2. Tujuan Pembelajaran
• 1. Mahasiwa dapat memahami fungsi invers
• 2. Mahasiswa dapat memahami fungsi logaritma natural/asli
• 3. Mahasiswa dapat memahami fungsi eksponensial natural/asli
4. INVERS FUNGSI
Misalkan dengan
f
f R
D
f
: )
(x
f
y
x
v
u )
(
)
( v
f
u
f
Definisi
Fungsi y = f(x) disebut satu-satu jika f(u) = f(v) maka u = v
atau jika maka
x
y
fungsi y=x
satu-satu
x
y
fungsi y=-x
satu-satu
2
x
y
u v
fungsi
tidak satu-satu
2
x
y
Fungsi : relasi yang memetakan setiap anggota domain dengan tepat satu anggota kodomain
5. Secara geometri grafik fungsi satu-satu dan garis yang
sejajar dengan sumbu x berpotongan di satu titik.
Teorema
Jika fungsi f satu-satu maka f mempunyai invers
Notasi 1
f f
f D
R
f
:
1
y
f
x
y 1
Berlaku hubungan
x
x
f
f
))
(
(
1
y
y
f
f
))
(
( 1
f
f
f
f
D
R
R
D
1
1 ,
Df Rf
f
x y=f(x)
R R
1
f
)
(
1
y
f
x
6. Teorema :
jika f monoton murni(selalu naik/selalu turun) maka
f mempunyai invers
x
x
f
)
(
x
x
f
)
(
2
)
( x
x
f
u v
f(x)=x
R
x
x
f
,
0
1
)
(
'
f selalu naik
f(x)=-x
R
x
x
f
,
0
1
)
(
'
f selalu turun
0
,
0
0
,
0
2
)
(
'
x
x
x
x
f
f naik untuk x>0
turun untuk x <0
1
f
1
f
1
f ada ada tidak ada
2
)
( x
x
f
7. Contoh 1:
Diketahui f x
x
x
( )
1
2
a. Periksa apakah f mempunyai invers
b. Jika ada, tentukan inversnya
Penyelesaian :
a. 2
)
2
(
)
1
.(
1
)
2
.(
1
)
(
'
x
x
x
x
f Df
x
x
,
0
)
2
(
3
2
Karena f selalu naik(monoton murni) maka f mempunyai
invers
b. Misal
2
1
x
x
y
1
2
x
y
xy
1
1
2
1
2
y
y
x
y
x
y
x
1
1
2
)
(
1
1
2
)
( 1
1
x
x
x
f
y
y
y
f
8. 8
Suatu fungsi yang tidak mempunyai invers pada daerah
asalnya dapat dibuat mempunyai invers dengan cara
membatasi daerah asalnya.
2
)
( x
x
f
u v
1
f tidak ada
R
x
Untuk
2
)
( x
x
f
Untuk x>0 ada
1
f
2
)
( x
x
f
Untuk x<0 ada
1
f
9. Grafik fungsi invers
Titik (x,y) terletak
pada grafik f
Titik (y,x) terletak
pada grafik
1
f
Titik (x,y) dan (y,x) simetri terhadap
garis y=x
Grafik f dan simetri terhadap
garis y=x
1
f
f
1
f
10. Turunan fungsi invers
Teorema
Misalkan fungsi f monoton murni dan mempunyai turunan
pada selang I. Jika maka dapat diturunkan
di y=f(x) dan
I
x
x
f
,
0
)
(
' 1
f
)
(
'
1
)
(
)'
( 1
x
f
y
f
Bentuk diatas dapat juga dituliskan sebagai dx
dy
dy
dx
/
1
Contoh 2 :
Diketahui , tentukan
1
2
)
( 5
x
x
x
f )
4
(
)'
( 1
f
2
5
)
(
' 4
x
x
f ,y=4 jika hanya jika x=1
7
1
)
1
(
'
1
)
4
(
)'
( 1
f
f
Penyelesaian :
11. PENGERTIAN TRANSENDEN
• Transenden (Transendent)
• Merupakan cara berpikir tentang hal-hal yang melampui apa yang terlihat,
yang dapat ditemukan di alam semesta.
• (KBBI) Traseden merupakan sesuatu diluar kesanggupan manusia; luar biasa;
utama
• Contohnya, pemikiran yang mempelajari sifat Tuhan yang dianggap begitu
jauh, berjarak dam mustahil dipahami manusia (wikipedia)
12. PENGERTIAN TRANSENDEN
• Transenden adalah sesuatu yang di luar batas. Diluar batas pengetahuan
dan kesanggupan manusia atau di luar batas normal.
• Dalam matematika untuk menunjukkan bilangan dan fungsi tertentu
• Fungsi transenden adalah fungsi-fungsi yang bukan merupakan fungsi
Aljabar.
• Phi 𝜋 = 3.14159265358979323846…
• Eluler e = 2.7182818261985…
Contoh Bilangan:
14. Fungsi Logaritma asli ( ln ) didefinisikan sebagai :
Dengan Teorema Dasar Kalkulus II, diperoleh turunan dari
logaritma asli :
• Secara umum, jika u = u(x) maka
ln ,
x
t
dt x
x
1
0
1
x
dt
t
D
x
D
x
x
x
1
1
ln
1
dx
du
u
dt
t
D
u
D
x
u
x
x
1
1
ln
)
(
1
.
15. Contoh 3 :
Perlihatkan bahwa 𝐷𝑥 ln 𝑥 =
1
𝑥
, 𝑥 ≠ 0
Penyelesaian :
Misalkan
Maka
Jadi,
Implikasi dari hasil tersebut,
0
,
|
|
ln
x
x
y
0
,
)
ln(
0
,
ln
|
|
x
x
x
x
x
x
y
x
y
1
'
ln
x
x
y
x
y
1
1
'
)
ln(
.
0
,
1
|)
|
(ln
x
x
x
dx
d
C
|
x
|
ln
dx
x
1
16. 16
dx
x
x
4
0
3
2
2
dx
x
du
x
u 2
3
3
2
Contoh 4:
Hitung
Penyelesaian :
Misal
2
2
3
2
3
2 x
du
u
x
dx
x
x
c
u
du
u
|
|
ln
3
1
1
3
1
c
x
|
2
|
ln
3
1 3
0
4
|
2
|
ln
3
1
2
3
4
0
3
2
x
dx
x
x .
33
ln
3
1
)
2
ln
66
(ln
3
1
sehingga
Sifat-sifat Ln :
1. ln 1 = 0
2. ln(ab) = ln a + ln b
3. ln(a/b)=ln(a) – ln(b)
4. ln 𝑎𝑟 = 𝑟 ln 𝑎
17. Grafik fungsi logaritma asli
0
,
ln
)
(
1
x
t
dt
x
x
f
x
f
D
x
x
x
f
0
1
)
(
'
f selalu monoton naik pada Df
f
D
x
x
x
f
0
1
)
(
'
' 2
a.
b.
c.
Grafik selalu cekung kebawah
d. f(1) = 0
1
f(x)=lnx
18. 18
FUNGSI EKSPONEN ASLI
Karena
• maka fungsi logaritma asli monoton murni, sehingga
mempunyai invers.
Invers dari fungsi logaritma asli disebut fungsi eksponen
asli, notasi 𝑒. Jadi berlaku hubungan
• Dari sini didapat : y = exp(ln y) dan x =ln(exp(x))
Definisi 8.2
• Bilangan e adalah bilangan Real positif yang bersifat ln e = 1.
Dari sifat (iv) fungsi logaritma diperoleh
,
0
untuk
0
1
ln
x
x
x
Dx
y
x
x
y ln
)
exp(
r
e
r
e
e r
r
exp
)
ln
exp(
)
exp(ln
x
e
x
)
(
exp
20. 20
Contoh 5 :
)
ln
3
(
.
)
( ln
3
ln
3
x
x
D
e
e
D x
x
x
x
x
x
).
/
1
.
3
ln
3
(
ln
3
x
x
x
e x
x
Tentukan turunan dari 𝑒3𝑥 ln 𝑥
Penyelesaian :
).
3
ln
3
(
ln
3
x
e x
x
22. 1
y=ln x
y=exp (x)
Grafik fungsi eksponen asli
Karena fungsi ekponen asli merupakan invers dari fungsi
logaritma asli maka grafik fungsi eksponen asli diperoleh
dengan cara mencerminkan grafik fungsi logaritma asli
terhadap garis y=x
1
23. )
(
))
(
(
)
( x
h
x
g
x
f
Penggunaan fungsi logaritma dan eksponen asli dalam
Menghitung turunan fungsi berpangkat fungsi
Diketahui
))
(
ln(
)
(
))
(
ln( x
g
x
h
x
f
)))
(
ln(
)
(
(
)))
(
(ln( x
g
x
h
D
x
f
D x
x
)
(
'
)
(
)
(
))
(
ln(
)
(
'
)
(
)
(
'
x
g
x
g
x
h
x
g
x
h
x
f
x
f
)
(
)
(
'
)
(
)
(
))
(
ln(
)
(
'
)
(
' x
f
x
g
x
g
x
h
x
g
x
h
x
f
?
)
(
'
x
f
24. 24
Contoh 7:
Tentukan turunan fungsi x
x
x
f 4
)
(sin
)
(
))
ln(sin(
4
)
ln(sin
)
(
ln 4
x
x
x
x
f x
Penyelesaian :
)))
ln(sin(
4
(
))
(
(ln x
x
D
x
f
D x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
f
cot
4
))
ln(sin(
4
cos
sin
4
))
ln(sin(
4
)
(
)
(
'
x
x
x
x
x
x
f 4
)
)(sin
cot
4
))
ln(sin(
4
(
)
(
'
Langkah 1 : Ubah bentuk fungsi pangkat fungsi menjadi perkalian
fungsi dengan menggunakan fungsi logaritma asli (sifat ke 4 ln)
Langkah 2 : Turunkan kedua ruas
