vektor

5,026 views
4,717 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
5,026
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
59
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

vektor

  1. 1. 18. VEKTOR A. Vektor Secara Geometri 1. Ruas garis berarah AB = b – a B. 3. Bila AP : PB = m : n, maka: 2. Sudut antara dua vektor adalah θ Vektor Secara Aljabar 1. Komponen dan panjang vektor: a =  a1     a2  a   3 = a1i + a2j + a3k; 2 2 |a| = a 1 + a 2 + a 3 2 2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real: a±b=  a1     a2  a   3 C. Dot Product ±  b1     b2  b   3 =  a 1 ± b1     a 2 ± b2  a ± b   3 3 ; ka = k  a1     a2  a   3 =  ka1     ka 2   ka   3
  2. 2. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011 http://www.soalmatematik.com Apabila diketahui a =  a1     a2  a   3 dan b =  b1     b2  b   3 , maka: 1. a · b = |a| |b| cos θ = a1b1 + a2b2 + a3b3 2. a · a = |a|2 = a1a1 + a2a2 + a3a3 3. |a + b|2 = |a|2 + |b|2 + 2|a||b| cos θ 4. |a – b|2 = |a|2 + |b|2 – 2|a||b| cos θ 5. Dua vektor saling tegak lurus jika a · b = 0 D. Proyeksi Vektor 1. Proyeksi skalar ortogonal Panjang vektor proyeksi b pada a a ⋅b |p| = |a| SOAL 1. UN 2011 PAKET 12 Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –1), dan C(4, 2, – 4). Besar sudut ABC = … a. π 2. Vektor proyeksi ortogonal : vektor proyeksi b pada a a ⋅b ⋅a p= | a |2 PENYELESAIAN b. π 2 c. π 3 d. π 6 e. 0 Jawab : b 2. UN 2011 PAKET 46 Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika u mewakili AB dan v mewakili AC , maka sudut yang dibentuk oleh vector u dan v adalah … a. 30° b. 45° c. 60° d. 90° e. 120 204 INFORMASI PENDIDIKAN http://ibnufajar75.blogspot.com
  3. 3. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011 http://www.soalmatematik.com Jawab : b 3. UN 2010 PAKET A Diberikan vektor–vektor a = 4i – 2j + 2k dan b = i + j + 2k. Besar sudut yang dibentuk vektor a dan b sama dengan … a. 30º b. 45º c. 60º d. 90º e. 120º Jawab : c 4. UN 2009 PAKET A/B Diketahui balok ABCD EFGH dengan AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4 cm. Jika AC wakil vektor u dan wakil DH adalah vektor v, maka sudut antara vektor u dan v adalah … a. 0° b. 30° c. 45° d. 60° e. 90° Jawab : e SOAL PENYELESAIAN 5. UN 2011 PAKET 12 Diketahui vector a = 4i – 2j + 2k dan vector b = 2i – 6j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector b adalah … a. i – j + k b. i – 3j + 2k c. i – 4j + 4k d. 2i – j + k e. 6i – 8j + 6k Jawab : b 6. UN 2011 PAKET 46 Diketahui vector a = 2i – 4j – 6k dan vector b = 2i – 2j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector b adalah … a. –4i + 8j + 12k b. –4i + 4j – 8k c. –2i + 2j – 4k d. –i + 2j + 3k e. –i + j – 2k Jawab : e 7. UN 2010 PAKET A Diketahui koordinat A(–4, 2, 3), B(7, 8, –1), dan C(1, 0, 7). Jika AB wakil vector u, AC wakil vektor v, maka proyeksi u pada v 205 INFORMASI PENDIDIKAN http://ibnufajar75.blogspot.com
  4. 4. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011 http://www.soalmatematik.com adalah … a. 3i – 6 j + 5 b. 3 5 i – c. d. e. 12 5 6 5 k j+ 12 5 k 9 5 (5i – 2j + 4k) 27 45 (5i – 2j + 4k) 9 55 (5i – 2j + 4k) Jawab : d 8. UN 2010 PAKET B Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –3). Proyeksi vektor AB pada AC adalah … a. 1 (3i + j – 2k) 4 b. c. d. 3 14 (3i + j – 2k) − 1 (3i + j – 2k) 7 3 − 14 (3i + j – 2k) 3 − 7 (3i + j – 2k) e. Jawab : c SOAL 9. UN 2009 PAKET A/B Diketahui titik A(2,7,8), B(–1,1,–1) dan C(0,3,2). Jika AB wakil vektor u dan BC wakil vektor v, maka proyeksi orthogonal vektor u pada v adalah … a. –3i – 6j – 9k b. i + 2j + 3k c. 1 i + 2 j + k 3 3 d. –9i – 18j – 27k e. 3i + 6j + 9k PENYELESAIAN Jawab : a 10. UN 2008 PAKET A/B Jika vektor a = –3i – j + xk dan vektor b = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 5, maka nilai x = … a. –7 b. –6 c. 5 d. 6 e. 7 Jawab : e 206 INFORMASI PENDIDIKAN http://ibnufajar75.blogspot.com
  5. 5. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011 http://www.soalmatematik.com 11. UN 2008 PAKET A/B Jika vektor a = xi – 4j + 8k tegak lurus vektor b = 2xi + 2xj – 3k, maka nilai x yang memenuhi adalah … a. –2 atau 6 b. –3 atau 4 c. –4 atau 3 d. –6 atau 2 e. 2 atau 6 Jawab : a 12. UN 2007 PAKET A Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –2). Proyeksi vektor AB pada AC adalah … a. –12i + 12j – 6k b. –6i + 4j – 16k c. –4i + 4j – 2k d. –6i – 4j + 16k e. 12i – 12j + 6k Jawab : c SOAL 13. UN 2007 PAKET B Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0). Proyeksi vektor AB terhadap AC adalah … a. 2i – 4j + 2k b. 2i – 4j – 2k c. 2i + 4j – 2k d. i – 2j – k e. i + 2j – k PENYELESAIAN Jawab : c 14. UN 2006 Diketahui vektor a = 6xi + 2xj – 8k, b = –4i + 8j + 10k dan c = –2i + 3j – 5k. Jika vektor a tegak lurus b maka vector a–c=… a. –58i – 20j –3k b. –58i – 23j –3k c. –62i – 20j –3k d. –62i – 23j –3k 207 INFORMASI PENDIDIKAN http://ibnufajar75.blogspot.com
  6. 6. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011 http://www.soalmatematik.com e. –62i – 23j –3k Jawab : b 15. UN 2005 Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, –3, 4), B(5, 0, 1), dan C(4, 2, 5). Titik P membagi AB sehingga AP : AB = 2 : 3. Panjang vektor PC adalah … 10 a. b. 13 15 c. d. 3 2 e. 9 2 Jawab : d SOAL 16. UN 2004 Diketahui p = 6i + 7j – 6k dan q = xi + j + 4k. Jika panjang proyeksi q pada p adalah 2, maka x adalah … a. 5 6 b. c. d. PENYELESAIAN 3 2 13 2 43 6 53 6 e. Jawab : c 17. UN 2004 Diketahui a = I + 2j + 3k, b = – 3i – 2j – k, dan c = I – 2j + 3k, maka 2a + b – c = … a. 2i – 4j + 2k b. 2i + 4j – 2k c. d. –2i + 4j – 2k 2i + 4j + 2k e. –2i + 4j + 2k Jawab : e 18. UAN 2003 208 INFORMASI PENDIDIKAN http://ibnufajar75.blogspot.com
  7. 7. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011 http://www.soalmatematik.com − 2    Diberikan vektor a =  p  dengan p ∈ Real    2 2 1   dan vektor b =  1  . Jika a dan b    2 membentuk sudut 60º, maka kosinus sudut antara vektor a dan a + b adalah … a. 12 7 4 b. c. d. e. 5 2 5 4 5 14 2 7 7 7 7 7 Jawab : d SOAL 19. UAN 2003 Jika w adalah hasil proyeksi orthogonal dari PENYELESAIAN 2    vektor v = − 3 terhadap vektor u =   4    209 INFORMASI PENDIDIKAN http://ibnufajar75.blogspot.com
  8. 8. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011 http://www.soalmatematik.com  − 1    2  , maka w = …  − 1   1    a. − 1   3    2    d. − 4   2    0    b. − 1    − 2    − 2   e. 4    − 2    0   c. 1    2   Jawab : d 20. EBTANAS 2002 Diketahui a + b = i – j + 4k dan | a – b | = 14 . Hasil dari a · b = … a. 4 b. 2 c. 1 d. 1 2 e. 0 Jawab : c 21. EBTANAS 2002 Jika | a | = 2, | b | = 3, dan sudut (a, b) = 120º. Maka | 3a + 2b | = … 210 INFORMASI PENDIDIKAN http://ibnufajar75.blogspot.com
  9. 9. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011 http://www.soalmatematik.com a. b. c. d. e. 5 6 10 12 13 Jawab : b 22. EBTANAS 2002 Proyeksi vektor ortogonal v = (1 3 3) pada u = (4 2 2) adalah … a. – 4 (2 1 1) 3 b. –(2 1 1) c. d. 4 3 (2 1 1) ( 4 1 1) 3 e. (2 1 1) Jawab : c KUMPULAN SOAL INDIKATOR 13 UN 2011 Menentukan sudut antara dua vektor. a = 6 , ( a – b ).( a + b ) 6. Diketahui =0, dan a . ( a – b ) = 3. Besar sudut antara vektor a dan b adalah …. π π 2π a. c. e. 3 6 3 1. Diberikan vektor-vektor a = 4i – 2j + 2k dan b = i + j + 2k. Besar sudut yang dibentuk vektor a dan b sama dengan … a. 30º c. 60º e. 120º b. 45º d. 90º     2. Diketahui vektor a =6 i −3 j −3 k ,     b = 2 i − j +3 k dan     c = − i − 2 j +3 k . Besar sudut antara 5    vektor a dan b + c adalah .... a. 300 c. 600 e. 1500 0 0 b. 45 d. 90     3. Diketahui vektor a = i − 2 j + 2 k dan     b = −i + j . Besar sudut antara vektor a  dan b adalah .... a. 300 c. 600 e. 1350 0 0 b. 45 d. 120 4. Diketahui balok ABCD EFGH dengan AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4 cm. Jika AC wakil vektor u dan wakil DH adalah vektor v, maka sudut antara vektor u dan v adalah … a. 0° c. 45° e. 90° b. 30° d. 60° b = 9 , a = 2 , 5. Diketahui a + = 5 . Besar sudut antara vektor a b dan vektor b adalah …. a. 450 c. 1200 e. 1500 0 0 b. 60 d. 135 b. π d. π 4 2 7. Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –1), dan C(4, 2, –4). Besar sudut ABC = … a. π c. π e. 0 3 b. π 2 d. π 6 8. Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika u mewakili AB dan v mewakili AC , maka sudut yang dibentuk oleh vector u dan v adalah … a. 30° c. 60° e. 120 b. 45° d. 90° 9. Diketahui a = 3i – 2j + k dan b =2i – j + 4k. Jika a dan b membentuk sudut θ, maka nilai sin θ = .... a. 5 7 b. 2 7 c. 6 5 12 d. 6 7 6 e. 6 7 6 10. Diketahui a = i + 2j – 3k dan b = 2i + 2j – k, jika a dan b membentuk sudut θ, maka tan θ = ... . 211 INFORMASI PENDIDIKAN http://ibnufajar75.blogspot.com
  10. 10. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011 http://www.soalmatematik.com a. 1 3 b. 3 14 5 5 c. 14 d. 14 1 5 e. 1 14 − 2    12. Diberikan vektor a =  p  dengan p ∈    2 2 1   Real dan vektor b =  1  . Jika a dan b    2 5 14 11. Diketahui vektor a = 6xi + 2xj – 8k, b = –4i + 8j + 10k dan c = –2i + 3j – 5k. Jika vektor a tegak lurus b maka vektor a – c = … a. –58i – 20j –3k d. –62i – 23j –3k b. –58i – 23j –3k e. –62i – 23j –3k c. –62i – 20j –3k membentuk sudut 60º, maka kosinus sudut antara vektor a dan a + b adalah … 2 a. 12 7 c. 5 7 e. 7 7 4 4 b. 5 2 7 5 d. 14 7 13. Jika vektor a = xi – 4j + 8k tegak lurus vektor b = 2xi + 2xj – 3k, maka nilai x yang memenuhi adalah … a. –2 atau 6 c. –4 atau 3 e. 2 atau 6 b. –3 atau 4 d. –6 atau 2 KUMPULAN SOAL INDIKATOR 14 UN 2011 Menentukan panjang proyeksi atau vektor proyeksi. 1. Jika w adalah hasil proyeksi orthogonal dari vektor v = 2     − 3 4    terhadap vektor u =  − 1   2   − 1   , maka w = … 212 INFORMASI PENDIDIKAN http://ibnufajar75.blogspot.com
  11. 11. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011 http://www.soalmatematik.com a. 1     − 1 3    c.  0   1   2   1  2   a. 1  3    −1 1  3   − 1  2    −1 1  2   − b. 1  3    −1 e.  − 2   4   − 2   b. 2. 0     − 1  − 2   6. b. –(2 1 1) 6 5 j+ b. 3 5 i – 2     − 4 2    c. 4 (2 1 1) 3 d. ( 4 3 1  1   1  3    −1 12 5 6 5 k j+ d. 12 5 k e. 27 45 9 55 (5i – 2j + 4k) (5i – 2j + 4k) c. 9 (5i – 2j + 4k) 5 7. Diketahui titik A(2,7,8), B(–1,1,–1) dan C(0,3,2). Jika AB wakil vektor u dan BC wakil vektor v, maka proyeksi orthogonal vektor u pada v adalah … a. –3i – 6j – 9k d. –9i – 18j – 27k b. i + 2j + 3k e. 3i + 6j + 9k 1 2 c. 3 i + 3 j + k 8. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –2). Proyeksi vektor AB pada AC adalah … a. –12i + 12j – 6k d. –6i – 4j + 16k b. –6i + 4j – 16k e. 12i – 12j + 6k c. –4i + 4j – 2k 9. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0). Proyeksi vektor AB terhadap AC adalah … a. 2i – 4j + 2k d. i – 2j – k b. 2i – 4j – 2k e. i + 2j – k c. 2i + 4j – 2k 10. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –3). Proyeksi vektor AB pada AC adalah … Proyeksi vektor ortogonal v = (1 3 3) pada u = (4 2 2) adalah … a. – 4 (2 1 1) 3 d. − e. Diketahui koordinat A(–4, 2, 3), B(7, 8, –1), dan C(1, 0, 7). Jika AB wakil vector u, AC wakil vektor v, maka proyeksi u pada v adalah … a. 3i – d. 1  1   c. 1  3    −1 e. (2 1 1) 1 1) Diketahui vector a = 4i – 2j + 2k dan vector b = 2i – 6j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector b adalah … a. i – j + k d. 2i – j + k b. i – 3j + 2k e. 6i – 8j + 6k c. i – 4j + 4k 4. Diketahui vector a = 2i – 4j – 6k dan vector b = 2i – 2j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector b adalah … a. –4i + 8j + 12k d. –i + 2j + 3k b. –4i + 4j – 8k e. –i + j – 2k c. –2i + 2j – 4k 5. Diketahui vektor a =i −2 j +k dan vektor b =i + j −k . Proyeksi ortogonal vektor a pada b adalah … 3. a. 1 (3i + j – 2k) 4 3 d. − 14 (3i + j – 2k) 3 b. 14 (3i + j – 2k) 3 e. − 7 (3i + j – 2k) 1 c. − 7 (3i + j – 2k) 2 11. Panjang proyeksi vektor a =− i +8 j +4k pada vektor b = pj +4k adalah 8. Maka nilai p adalah .... a. – 4 c. 3 e. 6 b. – 3 d. 4 12. Jika vektor a = –3i – j + xk dan vector 213 INFORMASI PENDIDIKAN http://ibnufajar75.blogspot.com
  12. 12. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011 http://www.soalmatematik.com b = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 5, maka nilai x = … a. –7 c. 5 e. 7 b. –6 d. 6 13. Diketahui p = 6i + 7j – 6k dan q = xi + j + 4k. Jika panjang proyeksi q pada p adalah 2, maka x adalah … a. 5 6 b. 3 2 c. 13 2 d. e. 53 6 43 6 214 INFORMASI PENDIDIKAN http://ibnufajar75.blogspot.com

×