Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4

1,113 views

Published on

Προτασιακή Λογική

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4

  1. 1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 4 1 ΠΛΗ20 – ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4 Προτασιακή Λογική Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Επαναλάβετε τα µαθήµατα: • Προτασιακή Λογική – Μάθηµα 1: Προτασιακοί Τύποι • Προτασιακή Λογική – Μάθηµα 2: Ταυτολογική Συνεπαγωγή • Προτασιακή Λογική – Μάθηµα 3: Νόµοι και Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα Επαναλάβετε τις µεθοδολογίες των µαθηµάτων 1-2. Με την εµπειρία που έχουµε στους προτασιακούς τύπους µπορούµε να ξαναδούµε την µεθοδολογία µε «άλλο µάτι». Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΧΡΟΝΟ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕ Ν: Έπειτα προχωρήστε στην επίλυση των ασκήσεων. Κυρίως δώστε έµφαση στα Σ/Λ που θα πρέπει να έχετε 4/4 σε κάθε οµάδα. Κάθε οµάδα ερωτήσεων (Σ/Λ) πρέπει να έχει απαντηθεί εντός 7 λεπτών και όλες οι ασκήσεις εντός του συνιστώµενου χρόνου. Έπειτα συµβουλευτείτε τις αντίστοιχες ηχογραφήσεις για να δείτε ολοκλήρωµένα τις λύσεις των ασκήσεων. Συνιστώµενοι Χρόνοι για την επανάληψη: Χρόνος Μελέτης των Μαθηµάτων: 1.00’ Χρόνος Απάντησης Ερωτήσεων : 42’ Χρόνος Απάντησης Ασκήσεων: 2.00’ Ηχογραφήσεις Ασκήσεων: 2.00’
  2. 2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 4 2 Ερωτήσεις Ερωτήσεις 1 ∆ίδεται ο προτασιακός τύπος φ=p1∨ (p1→p2)∨(p1→p3) 1. Ο φ είναι ταυτολογικά ισοδύναµος µε τον τύπο: ψ= p1∨ (¬p1∨ p2) ∨ (¬p1∨ p3) 2. Ο φ είναι ταυτολογικά ισοδύναµος µε τον τύπο: ψ= p1∨ (¬p1∧p2) ∨ (¬p1∧p3) 3. Ο φ είναι ταυτολογικά ισοδύναµος µε τον τύπο: ψ= p1∨ ¬(p1∧¬p2) ∨¬(p1∧¬p3) 4. Υπάρχει ταυτολογικά ισοδύναµος τύπος του φ που χρησιµοποιεί µόνο τους συνδέσµους ¬ και → Ερωτήσεις 2 Έστω προτασιακοί τύποι φ, ψ, χ για τους οποίους ισχύει φ|=¬χ, ¬χ|=ψ και ψ|=φ 1. φ |= ψ 2. χ∧ψ |= ¬ψ ∨ ψ 3. Αν φ είναι αντίφαση τότε χ είναι ταυτολογία. 4. Οι τύποι φ,ψ και χ αληθεύουν στις ίδιες αποτιµήσεις. Ερωτήσεις 3 Έστω φ ταυτολογία, ψ αντίφαση και χ ικανοποιήσιµος. Ποιες από τις παρακάτω δηλώσεις είναι αληθείς και ποιες όχι? 1. ¬ψ ∨ ψ είναι αντίφαση. 2. χ→ψ είναι ταυτολογία. 3. ψ |= χ. 4. {ψ→χ,χ→φ,φ→ψ} είναι συνεπές Ερωτήσεις 4 ∆ίδεται το σύνολο τύπων T={p1∧p2, p3→p1∨p2} όπου p1,p2,p3 είναι προτασιακές µεταβλητές. Ποιες από τις παρακάτω δηλώσεις είναι αληθείς και ποιες όχι; 1. T |= ¬p3 → ((p1 ∨ p2)→ ¬p3) 2. T |= (p3 ∨ ¬p3) → (p2 ∧ ¬p2) 3. T |= p1 → (p2 → (p3 → p1)) 4. T |= p2 → p1 Ερωτήσεις 5 Έστω προτασιακοί τύποι φ, ψ και χ 1. ψ → (χ→ ψ) είναι ταυτολογία. 2. ¬(χ→ (ψ→ χ)) είναι ταυτολογία. 3. {φ, χ → ψ, ψ → ¬φ} |= (¬φ → ¬φ) → ((¬φ → φ) → φ) 4. Το σύνολο τύπων {ψ∨¬ψ,ψ∧¬ψ} είναι µη ικανοποιήσιµο. Ερωτήσεις 6 Έστω φ, ψ αυθαίρετα επιλεγµένοι τύποι. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν; |= φ → ((ψ → ¬φ) → φ)1. ψ |= ¬ψ → ¬φ2. ¬φ |= ¬ψ → ¬φ3. φ → φ |= φ → ψ4.
  3. 3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 4 3 Ασκήσεις Άσκηση 1 Βρείτε ταυτολογικά ισοδύναµο τύπο του (p ∨ ¬q) ↔ (q → ¬r) που χρησιµοποιεί µόνο τους συνδέσµους ¬,∧ Άσκηση 2 Εξετάστε αν ο παρακάτω τύπος είναι ικανοποιήσιµος: φ = (p2∧p1↔p4) ∧ (p1∧¬p3) ∧ (p6↔p1∧p4) ∧ (¬p3 → p7∨p8) ∧ (p1 → p2) ∧ (p5 ∧ ¬p5 → p2) ∧ (¬p2 → p3) Επειτα εξετάστε αν: φ |= p1∧p2∧p3∧p4↔p5∧p6∧p7∧p8 Άσκηση 3 Έστω T σύνολο προτασιακών τύπων και φ, ψ προτασιακοί τύποι. ∆είξτε ότι αν T|=φ↔ψ τότε T|=¬φ∨ψ Άσκηση 4 Έστω , 1,...,i i nψ = , , 1,...,j j mχ = και ϕ τύποι του προτασιακού λογισµού. (i) ∆είξτε ότι αν },,...,{ 1 ϕψψ n |= mχχ ∨∨...1 και },...,{ 1 nψψ |= ϕχχ ∨∨∨ m...1 , τότε },...,{ 1 nψψ |= mχχ ∨∨...1 (ii) ∆είξτε χρησιµοποιώντας προαιρετικά το (i) ότι αν { , }ψ φ |= χ και { }ψ |= ϕχ ∨ , τότε { }ψ |= χ . Άσκηση 5 Έστω συνάρτηση f:Μ(Γ0) →Μ(Γ0) µε • f(p)=p ∧ p, όπου p είναι προτασιακή µεταβλητή • f(¬φ)=f(φ) • f(φ*ψ)=f(φ)*f(ψ) για κάθε διµελή σύνδεσµο * Αν m(φ) είναι το πλήθος εµφανίσεων µεταβλητών του τύπου φ, δείξτε ότι m(f(φ))=2·m(φ) για οποιοδήποτε προτασιακό τύπο φ. Άσκηση 6 Έστω T το σύνολο των προτασιακών τύπων που χρησιµοποιεί µόνο τους συνδέσµους ¬,→ και ∧. ∆είξτε ότι για κάθε τύπο του T υπάρχει ταυτολογικά ισοδύναµος τύπος που χρησιµοποιεί µόνο τους λογικούς σύνδεσµους ¬,∨

×