Soal soal trigonometri

1. 1). Nilai sin 2x cos 3x + cos 2x sin 3x sama dengan nilai...
a. Sin x
b. Sin 5x
c. Sin 7x
d. Sin 3x
e. Sin 6x
Jawab:
Rumus: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
Sin 2x cos 3x + cos 2x sin 3x = sin (2x + 3x) = sin 5x (Jawaban:B)
2). Nilai dari sin 3x adalah...
a. Sin 2x cos x + cos 2x sin x
b. Sin x cos 2x + cos x sin x
c. Sin 2x cos x - cos 2x sin x
d. Sin x cos 2x - cos x sin x
e. 3 sin x
Jawab:
sin 3x = sin (2x + x)
Rumus: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin (2x + x) = sin 2x cos x + cos 2x sin x (Jawaban: A)
3). Diketahui (A+B) = π/3 dan sin A sin B = 1/4. Nilai dari cos (A-B) adalah...
a. -1
b. -1/2
c. 1/2
d. 3/4
e. 1
Jawab:

2. Kita ketahui bahwa π = 180°, (A+B) = π/3, dan sin A. sin B = 1/4.
Cos (A+B) = cos A. cos B - sin A. sin B
Cos π/3 = cos A. cos B - 1/4
cos 180/3 = cos A. cos B - 1/4
cos 60° = cos A. cos B - 1/4
1/2 = cos A. cos B - 1/4
1/2 + 1/4 = cos A. cos B
3/4 = cos A. cos B
Cos (A-B) = cos A. cos B + sin A. sin B
Cos (A-B) = 3/4 + 1/4
Cos (A-B) = 1 (Jawaban: E)
4). Jika 0° ≤ α ≤ 190° dan 0° ≤ β ≤ 180° memenuhi α + β = 2/3 π dan sin α = 2 sin β. Maka tan (α - β) adalah...
a. 1
b. √2
c. 2 - √3
d. √3
e. 20 + √3
Jawab:
α + β = 2/3 π
α = 2/3 π - β
sin α = 2 sin β
sin (2/3 π - β) = 2 sin β
sin 2/3 π . cos β - cos 2/3 π . sin β = 2 sin β
sin 120° . cos β - cos 120° . sin β = 2 sin β
1/2 √3 . cos β + 1/2 . sin β = 2 sin β
1/2 √3 . cos β = 2 sin β - 1/2 . sin β
1/2 √3 . cos β = 3/2 sin β (cos β pindah ke ruas kanan)
1/2 √3 = 3/2 sin β / cos β

3. 1/2 √3 = 3/2 tan β
tan β = 1/2 √3 : 3/2
tan β = 1/2 √3 x 2/3
tan β = 1/3 √3
β = 30°
α + β = 2/3 π
α = 2/3 π - β
α = 120° - 30°
α = 90°
dit: tan (α-β)
tan (α-β) = tan (90° - 30°)
tan (α-β) = tan 60°
tan (α-β) = √3 (Jawaban: D)
5). Sudut sudut sebuah segitiga ABC adalah α, β, dan γ. Jika sin α = p dengan α lancip maka tan (β + γ)
adalah...
a. √1-p²
b. -√1-p² /p
c. p / √1-p²
d. -p / √1-p²
e. - p/1-p
Jawab:
Diketahui sin α = p
cos² α = 1-sin² α
cos α = √(1-sin² α)
cos α = √(1-p²)
tan α = sin α / cos α
tan α = p / √(1-p²)

4. tan (β + γ) = tan (180 - α)
tan (β + γ) = -tan α
tan (β + γ) = -p / √(1-p²) => (Jawaban: D)
6). Jika tan A = 1/3 maka nilai tan (π/4-A) / tan (π/4+A) adalah...
a. 1
b. 3/4
c. 2/3
d. 1/3
e. 1/4
Jawab:
π/4 = 180/4 = 45° = 1
= tan (π/4-A) / tan (π/4+A)
= 1 - 1/3 / 1 + 1 . 1/3 => bagian atas
= 2/3 / 1 + 1/3
= 2/3 / 4/3
= 1/2
= 1 + 1/3 / 1 - 1. 1/3 => bagian bawah
= 4/3 / 1 - 1/3
= 4/3 / 2/3
= 2
tan (π/4-A) / tan (π/4+A) = 1/2 / 2
tan (π/4-A) / tan (π/4+A) = 1/2 x 1/2
tan (π/4-A) / tan (π/4+A) = 1/4 (Jawaban: E)
7). Jika 4 cos (π/6 + x) = 3 cos (π/6 - x) maka tan x adalah...
a. 1/7 √3
b. 1/6 √3
c. 1/4 √3

5. d. 1/3 √3
e. 1/2 √3
Jawab:
seperti yang diketahui π adalah nilai yang setara dengan 180°
4 cos (π/6 + x) = 3 cos (π/6 - x)
4 {cos π/6 . cos x - sin π/6 . sin x} = 3 {cos π/6 . cos x + sin π/6 . sin x}
4 {cos 30 . cos x - sin 30 . sin x} = 3 {cos 30 . cos x + sin 30 . sin x}
4 {1/2√3 . cos x - 1/2 . sin x} = 3 {1/2√3 . cos x + 1/2 . sin x}
4 {1/2√3 . cos x - 1/2 . sin x} - 3 {1/2√3 . cos x + 1/2 . sin x} = 0
4 {√3 cos x / 2 - sin x / 2} - 3 {√3 cos x / 2 + sin x / 2} = 0
4 {√3 cos x / 2 - sin x / 2} - 3 {√3 cos x / 2 + sin x / 2} = √3 cos x - 7 sin x / 2
√3 cos x - 7 sin x / 2 = 0 (Jika f (x) / g (x) = 0 maka f(x) = 0)
√3 cos x - 7 sin x = 0 (bagi dengan cos x)
√3 cos x - 7 sin x / cos x = 0 / cos x
√3 - 7 sin x / cos x = 0 (tan = sin / cos)
√3 - 7 tan x = 0
7 tan x = √3
tan x = √3 / 7
tan x = 1/7 √3 (Jawaban: A)
8). Jika A, B, dan C adalah sudut-sudut dalam sebuah segitiga maka sin 2A + sin 2B + sin 2C adalah...
a. 2 sin A sin B sin C
b. 2 cos Asin B cos C
c. 4 sin A sin B sin C
d. 2 sin A cos B cos C
e. 2 sin A cos B sin C
Jawab:
A + B + C = 180°

6. A + = 180° - (B+C)
2A = 360° - (2B+2C)
sin 2A = sin {360° - (2B+2C)}
sin 2A = sin 360° . cos (2B+2C) - cos 360° . sin (2B+2C)
sin 2A = 0 . cos (2B+2C) - 1 . sin (2B+ 2C)
sin 2A = -sin (2B+2C)
sin 2A = -{sin 2B . cos 2C + cos 2B . sin 2C}
sin 2A = -sin 2B . cos 2C - cos 2B . sin 2C
substitusikan ke soal yg ditanya:
sin 2A + sin 2B + sin 2C
= -sin 2B . cos 2C - cos 2B . sin 2C + sin 2B + sin 2C
= -sin 2B . cos 2C + sin 2B - cos 2B . sin 2C + sin 2C
= sin 2B (1 - cos 2C) + sin 2C (1 - cos 2B)
= 2 sin B cos B (2 sin² C) + 2 sin C cos C (2 sin² B)
= 4 sin B cos B (sin² C) + 4 sin C cos C (sin² B)
= 4 sin B sin C (cos B.sin C + cos C.sin B)
= 4 sin B sin C (sin B.cos C + cos B.sin C)
= 4 sin B sin C sin (B+C)
= 4 sin A sin B sin C (Jawaban : C)
9). 2 cos 15° (sin 15° + cos 15°) - 1 = ....
a. 1/2
b. 1/2 √3
c. 1/2 (√6 + 1)
d. 1/2 (√6 - 1)
e. 1/2 (√2 + 1)
Jawab:
2 cos 15° (sin 15° + cos 15°) - 1
= {2 cos 15°. sin 15° + 2 cos 15°. cos 15°} - 1

7. = {(sin (15°+15°) - sin (15°-15°)) + (cos (15°+15°) + cos (15°-15°)} - 1
= {sin 30° - sin 0 + cos 30° + cos 0} -1
= {1/2 - 0 + 1/2 √3 + 1} -1
= 1/2 + 1/2 √3
= 1/2 (1 + √3) =? tidak ada jawabannya
10). Jika diketahui x + y = 270° maka...
a. cos x + sin y = 0
b. cos x - sin y = 0
c. cos x + cos y = 0
d. sin x - sin y = 0
e. sin x + sin y = -1
Jawab:
x + y = 270°
x = 270° - y
Cos x = cos (270° - y)
cos x = - sin y (karena 270° berada di kuadran 4 maka sin negatif)
cos x + sin y = - sin y + sin y = 0 (Jawaban: A)
11). Jika x = 3 tan α maka sin α cos α adalah...
a. 5
b. 8
c. 10
d. 3x / x² + 9
e. -3x / x² + 9
Jawab:
misalkan: depan = A, samping = B, miring = C
3 tan α = x
tan α = x/3 => depan/samping => depan =x, samping =3 => A = x, B = 3

8. A/B = x/3
C² = A² + B² = x² + 3² = x² + 9
sin α cos α = A/C x B/C
sin α cos α = AB / C²
sin α cos α = x . 3 / x² + 9
sin α cos α = 3x / x² + 9 (Jawaban: D)
12). Jika α adalah sudut lancip yang memenuhi 2 cos² α = 1 + 2 sin α maka tan α adalah...
a. 2 + √5
b. √5 - 1
c. 2 + √3
d. √3 - 1
e. 2 - √3
Jawab:
"BELUM"
13). Diketahui nilai sin α cos β = 1/5 dan sin (α - β) = 3/5 untuk 0° ≤ α ≤ 180° dan 0° ≤ β ≤ 90°. Nilai sin (α +
β) = ...
a. -3/5
b. -2/5
c. -1/5
d. 1/5
e. 3/5
Jawab:
sin (α - β) = sin α . cos β - cos α . sin β
3/5 = 1/5 - cos α . sin β
1/5 - cos α . sin β = 3/5
- cos α . sin β = 3/5 - 1/5
- cos α . sin β = 2/5

9. cos α . sin β = -2/5
sin (α + β) = sin α . cos β - cos α . sin β
sin (α + β) = 1/5 - (-2/5)
sin (α + β) = 1/5 + 2/5
sin (α + β) = 3/5 (Jawaban: E)
14). Diketahui cos B = 12/13 dan sudut B lancip. Nilai sin 2B adalah...
a. 5/13
b. 12/26
c. 24/26
d. 160/169
e. 120/169
Jawab:
Diketahui cos B = 12/13
berarti sisi lain = √13² - 12² = √169-144 = √25 = 5
sin B = 5/13 => (depan/miring)
sin 2B = 2 sin B . cos B = 2. (5/13). (12/13) = 120/169 (Jawaban:E)
15). Jika α, β, dan γ adalah sudut-sudut sebuah segitiga maka sin 1/2 (β + γ) adalah...
a. sin (1/2 α)
b. sin (1/2 β)
c. cos (1/2 β)
d. -cos (1/2 β)
e. cos (1/2 α)
Jawab:
α + β + γ = 180°
β + γ = 180° - α
maka:

10. sin 1/2 (β + γ) = sin 1/2 (180° - α)
sin 1/2 (β + γ) = 1/2 (sin 180° . cos α - cos 180° . sin α)
sin 1/2 (β + γ) = 1/2 (0 . cos α - (-1) . sin α)
sin 1/2 (β + γ) = 1/2 (sin α)
sin 1/2 (β + γ) = sin (1/2 α) => Jawaban: A
16). (1-sin² A) tan² A = ...
a. 2 sin² A - 1
b. 1 - sin² A
c. sin² A + cos² A
d. sin² A + cos² A
e. 1 - cos² A
Jawab:
(1-sin² A) tan² A
= (cos² A) tan² A
= cos² A . sin²A/cos²A (coret cos²A)
= sin² A
sin² A = 1 - cos² A (Jawaban: E)
17). Jika tan² x / 1 + sec x = 1 untuk 0° ≤ x ≤ 90° maka nilai x adalah...
a. 0°
b. 30°
c. 45°
d. 60°
e. 90°
Jawab:
tan² x / 1 + sec x = 1
tan² x / 1 + 1/cos x = 1
kita coba-coba:

11. *tan²(0°) / 1 + 1/ cos 0 = 1
0 / 1 + 1 = 1
0 / 2 = 1 (tidak memenuhi)
*tan²(30°) / 1 + 1 / cos 30 = 1
(1/3√3)² / 1 + 1 / 1/2√3 = 1
1/3 / 1 + 1/1/2√3 = 1 (tidak memenuhi)
*tan² (45°) / 1 + 1/cos 45 = 1
(1)² / 1 + 1/1/2√2 = 1
1 / 1 + 1/1/2√2 = 1 (tidak memenuhi)
*tan² (60°) / 1 + 1/cos 60 = 1
(√3)² / 1 + 1/ 1/2 = 1
3 / 1 + 2 = 1
3/3 =1 (memenuhi) => Jawaban: D
18). Jika 1 - sin² x = 1, untuk 0° ≤ x ≤ 180° maka nilai x yang memenuhi adalah...
a. {0°, 30°}
b. {30°, 60°}
c. {0°, 180°}
d. {30°, 45°}
e. {45°, 60°}
Jawab:
1 - sin² x = 1
cos²x = 1
kita coba-coba:
cos²(0°) = (1)² = 1 => (memenuhi)
cos²(30°) = (1/2√3)² = 3/4 => (tidak memenuhi)
cos²(45°) = (1/2√2)² = 1/2 => (tidak memenuhi)
cos² (60°) = (1/2)² = 1/4 => (tidak memenuhi)

12. cos²(180°) = (-1)² = 1 => (memenuhi)
berarti jawabannya {0°, 180°} => Jawaban :C
19). Jika 3 cos² 2x + 4 cos² x - 4 = 0 maka nilai cos x adalah...
a. 2/3
b. 1/6 √30
c. -2/3
d. 2/3 √3
e. √5/6
Jawab:
3 cos² 2x + 4 cos² x - 4 = 0
(3 cos 2x - 2)(cos 2x + 2) = 0
*cos 2x = 2/3 (memenuhi) atau
*cos 2x = -2 (tidak memenuhi)
cos 2x = 2/3
2 cos² x - 1 = 2/3
2 cos² x = 2/3 + 1
2 cos² x = 5/3
cos² x = 5/6
cos x = √5/6 (Jawaban: E)
20). Diketahui nilai cos (α - β) = 2/3 dan cos α cos β = 1/2. Jika α + β lancip maka nilai tan (α + β) adalah...
a. 1/4 √2
b. 1/2
c. 2/3 √2
d. 2
e. 2 √2
Jawab:
"BELUM"

13. 21). Jika α + β = 270° maka nilai cos α + sin β adalah...
a. 2 sin β
b. 2 cos β
c. sin 2β
d. 0
e. cos β + sin β
Jawab:
α + β = 270°
β = 270° - α
cos α + sin β
= cos α + sin (270° - α) => menggunakan rumus sin (a-b) = sin a cos b - cos a sin b
= cos α + (sin 270° . cos α - cos 270° . sin α)
= cos α + ((-1) . cos α - 0 . sin α)
= cos α + (-cos α) - 0
= cos α - cos α
= 0 (Jawaban: D)
22). Nilai sin 45° cos 15° + cos 45° sin 15° adalah...
a. 1/2
b. 1/2 √2
c. 1/2 √3
d. 1/2 √6
e. √3
Jawab:
Memakai rumus: sin a . cos b + cos a . sin b = sin (a + b)
sin 45° cos 15° + cos 45° sin 15° = sin (45° + 15°)
sin 45° cos 15° + cos 45° sin 15° = sin 60°
sin 45° cos 15° + cos 45° sin 15° = 1/2 √3 (Jawaban:C)

14. 23). Bentuk cos 6x - cos 2x dapat diubah menjadi bentuk...
a. -6 sin² 2x cos 2x
b. -4 sin² 2x cos 2x
c. -2 sin² 2x cos 2x
d. -2 cos² 2x sin 2x
e. -4 cos² 2x sin 2x
Jawab:
cos 6x - cos 2x = -2 sin ½ (6x+2x) sin ½ (6x-2x)
cos 6x - cos 2x = -2 sin ½ (8x) sin ½ (4x)
cos 6x - cos 2x = -2 sin 4x . sin 2x
cos 6x - cos 2x = -2 sin 2(2x) . sin 2x
cos 6x - cos 2x = -2 (2 sin 2x . cos 2x) sin 2x => memakai rumus sin 2a = 2 sin a cos a
cos 6x - cos 2x = -4 sin² 2x . cos 2x (Jawaban:B)
24). Jika 0 ≤ x ≤ 2π dan 0 ≤ y ≤ 2π memenuhi persamaan sin (x + y) = sin y cos x maka cos y sin x adalah...
a. -1
b. -1/2
c. 0
d. 1/2
e. 1
Jawab:
sin (x+y) = sin y cos x
sin x . cos y + cos x . sin y = sin y cos x (=> sin x . cos y bisa dibalik jadi cos y. sin x)
cos y . sin x = sin y. cos x - cos x . sin y (dipindah ke ruas kanan)
cos y. sin x = 0 (Jawaban: C)
25). cos 35° cos 20° - sin 35° sin 20° = ....
a. sin 35°
b. sin 55°
c. cos 35°
d. cos 15°

15. e. sin 15°
Jawab:
Rumus: Cos (α + β) = cos α . cos β - sin α . sin β
cos 35° cos 20° - sin 35° sin 20° = Cos (α + β)
cos 35° cos 20° - sin 35° sin 20° = cos (35 + 20)
cos 35° cos 20° - sin 35° sin 20° = cos 55°
cos 55° = berada di kuadran 1 jadi positif
cos 55° = cos (90° - 35°) = + sin 35° (Jawaban: A)