∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 4 1
ΠΛΗ20 – ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4
Προτασιακή Λογική
Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
Επαναλάβετε τα µαθήµατα:
• Προτασιακή Λογική – Μάθηµα 1: Προτασιακοί Τύποι
• Προτασιακή Λογική – Μάθηµα 2: Ταυτολογική Συνεπαγωγή
• Προτασιακή Λογική – Μάθηµα 3: Νόµοι και Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα
Επαναλάβετε τις µεθοδολογίες των µαθηµάτων 1-2. Με την εµπειρία που έχουµε στους προτασιακούς
τύπους µπορούµε να ξαναδούµε την µεθοδολογία µε «άλλο µάτι».
Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΧΡΟΝΟ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕ Ν:
Έπειτα προχωρήστε στην επίλυση των ασκήσεων. Κυρίως δώστε έµφαση στα Σ/Λ που θα πρέπει να
έχετε 4/4 σε κάθε οµάδα.
Κάθε οµάδα ερωτήσεων (Σ/Λ) πρέπει να έχει απαντηθεί εντός 7 λεπτών και όλες οι ασκήσεις εντός του
συνιστώµενου χρόνου. Έπειτα συµβουλευτείτε τις αντίστοιχες ηχογραφήσεις για να δείτε
ολοκλήρωµένα τις λύσεις των ασκήσεων.
Συνιστώµενοι Χρόνοι για την επανάληψη:
Χρόνος Μελέτης των Μαθηµάτων: 1.00’
Χρόνος Απάντησης Ερωτήσεων : 42’
Χρόνος Απάντησης Ασκήσεων: 2.00’
Ηχογραφήσεις Ασκήσεων: 2.00’

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 4 2
Ερωτήσεις
Ερωτήσεις 1
∆ίδεται ο προτασιακός τύπος φ=p1∨ (p1→p2)∨(p1→p3)
1. Ο φ είναι ταυτολογικά ισοδύναµος µε τον τύπο: ψ= p1∨ (¬p1∨ p2) ∨ (¬p1∨ p3)
2. Ο φ είναι ταυτολογικά ισοδύναµος µε τον τύπο: ψ= p1∨ (¬p1∧p2) ∨ (¬p1∧p3)
3. Ο φ είναι ταυτολογικά ισοδύναµος µε τον τύπο: ψ= p1∨ ¬(p1∧¬p2) ∨¬(p1∧¬p3)
4. Υπάρχει ταυτολογικά ισοδύναµος τύπος του φ που χρησιµοποιεί µόνο τους συνδέσµους ¬ και
→
Ερωτήσεις 2
Έστω προτασιακοί τύποι φ, ψ, χ για τους οποίους ισχύει φ|=¬χ, ¬χ|=ψ και ψ|=φ
1. φ |= ψ
2. χ∧ψ |= ¬ψ ∨ ψ
3. Αν φ είναι αντίφαση τότε χ είναι ταυτολογία.
4. Οι τύποι φ,ψ και χ αληθεύουν στις ίδιες αποτιµήσεις.
Ερωτήσεις 3
Έστω φ ταυτολογία, ψ αντίφαση και χ ικανοποιήσιµος. Ποιες από τις παρακάτω δηλώσεις είναι αληθείς
και ποιες όχι?
1. ¬ψ ∨ ψ είναι αντίφαση.
2. χ→ψ είναι ταυτολογία.
3. ψ |= χ.
4. {ψ→χ,χ→φ,φ→ψ} είναι συνεπές
Ερωτήσεις 4
∆ίδεται το σύνολο τύπων T={p1∧p2, p3→p1∨p2} όπου p1,p2,p3 είναι προτασιακές µεταβλητές. Ποιες από
τις παρακάτω δηλώσεις είναι αληθείς και ποιες όχι;
1. T |= ¬p3 → ((p1 ∨ p2)→ ¬p3)
2. T |= (p3 ∨ ¬p3) → (p2 ∧ ¬p2)
3. T |= p1 → (p2 → (p3 → p1))
4. T |= p2 → p1
Ερωτήσεις 5
Έστω προτασιακοί τύποι φ, ψ και χ
1. ψ → (χ→ ψ) είναι ταυτολογία.
2. ¬(χ→ (ψ→ χ)) είναι ταυτολογία.
3. {φ, χ → ψ, ψ → ¬φ} |= (¬φ → ¬φ) → ((¬φ → φ) → φ)
4. Το σύνολο τύπων {ψ∨¬ψ,ψ∧¬ψ} είναι µη ικανοποιήσιµο.
Ερωτήσεις 6
Έστω φ, ψ αυθαίρετα επιλεγµένοι τύποι. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν;
|= φ → ((ψ → ¬φ) → φ)1.
ψ |= ¬ψ → ¬φ2.
¬φ |= ¬ψ → ¬φ3.
φ → φ |= φ → ψ4.

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 4 3
Ασκήσεις
Άσκηση 1
Βρείτε ταυτολογικά ισοδύναµο τύπο του
(p ∨ ¬q) ↔ (q → ¬r)
που χρησιµοποιεί µόνο τους συνδέσµους ¬,∧
Άσκηση 2
Εξετάστε αν ο παρακάτω τύπος είναι ικανοποιήσιµος:
φ = (p2∧p1↔p4) ∧ (p1∧¬p3) ∧ (p6↔p1∧p4) ∧ (¬p3 → p7∨p8) ∧ (p1 → p2) ∧ (p5 ∧ ¬p5 → p2) ∧ (¬p2 → p3)
Επειτα εξετάστε αν:
φ |= p1∧p2∧p3∧p4↔p5∧p6∧p7∧p8
Άσκηση 3
Έστω T σύνολο προτασιακών τύπων και φ, ψ προτασιακοί τύποι. ∆είξτε ότι αν T|=φ↔ψ τότε T|=¬φ∨ψ
Άσκηση 4
Έστω , 1,...,i i nψ = , , 1,...,j j mχ = και ϕ τύποι του προτασιακού λογισµού.
(i) ∆είξτε ότι αν },,...,{ 1 ϕψψ n |= mχχ ∨∨...1 και },...,{ 1 nψψ |= ϕχχ ∨∨∨ m...1 , τότε },...,{ 1 nψψ |= mχχ ∨∨...1
(ii) ∆είξτε χρησιµοποιώντας προαιρετικά το (i) ότι αν { , }ψ φ |= χ και { }ψ |= ϕχ ∨ , τότε { }ψ |= χ .
Άσκηση 5
Έστω συνάρτηση f:Μ(Γ0) →Μ(Γ0) µε
• f(p)=p ∧ p, όπου p είναι προτασιακή µεταβλητή
• f(¬φ)=f(φ)
• f(φ*ψ)=f(φ)*f(ψ) για κάθε διµελή σύνδεσµο *
Αν m(φ) είναι το πλήθος εµφανίσεων µεταβλητών του τύπου φ, δείξτε ότι m(f(φ))=2·m(φ) για
οποιοδήποτε προτασιακό τύπο φ.
Άσκηση 6
Έστω T το σύνολο των προτασιακών τύπων που χρησιµοποιεί µόνο τους συνδέσµους ¬,→ και ∧.
∆είξτε ότι για κάθε τύπο του T υπάρχει ταυτολογικά ισοδύναµος τύπος που χρησιµοποιεί µόνο τους
λογικούς σύνδεσµους ¬,∨