SlideShare a Scribd company logo
1 of 2
Download to read offline
ΔΕΝΔΡΑΟΡΙΣΜΟΣ ΔΕΝΔΡΟΥ
Ορισμός: (Θεώρημα των Δένδρων)
Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:
1. Το γράφημα είναι δένδρο (δηλαδή υπάρχει μοναδικό απλό μονοπάτι από κάθε κορυφή v ∈ V σε κάθε κορυφή
v ∈ V	 i j )
2. Το γράφημα είναι συνδεόμενο και άκυκλο
3. Το γράφημα είναι συνδεόμενο και έχει ακμές
4. Το γράφημα είναι άκυκλο και έχει ακμές
5. Το γράφημα είναι ελαχιστοτικά συνδεδέμένο (είναι συνδεδεμένο και αν του αφαιρέσουμε έστω μία ακμή παύει να
είναι συνδεδεμένο)
6. Το γράφημα είναι μεγιστοτικά άκυκλο (είναι άκυκλο και αν του προσθέσουμε έστω μία ακμή παύει να είναι άκυκλο)
Τελικά το δένδρο είναι ένα άκυκλο συνδεόμενο γράφημα με n-1 ακμές που υπάρχει μοναδικό απλό μονοπάτι μεταξύ κάθε
δύο διαφορετικών κορυφών
Παράδειγμα: Το ακόλουθο είναι ένα δένδρο:
Ορισμός: (Δάσος)
Ένα γράφημα , είναι δάσος αν είναι η ένωση δένδρων
Ή ισοδύναμα είναι ένα μη συνδεόμενο γράφημα που κάθε συνεκτική συνιστώσα είναι δένδρο
ΔΕΝΔΡΑΡΙΖΩΜΕΝΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΔΕΝΔΡΟΥ
Ορισμός: (Ριζωμένη Απεικόνιση Δένδρου)
Κάθε δένδρο μπορεί να αναπαρασταθεί διατεταγμένα, αν επιλέξουμε μια κορυφή ως τη ρίζα του δένδρου. Με βάση αυτήν
την απεικόνιση ορίζουμε:
• Το επίπεδο (ή βάθος) κορυφής που είναι η απόσταση (σε πλήθος ακμών) της κορυφής από τη ρίζα (στο παράδειγμα το
επίπεδο της κορυφής v6 είναι 3)
• Το ύψος του δένδρου που είναι το μέγιστο επίπεδο κορυφής (στο παράδειγμα = 4)
• Το βαθμό του δένδρου που είναι ο μέγιστος βαθμός κορυφής (στο παράδειγμα =6 λόγω της v4)
• Κάθε κορυφή με βαθμό 1 λέγεται φύλλο (ή τερματική κορυφή ή μενταγιον)
• Κάθε κορυφή με βαθμό >1 λέγεται εσωτερική κορυφή (ή κορυφή διακλάδωσης)
• Ισχύει σε κάθε δένδρο ο τύπος: n=φ+ε
• Όπου n: πλήθος κορυφών, φ: πλήθος φύλλων, ε: πλήθος εσωτερικών κορυφών
Παράδειγμα: Βλέπουμε ένα δένδρο (αριστερά) και μία ριζωμένη απεικόνισή του (επιλέγοντας ως ρίζα την )
ΔΕΝΔΡΑΛΗΜΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΕΝΔΡΑ
Λήμματα που ισχύουν στα δένδρα:
1. Κάθε δένδρο είναι απλό γράφημα
2. Κάθε δένδρο είναι διχοτομίσιμο γράφημα
3. Κάθε δένδρο είναι επίπεδο γράφημα
4. Κάθε δένδρο με |V|≥2 έχει τουλάχιστον 2 φύλλα.
5. Κάθε δένδρο με |V|>2 έχει τουλάχιστον μία εσωτερική κορυφή
6. Αν μια κορυφή έχει βαθμό k, τότε το δένδρο έχει τουλάχιστον k φύλλα.
7. Κάθε εσωτερική κορυφή είναι σημείο κοπής και κάθε ακμή είναι γέφυρα.
8. Αν αφαιρέσουμε ένα φύλλο από ένα δένδρο, τότε το γράφημα παραμένει δένδρο
9. Κάθε μεγιστοτικό μονοπάτι ξεκινάει και καταλήγει σε φύλλο.
ΔΕΝΔΡΑΣΥΝΔΕΤΙΚΑ ΔΕΝΔΡΑ
Ορισμός: Σε ένα συνδεόμενο μη κατευθυνόμενο γράφημα G V, E ορίζουμε ως συνδετικό δένδρο Τ (ή αλλιώς γεννητορικό
ή επικαλυπτικό δένδρο) του γραφήματος:
Ένα υπογράφημα του G που είναι δένδρο και περιέχει όλες τις κορυφές του G
Παράδειγμα: Βλέπουμε ένα γράφημα και δύο συνδετικά του δένδρα (ένα γράφημα έχει πολλά συνδετικά δένδρα)
Παρατηρήσεις:
• Ένα γράφημα έχει συνδετικό δένδρο αν και μόνο αν είναι συνδεόμενο
• Ένα γράφημα μπορεί να έχει πολλά συνδετικά δένδρα.
• Ένα δένδρο έχει μόνο ένα συνδετικό δένδρο (τον εαυτό του)
• Ένα συνδετικό δένδρο μπορεί να υπολογιστεί με τον αλγόριθμο διάσχισης πρώτα κατά βάθος και τον αλγόριθμο
διάσχισης πρώτα κατά πλάτος.
ΔΕΝΔΡΑΔΙΑΣΧΙΣΗ ΚΑΤΑ ΒΑΘΟΣ
Σκιαγράφηση Αλγόριθμου Πρώτα κατά Βάθος:
«Βολίδα που εξερευνά το γράφο κατασκευάζοντας το συνδετικό δένδρο»
Ο αλγόριθμος δέχεται ως είσοδο ένα συνδεόμενο γράφημα και παράγει ένα συνδετικό δένδρο.
Στην αρχικοποίηση:
• Τοποθετούμε την βολίδα σε μια (αυθαίρετη) κορυφή. Την κορυφή την τοποθετούμε στο συνδετικό δένδρο
Σε κάθε βήμα:
• Αν υπάρχει γειτονική κορυφή που δεν έχει επισκεφθεί, μεταβαίνει και την τοποθετεί στο συνδετικό δένδρο μαζί με την
ακμή μετάβασης.
• Αν δεν υπάρχει κορυφή που δεν έχει επισκεφθεί, πηγαίνει στην ακριβώς προηγούμενη κορυφή που είχε επισκεφθεί.
Τερματισμός:
• Όταν όλες οι κορυφές εισαχθούν στο δένδρο.
Βηματα:Παράδειγμα:
Αρχικό Γράφημα:
Συνδετικό Δένδρο της Κατά
Βάθος:
Βήμα 0 Βήμα 1 Βήμα 2 Βήμα 3 Βήμα 4
Βήμα 5 Βήμα 6 Βήμα 7 Βήμα 8 Βήμα 9 Βήμα 10
Βηματα:
ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΚΑΤΑ ΠΛΑΤΟΣ
Σκιαγράφηση Αλγόριθμου Πρώτα κατά Πλάτος:
«κατασκευή του δένδρου κατά επίπεδα»
Ο αλγόριθμος δέχεται ως είσοδο ένα συνδεόμενο γράφημα και παράγει ένα συνδετικό δένδρο.
Στην αρχικοποίηση:
• Τοποθετούμε αυθαίρετα μία κορυφή στο συνδετικό δένδρο
Σε κάθε βήμα:
• Επιλέγουμε τρέχουσα κορυφή (με βάση την σειρά με την οποία μπήκε στο συνδετικό δένδρο)
• Κάθε γειτονική της κορυφή που δεν έχει μπει στο δένδρο την θέτουμε ως παιδί της (με αυθαίρετη σειρά)
Τερματισμός:
• Όταν όλες οι κορυφές εισαχθούν στο δένδρο.
Παράδειγμα:
Αρχικό Γράφημα:
Συνδετικό Δένδρο της Κατά
Βάθος:
Βήμα 0 Βήμα 1 Βήμα 2 Βήμα 3
Βήμα 4 Βήμα 5
Βήμα 6
ΔΕΝΔΡΑ
Παράδειγμα: Σχηματική απεικόνιση μετά την εκτέλεση 3 βημάτων σε ένα γράφημα:
Επόμενη ακμή που επιλέγεται είναι η [v2,v3]
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ PRIM
Σκιαγράφηση Αλγόριθμου Prim:
Στην αρχικοποίηση:
• Τοποθετούμε αυθαίρετα μια κορυφή στο συνδετικό δένδρο
Σε κάθε βήμα:
• Υποψήφιες ακμές για να μπουν στο συνδετικό δένδρο είναι εκείνες οι ακμές που έχουν το ένα τους άκρο στο υπο
κατασκευή συνδετικό δένδρο και το άλλο τους άκρο εκτός του συνδετικού δένδρου.
• Επιλέγεται η ακμή με το ελάχιστο βάρος από τις υποψήφιες
• Η ακμή εισάγεται στο δένδρο καθώς και το άκρο της που δεν ανήκε στο δένδρο.
Τερματισμός:
• Όταν όλες οι κορυφές εισαχθούν στο δένδρο.
ΔΕΝΔΡΑ
Ορισμός: Σε ένα συνδεόμενο μη κατευθυνόμενο γράφημα , , ορίζουμε ως ελάχιστο συνδετικό δένδρο Τ (ή αλλιώς
ελάχιστο γεννητορικό ή ελάχιστο επικαλυπτικό δένδρο) του γραφήματος:
• Ένα υπογράφημα του G που είναι δένδρο, περιέχει όλες τις κορυφές του G και έχει ελάχιστο βάρος (άθροισμα βαρών των
ακμών του)
( )>0: ∆εν διατηρείται
( )>0: ∆ιατηρείται
( )>0: ∆ιατηρείται
( )>0: ∆ιατηρείται
Αρν.Βάρη:× Αρν.Βάρη: √
ΣΥΝΟΨΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΔΕΝΔΡΑ
Dijkstra Prim Κατά
Βάθος
Κατά
Πλάτος
Συντομότερα
Μονοπάτια
√
× × Αν όλα τα
βάρη ίδια:
√
Ελάχιστο
Συνδετικό Δένδρο
Αν όλα τα
βάρη ίδια:
√
√
Αν όλα τα
βάρη ίδια:
√
Αν όλα τα
βάρη ίδια:
√
Συνδετικό Δένδρο √ √
√ √
ΔΕΝΔΡΑΔΥΑΔΙΚΑ ΔΕΝΔΡΑ και m-ΑΔΙΚΑ ΔΕΝΔΡΑ
Ορισμοί:
• Το m-αδικό δένδρο είναι ριζωμένο δένδρο που κάθε κορυφή έχει το πολύ m παιδιά
• Το δυαδικό δένδρο είναι ριζωμένο δένδρο που κάθε κορυφή έχει το πολύ 2 παιδιά
• Το πλήρες δυαδικό δένδρο είναι ριζωμένο δένδρο που κάθε κορυφή έχει 0 ή 2 παιδιά
• Το πλήρες ισοζυγισμένο δυαδικό δένδρο είναι πλήρες δυαδικό δένδρο και όλα τα φύλλα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο
του δένδρου.
Παράδειγμα: Το ακόλουθο είναι ένα δένδρο:
Λήμματα:
• Ένα πλήρες ισοζυγισμένο δυαδικό δένδρο με ύψος H έχει συνολικά 2 1 κορυφές όπου:
• οι 2 είναι φύλλα και
• οι 2 1 είναι εσωτερικές κορυφές
• Σε ένα πλήρες δυαδικό ισοζυγισμένο δένδρο ύψους H ισχύει H log$	t (όπου t τα φύλλα του δένδρου)
• Σε ένα πλήρες δυαδικό δένδρο ύψους H ισχύει H & log$	t (όπου t τα φύλλα του δένδρου)
ΔΕΝΔΡΑΔΥΑΔΙΚΑ ΔΕΝΔΡΑ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ
Ορισμός: Ένα Δυαδικό Δένδρο Αναζήτησης είναι ένα Δυαδικό Δένδρο που σε κάθε κορυφή του έχει αποθηκευτεί μια
πληροφορία με την ιδιότητα:
• Στις κορυφές του αριστερού του υποδένδρου έχουν αποθηκευτεί τιμές «μικρότερες» της ρίζας.
• Στις κορυφές του δεξιού του υποδένδρου έχουν αποθηκευτεί τιμές «μεγαλύτερες» της ρίζας.
• Η ίδια ιδιότητα ισχύει σε οποιοδήποτε υποδένδρο του δυαδικού δένδρου αναζήτησης
(σειρά επίσκεψης): 10,6,5,2,3,7,8,14,19 (σειρά επίσκεψης): 2,3,5,6,7,8,10,14,19(σειρά επίσκεψης): 2,3,5,6,7,8,10,14,19
ΔΙΑΣΧΙΣΕΙΣ ΔΥΑΔΙΚΩΝ ΔΕΝΔΡΩΝ:
Την προδιατεταγμένη διάσχιση. Που
εκτελεί τη σειρά επίσκεψης:
• Τρέχουσα Κορυφή,Αριστερό
Υποδένδρο, Δεξί Υποδένδρο
• (Γραμμή Αριστερά)
Την ενδοδιατεταγμένη διάσχιση. Που
εκτελεί τη σειρά επίσκεψης:
• Αριστερό Υποδένδρο, Τρέχουσα
Κορυφή,Δεξί Υποδένδρο
• (Γραμμή Κάτω)
Την μεταδιατεταγμένη διάσχιση. Που
εκτελεί τη σειρά επίσκεψης:
• Αριστερό Υποδένδρο,Δεξί
Υποδένδρο, Τρέχουσα Κορυφή
• (Γραμμή Δεξιά)

More Related Content

What's hot

ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.5 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.5 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.5 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.5 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.1ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.1Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 2
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 2 ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 2
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 2 Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣDimitris Psounis
 

What's hot (20)

ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.4ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.4
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.4ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.4
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.2ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.2
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.5 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.5 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.5 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.5 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.5
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.5ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.5
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.5
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.1ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.1
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.2ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.2
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.4ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.4
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.5
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.5ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.5
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.5
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.7
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.7ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.7
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.7
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.1ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 4.1
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 2
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 2 ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 2
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 2
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ
 

Viewers also liked

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 0.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 0.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 0.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 0.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ: ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΟΛΩΝ
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ: ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΟΛΩΝΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ: ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΟΛΩΝ
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ: ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΟΛΩΝDimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1 ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1 Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.2
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.2ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.2
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.2Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 1
ΠΛΗ10 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 1ΠΛΗ10 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 1
ΠΛΗ10 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 1Dimitris Psounis
 

Viewers also liked (20)

ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 27
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 27ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 27
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 27
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ10 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ10 ΤΕΣΤ 21ΠΛΗ10 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ10 ΤΕΣΤ 21
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 28
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 28ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 28
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 28
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 0.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 0.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 0.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 0.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.1ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.1
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ: ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΟΛΩΝ
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ: ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΟΛΩΝΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ: ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΟΛΩΝ
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ: ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΟΛΩΝ
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1 ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.2
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.2ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.2
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.2
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ10 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 1
ΠΛΗ10 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 1ΠΛΗ10 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 1
ΠΛΗ10 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 1
 

More from Dimitris Psounis

Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣDimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)Dimitris Psounis
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)Dimitris Psounis
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣDimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣDimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Dimitris Psounis
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ CC++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ CDimitris Psounis
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 

More from Dimitris Psounis (20)

Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ CC++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 32
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 32ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 32
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 32
 

Recently uploaded

Safe Cycling - Εργασία για την ασφαλή ποδηλασία 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
Safe Cycling - Εργασία για την ασφαλή ποδηλασία 2ο Γυμνάσιο ΑλεξανδρούποληςSafe Cycling - Εργασία για την ασφαλή ποδηλασία 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
Safe Cycling - Εργασία για την ασφαλή ποδηλασία 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης2ο Γυμνάσιο Αλεξ/πολης
 
Έμφυλα στερεότυπα
Έμφυλα                                       στερεότυπαΈμφυλα                                       στερεότυπα
Έμφυλα στερεότυπαDimitra Mylonaki
 
Safe Driving - Εργασία για την ασφαλή οδήγηση 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
Safe Driving - Εργασία για την ασφαλή οδήγηση 2ο Γυμνάσιο ΑλεξανδρούποληςSafe Driving - Εργασία για την ασφαλή οδήγηση 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
Safe Driving - Εργασία για την ασφαλή οδήγηση 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης2ο Γυμνάσιο Αλεξ/πολης
 
Inclusion - Εργασία για τη συμπερίληψη 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
Inclusion - Εργασία για τη συμπερίληψη 2ο Γυμνάσιο ΑλεξανδρούποληςInclusion - Εργασία για τη συμπερίληψη 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
Inclusion - Εργασία για τη συμπερίληψη 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης2ο Γυμνάσιο Αλεξ/πολης
 
Η απελευθέρωση της Θεσσαλονίκης από την Οθωμανική Αυτοκρατορία
Η απελευθέρωση της Θεσσαλονίκης από την Οθωμανική ΑυτοκρατορίαΗ απελευθέρωση της Θεσσαλονίκης από την Οθωμανική Αυτοκρατορία
Η απελευθέρωση της Θεσσαλονίκης από την Οθωμανική ΑυτοκρατορίαΑφροδίτη Διαμαντοπούλου
 
ΤΟ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΚΙ ΜΑΣ_ 14ο _ΙΑΝ.2024_11ο ΝΗ
ΤΟ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΚΙ ΜΑΣ_ 14ο _ΙΑΝ.2024_11ο ΝΗΤΟ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΚΙ ΜΑΣ_ 14ο _ΙΑΝ.2024_11ο ΝΗ
ΤΟ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΚΙ ΜΑΣ_ 14ο _ΙΑΝ.2024_11ο ΝΗmarscord
 
Συμμετοχή στην Ευρωπαική ημέρα Θάλασσας- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας
Συμμετοχή στην Ευρωπαική ημέρα Θάλασσας- 7ο Γυμνάσιο ΚαβάλαςΣυμμετοχή στην Ευρωπαική ημέρα Θάλασσας- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας
Συμμετοχή στην Ευρωπαική ημέρα Θάλασσας- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας7gymnasiokavalas
 
Επανάληψη Γλώσσας Α' Λυκείου για τις τελικές εξετάσεις Ιουνίου.pptx
Επανάληψη Γλώσσας Α' Λυκείου για τις τελικές εξετάσεις Ιουνίου.pptxΕπανάληψη Γλώσσας Α' Λυκείου για τις τελικές εξετάσεις Ιουνίου.pptx
Επανάληψη Γλώσσας Α' Λυκείου για τις τελικές εξετάσεις Ιουνίου.pptxLucia Boulougari
 
Ποια είμαι εγώ; Ποιος είσαι εσύ;
Ποια είμαι εγώ;                 Ποιος είσαι εσύ;Ποια είμαι εγώ;                 Ποιος είσαι εσύ;
Ποια είμαι εγώ; Ποιος είσαι εσύ;Dimitra Mylonaki
 
ΕΜΕΙΣ ΕΔΩ ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΜΠΑΛΑ, εργασία για την οπαδική βία
ΕΜΕΙΣ ΕΔΩ ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΜΠΑΛΑ, εργασία για την οπαδική βίαΕΜΕΙΣ ΕΔΩ ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΜΠΑΛΑ, εργασία για την οπαδική βία
ΕΜΕΙΣ ΕΔΩ ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΜΠΑΛΑ, εργασία για την οπαδική βίαΑφροδίτη Διαμαντοπούλου
 
Πού οδηγούν τα έμφυλα στερεότυπα;
Πού οδηγούν τα έμφυλα                στερεότυπα;Πού οδηγούν τα έμφυλα                στερεότυπα;
Πού οδηγούν τα έμφυλα στερεότυπα;Dimitra Mylonaki
 
Φαινόμενο του θερμοκηπίου και κλιματική αλλαγή.pptx
Φαινόμενο του θερμοκηπίου και κλιματική αλλαγή.pptxΦαινόμενο του θερμοκηπίου και κλιματική αλλαγή.pptx
Φαινόμενο του θερμοκηπίου και κλιματική αλλαγή.pptxssuser0e846e
 
Ανακύκλωση - Κομποστοποίηση στο 56ο Γυμνάσιο Αθήνας
Ανακύκλωση - Κομποστοποίηση στο 56ο Γυμνάσιο ΑθήναςΑνακύκλωση - Κομποστοποίηση στο 56ο Γυμνάσιο Αθήνας
Ανακύκλωση - Κομποστοποίηση στο 56ο Γυμνάσιο ΑθήναςTassos Karampinis
 

Recently uploaded (16)

Safe Cycling - Εργασία για την ασφαλή ποδηλασία 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
Safe Cycling - Εργασία για την ασφαλή ποδηλασία 2ο Γυμνάσιο ΑλεξανδρούποληςSafe Cycling - Εργασία για την ασφαλή ποδηλασία 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
Safe Cycling - Εργασία για την ασφαλή ποδηλασία 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
 
Έμφυλα στερεότυπα
Έμφυλα                                       στερεότυπαΈμφυλα                                       στερεότυπα
Έμφυλα στερεότυπα
 
Safe Driving - Εργασία για την ασφαλή οδήγηση 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
Safe Driving - Εργασία για την ασφαλή οδήγηση 2ο Γυμνάσιο ΑλεξανδρούποληςSafe Driving - Εργασία για την ασφαλή οδήγηση 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
Safe Driving - Εργασία για την ασφαλή οδήγηση 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
 
Ναυμαχία της Ναυαρίνου 20 Οκτωβρίου 1827
Ναυμαχία της Ναυαρίνου 20 Οκτωβρίου 1827Ναυμαχία της Ναυαρίνου 20 Οκτωβρίου 1827
Ναυμαχία της Ναυαρίνου 20 Οκτωβρίου 1827
 
Ρατσισμός, ορισμός, είδη, αίτια , συνέπειες
Ρατσισμός, ορισμός, είδη, αίτια , συνέπειεςΡατσισμός, ορισμός, είδη, αίτια , συνέπειες
Ρατσισμός, ορισμός, είδη, αίτια , συνέπειες
 
Inclusion - Εργασία για τη συμπερίληψη 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
Inclusion - Εργασία για τη συμπερίληψη 2ο Γυμνάσιο ΑλεξανδρούποληςInclusion - Εργασία για τη συμπερίληψη 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
Inclusion - Εργασία για τη συμπερίληψη 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
 
Η απελευθέρωση της Θεσσαλονίκης από την Οθωμανική Αυτοκρατορία
Η απελευθέρωση της Θεσσαλονίκης από την Οθωμανική ΑυτοκρατορίαΗ απελευθέρωση της Θεσσαλονίκης από την Οθωμανική Αυτοκρατορία
Η απελευθέρωση της Θεσσαλονίκης από την Οθωμανική Αυτοκρατορία
 
ΤΟ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΚΙ ΜΑΣ_ 14ο _ΙΑΝ.2024_11ο ΝΗ
ΤΟ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΚΙ ΜΑΣ_ 14ο _ΙΑΝ.2024_11ο ΝΗΤΟ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΚΙ ΜΑΣ_ 14ο _ΙΑΝ.2024_11ο ΝΗ
ΤΟ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΚΙ ΜΑΣ_ 14ο _ΙΑΝ.2024_11ο ΝΗ
 
Συμμετοχή στην Ευρωπαική ημέρα Θάλασσας- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας
Συμμετοχή στην Ευρωπαική ημέρα Θάλασσας- 7ο Γυμνάσιο ΚαβάλαςΣυμμετοχή στην Ευρωπαική ημέρα Θάλασσας- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας
Συμμετοχή στην Ευρωπαική ημέρα Θάλασσας- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας
 
Επανάληψη Γλώσσας Α' Λυκείου για τις τελικές εξετάσεις Ιουνίου.pptx
Επανάληψη Γλώσσας Α' Λυκείου για τις τελικές εξετάσεις Ιουνίου.pptxΕπανάληψη Γλώσσας Α' Λυκείου για τις τελικές εξετάσεις Ιουνίου.pptx
Επανάληψη Γλώσσας Α' Λυκείου για τις τελικές εξετάσεις Ιουνίου.pptx
 
Σεβασμός .
Σεβασμός                                           .Σεβασμός                                           .
Σεβασμός .
 
Ποια είμαι εγώ; Ποιος είσαι εσύ;
Ποια είμαι εγώ;                 Ποιος είσαι εσύ;Ποια είμαι εγώ;                 Ποιος είσαι εσύ;
Ποια είμαι εγώ; Ποιος είσαι εσύ;
 
ΕΜΕΙΣ ΕΔΩ ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΜΠΑΛΑ, εργασία για την οπαδική βία
ΕΜΕΙΣ ΕΔΩ ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΜΠΑΛΑ, εργασία για την οπαδική βίαΕΜΕΙΣ ΕΔΩ ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΜΠΑΛΑ, εργασία για την οπαδική βία
ΕΜΕΙΣ ΕΔΩ ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΜΠΑΛΑ, εργασία για την οπαδική βία
 
Πού οδηγούν τα έμφυλα στερεότυπα;
Πού οδηγούν τα έμφυλα                στερεότυπα;Πού οδηγούν τα έμφυλα                στερεότυπα;
Πού οδηγούν τα έμφυλα στερεότυπα;
 
Φαινόμενο του θερμοκηπίου και κλιματική αλλαγή.pptx
Φαινόμενο του θερμοκηπίου και κλιματική αλλαγή.pptxΦαινόμενο του θερμοκηπίου και κλιματική αλλαγή.pptx
Φαινόμενο του θερμοκηπίου και κλιματική αλλαγή.pptx
 
Ανακύκλωση - Κομποστοποίηση στο 56ο Γυμνάσιο Αθήνας
Ανακύκλωση - Κομποστοποίηση στο 56ο Γυμνάσιο ΑθήναςΑνακύκλωση - Κομποστοποίηση στο 56ο Γυμνάσιο Αθήνας
Ανακύκλωση - Κομποστοποίηση στο 56ο Γυμνάσιο Αθήνας
 

ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6

  • 1. ΔΕΝΔΡΑΟΡΙΣΜΟΣ ΔΕΝΔΡΟΥ Ορισμός: (Θεώρημα των Δένδρων) Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: 1. Το γράφημα είναι δένδρο (δηλαδή υπάρχει μοναδικό απλό μονοπάτι από κάθε κορυφή v ∈ V σε κάθε κορυφή v ∈ V i j ) 2. Το γράφημα είναι συνδεόμενο και άκυκλο 3. Το γράφημα είναι συνδεόμενο και έχει ακμές 4. Το γράφημα είναι άκυκλο και έχει ακμές 5. Το γράφημα είναι ελαχιστοτικά συνδεδέμένο (είναι συνδεδεμένο και αν του αφαιρέσουμε έστω μία ακμή παύει να είναι συνδεδεμένο) 6. Το γράφημα είναι μεγιστοτικά άκυκλο (είναι άκυκλο και αν του προσθέσουμε έστω μία ακμή παύει να είναι άκυκλο) Τελικά το δένδρο είναι ένα άκυκλο συνδεόμενο γράφημα με n-1 ακμές που υπάρχει μοναδικό απλό μονοπάτι μεταξύ κάθε δύο διαφορετικών κορυφών Παράδειγμα: Το ακόλουθο είναι ένα δένδρο: Ορισμός: (Δάσος) Ένα γράφημα , είναι δάσος αν είναι η ένωση δένδρων Ή ισοδύναμα είναι ένα μη συνδεόμενο γράφημα που κάθε συνεκτική συνιστώσα είναι δένδρο ΔΕΝΔΡΑΡΙΖΩΜΕΝΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΔΕΝΔΡΟΥ Ορισμός: (Ριζωμένη Απεικόνιση Δένδρου) Κάθε δένδρο μπορεί να αναπαρασταθεί διατεταγμένα, αν επιλέξουμε μια κορυφή ως τη ρίζα του δένδρου. Με βάση αυτήν την απεικόνιση ορίζουμε: • Το επίπεδο (ή βάθος) κορυφής που είναι η απόσταση (σε πλήθος ακμών) της κορυφής από τη ρίζα (στο παράδειγμα το επίπεδο της κορυφής v6 είναι 3) • Το ύψος του δένδρου που είναι το μέγιστο επίπεδο κορυφής (στο παράδειγμα = 4) • Το βαθμό του δένδρου που είναι ο μέγιστος βαθμός κορυφής (στο παράδειγμα =6 λόγω της v4) • Κάθε κορυφή με βαθμό 1 λέγεται φύλλο (ή τερματική κορυφή ή μενταγιον) • Κάθε κορυφή με βαθμό >1 λέγεται εσωτερική κορυφή (ή κορυφή διακλάδωσης) • Ισχύει σε κάθε δένδρο ο τύπος: n=φ+ε • Όπου n: πλήθος κορυφών, φ: πλήθος φύλλων, ε: πλήθος εσωτερικών κορυφών Παράδειγμα: Βλέπουμε ένα δένδρο (αριστερά) και μία ριζωμένη απεικόνισή του (επιλέγοντας ως ρίζα την ) ΔΕΝΔΡΑΛΗΜΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΕΝΔΡΑ Λήμματα που ισχύουν στα δένδρα: 1. Κάθε δένδρο είναι απλό γράφημα 2. Κάθε δένδρο είναι διχοτομίσιμο γράφημα 3. Κάθε δένδρο είναι επίπεδο γράφημα 4. Κάθε δένδρο με |V|≥2 έχει τουλάχιστον 2 φύλλα. 5. Κάθε δένδρο με |V|>2 έχει τουλάχιστον μία εσωτερική κορυφή 6. Αν μια κορυφή έχει βαθμό k, τότε το δένδρο έχει τουλάχιστον k φύλλα. 7. Κάθε εσωτερική κορυφή είναι σημείο κοπής και κάθε ακμή είναι γέφυρα. 8. Αν αφαιρέσουμε ένα φύλλο από ένα δένδρο, τότε το γράφημα παραμένει δένδρο 9. Κάθε μεγιστοτικό μονοπάτι ξεκινάει και καταλήγει σε φύλλο. ΔΕΝΔΡΑΣΥΝΔΕΤΙΚΑ ΔΕΝΔΡΑ Ορισμός: Σε ένα συνδεόμενο μη κατευθυνόμενο γράφημα G V, E ορίζουμε ως συνδετικό δένδρο Τ (ή αλλιώς γεννητορικό ή επικαλυπτικό δένδρο) του γραφήματος: Ένα υπογράφημα του G που είναι δένδρο και περιέχει όλες τις κορυφές του G Παράδειγμα: Βλέπουμε ένα γράφημα και δύο συνδετικά του δένδρα (ένα γράφημα έχει πολλά συνδετικά δένδρα) Παρατηρήσεις: • Ένα γράφημα έχει συνδετικό δένδρο αν και μόνο αν είναι συνδεόμενο • Ένα γράφημα μπορεί να έχει πολλά συνδετικά δένδρα. • Ένα δένδρο έχει μόνο ένα συνδετικό δένδρο (τον εαυτό του) • Ένα συνδετικό δένδρο μπορεί να υπολογιστεί με τον αλγόριθμο διάσχισης πρώτα κατά βάθος και τον αλγόριθμο διάσχισης πρώτα κατά πλάτος. ΔΕΝΔΡΑΔΙΑΣΧΙΣΗ ΚΑΤΑ ΒΑΘΟΣ Σκιαγράφηση Αλγόριθμου Πρώτα κατά Βάθος: «Βολίδα που εξερευνά το γράφο κατασκευάζοντας το συνδετικό δένδρο» Ο αλγόριθμος δέχεται ως είσοδο ένα συνδεόμενο γράφημα και παράγει ένα συνδετικό δένδρο. Στην αρχικοποίηση: • Τοποθετούμε την βολίδα σε μια (αυθαίρετη) κορυφή. Την κορυφή την τοποθετούμε στο συνδετικό δένδρο Σε κάθε βήμα: • Αν υπάρχει γειτονική κορυφή που δεν έχει επισκεφθεί, μεταβαίνει και την τοποθετεί στο συνδετικό δένδρο μαζί με την ακμή μετάβασης. • Αν δεν υπάρχει κορυφή που δεν έχει επισκεφθεί, πηγαίνει στην ακριβώς προηγούμενη κορυφή που είχε επισκεφθεί. Τερματισμός: • Όταν όλες οι κορυφές εισαχθούν στο δένδρο. Βηματα:Παράδειγμα: Αρχικό Γράφημα: Συνδετικό Δένδρο της Κατά Βάθος: Βήμα 0 Βήμα 1 Βήμα 2 Βήμα 3 Βήμα 4 Βήμα 5 Βήμα 6 Βήμα 7 Βήμα 8 Βήμα 9 Βήμα 10 Βηματα: ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΚΑΤΑ ΠΛΑΤΟΣ Σκιαγράφηση Αλγόριθμου Πρώτα κατά Πλάτος: «κατασκευή του δένδρου κατά επίπεδα» Ο αλγόριθμος δέχεται ως είσοδο ένα συνδεόμενο γράφημα και παράγει ένα συνδετικό δένδρο. Στην αρχικοποίηση: • Τοποθετούμε αυθαίρετα μία κορυφή στο συνδετικό δένδρο Σε κάθε βήμα: • Επιλέγουμε τρέχουσα κορυφή (με βάση την σειρά με την οποία μπήκε στο συνδετικό δένδρο) • Κάθε γειτονική της κορυφή που δεν έχει μπει στο δένδρο την θέτουμε ως παιδί της (με αυθαίρετη σειρά) Τερματισμός: • Όταν όλες οι κορυφές εισαχθούν στο δένδρο. Παράδειγμα: Αρχικό Γράφημα: Συνδετικό Δένδρο της Κατά Βάθος: Βήμα 0 Βήμα 1 Βήμα 2 Βήμα 3 Βήμα 4 Βήμα 5 Βήμα 6 ΔΕΝΔΡΑ
  • 2. Παράδειγμα: Σχηματική απεικόνιση μετά την εκτέλεση 3 βημάτων σε ένα γράφημα: Επόμενη ακμή που επιλέγεται είναι η [v2,v3] ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ PRIM Σκιαγράφηση Αλγόριθμου Prim: Στην αρχικοποίηση: • Τοποθετούμε αυθαίρετα μια κορυφή στο συνδετικό δένδρο Σε κάθε βήμα: • Υποψήφιες ακμές για να μπουν στο συνδετικό δένδρο είναι εκείνες οι ακμές που έχουν το ένα τους άκρο στο υπο κατασκευή συνδετικό δένδρο και το άλλο τους άκρο εκτός του συνδετικού δένδρου. • Επιλέγεται η ακμή με το ελάχιστο βάρος από τις υποψήφιες • Η ακμή εισάγεται στο δένδρο καθώς και το άκρο της που δεν ανήκε στο δένδρο. Τερματισμός: • Όταν όλες οι κορυφές εισαχθούν στο δένδρο. ΔΕΝΔΡΑ Ορισμός: Σε ένα συνδεόμενο μη κατευθυνόμενο γράφημα , , ορίζουμε ως ελάχιστο συνδετικό δένδρο Τ (ή αλλιώς ελάχιστο γεννητορικό ή ελάχιστο επικαλυπτικό δένδρο) του γραφήματος: • Ένα υπογράφημα του G που είναι δένδρο, περιέχει όλες τις κορυφές του G και έχει ελάχιστο βάρος (άθροισμα βαρών των ακμών του) ( )>0: ∆εν διατηρείται ( )>0: ∆ιατηρείται ( )>0: ∆ιατηρείται ( )>0: ∆ιατηρείται Αρν.Βάρη:× Αρν.Βάρη: √ ΣΥΝΟΨΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΔΕΝΔΡΑ Dijkstra Prim Κατά Βάθος Κατά Πλάτος Συντομότερα Μονοπάτια √ × × Αν όλα τα βάρη ίδια: √ Ελάχιστο Συνδετικό Δένδρο Αν όλα τα βάρη ίδια: √ √ Αν όλα τα βάρη ίδια: √ Αν όλα τα βάρη ίδια: √ Συνδετικό Δένδρο √ √ √ √ ΔΕΝΔΡΑΔΥΑΔΙΚΑ ΔΕΝΔΡΑ και m-ΑΔΙΚΑ ΔΕΝΔΡΑ Ορισμοί: • Το m-αδικό δένδρο είναι ριζωμένο δένδρο που κάθε κορυφή έχει το πολύ m παιδιά • Το δυαδικό δένδρο είναι ριζωμένο δένδρο που κάθε κορυφή έχει το πολύ 2 παιδιά • Το πλήρες δυαδικό δένδρο είναι ριζωμένο δένδρο που κάθε κορυφή έχει 0 ή 2 παιδιά • Το πλήρες ισοζυγισμένο δυαδικό δένδρο είναι πλήρες δυαδικό δένδρο και όλα τα φύλλα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο του δένδρου. Παράδειγμα: Το ακόλουθο είναι ένα δένδρο: Λήμματα: • Ένα πλήρες ισοζυγισμένο δυαδικό δένδρο με ύψος H έχει συνολικά 2 1 κορυφές όπου: • οι 2 είναι φύλλα και • οι 2 1 είναι εσωτερικές κορυφές • Σε ένα πλήρες δυαδικό ισοζυγισμένο δένδρο ύψους H ισχύει H log$ t (όπου t τα φύλλα του δένδρου) • Σε ένα πλήρες δυαδικό δένδρο ύψους H ισχύει H & log$ t (όπου t τα φύλλα του δένδρου) ΔΕΝΔΡΑΔΥΑΔΙΚΑ ΔΕΝΔΡΑ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ Ορισμός: Ένα Δυαδικό Δένδρο Αναζήτησης είναι ένα Δυαδικό Δένδρο που σε κάθε κορυφή του έχει αποθηκευτεί μια πληροφορία με την ιδιότητα: • Στις κορυφές του αριστερού του υποδένδρου έχουν αποθηκευτεί τιμές «μικρότερες» της ρίζας. • Στις κορυφές του δεξιού του υποδένδρου έχουν αποθηκευτεί τιμές «μεγαλύτερες» της ρίζας. • Η ίδια ιδιότητα ισχύει σε οποιοδήποτε υποδένδρο του δυαδικού δένδρου αναζήτησης (σειρά επίσκεψης): 10,6,5,2,3,7,8,14,19 (σειρά επίσκεψης): 2,3,5,6,7,8,10,14,19(σειρά επίσκεψης): 2,3,5,6,7,8,10,14,19 ΔΙΑΣΧΙΣΕΙΣ ΔΥΑΔΙΚΩΝ ΔΕΝΔΡΩΝ: Την προδιατεταγμένη διάσχιση. Που εκτελεί τη σειρά επίσκεψης: • Τρέχουσα Κορυφή,Αριστερό Υποδένδρο, Δεξί Υποδένδρο • (Γραμμή Αριστερά) Την ενδοδιατεταγμένη διάσχιση. Που εκτελεί τη σειρά επίσκεψης: • Αριστερό Υποδένδρο, Τρέχουσα Κορυφή,Δεξί Υποδένδρο • (Γραμμή Κάτω) Την μεταδιατεταγμένη διάσχιση. Που εκτελεί τη σειρά επίσκεψης: • Αριστερό Υποδένδρο,Δεξί Υποδένδρο, Τρέχουσα Κορυφή • (Γραμμή Δεξιά)