Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Η θεωρία στα μαθηματικά γεν. παιδείας Γ΄ Λυκείου

740 views

Published on

Φυλλάδιο ερωτήσεων θεωρίας / οι σημαντικότερες προτάσεις με τις αποδείξεις τους.

Επιμέλεια: Παύλος Τρύφων

  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Η θεωρία στα μαθηματικά γεν. παιδείας Γ΄ Λυκείου

  1. 1. http://blogs.sch.gr/pavtryfonΕπιµέλεια: Τρύφων Παύλος / e-τάξη µου -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝ. ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ- ΟΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΕΡΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΜΕ ΤΙΣ ΑΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΤΑΣΗ 1 Η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f(x)=c είναι f′(x)=0 [Απόδειξη: Έχουµε 0)()( =−=−+ ccxfhxf , και για 0≠h , 0 0)()( == − = −+ hh cc h xfhxf Οπότε 0 )()( lim 0 = −+ → h xfhxf h Άρα 0)()( =′=′ cxf ] ΠΡΟΤΑΣΗ 2 H παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f(x)=x είναι f′(x)=1 [Απόδειξη: Έχουµε hxhxxfhxf =−+=−+ )()()( , και έτσι για 0≠h , 1 )()( == −+ h h h xfhxf Εποµένως, 11lim )()( lim 00 == −+ →→ hh h xfhxf . Άρα 1)()( =′=′ xxf ] ΠΡΟΤΑΣΗ 3 H παράγωγος της συνάρτησης f(x)= 2 x είναι f′(x)=2x [Απόδειξη: Έχουµε )2(2)2()()()( 222222 hxhhxhxhxhxxhxxfhxf +=+=−++=−+=−+ , και για 0≠h , hx h hxh h xfhxf += + = −+ 2 )2()()( . Εποµένως, xhx h xfhxf hh 2)2(lim )()( lim 00 =+= −+ →→ . Άρα xxxf 2)()( 2 =′=′ ] ΠΡΟΤΑΣΗ 4 H παράγωγος της συνάρτησης F(x)=cf(x) είναι F′(x)=cf′(x) [Απόδειξη: Έχουµε ))()(()()()()( xfhxfcxcfhxcfxFhxF −+=−+=−+ , και για 0≠h , h xfhxf c h xfhxfc h xFhxF )()())()(()()( −+ ⋅= −+ = −+ . Εποµένως, )( )()( limlim )()( lim )()( lim 000 xfc h xfhxf c h xfhxf c h xFhxF hohhh ′⋅= −+ ⋅=      −+ ⋅= −+ →→→→ Άρα )())(()( xfcxfcxF ′⋅=′⋅=′ ] ΠΡΟΤΑΣΗ 5 Η παράγωγος της συνάρτησης F(x)=f(x)+g(x) είναι F′(x)=f′(x)+g′(x) [Απόδειξη: Έχουµε : )),()(())()(()()()()( ))()(())()(()()( xghxgxfhxfxgxfhxghxf xgxfhxghxfxFhxF −++−+=−−+++= =+−+++=−+ και για 0≠h , h xghxg h xfhxf h xghxgxfhxf h xFhxF )()()()( ))()(())()(()()( −+ + −+ = = −+−−+ = −+ , Εποµένως, )()( )()( lim )()( lim )()()()( lim )()( lim 0 00 xgxf h xghxg h xfhxf h xghxg h xfhxf h xFhxF hoh hh ′+′= −+ + −+ =    −+ + −+ = −+ →→ →→ Άρα )()())()(()( xgxfxgxfxF ′+′=′+=′ ]
  2. 2. http://blogs.sch.gr/pavtryfonΕπιµέλεια: Τρύφων Παύλος / e-τάξη µου ΠΡΟΤΑΣΗ 6 Για τις σχετικές συχνότητες ισχύουν οι ιδιότητες: 1...) ,...,2,110) 21 =+++ =≤≤ κβ κγια fff ifa i [Απόδειξη: α) Αφού για οποιαδήποτε συχνότητα iν ισχύει νν ≤≤ i0 τότε 1010 ≤≤⇔≤≤ i i f ν ν , για κ,...,2,1=i β) 1 ... ...... 2121 21 == +++ =+++=+++ ν ν ν ννν ν ν ν ν ν ν κκ κfff ] ΠΡΟΤΑΣΗ 7 Για οποιαδήποτε ασυµβίβαστα µεταξύ τους ενδεχόµενα Α και Β ισχύει : Ρ(Α∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) (Απλός προσθετικός νόµος) [Απόδειξη: Αν Ν(Α)=κ και Ν(Β)=λ , τότε το Β∪Α έχει κ+λ στοιχεία, γιατί αλλιώς τα Α,Β δεν θα ήταν ασυµβίβαστα. ∆ηλαδή, έχουµε Ν( Β∪Α ) = κ+λ = Ν(Α)+Ν(Β). Εποµένως: )( )( )( ΩΝ Β∪ΑΝ =Β∪ΑΡ )( )()( ΩΝ ΒΝ+ΑΝ = )( )( )( )( ΩΝ ΒΝ + ΩΝ ΑΝ = )()( ΒΡ+ΑΡ= ] ΠΡΟΤΑΣΗ 8 Για δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και Α′ ισχύει Ρ(Α′) = 1 – Ρ(Α) [Απόδειξη: Επειδή Α∩Α′= Ø, δηλαδή τα Α και Α′ είναι ασυµβίβαστα, και αφού Ω=Α′∪Α (τα Α, Α′ είναι συµπληρωµατικά) τότε έχουµε διαδοχικά, σύµφωνα µε τον απλό προσθετικό νόµο: )](1)( )()(1 )()()( )()()( ΑΡ−=Α′Ρ ⇒Α′Ρ+ΑΡ= ⇒Α′Ρ+ΑΡ=ΩΡ ⇒Α′Ρ+ΑΡ=Α′∪ΑΡ ΠΡΟΤΑΣΗ 9 Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου ισχύει: Ρ(Α∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) – Ρ(Α∩Β) (Προσθετικός νόµος) [Απόδειξη: Για δύο ενδεχόµενα Α και Β έχουµε: )()()()( Β∩ΑΝ−ΒΝ+ΑΝ=Β∪ΑΝ , (1) αφού στο άθροισµα Ν(Α)+Ν(Β) το πλήθος των στοιχείων του Α∩Β υπολογίζεται δύο φορές. Αν διαιρέσουµε τα µέλη της σχέσης (1) µε Ν( ) έχουµε: )( )( )( )( )( )( )( )( ΩΝ Β∩ΑΝ − ΩΝ ΒΝ + ΩΝ ΑΝ = ΩΝ Β∪ΑΝ και εποµένως )()()()( Β∩ΑΡ−ΒΡ+ΑΡ=Β∪ΑΡ ] Α Β Α Α′ Α Α∩Β Β
  3. 3. http://blogs.sch.gr/pavtryfonΕπιµέλεια: Τρύφων Παύλος / e-τάξη µου ΠΡΟΤΑΣΗ 10 Αν Α⊆Β, τότε Ρ(Α) ≤ Ρ(Β) [Απόδειξη: Επειδή Α⊆Β έχουµε διαδοχικά: )]()( )( )( )( )( ))(()()( ΒΡ≤ΑΡ ⇒ ΩΝ ΒΝ ≤ ΩΝ ΑΝ ΩΝ⇒ΒΝ≤ΑΝ µεδιαιρώ ΠΡΟΤΑΣΗ 11 Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου ισχύει: Ρ(Α – Β)=Ρ(Α∩Β′)=Ρ(Α) – Ρ(Α∩Β) [Απόδειξη: Επειδή τα ενδεχόµενα Α – Β, Α∩Β′ και Α∩Β είναι ασυµβίβαστα και (Α – Β)∪ (Α∩Β)=Α έχουµε: Ρ(Α) = Ρ[(Α – Β)∪ (Α∩Β)] ⇒ Ρ(Α) = Ρ(Α – Β) + Ρ(Α∩Β) Άρα Ρ(Α – Β) = Ρ(Α) – Ρ(Α∩Β) ] Α – Β = Α∩Β′ Ερωτήσεις θεωρίας 1) Πότε µια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα (φθίνουσα) σε ένα διάστηµα ∆ του πεδίου ορισµού της; 2) Πότε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α λέµε ότι παρουσιάζει τοπικό µέγιστο (ελάχιστο)στο χο∈Α; 3) Πότε µια συνάρτηση λέγεται γνησίως µονότονη; Τι λέγονται ακρότατα µιας συνάρτησης; 4) Πότε µια συνάρτηση f λέγεται συνεχής σε ένα σηµείο χο του πεδίου ορισµού της; Πότε λέγεται συνεχής στο πεδίο ορισµού της; 5) Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο χο του πεδίου ορισµού της; Τι ονοµάζεται παράγωγος της f στο χο; 6) Τι εκφράζει η παράγωγος της f στο χο; 7) Τι ονοµάζουµε πληθυσµό , δείγµα και τι µεταβλητή σε µια στατιστική έρευνα; Ποια η διάκριση των µεταβλητών; 8) Τι είναι η (απόλυτη) συχνότητα µια τιµής χi και τι η σχετική συχνότητα αυτής; 9) Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 10) Τι είναι το διάγραµµα συχνοτήτων (σχετικών συχνοτήτων) και πότε χρησιµοποιείται; Β Α Α Β
  4. 4. http://blogs.sch.gr/pavtryfonΕπιµέλεια: Τρύφων Παύλος / e-τάξη µου 11) Τι λέγεται πολύγωνο συχνοτήτων ή πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων; 12) Τι είναι το κυκλικό διάγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 13) Τι λέγεται ιστόγραµµα συχνοτήτων και από τι αποτελείται αυτό; 14) Τι ονοµάζεται καµπύλη συχνοτήτων; Ποια η µορφή της καµπύλης συχνοτήτων µιας α) κανονικής κατανοµής; β) θετικά/αρνητικά ασύµµετρης κατανοµής; 15) Τι καλούµε µέτρα διασποράς µιας κατανοµής; 16) Πώς ορίζονται η µέση τιµή , ο σταθµικός µέσος , η διάµεσος , η διασπορά , η τυπική απόκλιση , το εύρος και ο συντελεστής µεταβολής ενός συνόλου ν παρατηρήσεων; Πως ορίζεται το εύρος σε µια οµαδοποιηµένη κατανοµή; 17) Πότε ένα δείγµα ονοµάζεται οµοιογενές; Πότε λέµε ότι ένα δείγµα Α έχει µεγαλύτερη οµοιογένεια από ένα δείγµα Β; 18) Τι ονοµάζουµε πείραµα τύχης , τι δειγµατικό χώρο και τι ενδεχόµενο αυτού; 19) Πότε ένα ενδεχόµενο λέγεται απλό και πότε σύνθετο; Πότε λέγεται βέβαιο και πότε αδύνατο; 20) Πότε δύο ενδεχόµενα λέγονται ξένα ή ασυµβίβαστα; 21) Τι ονοµάζεται σχετική συχνότητα ενός ενδεχοµένου Α; 22) Ποιος ο κλασικός ορισµός πιθανότητας; Ποιος ο αξιωµατικός ορισµός πιθανότητας;

×