1) Θεωρήματα του Προτασιακού Λογισμού 1.1) Το Θεώρημα Απαγωγής 1.2) Το Θεώρημα Αντιθετοαναστροφής 1.3) Το Θεώρημα Απαγωγής σε Άτοπο 1.4) Το Θεώρημα Εγκυρότητας 1.5) Το Θεώρημα Πληρότητας 2) Τρία Σημαντικά Τυπικά Θεωρήματα 2.1) Το τυπικό Θεώρημα ⊢ φ→φ 2.2) Το τυπικό Θεώρημα ⊢φ→¬¬φ 2.3) Το τυπικό Θεώρημα ⊢ ¬¬ φ→φ Ασκήσεις

1. Θεώρημα (Απαγωγής):
Αν ∪ ⊢ τότε ⊢ →
ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ
Ευθεία χρήση:
Αν γνωρίζουμε (π.χ. από την εκφώνηση) ότι: T ∪ ⊢
Τότε από το θεώρημα απαγωγής «έπεται» (ή «προκύπτει
άμεσα») ότι ισχύει: Τ ⊢ → ψ
Αντίστροφη χρήση:
Για να δείξουμε ότι: ⊢ →
Από το θεώρημα Απαγωγής αρκεί να δείξουμε ότι: ∪ ⊢
ΑΣΚΗΣΗ: Να αποδείξετε ότι:
Ⱶ ψ → ψ → → → ψ → ψ
Απάντηση:
Από το θεώρημα Απαγωγής αρκεί να δείξω:
ψ → ψ → Ⱶ → ψ → ψ
Από το θεώρημα Απαγωγής αρκεί να δείξω:
ψ → ψ → , Ⱶ ψ → ψ
Από το θεώρημα Αντιθετοαναστροφής αρκεί να δείξω:
ψ → ψ → , ψ → ψ Ⱶ
που έχει τυπική απόδειξη:
1. ψ → ψ Υπόθεση
2. ψ → ψ → Υπόθεση
3. MP1,2
Θεώρημα (Αντιθετοαναστροφής):
∪ ⊢ αν και μόνο αν ∪ ⊢
Θεώρημα (Εις Άτοπο Απαγωγής):
Αν ∪ είναι αντιφατικό τότε ⊢
Ευθεία χρήση:
Αν γνωρίζουμε (π.χ. από την εκφώνηση) ότι: T ∪ είναι
αντιφατικό
Τότε από το θεώρημα απαγωγής σε άτοπο «έπεται» (ή
«προκύπτει άμεσα») ότι ισχύει: Τ ⊢
Αντίστροφη χρήση:
Για να δείξουμε ότι: Τ ⊢
Από το θεώρημα απαγωγής σε άτοπο αρκεί να δείξουμε ότι:
T ∪ είναι αντιφατικό.
Αντιφατικό Σύνολο Τύπων :
Ένα σύνολο τύπων Τ καλείται αντιφατικό αν υπάρχει
ένας τύπος ψ τέτοιος ώστε να ισχύει:
Τ ⊢ και Τ ⊢
Συνεπές σύνολο τύπων:
Σύνολο τύπων που δεν είναι αντιφατικό
ΑΣΚΗΣΗ: Να αποδείξετε ότι:
{χ → ¬ψ, φ} Ⱶ χ → ¬(φ → ψ)
Απάντηση:
Από το θεώρημα απαγωγής αρκεί να δείξουμε ότι:
{χ → ¬ψ, φ, χ} |- ¬(φ → ψ)
Από το θ.απαγωγής σε άτοπο αρκεί να δείξουμε ότι το σύνολο τύπων:
Τ={χ → ¬ψ, φ, χ, φ → ψ} είναι αντιφατικό.
Και ακολουθούν οι τυπικές αποδείξεις: Τ Ⱶ ψ και Τ Ⱶ ¬ψ
Θεώρημα (Πληρότητας): Αν ⊨ τότε ⊢
• (ευθεία χρήση) Αν γνωρίζουμε (π.χ. από την εκφώνηση) ότι T ⊨ .
Τότε από το θεώρημα πληρότητας «έπεται» ότι ισχύει: Τ ⊢
• (αντίστροφη χρήση) Για να δείξουμε ότι: Τ ⊢ . Από το θεώρημα
πληρότητας αρκεί να δείξουμε ότι: ⊨
Θεώρημα (Εγκυρότητας): Αν ⊢ τότε ⊨
• (ευθεία χρήση) Αν γνωρίζουμε (π.χ. από την εκφώνηση) ότι T ⊢ . Τότε
από το θεώρημα εγκυρότητας «έπεται» ότι ισχύει: Τ ⊨
• (αντίστροφη χρήση) Για να δείξουμε ότι: Τ ⊨ . Από το θεώρημα
εγκυρότητας αρκεί να δείξουμε ότι: ⊢

2. ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΥΠΙΚΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ
Απόδειξη 1 (χωρίς Θεωρήματα Προτασιακού Λογισμού)
Η τυπική απόδειξη είναι:
1. φ→((φ →φ) →φ) ΣΑ στο ΑΣ1 όπου φ:φ, ψ: φ →φ
2. (φ→((φ →φ) →φ)) →((φ→(φ →φ)) →(φ→φ)) ΣΑ στο ΑΣ2 όπου φ:φ, ψ: φ →φ,χ: φ
3. (φ→(φ →φ)) →(φ→φ) MP1,2
4. φ→(φ →φ) ΣΑ στο ΑΣ1 όπου φ: ψ, ψ:φ
5. φ→φ MP3,4
Απόδειξη 2 (με Θεωρήματα Προτασιακού Λογισμού)
Από το θεώρημα απαγωγής αρκεί να δείξω:
φ Ⱶ φ
που έχει τυπική απόδειξη:
1. φ Υπόθεση
Ⱶ →
Από το θεώρημα Απαγωγής αρκεί να δείξω:
φ Ⱶ φ
Από το θεώρημα Αντιθετοαναστροφής αρκεί να δείξω:
φ Ⱶ φ
που έχει τυπική απόδειξη:
1. φ Υπόθεση
Ⱶ →
Από το θεώρημα Απαγωγής αρκεί να δείξω:
φ Ⱶ φ
που έχει τυπική απόδειξη:
1. φ Υπόθεση
2. φ → φ → φ ΣΑ στο ΑΣ1 όπου φ: φ, ψ: φ
3. φ → φ MP1,2
4. ( φ → φ) → ( φ → φ) → φ) ΣΑ στο ΑΣ3 όπου φ: φ, ψ: φ
5. ( φ → φ) → φ MP3,4
6. φ → φ ΣΑ στο Τυπικό Θεώρημα Ⱶ φ → φ όπου φ: φ
7. φ MP6,5
Και παραθέτουμε την τυπική απόδειξη του τυπικού θεωρήματος Ⱶ φ → φ
Ⱶ →