサイズ)
=[階級値×(度数/データサイズ)]の合計
=[階級値×相対度数]の合計
以上 未満 階級値 度数 相対度数
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (18%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計 計
50 1 (100%)

19. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
度数分布から平均を求める
9
平均=(データの合計)/(データサイズ)
=([階級値×度数]の合計)/(データサイズ)
=[階級値×(度数/データサイズ)]の合計
=[階級値×相対度数]の合計
以上 未満 階級値 度数 相対度数
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (18%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計 計
50 1 (100%)

20. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
度数分布から平均を求める
9
平均=(データの合計)/(データサイズ)
=([階級値×度数]の合計)/(データサイズ)
=[階級値×(度数/データサイズ)]の合計
=[階級値×相対度数]の合計
以上 未満 階級値 度数 相対度数
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (18%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計 計
50 1 (100%)

21. A.Asano,KansaiUniv.

22. A.Asano,KansaiUniv.
分散と標準偏差🤔🤔

23. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
「ばらつき」を数字で
11
分布は，
大小ばらばらな数値からなるデータ
どのくらいばらばらかを，
数字で表そう

24. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
「ばらつき」を数字で
11
分布は，
大小ばらばらな数値からなるデータ
どのくらいばらばらかを，
数字で表そう
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7

25. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
「ばらつき」を数字で
11
分布は，
大小ばらばらな数値からなるデータ
どのくらいばらばらかを，
数字で表そう
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
どう違う？

26. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
「ばらつき」を数字で
11
分布は，
大小ばらばらな数値からなるデータ
どのくらいばらばらかを，
数字で表そう
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
どう違う？
平均は
どれも5

27. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
レンジとばらつき
12
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7

28. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
レンジとばらつき
12
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7

29. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
レンジとばらつき
12
Cは，最大と最小の差［レンジ］が
違う
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7

30. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
レンジとばらつき
12
Cは，最大と最小の差［レンジ］が
違う
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
A, Bはレンジは同じだが，

31. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
レンジとばらつき
12
Cは，最大と最小の差［レンジ］が
違う
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
A, Bはレンジは同じだが，
Bのほうがばらついている
ように見える

32. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
レンジとばらつき
12
Cは，最大と最小の差［レンジ］が
違う
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
A, Bはレンジは同じだが，
Bのほうがばらついている
ように見える

33. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
レンジとばらつき
12
Cは，最大と最小の差［レンジ］が
違う
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
A, Bはレンジは同じだが，
Bのほうがばらついている
ように見える

34. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
偏差
13
各数値と平均との差を［偏差］という
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10

35. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
偏差
13
各数値と平均との差を［偏差］という
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
0

36. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
偏差
13
各数値と平均との差を［偏差］という
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
00

37. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
偏差
13
各数値と平均との差を［偏差］という
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
0 00

38. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
偏差
13
各数値と平均との差を［偏差］という
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
0 0 00

39. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
偏差
13
各数値と平均との差を［偏差］という
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
0 +20 00

40. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
偏差
13
各数値と平均との差を［偏差］という
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
0 +20 00-2

41. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
偏差
13
各数値と平均との差を［偏差］という
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
0 +20 00-2 +2

42. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
偏差
13
各数値と平均との差を［偏差］という
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
0 +2-2 0 00-2 +2

43. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
偏差
13
各数値と平均との差を［偏差］という
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
0 +2 +5-2 0 00-2 +2

44. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
偏差
13
各数値と平均との差を［偏差］という
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
0 +2 +5-2-5 0 00-2 +2

45. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
偏差
13
各数値と平均との差を［偏差］という
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
0 +2 +5-2-5
0
0 00-2 +2

46. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
偏差
13
各数値と平均との差を［偏差］という
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
0 +2 +5-2-5
0
0 00-2 +2
0

47. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
偏差
13
各数値と平均との差を［偏差］という
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
0 +2 +5-2-5
0
0 00-2 +2
0 +2

48. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
偏差
13
各数値と平均との差を［偏差］という
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
0 +2 +5-2-5
0
0 00-2 +2
0-2 +2

49. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
偏差
13
各数値と平均との差を［偏差］という
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
0 +2 +5-2-5
0
0 00-2 +2
0-2 +2 +3

50. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
偏差
13
各数値と平均との差を［偏差］という
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
0 +2 +5-2-5
0
0 00-2 +2
0-3 -2 +2 +3

51. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
偏差
13
各数値と平均との差を［偏差］という
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
0 +2 +5-2-5
0
0 00-2 +2
0-3 -2 +2 +3 +4

52. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
偏差
13
各数値と平均との差を［偏差］という
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
0 +2 +5-2-5
0-4
0 00-2 +2
0-3 -2 +2 +3 +4

53. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
偏差
13
各数値と平均との差を［偏差］という
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
0 +2 +5-2-5
0 +5-4
0 00-2 +2
0-3 -2 +2 +3 +4

54. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
偏差
13
各数値と平均との差を［偏差］という
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
0 +2 +5-2-5
0 +5-5 -4
0 00-2 +2
0-3 -2 +2 +3 +4

55. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
偏差
13
偏差を平均したら，AとBのばらつきの
違いが表せる？
各数値と平均との差を［偏差］という
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
0 +2 +5-2-5
0 +5-5 -4
0 00-2 +2
0-3 -2 +2 +3 +4

56. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
偏差の平均？
14
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
0 +2 +5-2-5
0 +5-5 -4
0 00-2 +2
0-3 -2 +2 +3 +4

57. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
偏差の平均？
14
だめ。平均したらゼロ
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
0 +2 +5-2-5
0 +5-5 -4
0 00-2 +2
0-3 -2 +2 +3 +4

58. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
偏差を２乗する
15
偏差を２乗したら，全部正の数に
なるから，それから平均する
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
0 +2 +5-2-5
0 +5-5 -4
0 00-2 +2
0-3 -2 +2 +3 +4

59. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
偏差を２乗する
15
偏差を２乗したら，全部正の数に
なるから，それから平均する
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
0 +2 +5-2-5
0 +5-5 -4
0 00-2 +2
0-3 -2 +2 +3 +4
25 4 4 0 0 0 0 4 4 25

60. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
偏差を２乗する
15
偏差を２乗したら，全部正の数に
なるから，それから平均する
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
0 +2 +5-2-5
0 +5-5 -4
0 00-2 +2
0-3 -2 +2 +3 +4
25 4 4 0 0 0 0 4 4 25
25 16 9 4 0 0 4 9 16 25

61. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
分散
16
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
0 +2 +5-2-5
0 +5-5 -4
0 00-2 +2
0-3 -2 +2 +3 +4
25 4 4 0 0 0 0 4 4 25
25 16 9 4 0 0 4 9 16 25

62. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
分散
16
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
0 +2 +5-2-5
0 +5-5 -4
0 00-2 +2
0-3 -2 +2 +3 +4
25 4 4 0 0 0 0 4 4 25
25 16 9 4 0 0 4 9 16 25
平均 6.6

63. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
分散
16
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
0 +2 +5-2-5
0 +5-5 -4
0 00-2 +2
0-3 -2 +2 +3 +4
25 4 4 0 0 0 0 4 4 25
25 16 9 4 0 0 4 9 16 25
平均 6.6
平均 10.8

64. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
分散
16
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
0 +2 +5-2-5
0 +5-5 -4
0 00-2 +2
0-3 -2 +2 +3 +4
25 4 4 0 0 0 0 4 4 25
25 16 9 4 0 0 4 9 16 25
平均 6.6
平均 10.8
［分散］＝(偏差)2の平均

65. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
分散と標準偏差
17
［分散］＝(偏差)2の平均 式で書くと
σ2
=
1
n
(x1 − ¯x)2
+ (x2 − ¯x)2
+ · · · + (xn − ¯x)2
=
1
n
n
i=1
(xi − ¯x)2

66. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
分散と標準偏差
17
［分散］＝(偏差)2の平均 式で書くと
σ2
=
1
n
(x1 − ¯x)2
+ (x2 − ¯x)2
+ · · · + (xn − ¯x)2
=
1
n
n
i=1
(xi − ¯x)2

67. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
分散と標準偏差
17
［分散］＝(偏差)2の平均 式で書くと
σ2
=
1
n
(x1 − ¯x)2
+ (x2 − ¯x)2
+ · · · + (xn − ¯x)2
=
1
n
n
i=1
(xi − ¯x)2
1番の数値

68. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
分散と標準偏差
17
［分散］＝(偏差)2の平均 式で書くと
σ2
=
1
n
(x1 − ¯x)2
+ (x2 − ¯x)2
+ · · · + (xn − ¯x)2
=
1
n
n
i=1
(xi − ¯x)2
1番の数値

69. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
分散と標準偏差
17
［分散］＝(偏差)2の平均 式で書くと
σ2
=
1
n
(x1 − ¯x)2
+ (x2 − ¯x)2
+ · · · + (xn − ¯x)2
=
1
n
n
i=1
(xi − ¯x)2
1番の数値 データの平均

70. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
分散と標準偏差
17
［分散］＝(偏差)2の平均 式で書くと
σ2
=
1
n
(x1 − ¯x)2
+ (x2 − ¯x)2
+ · · · + (xn − ¯x)2
=
1
n
n
i=1
(xi − ¯x)2
1番の数値 データの平均
n 個たして
n で割る

71. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
分散と標準偏差
17
［分散］＝(偏差)2の平均 式で書くと
σ2
=
1
n
(x1 − ¯x)2
+ (x2 − ¯x)2
+ · · · + (xn − ¯x)2
=
1
n
n
i=1
(xi − ¯x)2
1番の数値 データの平均
n 個たして
n で割る
分散の平方根を［標準偏差］という

72. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
度数分布から分散を求める
18
データの平均=[階級値×相対度数]の合計
分散＝(偏差)2の平均
= [(偏差)2×相対度数]の合計
= [(階級値−データの平均)2×相対度数]の合計
以上 未満 階級値 度数 相対度数
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (18%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計 計
50 1 (100%)

73. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
度数分布から分散を求める
18
データの平均=[階級値×相対度数]の合計
分散＝(偏差)2の平均
= [(偏差)2×相対度数]の合計
= [(階級値−データの平均)2×相対度数]の合計
以上 未満 階級値 度数 相対度数
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (18%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計 計
50 1 (100%)

74. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
度数分布から分散を求める
18
データの平均=[階級値×相対度数]の合計
分散＝(偏差)2の平均
= [(偏差)2×相対度数]の合計
= [(階級値−データの平均)2×相対度数]の合計
以上 未満 階級値 度数 相対度数
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (18%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計 計
50 1 (100%)

75. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
度数分布から分散を求める
18
データの平均=[階級値×相対度数]の合計
分散＝(偏差)2の平均
= [(偏差)2×相対度数]の合計
= [(階級値−データの平均)2×相対度数]の合計
以上 未満 階級値 度数 相対度数
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (18%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計 計
50 1 (100%)

76. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
度数分布から分散を求める
18
データの平均=[階級値×相対度数]の合計
分散＝(偏差)2の平均
= [(偏差)2×相対度数]の合計
= [(階級値−データの平均)2×相対度数]の合計
以上 未満 階級値 度数 相対度数
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (18%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計 計
50 1 (100%)

77. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
なぜ２乗？
19
偏差の２乗ではなく，
偏差の「絶対値」ではいけないの？
絶対値の関数は，途中に折れ目が
あってむずかしい
2乗を表す関数のグラフ
（放物線）には折り目はない

78. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
マイナスかけるマイナス＝プラス？
20
プラスとマイナスは，「向きが反対」
東に1km進むのが「+1km」なら 🚅🚅💨💨
🚅🚅💨💨西に1km進むのは「–1km」
1時間後が「+1時間」なら
1時間前は「–1時間」

79. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
マイナスかけるマイナス＝プラス？
20
プラスとマイナスは，「向きが反対」
東に1km進むのが「+1km」なら 🚅🚅💨💨
🚅🚅💨💨西に1km進むのは「–1km」
1時間後が「+1時間」なら
1時間前は「–1時間」
東西

80. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
マイナスかけるマイナス＝プラス？
20
プラスとマイナスは，「向きが反対」
東に1km進むのが「+1km」なら 🚅🚅💨💨
🚅🚅💨💨西に1km進むのは「–1km」
1時間後が「+1時間」なら
1時間前は「–1時間」
東西
🚅🚅💨💨

81. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
マイナスかけるマイナス＝プラス？
20
プラスとマイナスは，「向きが反対」
東に1km進むのが「+1km」なら 🚅🚅💨💨
🚅🚅💨💨西に1km進むのは「–1km」
1時間後が「+1時間」なら
1時間前は「–1時間」
東西
🚅🚅💨💨
+50km/h（東向き）

82. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
マイナスかけるマイナス＝プラス？
20
プラスとマイナスは，「向きが反対」
東に1km進むのが「+1km」なら 🚅🚅💨💨
🚅🚅💨💨西に1km進むのは「–1km」
1時間後が「+1時間」なら
1時間前は「–1時間」
東西
🚅🚅💨💨
+50km/h（東向き）
+1時間（後）

83. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
マイナスかけるマイナス＝プラス？
20
プラスとマイナスは，「向きが反対」
東に1km進むのが「+1km」なら 🚅🚅💨💨
🚅🚅💨💨西に1km進むのは「–1km」
1時間後が「+1時間」なら
1時間前は「–1時間」
東西
🚅🚅💨💨
+50km/h（東向き）
+1時間（後）

84. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
マイナスかけるマイナス＝プラス？
20
プラスとマイナスは，「向きが反対」
東に1km進むのが「+1km」なら 🚅🚅💨💨
🚅🚅💨💨西に1km進むのは「–1km」
1時間後が「+1時間」なら
1時間前は「–1時間」
東西
🚅🚅💨💨
+50km/h（東向き）
+1時間（後）
+50km/h × +1時間
= +50km（東にいる）

85. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
マイナスかけるマイナス＝プラス？
20
プラスとマイナスは，「向きが反対」
東に1km進むのが「+1km」なら 🚅🚅💨💨
🚅🚅💨💨西に1km進むのは「–1km」
1時間後が「+1時間」なら
1時間前は「–1時間」
東西
🚅🚅💨💨
+50km/h（東向き）
+1時間（後）
+50km/h × +1時間
= +50km（東にいる）
東西

86. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
マイナスかけるマイナス＝プラス？
20
プラスとマイナスは，「向きが反対」
東に1km進むのが「+1km」なら 🚅🚅💨💨
🚅🚅💨💨西に1km進むのは「–1km」
1時間後が「+1時間」なら
1時間前は「–1時間」
東西
🚅🚅💨💨
+50km/h（東向き）
+1時間（後）
+50km/h × +1時間
= +50km（東にいる）
東西
🚅🚅💨💨

87. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
マイナスかけるマイナス＝プラス？
20
プラスとマイナスは，「向きが反対」
東に1km進むのが「+1km」なら 🚅🚅💨💨
🚅🚅💨💨西に1km進むのは「–1km」
1時間後が「+1時間」なら
1時間前は「–1時間」
東西
🚅🚅💨💨
+50km/h（東向き）
+1時間（後）
+50km/h × +1時間
= +50km（東にいる）
東西
🚅🚅💨💨
–50km/h（西向き）

88. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
マイナスかけるマイナス＝プラス？
20
プラスとマイナスは，「向きが反対」
東に1km進むのが「+1km」なら 🚅🚅💨💨
🚅🚅💨💨西に1km進むのは「–1km」
1時間後が「+1時間」なら
1時間前は「–1時間」
東西
🚅🚅💨💨
+50km/h（東向き）
+1時間（後）
+50km/h × +1時間
= +50km（東にいる）
東西
🚅🚅💨💨
–50km/h（西向き）
–1時間（前）

89. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
マイナスかけるマイナス＝プラス？
20
プラスとマイナスは，「向きが反対」
東に1km進むのが「+1km」なら 🚅🚅💨💨
🚅🚅💨💨西に1km進むのは「–1km」
1時間後が「+1時間」なら
1時間前は「–1時間」
東西
🚅🚅💨💨
+50km/h（東向き）
+1時間（後）
+50km/h × +1時間
= +50km（東にいる）
東西
🚅🚅💨💨
–50km/h（西向き）
–1時間（前）

90. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
マイナスかけるマイナス＝プラス？
20
プラスとマイナスは，「向きが反対」
東に1km進むのが「+1km」なら 🚅🚅💨💨
🚅🚅💨💨西に1km進むのは「–1km」
1時間後が「+1時間」なら
1時間前は「–1時間」
東西
🚅🚅💨💨
+50km/h（東向き）
+1時間（後）
+50km/h × +1時間
= +50km（東にいる）
東西
🚅🚅💨💨
–50km/h（西向き）
–1時間（前）
–50km/h × –1時間
= +50km（東にいる）

91. A.Asano,KansaiUniv.

92. A.Asano,KansaiUniv.
標準得点🤔🤔

93. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
「試験で70点」は優れているのか
22
試験で70点をとった。
まわりより優れているのか？
一緒に受けた人たちの平均点が
50点なら 優れている
80点なら 劣っている

94. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
「試験で70点」は優れているのか
23
試験で70点をとった。
まわりよりとても優れているのか？
一緒に受けた人たちの平均点が
50点なら まあ優れている
30点なら とても優れている …？

95. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
「試験で70点」は優れているのか
23
試験で70点をとった。
まわりよりとても優れているのか？
一緒に受けた人たちの平均点が
50点なら まあ優れている
30点なら とても優れている …？

96. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
「試験で70点」は優れているのか
23
試験で70点をとった。
まわりよりとても優れているのか？
一緒に受けた人たちの平均点が
50点なら まあ優れている
30点なら とても優れている …？
分散も考えないと，答えられない

97. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
「試験で70点」は優れているのか
24
一緒に受けた人たちが
平均60点で
標準偏差5点
0
平均0
平均30点で
標準偏差20点
30 70
7060

98. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
「試験で70点」は優れているのか
24
70点の
「地位」
は同じ。
一緒に受けた人たちが
平均60点で
標準偏差5点
0
平均0
平均30点で
標準偏差20点
30 70
7060

99. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
「地位」を数字で表す
25
一緒に受けた人たちが
平均60点で標準偏差5点なら
0
7060
平均030 70

100. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
「地位」を数字で表す
25
70点の人は，平均を
標準偏差の2倍上回っている
一緒に受けた人たちが
平均60点で標準偏差5点なら
0
7060
平均030 70

101. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
「地位」を数字で表す
25
70点の人は，平均を
標準偏差の2倍上回っている
一緒に受けた人たちが
平均60点で標準偏差5点なら
0
平均30点で標準偏差20点なら
7060
平均030 70

102. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
「地位」を数字で表す
25
70点の人は，平均を
標準偏差の2倍上回っている
一緒に受けた人たちが
平均60点で標準偏差5点なら
0
平均30点で標準偏差20点なら
7060
70点の人は，やはり平均を
標準偏差の2倍上回っている 平均030 70

103. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
「地位」を数字で表す
25
70点の人は，平均を
標準偏差の2倍上回っている
一緒に受けた人たちが
平均60点で標準偏差5点なら
0
平均30点で標準偏差20点なら
7060
70点の人は，やはり平均を
標準偏差の2倍上回っている
70点の「地位」は同じ
平均030 70

104. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
標準得点
26
平均を
標準偏差の2倍上回っている
0
平均を標準偏差の2倍
下回っているなら
7060
［標準得点］が2点
標準得点が-2点

105. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
標準得点への換算
27
標準得点＝
分布中のある数値が，
平均を標準偏差の何倍
上回って／下回っているか
分布そのものを
平均0，標準偏差1に「変換」したら？
その数値の変換後の値が，
そのまま標準得点になる

106. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
分布の変換
28
分布中の各数値から，平均を引く
各数値からμを引く
平均μ0
X
平均0
X – μ

107. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
分布の変換
28
分布中の各数値から，平均を引く
平均μ
標準偏差σ
各数値からμを引く
平均μ0
X
平均0
X – μ

108. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
分布の変換
28
分布中の各数値から，平均を引く
平均μ
標準偏差σ
平均0
標準偏差σ
各数値からμを引く
平均μ0
X
平均0
X – μ

109. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
分布の変換（続き）
29
分布中の各数値から，平均を引いて
標準偏差で割る
平均0
標準偏差σ
平均0
X – μ
各数値を
(1 / σ)倍する
X – μ
σ0

110. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
分布の変換（続き）
29
分布中の各数値から，平均を引いて
標準偏差で割る
平均0
標準偏差σ 各数値を
(1/σ)倍
平均0
X – μ
各数値を
(1 / σ)倍する
X – μ
σ0

111. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
分布の変換（続き）
29
分布中の各数値から，平均を引いて
標準偏差で割る
平均0
標準偏差σ 各数値を
(1/σ)倍
各数値の偏差は
平均0
X – μ
各数値を
(1 / σ)倍する
X – μ
σ0

112. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
分布の変換（続き）
29
分布中の各数値から，平均を引いて
標準偏差で割る
平均0
標準偏差σ 各数値を
(1/σ)倍
各数値の偏差は (1/σ)倍
平均0
X – μ
各数値を
(1 / σ)倍する
X – μ
σ0

113. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
分布の変換（続き）
29
分布中の各数値から，平均を引いて
標準偏差で割る
平均0
標準偏差σ 各数値を
(1/σ)倍
各数値の偏差は (1/σ)倍
分散は(偏差)2の平均
平均0
X – μ
各数値を
(1 / σ)倍する
X – μ
σ0

114. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
分布の変換（続き）
29
分布中の各数値から，平均を引いて
標準偏差で割る
平均0
標準偏差σ 各数値を
(1/σ)倍
各数値の偏差は (1/σ)倍
分散は(偏差)2の平均 (1/σ)2倍
平均0
X – μ
各数値を
(1 / σ)倍する
X – μ
σ0

115. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
分布の変換（続き）
29
分布中の各数値から，平均を引いて
標準偏差で割る
平均0
標準偏差σ 各数値を
(1/σ)倍
各数値の偏差は (1/σ)倍
分散は(偏差)2の平均 (1/σ)2倍
標準偏差は分散の平方根
平均0
X – μ
各数値を
(1 / σ)倍する
X – μ
σ0

116. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
分布の変換（続き）
29
分布中の各数値から，平均を引いて
標準偏差で割る
平均0
標準偏差σ 各数値を
(1/σ)倍
各数値の偏差は (1/σ)倍
分散は(偏差)2の平均 (1/σ)2倍
標準偏差は分散の平方根 (1/σ)倍
平均0
X – μ
各数値を
(1 / σ)倍する
X – μ
σ0

117. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
分布の変換（続き）
29
分布中の各数値から，平均を引いて
標準偏差で割る
平均0
標準偏差σ 各数値を
(1/σ)倍
各数値の偏差は (1/σ)倍
分散は(偏差)2の平均 (1/σ)2倍
標準偏差は分散の平方根 (1/σ)倍
平均0
標準偏差1
平均0
X – μ
各数値を
(1 / σ)倍する
X – μ
σ0

118. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
式で書くと
30
分布そのものをXとすると
Z = (X – μ) / σ
と変換すると，Zは平均0，標準偏差1

119. 2019年度春学期 統計学
A.Asano,KansaiUniv.
39 –
受験産業でいう「偏差値」
31
平均0，標準偏差1の分布Zを，さらに
W = 10Z + 50
と変換すると，Wは平均50，標準偏差10
これが［偏差値］
偏差値70
平均よりも，標準偏差の2倍
上回っている
偏差値40
平均よりも，標準偏差の1倍
下回っている

120. A.Asano,KansaiUniv.
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