Dokumen tersebut membahas definisi integral pasti dan teorema dasar kalkulus pertama. Integral pasti didefinisikan sebagai batas dari jumlah riemann ketika panjang subinterval maksimum mendekati nol. Teorema dasar kalkulus pertama menyatakan bahwa integral pasti suatu fungsi yang kontinu dapat dievaluasi dengan menentukan antiderivatifnya dan membedakan nilai antiderivatif pada batas interval.

1. BAB 9 INTEGRAL PASTI
Definisi Integral Pasti danTeorema Fundamental Pertama Kalkulus
Jika fungsi f didefinisikan pada interval tertutup [a, b], maka integral pasti f
Dari a ke b didefinisikan sebagai jumlah pembatasan yang diberikan oleh:
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
lim
𝑚𝑎𝑥∆𝑥1→0
∑ 𝑓(𝑐𝑖
𝑛
𝑖=1 )∆𝑥𝑖
Dimana [a, b] dibagi menjadi n subinterval (tidak harus sama), 𝑐𝑖 adalah titik masuk
Subinterval [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖], dan Δ𝑥𝑖=𝑥𝑖 - 𝑥𝑖−1, asalkan batas ini ada.
Jumlah yang membatasi ∑ 𝑓𝑛
𝑖=1 (ci)∆𝑥𝑖 , Dalam definisi integral pasti adalah
Disebut Jumlah Riemann. Jumlah ini adalah hasil numerik. Untungnya, teorema berikut
berarti bahwa untuk fungsi kontinyu. Ada metode yang ampuh untuk mengevaluasi integral
tertentu daripada penggunaan Jumlah Riemann. Teorema Fundamental Pertama Kalkulus:
Jika f kontinu pada Interval tertutup [a, b] dan F adalah antiderivatif f pada [a, b], maka
evaluasi dari Integral pasti ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
diberikan oleh ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎).
𝑏
𝑎
Teorema ini berarti bahwa Anda dapat mengevaluasi integral yang pasti, ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Melalui
proses empat langkah:
1. Tentukan F antiderivatif dari f.
2. Evaluasi 𝑓(𝑏).
3. Evaluasi 𝑓(𝑎).
4. Hitung 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎).
Catatan: Konstanta integrasi dikurangi saat integral pasti dievaluasi karena itu, anda bisa
menghilangkannya dari perhitungan.
Notasi berikut digunakan saat menerapkan Teorema Dasar Kalkulus untuk mengevaluasi
integral pasti, ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
= | 𝑏
𝑎
= [ f (x) ] 𝑏
𝑎
= [ f ( x ) ] 𝑏
𝑎
= [ f (x) ] 𝑥=𝑏
𝑥=𝑎
Catatan: Selanjutnya, simbol akan digunakan untuk berarti "kira-kira atau sama dengan."
Masalah Mengevaluasi ∫ 15
4
1
x2
dx.
Solusi ∫ 15
4
1
x2
dx = 5x3
|4
1
= 5 (43
) – 5(13
) = 320 – 5 = 315
Masalah Mengevaluasi ∫ 𝑠𝑒𝑐
𝜋
4
0
2
𝜃𝑑𝜃.
Solusi ∫ 𝑠𝑒𝑐
𝜋
4
0
2
𝜃𝑑𝜃 = tan𝜃|
𝜋
4
0
= tan (
𝜋
4
) – tan(0) = 1 - 0 =1
Masalah Mengevaluasi ∫ (10
2
−2
x4
+ 6x)dx.
Solusi ∫ (10
2
−2
x4
+ 6x)dx = (2x5
+ 3x2
)| 2
−2
=(2.
25
+ 3.
22
) – (2.
(-2)5
+ 3.
(-2)2
) =76+52 =128
Masalah Mengevaluasi ∫ 𝑙𝑛
10
3
𝑡𝑑𝑡.
Solusi ∫ 𝑙𝑛
10
3
tdt = (t lnt-t)|10
3
=(10 ln 10-10)-(3 ln 3-3) =13.0258-0.2958=12.73

2. LATIHAN 9.1
1. ∫ (3
10
−10
x2
+ 4x – 5)dx =(x3
+2x2
-5x)| 10
−10
= ((103
+2(10)2
-5(10)) - ((-10)3
+2(-10)2
-5(-10))
= (1150) – (-750) = 1900
2. ∫ 8𝑑𝑥
30
−50
= (8x)| 30
−50
= (8(30)) – (8(-50)) = ( 240 ) – (- 400) = 640
3. ∫
𝑥5
𝑥2
7
2
dx = (
1
6
1
3
)| 7
2
= (
1
6
(7)6
1
3
(7)3
) - (
1
6
(2)6
1
3
(2)3
) = (
117649
6
343
3
) - (
64
6
8
3
) = (
117585
6
335
3
)
=
117585
6
x
3
335
=
1053
6
= 175.5
4. ∫
1
𝑡
36
6
dt = ∫ 𝑡−136
6
dt = (t)|36
6
= 36 – 6 = 30
Sifat yang berguna dari integral yang pasti
Integral pasti memiliki sifat sebagai berikut.
1. Jika f adalah menentukan di x=a, kemudian ∫ 𝑓
𝑎
𝑎
(x) dx =0.
2. Jika f adalah integral pada [a,b], maka ∫ 𝑓
𝑏
𝑎
(x) dx = - ∫ 𝑓
𝑎
𝑏
(x)dx.
3. Jika f adalah integrable pada [a,b], [a,c], dan [c, b], maka ∫ 𝑓
𝑏
𝑎
(x) dx = ∫ 𝑓
𝑐
𝑎
(x) dx +
∫ 𝑓
𝑏
𝑐
(x)dx.
4. Jika f adalah integrable pada [a,b] dan k adalah konstanta, maka ∫ 𝑘
𝑏
𝑎
∫(𝑥) dx =
k∫ 𝑓
𝑏
𝑎
(x)dx.
5. Jika f dan g dapat diintegrasikan pada [a, b], maka∫
𝑏
𝑎
[∫(𝑥) ± g (x)]dx = ∫ 𝑓
𝑏
𝑎
(x) dx
± ∫ 𝑔
𝑏
𝑎
(x) dx.
6. Jika f adalah integrable dan tidak negative pada [a, b], maka ∫ 𝑓
𝑏
𝑎
(x) dx ≥ 0.
7. Jika f dan g dapat diintegrasikan pada [a, b] dan jika f (x) ≤ g (x) untuk setiap x pada
[a, b], maka ∫ 𝑓
𝑏
𝑎
(x) dx ≤ ∫ 𝑔
𝑏
𝑎
(x) dx.