ΠΛΗ20
ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ
Μάθηµα 3.7:
Η Γλώσσα των Κατευθυνόµενων ΓραφηµάτωνΗ Γλώσσα των Κατευθυνόµενων Γραφηµάτων
∆ηµήτρης Ψούνης

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Α. Σκοπός του Μαθήµατος
Β.Θεωρία
1. Εισαγωγικοί Ορισµοί
1. Κατευθυνόνοµενο Γράφηµα
2. Μονοπάτια
3. Κύκλοι
4. Έσω και Έξω Βαθµός Κορυφής
5. Αποµονωµένη Κορυφή
6. Πλήρες Γράφηµα
2∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.7: Η γλώσσα των κατευθυνόµενων γραφηµάτων
6. Πλήρες Γράφηµα
2. Η Γλώσσα των Κατευθυνόµενων Γραφηµάτων
1. Η Γλώσσα των Κατευθυνόµενων Γραφηµάτων
2. Ερµηνείες στην Γλώσσα των Κατευθυνόµενων Γραφηµάτων
3. Ασκήσεις στην Γλώσσα των Κατευθυνόµενων Γραφηµάτων
1. Μετάφραση στα Ελληνικά
2. Μετάφραση στα Κατηγορηµατικά
3. Εύρεση Αλήθειας Προτάσεων
4. Εύρεση Ερµηνείας που ικανοποιεί δεδοµένη πρόταση
5. Συντοµογραφίες στην Γλώσσα των Κατευθυνόµενων Γραφηµάτων.
Γ.Ασκήσεις
1. Ερωτήσεις
2. Εφαρµογές
3. Θέµατα Εξετάσεων

Α. Σκοπός του Μαθήµατος
Επίπεδο Α
Όλο το µάθηµα είναι απόλυτα SOS για τις τελικές εξετάσεις.
Επίπεδο Β
(-)
Επίπεδο Γ
(-)
3∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.7: Η γλώσσα των κατευθυνόµενων γραφηµάτων
(-)

B. Θεωρία
1. Ορισµοί Κατευθυνόµενων Γραφηµάτων
1. Κατευθυνόµενο Γράφηµα
4∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.7: Η γλώσσα των κατευθυνόµενων γραφηµάτων

B. Θεωρία
1. Ορισµοί Κατευθυνόµενων Γραφηµάτων
1. Κατευθυνόµενο Γράφηµα (Τύποι Ακµών)
5∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.7: Η γλώσσα των κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Ένα κατευθυνόµενο γράφηµα:
• Έχει τουλάχιστον 1 κορυφή (∆εν υπάρχει γράφηµα χωρίς κορυφές)
• Οι ακµές που έχουµε χαρακτηρίζονται ως:
• Ανακυκλώσεις (Είναι ακµές µε αρχή και τέλος την ίδια κορυφή)• Ανακυκλώσεις (Είναι ακµές µε αρχή και τέλος την ίδια κορυφή)
• Παράλληλες Ακµές (Είναι ακµές µε κοινά άκρα και κοινή φορά)
• Αντιπαράλληλες ακµές (Είναι ακµές µε κοινά άκρα και αντίθετη φορά)

B. Θεωρία
1. Ορισµοί Κατευθυνόµενων Γραφηµάτων
1. Κατευθυνόµενο Γράφηµα
6∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.7: Η γλώσσα των κατευθυνόµενων γραφηµάτων

B. Θεωρία
1. Ορισµοί Κατευθυνόµενων Γραφηµάτων
2. Μονοπάτια
7∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.7: Η γλώσσα των κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Ορισµός:
• Μονοπάτι P µήκους n από µία κορυφή v0 σε µία κορυφή vn είναι
• µια ακολουθία n ακµών (ακολουθώντας τις κατευθύνσεις τους)
• (άρα n+1 κορυφών)
που ξεκινά από την κορυφή v0 και καταλήγει στην vn
• Απλό µονοπάτι είναι ένα µονοπάτι χωρίς επαναλαµβανόµενες κορυφές
Άσκηση: Στο παρακάτω γράφηµα
1. Καταγράψτε ένα µονοπάτι µήκους 2
2. Καταγράψτε ένα µονοπάτι µήκους 6
3. Ποιο είναι το µέγιστο µήκος απλού µονοπατιού;

B. Θεωρία
1. Ορισµοί Κατευθυνόµενων Γραφηµάτων
3. Κύκλοι
8∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.7: Η γλώσσα των κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Ορισµός:
• Κύκλος είναι ένα µονοπάτι χωρίς επαναλαµβανόµενες ακµές που αρχίζει και
τελειώνει στην ίδια κορυφή
• Επιτρέπεται να περάσουµε από την ίδια κορυφή.
• ∆εν επιτρέπεται να περάσουµε από την ίδια ακµή.
• Απλός Κύκλος είναι ένας κύκλος χωρίς επαναλαµβανόµενες κορυφές• Απλός Κύκλος είναι ένας κύκλος χωρίς επαναλαµβανόµενες κορυφές
• ∆εν επιτρέπεται να περάσουµε από την ίδια κορυφή
• ∆εν επιτρέπεται να περάσουµε από την ίδια ακµή
Άσκηση: Στο παρακάτω γράφηµα
1. Καταγράψτε ένα κύκλο µήκους 3
2. Καταγράψτε ένα κύκλο µήκους 6
3. Ποιος από τους παράπάνω κύκλους είναι απλός;

B. Θεωρία
1. Ορισµοί Κατευθυνόµενων Γραφηµάτων
4. Έσω και Έξω Βαθµός Κορυφής
9∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.7: Η γλώσσα των κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Άσκηση: Στο παρακάτω γράφηµα υπολογίστε τον έσω και τον έξω βαθµό κάθε κορυφής:

B. Θεωρία
1. Ορισµοί Κατευθυνόµενων Γραφηµάτων
5. Αποµονωµένη Κορυφή
10∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.7: Η γλώσσα των κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Ορισµός:
• Μία κορυφή θα χαρακτηρίζεται αποµονωµένη κορυφή αν δεν εισέρχονται ούτε
εξέχονται ακµές από άλλες κορυφές.
• Άµεση συνέπεια του ορισµού είναι ότι σε µια αποµονωµένη κορυφή επιτρέπεται να
έχουµε ανακυκλώσεις.έχουµε ανακυκλώσεις.
Άσκηση: Κατασκευάστε κατευθυνόµενο γράφηµα 4 κορυφών και 6 ακµών µε 2 αποµονωµένες
κορυφές.

B. Θεωρία
2. Η Γλώσσα των Κατευθυνόµενων Γραφηµάτων
1. Η Γλώσσα των Κατευθυνόµενων Γραφηµάτων
11∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.7: Η γλώσσα των κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Ορισµός: Ορίζουµε τη γλώσσα των κατευθυνόµενων γραφηµάτων να
συµπεριλαµβάνει ερµηνείες που περιλαµβάνουν τα εξής στοιχεία:
• Το σύµπαν είναι το σύνολο κορυφών |Α|={1,2,…,n} (Γράφηµα µε n κορυφές)
• Το κατηγορηµατικό σύµβολο P(x,y) είναι αληθές αν υπάρχει η κατευθυνόµενη ακµή
από το x στο y.
!!! Παρατηρούµε ότι σε ένα γράφηµα της ερµηνεία αυτής µπορούν να περιλαµβάνονται
αντιπαράλληλες ακµές και ανακυκλώσεις (οχι όµως παραλληλες ακµές)!!!

B. Θεωρία
2. Η Γλώσσα των Κατευθυνόµενων Γραφηµάτων
2. Ερµηνείες της Γλωσσας των Κ.Γ.
12∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.7: Η γλώσσα των κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Στο παρακάτω σχήµα βλέπουµε 6 ερµηνείες (γραφήµατα) µε σύµπαν 4 κορυφών:

B. Θεωρία
3. Ασκήσεις στην Γλώσσα των Κ.Γ.
13∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.7: Η γλώσσα των κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Μία πρόταση κατηγορηµατικής λογικής στην ερµηνεία αυτή εκφράζει µία
γραφοθεωρητική ιδιότητα. Συνεπώς ως µορφή άσκησης ζητείται :
1. Να µεταφράσουµε µία πρόταση της κατηγορηµατικής λογικής στα ελληνικά.
2. Να εκφράσουµε µία πρόταση των ελληνικών σε κατηγορηµατική λογική.2. Να εκφράσουµε µία πρόταση των ελληνικών σε κατηγορηµατική λογική.
3. Να βρούµε αν αληθεύει µια πρόταση κατηγορηµατικής λογικής σε ένα
συγκεκριµένο γράφηµα.
4. Να βρούµε ένα γράφηµα στο οποίο αληθεύει ένας ή περισσότεροι τύποι.
5. Να γράψουµε συντοµογραφίες και να τις χρησιµοποιήσουµε για να γράψουµε
περίπλοκες προτάσεις
Βασικό µας εργαλείο παραµένει ο µεταφραστικός πίνακας, όπου τώρα το «στοιχείο»
µεταφράζεται σε «κορυφή» και το κατηγόρηµα P(x,y) εκφράζει την ύπαρξη ακµής από
µία κορυφή σε µια άλλη κορυφή.

B. Θεωρία
3. Ασκήσεις στην Γλώσσα των Κ.Γ.
1. Μετάφραση στα Ελληνικά
14∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.7: Η γλώσσα των κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Μετάφραση από Κατηγορηµατική Λογική στα Ελληνικά
Και πάλι το βασικό µας εργαλείο είναι ο µεταφραστικός πίνακας και η πρόταση
µεταφράζεται «από έξω προς τα µέσα»
• Πρώτα εξωτερικοί ποσοδείκτες
• Μετά το πεδίο εφαρµογής αναδροµικά κ.λπ.
Στο µυαλό µας έχουµε:
• Μία µεταβλητή αντιστοιχίζεται σε στοιχείο του σύµπαντος, άρα σε κορυφή
• Το κατηγόρηµα P(x,y) αληθεύει αν υπάρχει ακµή από την κορυφή του 1ου ορίσµατος
(x) στην κορυφή του 2ου ορίσµατος (y)
Η µετάφραση µιας πρότασης θα εκφράζει µια ιδιότητα γραφηµάτων!

B. Θεωρία
3. Ασκήσεις στην Γλώσσα των Κ.Γ.
1. Μετάφραση στα Ελληνικά
15∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.7: Η γλώσσα των κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Άσκηση 1: Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα µε ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P.
Ερµηνεύουµε τη γλώσσα αυτή σε κατευθυνόµενα γραφήµατα χωρίς παράλληλες ακµές όπου το
σύµπαν είναι οι κορυφές του γραφήµατος και το διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P(x, y)
ερµηνεύεται ως «υπάρχει ακµή από την κορυφή x στην κορυφή y». Να µεταφράσετε στα ελληνικά
τις ακόλουθες στοιχειώδεις προτάσεις ποσοδεικτών:
Τύπος ΜετάφρασηΤύπος Μετάφραση
1
2
3
4
5
6
7
8
9

B. Θεωρία
3. Ασκήσεις στην Γλώσσα των Κ.Γ.
1. Μετάφραση στα Ελληνικά
16∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.7: Η γλώσσα των κατευθυνόµενων γραφηµάτων

B. Θεωρία
3. Ασκήσεις στην Γλώσσα των Κ.Γ.
2. Μετάφραση σε Κατηγορηµατική λογική
17∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.7: Η γλώσσα των κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Μετάφραση από τα Ελληνικά στην Κατηγορηµατική Λογική
Το στήσιµο της πρότασης από τα ελληνικά στην κατηγορηµατική λογική γίνεται από
έξω προς τα µέσα, δηλαδή:
• Εντοπίζουµε τους εξωτερικούς ποσοδείκτες που καθορίζουν το νόηµα της πρότασης
• Εξειδικεύουµε µε τους συνδέσµους και γράφουµε τις υπο-προτάσεις.
Η διαδικασία λοιπόν είναι όµοια µε αυτά που είδαµε και σε άλλες ερµηνείες.Η διαδικασία λοιπόν είναι όµοια µε αυτά που είδαµε και σε άλλες ερµηνείες.
Η επόµενη άσκηση είναι σηµαντική γιατί εκφράζει τις βασικές ιδιότητες που είδαµε ότι
ορίζονται στα κατευθυνόµενα γραφήµατα:
• Ανακυκλώσεις
• Αντιπαράλληλες Ακµές
• Μονοπάτια (απλά και µη απλά)
• Κύκλοι (απλοί και µη απλοί)
• Πλήρες Γράφηµα
Οι έννοιες των βαθµών κορυφής εκφράζονται µέσω συντοµογραφιών που θα δούµε
αµέσως µετά.

B. Θεωρία
3. Ασκήσεις στην Γλώσσα των Κ.Γ.
2. Μετάφραση σε Κατηγορηµατική Λογική
18∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.7: Η γλώσσα των κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Άσκηση 3: Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα µε ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P.
Ερµηνεύουµε τη γλώσσα αυτή σε κατευθυνόµενα γραφήµατα χωρίς παράλληλες ακµές όπου το
σύµπαν είναι οι κορυφές του γραφήµατος και το διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P(x, y)
ερµηνεύεται ως «υπάρχει ακµή από την κορυφή x στην κορυφή y».
1. Όλες οι κορυφές έχουν ανακύκλωση
2. Υπάρχει ζεύγος κορυφών που συνδέονται µε αντιπαράλληλες ακµές.
3. Υπάρχει µονοπάτι µήκους 2
4. Υπάρχει απλό µονοπάτι µήκους 2
5. Υπάρχει κύκλος µήκους 3
6. Υπάρχει απλός κύκλος µήκους 3
7. Το γράφηµα είναι πλήρες

B. Θεωρία
3. Ασκήσεις στην Γλώσσα των Κ.Γ.
3. Εύρεση αλήθειας προτάσεων
19∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.7: Η γλώσσα των κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Εύρεση Αλήθειας Προτάσεων
Όπως είδαµε και από τα προηγούµενα παραδείγµατα µία πρόταση κατηγορηµατικής
λογικής στη γλώσσα αυτή, εκφράζει µια ιδιότητα γραφηµάτων.
• Άρα το αν είναι αληθής ή ψευδής εξαρτάται από την ερµηνεία (=συγκεκριµένο
γράφηµα).
Συνεπώς στην άσκηση αυτή, µας δίδονται:
• Μία πρόταση ΚΛ
• και ένα (ή περισσότερα) συγκεκριµένα γραφήµατα
Στην περίπτωση αυτή:
• Μεταφράζουµε την πρόταση κατηγορηµατικής λογικής και
• Μελετώντας το γράφηµα αποφασίζουµε αν είναι αληθής ή ψευδής.

B. Θεωρία
3. Ασκήσεις στην Γλώσσα των Κ.Γ.
3. Εύρεση Αλήθειας Προτάσεων
20∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.7: Η γλώσσα των κατευθυνόµενων γραφηµάτων

B. Θεωρία
3. Ασκήσεις στην Γλώσσα των Κ.Γ.
4. Εύρεση ερµηνείας που ικανοποιεί τύπο
21∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.7: Η γλώσσα των κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Σε αυτό τον τύπο άσκησης:
• Μας δίνονται ένας ή περισσότεροι τύποι κατηγορηµατικής λογικής
• Μας ζητείται να βρούµε ερµηνεία που κάνει αληθείς όλους τους τύπους του
συνόλου.
Στην περίπτωση αυτή µεταφράζουµε τις προτασεις, βρίσκουµε τις ιδιότητες και
κατασκευαζουµε ένα γράφηµα που ικανοποιεί όλες τις ιδιότητες που έχουµε.κατασκευαζουµε ένα γράφηµα που ικανοποιεί όλες τις ιδιότητες που έχουµε.
Σηµειώστε ότι η εύρεση µιας ερµηνείας που ικανοποιεί προτάσεις είναι ζητούµενο
στους ορισµούς του µαθήµατος 6. Όπως είδαµε η γλώσσα των κατευθυνόµενων
γραφηµάτων είναι η καλύτερη δυνατή για να:
• Αποδείξουµε ότι ένας τύπος είναι ικανοποιήσιµος
• Αποδείξουµε ότι ένα σύνολο τύπων είναι ικανοποιήσιµο
• Αποδείξουµε ότι ένας τύπος δεν είναι λογικά έγκυρος
• Αποδείξουµε ότι δεν ισχύει µια λογική συνεπαγωγή.

B. Θεωρία
3. Ασκήσεις στην Γλώσσα των Κ.Γ.
4. Εύρεση Ερµηνείας που ικανοποιεί τύπο
22∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.7: Η γλώσσα των κατευθυνόµενων γραφηµάτων

B. Θεωρία
3. Ασκήσεις στην Γλώσσα των Κ.Γ.
5. Συντοµογραφίες στα Κατευθυνόµενα Γραφήµατα
23∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.7: Η γλώσσα των κατευθυνόµενων γραφηµάτων

B. Θεωρία
3. Ασκήσεις στην Γλώσσα των Κ.Γ.
5. Συντοµογραφίες στα Κατευθυνόµενα Γραφήµατα
24∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.7: Η γλώσσα των κατευθυνόµενων γραφηµάτων

B. Θεωρία
3. Ασκήσεις στην Γλώσσα των Κ.Γ.
5. Συντοµογραφίες στα Κατευθυνόµενα Γραφήµατα
25∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.7: Η γλώσσα των κατευθυνόµενων γραφηµάτων

Γ. Ασκήσεις
Ερωτήσεις 1
26∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.7: Η γλώσσα των κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα µε ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P.
Ερµηνεύουµε τη γλώσσα αυτή στο κατευθυνόµενο γράφηµα του σχήµατος ώστε οι
µεταβλητές να ερµηνεύονται ως κορυφές του γραφήµατος και το σύµβολο P µε τη σχέση
που αποτελείται από όλα τα ζευγάρια κορυφών (a,b) για τα οποία υπάρχει ακµή από την
a στη b. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν σε αυτή την ερµηνεία;
1.1. ∃∃xx∀∀yy ¬¬PP((xx,, yy))
2.2. ∀∀xx∀∀yy ¬¬PP((xx,, yy))
3.3. ∃∃xx∀∀yy PP((xx,, yy))
4. ∀x∀y ∃z(P(z, x) ∧ P(z, y))

Γ. Ασκήσεις
1. Θέµατα Εξετάσεων
Θέµα Εξετάσεων 2006B
27∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.7: Η γλώσσα των κατευθυνόµενων γραφηµάτων

Γ. Ασκήσεις
1. Θέµατα Εξετάσεων
Θέµα Εξετάσεων 2006B
28∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.7: Η γλώσσα των κατευθυνόµενων γραφηµάτων

Γ. Ασκήσεις
1. Θέµατα Εξετάσεων
Θέµα Εξετάσεων 2007B
29∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.7: Η γλώσσα των κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα µε ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο Q.
Ερµηνεύουµε τη γλώσσα αυτή σε κατευθυνόµενα γραφήµατα χωρίς παράλληλες ακµές
όπου το σύµπαν είναι οι κορυφές του γραφήµατος και το διµελές κατηγορηµατικό
σύµβολο Q(x, y) ερµηνεύεται ως «υπάρχει ακµή από την κορυφή x στην κορυφή y».
1) ∆ίνεται η πρόταση θ = ∃x ∃x1 ∃x2 ∃x3 ∃y [ Q(x, x1) ∧ Q(x1, x2) ∧ Q(x2, x3) ∧ Q(x3 ,y) ] .1) ∆ίνεται η πρόταση θ = ∃x ∃x1 ∃x2 ∃x3 ∃y [ Q(x, x1) ∧ Q(x1, x2) ∧ Q(x2, x3) ∧ Q(x3 ,y) ] .
Να εξηγήσετε (στη φυσική γλώσσα) ποια γραφήµατα επαληθεύουν την θ. Να δώσετε µια
δοµή µε τουλάχιστον 4 κορυφές που επαληθεύει την πρόταση θ. Να δώσετε µια δοµή µε
το πολύ 3 κορυφές που επαληθεύει την πρόταση θ.

Γ. Ασκήσεις
1. Θέµατα Εξετάσεων
Θέµα Εξετάσεων 2007B
30∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.7: Η γλώσσα των κατευθυνόµενων γραφηµάτων
(2) Να διατυπώσετε µια πρόταση που αληθεύει στο γράφηµα (i) παραπλεύρως και δεν
αληθεύει στο γράφηµα (ii).
(3) ∆ίνεται η πρόταση φ = ∃x { ¬Q(x, x) ∧ ∀y [ x ≠ y → ( Q(x, y) ∧ ∀z ¬Q(y, z) ) ] }.
Να εξηγήσετε (στη φυσική γλώσσα και χρησιµοποιώντας την έννοια του έξω-βαθµού
κορυφής) ποια γραφήµατα επαληθεύουν την φ. Να δώσετε µια δοµή µε τουλάχιστον 5
κορυφές που επαληθεύει την πρόταση φ.
Υπόδειξη: Σκεφθείτε ποιες κορυφές ικανοποιούν τον τύπο ψ(x) = ∀y [ x ≠ y → ( Q(x, y) ∧
∀z ¬Q(y, z) ) ].
Υπενθύµιση: Σε ένα κατευθυνόµενο γράφηµα, ο έξω-βαθµός µιας κορυφής u είναι ο
αριθµός των ακµών που ξεκινούν από την u.