1) Το αξιωματικό σύστημα του Προτασιακού Λογισμού (ΠΛ) 1.1) Ορισμός του Αξιωματικού Συστήματος ΠΛ 2) Τι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε σε μια τυπική απόδειξη 2.1) Υποθέσεις του Συνόλου Τύπων 2.2) Ο αποδεικτικός κανόνας Modus Ponens 2.3) Τα αξιωματικά σχήματα ΑΣ1-ΑΣ3 2.3.1) Το αξιωματικό σχήμα 1 2.3.2) Το αξιωματικό σχήμα 2 2.3.3) Το αξιωματικό σχήμα 3 2.3.4) Προς τα εμπρός συλλογιστική 2.3.5) Προς τα πίσω συλλογιστική 2.4) Τυπικά Θεωρήματα 2.5) Τυπικές Συνεπαγωγές 3) Μεθοδολογία 3.1) Προς τα εμπρός συλλογιστική 3.2) Προς τα πίσω συλλογιστική Ασκήσεις

1. !"
# $ % & ' !( &
! " # $
% & " ' "
! $ " " ()*+, -)./.,
0 1 # 2 0
#
! # !
0 # 0
3 4 '' 5
6 '' 5
3 1
6 & " 5 5& $ " " " 78" 1
9 $ ' 5
: ; '' 5
! : ; '' 5
9
< "
! 4
0 47 5&
! "
) & * $ &
)+),-
./,& )/ % 0 %+,& * $ & ,+( 121 3 & , , ", & +( 4(
-!" / ) * , ) //$ , " " ) %,+ ) & ( 4%, "
5 6
)+),- 7
89:
)+),-
89:
#! "
, ) * , ; +( * , " ( )% " / 3 " 8 : -,( "<!, +) ) "
, " ( )% " $ / 3 $ < += * , + ( !% , %+ ) ( %<$
" % = ,( " ( )*%$( & $& " 4> &
? 9? @ AB C D ) -, + ( (,&E
F ?, %+
5 !"
5 % " & * ! *" $ &
! "
% " &
8)% " & / 3 " &: ,+( "!" ) *
G H<, & C 8 "<$ :
G 5
G
G I
G & ) -, ( ( ( JKLMN OKPQPN 8J O :
, * "!" ,/, , ( "<! *(
G R 0 - / -$ ( "<! *( *) 4", & * ( , 3, , - - < 4&
,0 % 34& * JO !) & 0
G R 0 - / -$ ( , 3, !) & 0 , - - < 4& ,0 % 34& JO
R 0 - ; =, "*(,) 3, *) " ( "* ; /+=, , R

2. , 0C( " & " " & ,+( ( ) -,+ * ,
S 0
) * ,+( 4( "!( / !) ( 8) * ( 04% * , & "!( / *) 4", (:
0 4( & !) & 8) * ( 04% * , & )% & ) -, !) &:
( ) -,+ * , "<!, *) $ "*(,) 3 3$ S " "!"
) % ! , ( <% " ) $" * ,
5 & *) 4", & * "*( / * !) ( 8,0 " ( *) %< *(:
( ) -, ( ( JKLMN OKPQPN
I "<$ 59 I "*( 4& ( " ", & ", *
*) , %$ 8,0 " ( ) -,+ * ,:
T *) 4& *(,) 3 34& 8,0 " ( -+( ( ) ( , 0C( " :
F ?, %+
) % ! , ( <% " ) $" * ,
$! "
*) 4", & * "*( / * !) ( "<! *( % ) % ! , ( & <% " ) $" * , 3
( ( * , ( ) -, $ &
F ?, %+
) % ! , ( <% " ) $" * ,
5 U) 4", & * "*( / * !) (
%! "
% -, 3 5
) -,+ , ,
B0V8> V >:W > V 0E S > V 0
) ( "
*) $ ) -, ,+(
5 > V 0 U) ,"
) -, & ( ( & JKLMN OKPQPN %+=, & , $&
F ?, %+
) % ! , ( <% " ) $" * ,
) -, & ( ( & JKLMN OKPQPN
&! "
% " & JKLMN OKPQPN
( "<!, !) & X
!) & X V'
9999999999999999999999999999999999
, "<!, !) & '
% $% " ) % ) ( "<! *( , "*( 4& ( " ", &
" XW' 8- / -$ ( ) * X ' 4" * , // *& !) *&:
<
( "<!, !) & Y Z
"<!, !) & Y Z V [
, ) ( KLMN YKPQPN 4), "<!, !) & [
F ?, %+
) % ! , ( <% " ) $" * ,
) -, & ( ( & JKLMN OKPQPN
'! "
% -, 3
) -,+ , ,
B 8> V >: V0W > V >E S 0
) ( "
*) $ ) -, ,+(
5 > V > U) ,"
8> V >: V0 U) ,"
I 0 JO5W

3. F ?, %+
) % ! , ( <% " ) $" * ,
) -, & ( ( & JKLMN OKPQPN
(! "
% -, 3 I
) -,+ , ,
B 80 V <: V8> V0:W >V 80 V <:W >E S > V0
) ( "
*) $ ) -, ,+(
5 > U) ,"
>V 80 V <: U) ,"
I 0 V < JO5W
80 V <: V8> V0: U) ,"
T > V0 JOIW
"<$ ) % 3 *( 4( "!( / ) !) *& ) * "<! *(
F ?, %+
) % ! , ( <% " ) $" * ,
I "<$ 59 I 85 "<$ 5:
)! "
% " & "<$ 5 8 5: %+=, &
0 V8>V0:
"<!, ) ( " ( W ( ,0 % " * , ( - - "+ &
"*( $& ( " " &W - / -$ ( " $" * , 0W> , *< ( ,&
)% " !& !) *&
) % -, 3 !) &
8Y Z:V8ZV8Y Z::
% !) , , " 5 4 ( & ) * 0 Y Z ) * > Z
K ) % -, 3 !) &
80V0:V80V80V0::
% !) , , " 5 4 ( & ) * 0 0V0 ) * > 0
"<$ ) % 3 *( 4( "!( / ) !) *& ) * "<! *(
F ?, %+
) % ! , ( <% " ) $" * ,
I "<$ 59 I 8 "<$ :
))! "
% " & "<$ 8 : %+=, &
80 V8>V<:: V880V>: V80V<::
"<!, ) ( " ( W ( ,0 % " * , ( - - "+ &
"*( $& ( " " &W - / -$ ( " $" * , 0W>W< , *< ( ,&
)% " !& !) *&
) % -, 3 !) &
8Y Z V8Z V Z:: V88Y Z V Z: V8Y Z V Z::
% !) , , " 4 ( & ) * 0 Y ZW ) * > Z ) * < Z
K ) % -, 3 !) &
880V0: V80 V 0:: V8880V0:V 0: V880V0:V 0::
% !) , , " 4 ( & ) * 0 0V0 ) * > 0 ) * <
0
"<$ ) % 3 *( 4( "!( / ) !) *& ) * "<! *(
F ?, %+
) % ! , ( <% " ) $" * ,
I "<$ 59 I 8I "<$ I:
)! "
% " & "<$ I 8 I: %+=, &
8 0 V >: V88 0V>: V0:
"<!, ) ( " ( W ( ,0 % " * , ( - - "+ &
"*( $& ( " " &W - / -$ ( " $" * , 0W>W< , *< ( ,&
)% " !& !) *&
) % -, 3 !) &
8 > V 0: V88 >V0: V>:
% !) , , " I 4 ( & ) * 0 > ) * > 0
K ) % -, 3 !) &
8 0 V 0: V88 0 V0: V 0:
% !) , , " I 4 ( & ) * 0 0 ) * > 0

4. F ?, %+
) % ! , ( <% " ) $" * ,
I "<$ 59 I
)#! "
( )% & ) -, !) & -,( , 3, ),* ,+ & ) & *) 4", & , JKLMN OKPQPN
, <% " ) ! , <$ 8$ "*( 4& ( " ", & ", * : 3 (
- 3 ! , " "<!, )% & ) -, !) &
( * , )% & , )% & "*// 3 " $
G ( )% & ) -, !) & ,+( "<, ] % &^ 8", $ & ", "<4" , & *) 4", &:
( * , )% & )+" "*// 3 " $
G ( )% & ) -, !) & ,+( "<, ] ,3 / &^ 8", $ & ", "<4" , & *) 4", &:
U) %<, ),%+) " ( ) ,+ )% & , )% & )% & )+" "*// 3 " $ " (
+- " " _
F ?, %+
) % ! , ( <% " ) $" * ,
I "<$ 59 I 8 % & )% & *// 3 " $:
)! "
( * , )% & , )% & "*// 3 " $ ( )% & ) -, !) & ,+( "<, % & ",
"<4" , & *) 4", &
) /43 * , + ) & *) 4", & ) * ) % % ! , ) %,+ ( )% !>, , "*( $
( " " " % " ,% 4% & ,( & ) "<$
5 0 V 8>V0:
80 V8>V<:: V 880V>: V80V<::
I 8 0 V >: V 88 0V>: V0:
% 0 * , / / % 4( ( "*( $ ( " " ( * , KLMN YKPQPN , (
*) ," ) * ,+< , ,) /4 , )% !) , (4 & !) & ) * "<!,
( ,+( "* )4% " & *) $& "*(,) 3 3$& 4< * , ,/, C", W // C& ,) ( / ; ( * ,
- 3 ! ,( ) ( ) ( !) ) * 4/ * , ( ) -,+ * ,
F ?, %+
) % ! , ( <% " ) $" * ,
I "<$ 59 I 8 % & )% & *// 3 " $:
)$! "
% -, 3 ) -, < ,+
B0 V8>V<: W0 V>E S 0V<
4>, & % % ! , *) 4", & -,( "*(-* = ( , KLMN YKPQPN
@" " *) ," 0 V8>V<: ,+( % " ,% 4% & *
*(,)C& ) *& !) *&
0 V8>V<:
80 V8>V<:: V 880 V>: V 80V<:: , 3, , KLMN YKPQPN !) &
80 V>: V 80V<:
!) & * & , ( *) ," 0 V> KLMN YKPQPN , 3, ( )% &
) -, !)
U
*) $ ) -, ,+(
5 0 V8>V<: U) ,"
80 V8>V<:: V 880 V>: V 80V<::
I 80 V>: V 80V<: JO5W
0 V> U) ,"
T 0V< JO WI
F ?, %+
) % ! , ( <% " ) $" * ,
I "<$ 59 I 8 % & )% & *// 3 " $:
)%! "
% -, 3 T ) -, < ,+
B0 V8>V<: W>E S 0V<
U
*) $ ) -, ,+(
5 0 V8>V<: U) ,"
80 V8>V<:: V 880 V>: V 80V<::
I 80 V>: V 80V<: JO5W
> U) ,"
T > V80 V>: " 5 ) * 0 > ) * > 0
` 0V> JO WT
a 0V< JO`WI
)% & , )% & "*// 3 " $ ) ,+ , ), %+ , & *) 4& ) -,+ , & > 3 3(C"
& %0$& ( C( "< ( %4), ) % %C( & & *) 4", & ( ,+ " , ",
4" ( ,( )+= * , ) ) * 4& ) %,+ ( * " ,+ , % " ,% 4% & C(
< (

5. F ?, %+
) % ! , ( <% " ) $" * ,
I "<$ 59 I 8T % & +" *// 3 " $:
)&! "
( * , )% & )+" "*// 3 " $ ( )% & ) -, !) & ,+( "<, ,3 / & 8",
$ &: ", "<4" , & *) 4", &
% ") ! , ( * +" * , ( )% & ) -, !) , -, + 4% & ,( & )
"<$ 8- / -$ ( ) %,+ ( )% !>, )% & ) -, !) & ) -, + 4% & ,
"*( $ ( " " :
5 0 V 8>V0:
80 V8>V<:: V 880V>: V80V<::
I 8 0 V >: V 88 0V>: V0:
% ,+ ( -,+ * , % " ,% 4% & & *( $& ( " " & ) * 4< * , ,) /4 , (
*) %<, $- " & *) 4", & 4< * , ,/, C", // C& ,) ( / ; ( * , ( +- - - "+
F ?, %+
) % ! , ( <% " ) $" * ,
I "<$ 59 I 8T % & +" *// 3 " $:
)'! "
% -, 3 T ) -, < ,+
0 S 0V0
4>, & % % ! , -,( ) % ! , ( ( * , KLMN YKPQPN " & *) 4", &
)% & ) -, !) & ,+( ] ,3 / &^ ", "<4" , & *) 4", &W ) ,
- " * , )% & )+" "*// 3 "
!) & 0V0 ) %,+ ( )% !>, ) -, + 4% & * 5 >V0 4 ( &
) * 0 0 ) * > 0 "*( $ ( " " " 5 ,+(
0 V 8 0V0: " 5 4 ( & ) * 0 0 ) * > 0
*(,)C& % ,+ ( -,+ * , ( !) 0 8) * "<!, ) & *) 4", &:
U
*) $ ) -, ,+(
5 0 U) ,"
0 V 8 0V0: " 5 ) * 0 0W > 0
I 0V0 JO5W
F ?, %+
) % ! , ( <% " ) $" * ,
I "<$ 59 I 8T % & +" *// 3 " $:
)(! "
% -, 3 ` ) -, < ,+
0 S 8 >V0:V>
4>, &
!) & 8 >V0:V> )% !) , , " -, + 4% & * I 8 0 V >: V88 0V>: V0:
" I 8 > V 0: V88 >V0: V >: 4< * , 4", 0 >W > 0
b% % ,+ ( -,+ * , 8 > V 0:
!) & 8 > V 0: )% !) , , " -, + 4% & * 5 0V8> V0:
" 5 0 V 8 > V 0: 4< * , 4", 0 0W > >
b% % ,+ ( -,+ * , 0 8 "<!, ) *) ," :
U
*) $ ) -, ,+(
5 0 U) ,"
0 V 8 > V 0: " 5 ) * 0 0W > >
I > V 0 JO5W
8 > V 0: V88 >V0: V >: " I ) * 0 >W > 0
T 8 >V0: V > JOIW
F ?, %+
) % ! , ( <% " ) $" * ,
*) ?, %$
! "
) ( / ; ( * , ( % "
4 , 4( & !) & ,+( *) ,C% ( S 0 8- / -$ "<!, (,* *) 4", (:
*(,)C& 3 ( ) -,+ * , 4( *) ,C% )%4), ( <% " ) $" * , (
"*( 4& ( " ", & ", "<$
+( " 0C& ) -!" / ) -, ) * ) %,+ ( & = ,+
% -, 3 a ) -, < ,+
S 0V0
U
*) $ ) -, ,+(
5 0V880 V0: V0: " 5 ) * 0 0W > 0 V0
80V880 V0: V0:: V880V80 V0:: V80V0:: " ) * 0 0W > 0 V0W< 0
I 80V80 V0:: V80V0: JO5W
0V80 V0: " 5 ) * 0 >W > 0
T 0V0 JOIW

6. F ?, %+
) % ! , ( <% " ) $" * ,
*) ?, %$
)! "
( __
) % ! , ( <% " ) $" * , 4( *) ,C% W C& "*( 4& ( " ", &
", * ", + *) $ ) -, __ @" " )%4), ( ) % 4 * , ( ) -, *
*) ! , %$ &
) " ( *) , %$ ) * ) %,+ ( 0 ( !( <%$" ,+(
5 S 0V0
S 0V 0
I S 0V0
WI ) -,+ * , " ,) ,( , <%$" ( , % ( * % " !
3 " !
% -, 3 c ) -, < ,+
S 8 0V0:V0
U
*) $ ) -, ,+(
5 0V 0 " *) ?,C% S 0V0 ) * 0 0
8 0V 0: V88 0V0:V0: " I ) * 0 0W > 0
I 8 0V0:V0 JO5W
) % 4 * , 4), ( ) -, * *) ! , %$ & S 0V0
F ?, %+
) % ! , ( <% " ) $" * ,
T *) 4& ) -,+ , & ) * & -+( ( " ( , 0C( "
! "
( " ( , 0C( " & -+(, "<! *( ) ,& *) 4& "*(,) 3 34&W * " +(,
,), "* )4% " & *) $& "*(,) 3 3$&W ( "<! *( *) 4", & *&
% -, 3 d #,- 4( * "<!, 0 S > -,+ , "<!, / * *) $
"*(,) 3 3$
B0W > V <E S < V <
U
*) $ ) -, ,+(
5 0 U) ,"
> 4), / 3 & *) "*(,) 3 3$& 0 S >
I > V < U) ,"
< JO WI
T < V8 < V <: " 5 ) * 0 < ) * > <
` < V < JO WT
# " $", &
b" " ( " & 5
#! "
) -,+ , , & / * ,& *) 4& "*(,) 3 34&
5 B [ V ZW Y V [W YE S Z
B Y V [W 8Y V [: V8Z VY:W YE S Z VY
U) -, ./,& ) % ) ( ) -,+ , & ) % !( ( , < !( ( , <%$" (
*) 4", ( * ) -, ! ( ( JO
# " $", &
b" " ( " &
! "
) -,+ , , & / * ,& *) 4& "*(,) 3 34&
5 B Y V YW [W [ VZW Z V YW [ V [ E S Y
B YW [ V8[ V [:W Y V ZW Y V 8Z V [:E S [
U) -, ./,& ) % ) ( ) -,+ , & ) % !( ( , < !( ( , <%$" (
*) 4", ( * ) -, ! ( ( JO

7. # " $", &
% $", & 5
$! "
#+-, "<$ I 8 V : V 8 8 V : V : ,& ) &
) % )% ", & / ,! *( ) ,& < e
5 !) & 8 V : V 8 8 V : V : )% !) , ," ) I ,
"*( $ ( " "
!) & 8 V : V 8 8 V : V : )% !) , ," ) I , "*( $
( " "
I !) & 8 V : V 8 8 V : V : )% !) , ," ) I ,
"*( $ ( " "
!) & 8 V : V 8 8 V : V : )% !) , ," ) I ,
"*( $ ( " "
# " $", &
% $", &
%! "
#+-, "<$ 8 V8 V<:: V 8 8 V : V 8 V :: ,& ) &
) % )% ", & / ,! *( ) ,& < e
5 !) & 8 V8 V>:: V 8 8 V : V 8 V :: )% !) , ," ) ,
"*( $ ( " "
!) & 8 V8 V >:: V 8 8 V : V 8 V :: )% !) , ," )
, "*( $ ( " "
I !) & 8 V8 V >:: V 8 8 V : V 8 V :: )% !) , ," )
, "*( $ ( " "
!) & 88 V<: V8 V<:: V 8 88 V<: V : V 88 V<: V :: )% !) , ,"
) , "*( $ ( " "
# " $", &
0 % 3$ 5
&! "
) -,+ , , ( / * *) $ "*(,) 3 3$
B >V 0W >V0 E S >
U) -, f% " ) ,+" , )% & , )% & "*// 3 " $
# " $", &
0 % 3$
'! "
) -,+ , , ( / * *) $ "*(,) 3 3$
B>V 0W >V 8 0 V0:E S >V0
U) -, f% " ) ,+" , )% & , )% & "*// 3 " $

8. # " $", &
0 % 3$ I
(! "
) -,+ , , ( / * *) $ "*(,) 3 3$
0 S 8 0V 0: V 0
U) -, f% " ) ,+" , )% & )+" "*// 3 " $
# " $", &
0 % 3$
#! "
) -,+ , , ( / * *) $ "*(,) 3 3$
BYW 8YgZ:E S 8 ZV YgZ: V Z
U) -, f% " ) ,+" , )% & )+" "*// 3 " $
# " $", &
0 % 3$ T
#)! "
?, %C( & "<!, *) ,C% S 0V0 ) -,+ , "<!, *) $
"*(,) 3 3$
S 80 V 0: V 80 V 0: