1. Model SIR dan SIRS
I Wayan Nadiantara - 10214071
14 Februari
Prodi Fisika - Institut Teknologi Bandung
1/9
2. Sekilas tentang SIR dan SIRS
ˆ SIR dan SIRS merupakan model klasik dengan perhitungan
relatif sederhana dalam memodelkan penyebaran wabah
penyakit.
ˆ Dalam model ini terdapat 3 parameter yang menjadi dasar
perhitungan yaitu S (susceptibes) yang menyatakan jumlah
populasi yang rentan terhadap wabah, I (infectives)
menyatakan jumlah populasi yang terinfeksi, serta
R(recovered) menyatakan jumlah populasi yang telah pulih
dan telah memiliki kekebalan.
ˆ Pada model SIR individu yang telah sembuh recovered
dianggap memiliki imunitas yang permanen terhadap wabah
tersebut. Sementara, pada model SIRS individu yang telah
sembuh berpeluang lagi untuk terjangkit kembali atau
menjadi suceptible. 1
1
2/9
3. Asumsi model
Dalam model persebaran ini, diperlukan asumsi-asumsi berikut :2
1. Populasi dianggap konstan dan berjumlah cukup besar
sebanyak N. Jika di dalam model terdapat vital dynamics,
maka diasumsikan kelahiran dan kematian terjadi dalam
frekuensi yang sama, serta seluruh individu yang baru lahir
masuk dalam kelas S suceptible.
2. Populasi tercampur secara homogen antar kelas. Frekuensi
kontak harian β didefinisikan sebagai nilai rata-rata kontak
dari individu terinfeksi I dalam satu hari. Besaran ini juga
dapat dianggap sebagai laju infeksi.
3. Jumlah individu yang sembuh R dan dihapus dari kelas
terinfeksi dengan laju γ yang sebanding terhadap jumlah
populasi terinfeksi
2
Hethcote, Herbert W (1989): Three basic epidemiological models 3/9
4. Diagram skematik
Gambar 1: Diagram skematik dari SIR dan SIRS dalam memodelkan
penyebaran suatu wabah.3
Dalam model SIRS diperlukan konstanta ξ yang menunjukan laju
berkurangya individu yang telah sembuh menjadi individu yang
kembali rentan.3
https://institutefordiseasemodeling.github.io/Documentation/general/model-sir.html
4/9
5. Rumusan matematis SIR tanpa vital dynamics
Misalkan infeksi wabah terjadi pada waktu yang relatif singkat jika
dibandingkan dengan umur suatu individu serta infeksi yang terjadi
tidak mematikan, maka vital dynamics (kelahiran dan kematian)
dapat diabaikan. Model ini dapat dituliskan dalam bentuk
persamaan diferensial biasa sebagai :4
∂S
∂t
= −
βSI
N
∂I
∂t
=
βSI
N
− γI
∂R
∂t
= γI
di mana N = S + I + R adalah total populasi
4
https://institutefordiseasemodeling.github.io/Documentation/general/model-sir.html
5/9
6. Rumusan matematis SIR dengan vital dynamics
Jika dalam model terdapat kelahiran dan kematian, diperlukan
konstanta µ dan ν yang masing-masing merepresentasikan laju
kelahiran dan kematian, sehingga persamaan diferensial untuk
model ini menjadi :5
∂S
∂t
= µN −
βSI
N
− νS
∂I
∂t
=
βSI
N
− γI − νI
∂R
∂t
= γI − νR
di mana N = S + I + R adalah total populasi.
5
https://institutefordiseasemodeling.github.io/Documentation/general/model-sir.html
6/9
7. Rumusan matematis SIRS tanpa vital dynamics
Akibat bertambahnya angka populasi yang rentan pada model
SIRS, maka persamaanya diferensial untuk model ini akan
menjadi:6
∂S
∂t
= −
βSI
N
+ ξR
∂I
∂t
=
βSI
N
− γI
∂R
∂t
= γI − ξR
di mana N = S + I + R adalah total populasi.
6
https://institutefordiseasemodeling.github.io/Documentation/general/model-sir.html
7/9
8. Rumusan matematis SIRS dengan vital dynamics
Serupa dengan model SIR yang tidak mengabaikan angka kelahiran
dan kematian, dalam model ini juga diperlukan konstanta µ dan ν
yang masing-masing merepresentasikan laju kelahiran dan
kematian, sehingga persamaan diferensial untuk model ini menjadi
:7
∂S
∂t
= µN −
βSI
N
+ ξR − νS
∂I
∂t
=
βSI
N
− γI − νI
∂R
∂t
= γI − ξR − νR
di mana N = S + I + R adalah total populasi.
7
https://institutefordiseasemodeling.github.io/Documentation/general/model-sir.html
8/9
9. Grafik
(a) Osilasi populasi pada model
SIR.
(b) Osilasi teredam dalam
model SIRS
Gambar 2: Perbandingan ploting pengaruh wabah dalam populasi
menggunakan model SIR dan SIRS.8
8
https://institutefordiseasemodeling.github.io/Documentation/general/model-sir.html
9/9
