2013年度春学期　画像情報処理　第６回「準備・行列に慣れていない人のために」

A.Asano,KansaiUniv.
2013年度春学期画像情報処理
浅野晃
関西大学総合情報学部
「行列」に慣れていない人のために
（第２部「画像情報圧縮」の準備）
第６回

A.Asano,KansaiUniv.
ベクトルと行列の考え方
たくさんの数の組を，ひとまとめに計算する
ひとつの組がいくつの数でできていても，
同じように計算できるようにする
組の中身を意識せずにすむことによって，
さらに複雑な計算を考えることができる
（現代のプログラミングも同じ考えかた）

A.Asano,KansaiUniv.
ベクトルの計算
素が２つしかない画像」を考えて，その画
z = a1x1 + a2x2
きます。これを，「ベクトル」の書き方で
z = a1 a2
x1
x2
() を列ベクトルといいます。このよう
この計算を

A.Asano,KansaiUniv.
z = a1x1 + a2x2
z = a1 a2
x1
x2
この計算を
z = a1x1 + a2x2
話が出てきます。これを，「ベクトル」の書き方で
z = a1 a2
x1
x2
ル，右側の () を列ベクトルといいます。このよう
をしたことになります。
計算が２組あるとしましょう。このとき，それぞ
と書く

A.Asano,KansaiUniv.
行ベクトル
z = a1x1 + a2x2
z = a1 a2
x1
x2
この計算を
z = a1x1 + a2x2
z = a1 a2
x1
x2
と書く

A.Asano,KansaiUniv.
行ベクトル
z = a1x1 + a2x2
z = a1 a2
x1
x2
この計算を
z = a1x1 + a2x2
z = a1 a2
x1
x2
と書く
列
ベ
ク
ト
ル

A.Asano,KansaiUniv.
ベクトルの計算が２つ
計算が２組あるとしましょう。このとき，それぞれの組を添字
める計算をベクトルで表すと
z(1) = a1(1) a2(1)
x1
x2
z(2) = a1(2) a2(2)
x1
x2
をひとつにまとめて，次のように書きます。
z(1)
z(2)
=
a1(1) a2(1)
a1(2) a2(2)
x1
x2
４つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列とベクトルのか
なって並んでいるので，行列とよぶわけです。

A.Asano,KansaiUniv.
この計算を
まとめて
z(1) = a1(1) a2(1)
x1
x2
z(2) = a1(2) a2(2)
x1
x2
z(1)
z(2)
=
a1(1) a2(1)
a1(2) a2(2)
x1
x2

A.Asano,KansaiUniv.
この計算を
まとめて
と書く
z(1) = a1(1) a2(1)
x1
x2
z(2) = a1(2) a2(2)
x1
x2
z(1)
z(2)
=
a1(1) a2(1)
a1(2) a2(2)
x1
x2
z(1) = a1(1) a2(1)
x1
x2
z(2) = a1(2) a2(2)
x1
x2
z(1)
z(2)
=
a1(1) a2(1)
a1(2) a2(2)
x1
x2
４つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列と

A.Asano,KansaiUniv.
この計算を
まとめて
と書く
z(1) = a1(1) a2(1)
x1
x2
z(2) = a1(2) a2(2)
x1
x2
z(1)
z(2)
=
a1(1) a2(1)
a1(2) a2(2)
x1
x2
z(1) = a1(1) a2(1)
x1
x2
z(2) = a1(2) a2(2)
x1
x2
z(1)
z(2)
=
a1(1) a2(1)
a1(2) a2(2)
x1
x2
４つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列と
行列

A.Asano,KansaiUniv.
図形的意味
原点O
X
点(x1, x2)

A.Asano,KansaiUniv.
図形的意味
原点O
X
点(x1, x2)
ベクトル
となります。この２つの式をひと
この式の右辺にある，数の４つ入
います。行ベクトルが列になって
x1
x2
を座標平面でのある点と
に移動する計算を表す，ということ
は原点から点 (x1, x2) をさすベク
(x , x ) まで伸びた矢印を想像すれ

A.Asano,KansaiUniv.
図形的意味
原点O
X
点(x1, x2)
ベクトル
x1
x2
行列をかける
z(1) = a1(1) a2(1)
x1
x2
z(2) = a1(2) a2(2)
x1
x2
す。この２つの式をひとつにまとめて，次のように書きます。
z(1)
z(2)
=
a1(1) a2(1)
a1(2) a2(2)
x1
x2
右辺にある，数の４つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列とベクトルの
行ベクトルが列になって並んでいるので，行列とよぶわけです。
を座標平面でのある点と考えると，(4) 式の計算は，
x1
x2
という点を
z
z
る計算を表す，ということもできます。また，このときベクトルという言葉を使う
ら点 (x1, x2) をさすベクトル（位置ベクトル）である」といいます。図形的には
まで伸びた矢印を想像すればよいでしょう。この言い方をすると，行列とベクト

A.Asano,KansaiUniv.
図形的意味
原点O
X
点(x1, x2)
ベクトル
x1
x2
行列をかける
z(1) = a1(1) a2(1)
x1
x2
z(2) = a1(2) a2(2)
x1
x2
す。この２つの式をひとつにまとめて，次のように書きます。
z(1)
z(2)
=
a1(1) a2(1)
a1(2) a2(2)
x1
x2
右辺にある，数の４つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列とベクトルの
行ベクトルが列になって並んでいるので，行列とよぶわけです。
を座標平面でのある点と考えると，(4) 式の計算は，
x1
x2
という点を
z
z
る計算を表す，ということもできます。また，このときベクトルという言葉を使う
ら点 (x1, x2) をさすベクトル（位置ベクトル）である」といいます。図形的には
まで伸びた矢印を想像すればよいでしょう。この言い方をすると，行列とベクト
きます。
x1
x2
(4)
計算を「行列とベクトルのかけ算」とい
わけです。
，
x1
x2
という点を
z(1)
z(2)
という点
ベクトルという言葉を使うと，「
x1
x2
」といいます。図形的には，原点から点
方をすると，行列とベクトルのかけ算は，
1）。
別のベクトルに
変換

A.Asano,KansaiUniv.
定数倍の計算
トには，
s11 s12
s21 s22
a1
a2
= λ
a1
a2
春学期）第６回 (2013. 5. 15) http://racco

A.Asano,KansaiUniv.
定数倍の計算
の意味
トには，
s11 s12
s21 s22
a1
a2
= λ
a1
a2
け算．
カラー）で，このとき右辺は
λa1
λa2
を
で，λ もそれぞれに対応して２つある，と
れに対応する式は

A.Asano,KansaiUniv.
行列と行列の計算
1 2
。それらを λ(1), λ(2) と表すと，それぞれに対応する式は
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
= λ(1)
a1(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
の２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル
っつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表します。すると
めて

A.Asano,KansaiUniv.
この計算を
まとめて
1 2
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
= λ(1)
a1(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
っつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
めて

A.Asano,KansaiUniv.
この計算を
まとめて
1 2
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
= λ(1)
a1(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
っつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
めて
s21 s22 a2(2) a2(2)
す。
度はこれらの２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。
を左右にくっつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表し
式は，まとめて
s11 s12
s21 s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1)
0
ができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になってい
左辺は，上で述べたとおり，
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
a1(2)
a2(2)

A.Asano,KansaiUniv.
この計算を
まとめて
1 2
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
= λ(1)
a1(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
っつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
めて
s21 s22 a2(2) a2(2)
す。
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
s11 s12
s21 s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1)
0
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
a1(2)
a2(2)

行列とベクトルの計算が２つ

A.Asano,KansaiUniv.
この計算を
まとめて
1 2
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
= λ(1)
a1(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
っつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
めて
s21 s22 a2(2) a2(2)
す。
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
s11 s12
s21 s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1)
0
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
a1(2)
a2(2)
s21 s22 a2(1)
= λ(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル
つけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
て
s12
s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1) 0
0 λ(2)


A.Asano,KansaiUniv.
この計算を
まとめて
1 2
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
= λ(1)
a1(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
っつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
めて
s21 s22 a2(2) a2(2)
す。
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
s11 s12
s21 s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1)
0
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
a1(2)
a2(2)
s21 s22 a2(1)
= λ(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル
つけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
て
s12
s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1) 0
0 λ(2)

λ(1)に関する計算

A.Asano,KansaiUniv.
要素がp個の場合
トには，
s11 s12
s21 s22
a1
a2
= λ
a1
a2
は，

A.Asano,KansaiUniv.
トには，
s11 s12
s21 s22
a1
a2
= λ
a1
a2
かけ算を２つ同時に行うのが，行列のかけ算です。
トルの場合
が２つしかない画像」を考えたところから出発して，２つの
えてきました。では，「要素が p 個あるベクトル」の場合を考
の式を，要素が p 個の場合に表すと，






s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...
sp1 sp2 · · · spp












a1
a2
...
ap






= λ






a1
a2
...
ap






8) 式を，要素が p 個のベクトルの場合に表すと，
   
は，

A.Asano,KansaiUniv.
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表します。すると，(
の式は，まとめて
s11 s12
s21 s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1) 0
0 λ(2)
とができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になっています。
の左辺は，上で述べたとおり，
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
a1(2)
a2(2)
のように列
くっつけたものです。
式の右辺は，右側の行列を列ベクトルに分けて
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1)
0
0
λ(2
側の行列
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と右側の行列の左側の列ベクトル
λ(1)
0
の積は
λ(1)a
λ(1)a
像情報処理（2013 年度春学期）第６回 (2013. 5. 15) http://racco.mikeneko.jp/
は，

A.Asano,KansaiUniv.
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
s11 s12
s21 s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1) 0
0 λ(2)
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
a1(2)
a2(2)
のように列
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1)
0
0
λ(2
側の行列
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1)
0
の積は
λ(1)a
λ(1)a
(6) 式，(7) 式の形の式を，要素が p 個の場合に表すと，






s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...












a1
a2
...
ap






= λ






a1
a2
...
ap






となります。また，(8) 式を，要素が p 個のベクトルの場合に表すと，






s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...












a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)






=






a1(1) a1(2) ·
a2(1) a2(2) ·
...
.
ap(1) ap(2) ·
となります。
こんな式は，大変複雑でとても扱いきれません。また，要素が p 個ある場
間での「矢印」になり，２次元の場合のように図形的に考えることもできま
そこで，(10) 式の各行列をそれぞれひとつの文字で表して，
を２つ同時に行うのが，行列のかけ算です。
場合
しかない画像」を考えたところから出発して，２つの要素からなるベクトル
ました。では，「要素が p 個あるベクトル」の場合を考えてみましょう。
，要素が p 個の場合に表すと，






s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...












a1
a2
...
ap






= λ






a1
a2
...
ap






(9)
，要素が p 個のベクトルの場合に表すと，
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)






=






a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)












λ(1) 0
λ(2)
...
0 λ(p)






(10)
は，

A.Asano,KansaiUniv.
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
s11 s12
s21 s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1) 0
0 λ(2)
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
a1(2)
a2(2)
のように列
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1)
0
0
λ(2
側の行列
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1)
0
の積は
λ(1)a
λ(1)a
(6) 式，(7) 式の形の式を，要素が p 個の場合に表すと，






s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...












a1
a2
...
ap






= λ






a1
a2
...
ap












s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...












a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)






=






a1(1) a1(2) ·
a2(1) a2(2) ·
...
.
ap(1) ap(2) ·
となります。
を２つ同時に行うのが，行列のかけ算です。
場合
しかない画像」を考えたところから出発して，２つの要素からなるベクトル






s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...












a1
a2
...
ap






= λ






a1
a2
...
ap






(9)
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)






=






a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)












λ(1) 0
λ(2)
...
0 λ(p)






(10)
は，
？？？

A.Asano,KansaiUniv.
行列を１文字で表す
sp1 sp2 · · · spp ap ap






s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...












a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)






=






a1(1) a1(2) ·
a2(1) a2(2) ·
...
.
ap(1) ap(2) ·
となります。
SP = PΛ
と表してしまいます。このように，複雑な計算をあたかも数の計算のように
ようというのが，行列というものが考えられた理由です。
ただし，行列のかけ算では，積 AB と積 BA は同じとは限りません。すな






s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...












a1
a2
...
ap






= λ






a1
a2
...
ap






(9)
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)






=






a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)












λ(1) 0
λ(2)
...
0 λ(p)






(10)
とても扱いきれません。また，要素が p 個ある場合は，ベクトルも p 次元空
次元の場合のように図形的に考えることもできません。
をそれぞれひとつの文字で表して，

A.Asano,KansaiUniv.






s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...












a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)






=






a1(1) a1(2) ·
a2(1) a2(2) ·
...
.
ap(1) ap(2) ·
となります。
SP = PΛ






s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...












a1
a2
...
ap






= λ






a1
a2
...
ap






(9)
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)






=






a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)












λ(1) 0
λ(2)
...
0 λ(p)






(10)
S

A.Asano,KansaiUniv.






s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...












a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)






=






a1(1) a1(2) ·
a2(1) a2(2) ·
...
.
ap(1) ap(2) ·
となります。
SP = PΛ






s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...












a1
a2
...
ap






= λ






a1
a2
...
ap






(9)
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)






=






a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)












λ(1) 0
λ(2)
...
0 λ(p)






(10)
S P

A.Asano,KansaiUniv.






s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...












a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)






=






a1(1) a1(2) ·
a2(1) a2(2) ·
...
.
ap(1) ap(2) ·
となります。
SP = PΛ






s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...












a1
a2
...
ap






= λ






a1
a2
...
ap






(9)
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)






=






a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)












λ(1) 0
λ(2)
...
0 λ(p)






(10)
S P
P

A.Asano,KansaiUniv.






s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...












a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)






=






a1(1) a1(2) ·
a2(1) a2(2) ·
...
.
ap(1) ap(2) ·
となります。
SP = PΛ






s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...












a1
a2
...
ap






= λ






a1
a2
...
ap






(9)
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)






=






a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)












λ(1) 0
λ(2)
...
0 λ(p)






(10)
S P
P Λ

A.Asano,KansaiUniv.






s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...












a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)






=






a1(1) a1(2) ·
a2(1) a2(2) ·
...
.
ap(1) ap(2) ·
となります。
SP = PΛ






s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...












a1
a2
...
ap






= λ






a1
a2
...
ap






(9)
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)






=






a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)












λ(1) 0
λ(2)
...
0 λ(p)






(10)
ても扱いきれません。また，要素が p 個ある
元の場合のように図形的に考えることもでき
それぞれひとつの文字で表して，
SP = PΛ
うに，複雑な計算をあたかも数の計算のよう
S P
P Λ

A.Asano,KansaiUniv.






s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...












a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)






=






a1(1) a1(2) ·
a2(1) a2(2) ·
...
.
ap(1) ap(2) ·
となります。
SP = PΛ






s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...












a1
a2
...
ap






= λ






a1
a2
...
ap






(9)
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)






=






a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)












λ(1) 0
λ(2)
...
0 λ(p)






(10)
ても扱いきれません。また，要素が p 個ある
元の場合のように図形的に考えることもでき
それぞれひとつの文字で表して，
SP = PΛ
うに，複雑な計算をあたかも数の計算のよう
複雑な計算を，あたかも数の計算のように単純に考える
S P
P Λ

A.Asano,KansaiUniv.
ただし

A.Asano,KansaiUniv.
ただし
行列の積は，交換ができない
ABとBAが等しいとは限らない

A.Asano,KansaiUniv.
転置行列・対称行列
例えば行列
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
す。今回の講義のプリントでは最後の A を使っ
らに，ある行列とその転置行列が同じとき，そ
しているとき，この行列を直交行列といいます。
すると，それぞれを変換したベクトルもやはり
行列で変換する計算は，座標軸を直交したまま
行列A

A.Asano,KansaiUniv.
例えば行列
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
行列A
も数の計算のように表して，単純な形で理解し
。
は限りません。すなわち，数のかけ算とは違っ
例えば行列
a b
c d
の転置行列は
a c
b d

A.Asano,KansaiUniv.
例えば行列
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
行列A
。
例えば行列
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
ように表して，単純な形で理解し
。すなわち，数のかけ算とは違っ
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
義のプリントでは最後の A を使っ
列とその転置行列が同じとき，そ
，この行列を直交行列といいます。

A.Asano,KansaiUniv.
例えば行列
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
行列A
転置行列
。
例えば行列
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
a b
c d
の転置行列は
a c
b d

A.Asano,KansaiUniv.
例えば行列
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
行列A
転置行列
。
例えば行列
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
ようというのが，行列というものが考えられた理由で
ただし，行列のかけ算では，積 AB と積 BA は同じ
て，かける順番が問題になります。
転置行列，対称行列，直交行列
転置行列とは，ある行列の行と列を入れ替えたもので
です。行列 A の転置行列を，tA, At, AT , A などと表し
ていますが，これは統計学の教科書に多い方式です。
の行列を対称行列といいます。
一方，ある行列に含まれる各列ベクトルが互いに直
もともと直交している２つのベクトルを直交行列で変

A.Asano,KansaiUniv.
ある行列とその転置行列が同じとき，
対称行列という
例えば行列
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
行列A
転置行列
。
例えば行列
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
ようというのが，行列というものが考えられた理由で
ただし，行列のかけ算では，積 AB と積 BA は同じ
て，かける順番が問題になります。
転置行列，対称行列，直交行列
転置行列とは，ある行列の行と列を入れ替えたもので
です。行列 A の転置行列を，tA, At, AT , A などと表し
ていますが，これは統計学の教科書に多い方式です。
の行列を対称行列といいます。
一方，ある行列に含まれる各列ベクトルが互いに直
もともと直交している２つのベクトルを直交行列で変

A.Asano,KansaiUniv.
直交行列
えば行列
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
。今回の講義のプリントでは最後の A を使っ
に，ある行列とその転置行列が同じとき，そ
ているとき，この行列を直交行列といいます。
ると，それぞれを変換したベクトルもやはり
列で変換する計算は，座標軸を直交したまま
http://racco.mikeneko.jp/ 3/4 ページ
列ベクトルどうしが直交してい
るとき，直交行列
という

A.Asano,KansaiUniv.
直交行列
えば行列
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
という
直交した２つのベクトルは，
直交行列で変換されても直交している

A.Asano,KansaiUniv.
直交行列
えば行列
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
という
直交行列で変換
直交行列で変換
直交した２つのベクトルは，
直交行列で変換されても直交している

A.Asano,KansaiUniv.
逆行列
行列には割り算はない

A.Asano,KansaiUniv.
逆行列
となるA-1を，Aの逆行列という
のかけ算」を説明しましたが，行列には「割り
は，AA−1 = A−1A = I となる行列のことで
しても XI = IX = X となる行列のことです。
でいえば “1”（単位元）にあたります。単位行列
分）がすべて 1，他はすべて 0 になります。例
積 XA に右から A−1 をかけると XAA−1 = X

A.Asano,KansaiUniv.
逆行列
単位行列
（かけ算をしても
何もおこらない）

A.Asano,KansaiUniv.
逆行列
単位行列
列と行列のかけ算」を説明しましたが，行列には「割り算」はありません。その
列です。
行列 A−1 は，AA−1 = A−1A = I となる行列のことです。ここで，I は「単位行
列 X に対しても XI = IX = X となる行列のことです。つまり「かけても何もお
かけ算でいえば “1”（単位元）にあたります。単位行列の中身は，左上から右下
（対角成分）がすべて 1，他はすべて 0 になります。例えば
1 0
0 1
は単位行列
，行列の積 XA に右から A−1 をかけると XAA−1 = X となり，あたかも「A で割
計算ができます。例えば，(11) 式は，逆行列を使うと
P−1
SP = Λ
。
が直交行列のときは，その逆行列 A−1 は転置行列 A と同じであることが知られ
変換で考えると，「直交行列による変換」はベクトルの回転に相当しますから，そ

A.Asano,KansaiUniv.
逆行列
単位行列
列と行列のかけ算」を説明しましたが，行列には「割り算」はありません。その
列です。
行列 A−1 は，AA−1 = A−1A = I となる行列のことです。ここで，I は「単位行
列 X に対しても XI = IX = X となる行列のことです。つまり「かけても何もお
かけ算でいえば “1”（単位元）にあたります。単位行列の中身は，左上から右下
（対角成分）がすべて 1，他はすべて 0 になります。例えば
1 0
0 1
は単位行列
，行列の積 XA に右から A−1 をかけると XAA−1 = X となり，あたかも「A で割
計算ができます。例えば，(11) 式は，逆行列を使うと
P−1
SP = Λ
。
が直交行列のときは，その逆行列 A−1 は転置行列 A と同じであることが知られ
変換で考えると，「直交行列による変換」はベクトルの回転に相当しますから，そ
直交行列の逆行列は，転置行列と同じ
（逆方向の回転）

A.Asano,KansaiUniv.
第２部の本題へ
第２部は画像データ圧縮

A.Asano,KansaiUniv.
画像をベクトルや行列と考えて直交変換し，
各画像で大きく異なる部分と
どの画像でもあまりかわらない部分にわける

A.Asano,KansaiUniv.
どの画像でもあまりかわらない部分は，ごまかす

A.Asano,KansaiUniv.
どの画像でもあまりかわらない部分は，ごまかす
フーリエ変換も，行列で表すと直交変換の一種に
なります。

2013年度春学期　画像情報処理　第６回「準備・行列に慣れていない人のために」

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