Pengantar vektor

Pengantar
- Lambang Vektor - Notasi Besar Vektor
- Notasi Vektor - Vektor Negatif
Melukis Penjumlahan dan Selisih Vektor (Metoda Jajaran dan Poligon)
Menentukan Besar dan Arah Vektor Resultan (Rms Cosinus dan Sinus)
Menguraikan Sebuah Vektor Mjd. Dua Vektor yang Saling Tegak Lurus
Menentukan Besar dan Arah Vektor Resultan dengan Metoda Analitis
Perkalian Vektor
Perkalian Vektor dengan Skalar
Perkalian Vektor dengan Vektor
•Perkalian Titik (Dot Product)
•Perkalian Silang (Cross Product)
Vektor Satuan
Pengertian Vektor Satuan
Operasi dengan Vektor Satuan
•Penjumlahan dan Selisih
•Perkalian Titik
•Perkalian Silang
Vektor Posisi
st. legiyo - sma tn 2004

Perahu menyeberangi sungai yang airnya tidak bergerak

v1

vR
v2

v1

Perahu bergerak dengan kecepatan v2 terhadap air, sedang air bergerak
dengan kecepatan v1 terhadap bumi. Maka kecepatan perahu terhadap bumi,
yaitu vR merupakan resultan dari v1 dan v2

Perahu menyeberangi sungai yang airnya tidak bergerak.
Perahu diarahkan serong ke kiri.

Air sungai bergerak ke kanan, perahu diarahkan serong ke
kiri. Dengan arah dan kecepatan yang tepat, perahu dapat
sampai ke seberang dengan panjang lintasan minimum.

v1

B C

v1

vR
v2

A v1 D

Perhatikan: Kayu yang terapung di atas air (kecepatan v1), burung yang
terbang di atas air (kec. v2), dan perahu yang kecepatannya vR (resultan v1
dan v2) sampai di tempat tujuan pada saat yang bersamaan (tAB = tBC = tAC)

PENGANTAR
• Lambang Vektor
• Notasi Vektor
• Notasi Besar Vektor
• Vektor Negatif


Lambang Vektor

• Anak panah :
– Panjang anak panah  besar vektor
– Arah anak panah  arah vektor


Notasi Vektor

A atau A atau A


Notasi Besar Vektor

|A| atau |A| atau A


Melukis Penjumlahan Vektor dengan Metoda
Jajaran

B
A

C
B C=A+B

A


Melukis Penjumlahan Vektor dengan Metoda
Poligon

B
A

C
B C=A+B

A


Melukis Selisih Vektor dengan Metoda Jajaran

A B -B

A

-B D
D = A - B = A + (-B)


Melukis Selisih Vektor dengan Metoda Poligon

A B -B

A

D
-B

D = A - B = A + (-B)


SOAL LATIHAN

01.Diketahui sebuah vektor perpindahan yang besarnya 5 km dan
arahnya ke tenggara digambarkan sebagai anak panah yang
panjangnya 2 cm dan membentuk sudut 450 terhadap garis
horisontal. Lukiskan vektor perpindahan :
a. 7,5 km ke tenggara c. 10 km ke barat laut
b. 2,5 km ke selatan

02.Jika vektor A berupa anak panah yang panjangnya 3 cm berarah
horisontal kekanan, lukis vektor-vektor:
a. 2 A b. ½ A c. – 1½ A


03. Diketahui vektor-vektor berikut ini
C D
A B

a. Lukis dengan metoda jajaran:
i) A + C iii) B + C
ii) A – B iv) A - D
b. Lukis dengan metoda poligon (segi banyak)
i) A + C iii) B + C + D
ii) A – B iv) A + B - C + D
04. Dua buah vektor gaya, masing-masing besarnya 15 N dan 20 N.
Tentukan besar dan arah resultan kedua vektor, jika kedua vektor
mengapit sudut sebesar:
a. 900 d. 1200
b. 300 e. 1800
c. 00 f. 2250
05. Dua buah vektor sama besar. Ternyata besar resultan kedua
vektor sama dengan besar salah satu vektor tersebut. Berapa
sudut yang diapit kedua vektor itu? Berapa sudut arah vektor
resultan terhadap salah salah satu vektor tersebut?

5a. Mencari sudut apit kedua vektor
Misal : sudut apit kedua vektor adalah A
F1 = F2 = x
R=x R
F1
A
x2 = x2 + x2 + 2*x*x*cos A
x2 = 2 x2 + 2 x2 cos A F2
x2 - 2 x2 = 2 x2 cos A
- x2 = 2 x2 cos A
cos A = - x2 / 2 x2 = -1/2
A = 1200

5b. Mencari sudut vektor resultan R dengan F2
Misal : sudut resultan R dengan F2 adalah A
x x
F1 R ----- = -------
A sin B sin 1200
B x x
F2 ----- = -------
F1 R sin B ½ 3
----- = ------- x sin B = x ½ 3
sin B sin A
sin B = ½ 3
B = 600

Besar dan Arah Vektor Resultan

Rumus Cosinus
B A2 B2 2AB cos α
C C

1

2
Rumus Sinus
A
A B C
C=A+B sinα1 sinα 2 sinα


TABEL FUNGSI TRIGONOMETRI

sin cos tan

00 0 1 0 S+ A+
300 ½ ½ 3 1/
3 3 II I
370 3/
5 ½ 3 3/
4
III IV

450 ½ 2 ½ 2 1 T+ C+
530 4/
5
3/
5
4/
3

600 ½ 3 ½ 3
900 1 0
sin (1800 - ) = sin cos (1800 - ) = - cos
sin (1800+ ) = sin cos (1800 + ) = - cos
contoh
sin 1200 = sin (1800 – 600 ) = sin 600 cos 1200 = cos (1800 – 600) = -cos 600
sin 2100 = sin (1800 + 300 ) = -sin 300 cos 2100 = cos (1800 + 300) = -cos 300

Menguraikan Vektor
Vektor v dengan arah
terhadap sumbu x
y diuraikan menjadi dua
v vektor komponen, yaitu vx
vy
dan vy

Besar masing-masing
x vektor komponen :
vx Vx = V cos
Vy = V sin


Menentukan Besar dan Arah Vektor
Resultan dengan Metoda Analitis
Vektor v1 dan v2 masing-
y masing membentuk
v2 sudut 1 dan 2
terhadap sumbu x.
v1 Kedua vektor hendak kita
2 gabungkan dan dicari
1 x besar dan arah resultan
keduanya


Langkah I

Masing-masing vektor diuraikan
menjadi dua vektor saling tegak
y lurus, sehingga diperoleh
v2 v1x v1y
v2y
v2x v2y
v1y v1 Besar masing-masing vektor
2 komponen :
1 x V1x = V1 cos V2x = V2 cos
v2x v1x 1 2
V1y = V1 sin 1 V2y = V2 sin 2


Langkah II
y
Vektor-vektor sesumbu saling
vy digabungkan, sehingga diperoleh
v2 vx
v2y vy
dimana
v1y v1 vx = v1x + v2x
2 vy = v1y + v2y
1 x
v2x vx v1x


Langkah III

y Langkah III a
R Menentukan BESAR resultan vektor
vy dengan rumus Phytagoras:
v2 2
v2y 2
R Σv x Σv y
v1y v1
Langkah III b
2 Menentukan ARAH vektor resultan
1 x dengan rumus tangen:
v2x vx v1x
Σvy
θ tan 1
Σvx


y R vx = V1x + V2x
vy
vy = V1y + V2y
v2
v2y 2
2
R Σv x Σv y
v1y v1
Σvy
2 x θ tan 1
1 Σvx
v2x vx v1x

Untuk praktisnya, dalam mengerjakan soal dapat
menggunakan tabulasi seperti berikut
No v sin cos v sin V cos
1 ... ... ... ... ... ...
2 ... ... ... ... ... ...
Jumlah komponen vektor-vektor sesumbu
st. legiyo - sma tn 2004 ... ...

PERKALIAN PADA VEKTOR

• Perkalian Skalar dengan Vektor
• Perkalian Vektor dengan Vektor
– Perkalian Titik (Dot Product) Dua buah
Vektor
– Perkalian Silang (Cross Product) Dua buah
Vektor


Perkalian Skalar dengan Vektor
Hasil kali besaran skalar dengan besaran vektor adalah besaran
vektor
Besar vektor hasil sama dengan hasil kali nilai besaran skalar
dengan nilai besaran vektornya.
Arah vektor hasil sama dengan arah besaran vektornya.

Contoh:
Vektor gaya F yang besarnya 5 Newton dilukiskan
sebagai anak panah ke kanan sepanjang 2 cm. Maka
vektor gaya F’ = 2 F berupa anak panah ke kanan
dengan panjang 4 cm

F
F’ = 2 x F

Perkalian Titik (Dot Product) Dua Vektor
Hasil kali titik dua besaran vektor adalah besaran skalar
Besar hasil kali titik tersebut sama dengan hasil kali nilai kedua
vektor dikalikan cosinus sudut yang diapit kedua vektor
tersebut.
Jika hasil kali titik vektor A
B dengan vektor B adalah C,
C=A•B
maka C adalah besaran skalar
A yang nilainya
C = A B cos


Contoh:
Seorang anak menarik mobil mainan dengan
gaya sebesar 15 Newton. Tali penarik mobil
mainan membentuk sudut 300 terhadap
tanah. Berapa usaha yang dilakukan anak
tersebut, jika mobil mainan itu berpindah
sejauh 30 m?

W =F•s
F
= F s cos
= 15 x 30 x ½ 3
s = 225 3 joule


Perkalian Silang (Cross Product) Dua Vektor
Hasil kali silang dua besaran vektor adalah besaran vektor
Arah vektor hasil mengikuti aturan putaran sekrup.
Besar vektor hasil sama
C dengan hasil kali nilai
kedua vektor
B B dikalikan sinus sudut
yang diapit kedua
vektor tersebut.
A A
D C = D = A B sin

C=AxB D=BxA

Meskipun besar vektor C = besar vektor D, tetapi kedua vektor tidak sama,
melainkan berlawanan arah.
C=-D
Jadi pada operasi cross product ini tidak berlaku hukum komutatif.
AxB≠BxA

Atas Contoh:
B Di dalam medan magnet B (besarnya 0,25
v tesla) yang arahnya ke atas, sebuah proton
bergerak dengan kecepatan v (besarnya
Selatan 4x106 m/s) ke selatan . Tentukan besar dan
lukis arah gaya Lorentz yang dialami proton
tersebut. (muatan proton 1,6x10-19 coulomb)
Barat
F =q(vxB)
Atas
B
Besar gaya Lorentz F:
v F = q v B sin

F = 1,6x10-19 x 4x106 x 0,25 x 1
Selatan = 1,6x10-13 newton

Barat Arah gaya Lorentz F:
Ke Barat

Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu satuan.
Vektor satuan yang searah sumbu x disebut i
Vektor satuan yang searah sumbu y disebut j
Vektor satuan yang searah sumbu z disebut k

y

j
x
k i

z


Vektor Satuan
Setiap vektor dapat dinyatakan dalam bentuk vektor satuan.

Misal kita memiliki vektor :
v=3i+4j y
Vektor tersebut memiliki
vy
- komponen pada sumbu x sebesar 3 satuan
v
vx = v cos = 3 satuan
- komponen pada sumbu y sebesar 4 satuan
vy = v sin = 4 satuan
Sehingga besar vektor v tersebut x
v = vx2 + vy2 = 5 satuan vx
Dan arah vektor terhadap sumbu x sebesar
= tan-1(vy / vx)


Vektor Satuan
Secara umum dapat dituliskan:

y
v = vx i + vy j

vy vx = v cos = komponen vektor pd sumbu x
v vy = v sin = komponen vektor pd sumbu y
Besar vektor
v = vx2 + vy2
Arah vektor terhadap sumbu x
x
= tan-1(vy / vx)
vx


Vektor Satuan
Dalam bentuk tiga dimensi:

y
v = vx i + vy j + vz k
vy

vx = komponen vektor pd sumbu x
v vy = komponen vektor pd sumbu y
vz = komponen vektor pd sumbu z
x
vx
Besar vektor
z Vz v = vx2 + vy2 + vz2


Operasi Penjumlahan pada Vektor Satuan
Diketahui dua buah vektor
A = Ax i + Ay j B = Bx i + By j
Jika C adalah resultan vektor A dengan vektor B, maka
C = A + B = (Ax + Bx) i + (Ay + By) j

Besar vektor C adalah
2 2
C A x Bx A y By

Arah vektor C adalah
A y By
α tan 1
A x Bx


Contoh
Diketahui dua buah vektor P dan Q, dimana P = 5 i + j dan
Q = -2 i + 4 j. Tentukan besar dan arah resultan kedua vektor tersebut.

Jawab
R=P+Q
R = (5 - 2) i + (1 + 4) j y
=3i+5j
R
Besar vektor R adalah
Q
R = (32 + 52)
= 34 satuan
P
Arah vektor R adalah
x
= tan-1(5/3)


Perkalian Vektor Satuan
y+ Perkalian Titik (menghasilkan skalar)
z-
j -k i • i = 1x1xcos 00 = 1 i • j = 1x1xcos 900 = 0
j • j = 1x1xcos 00 = 1 j • i = 1x1xcos 900 = 0
x- -i i x+
k•k = 1x1xcos 00 = 1 i •k = 1x1xcos 900 = 0
k dst
-j
z+
y-

Perkalian Silang (menghasilkan vektor satuan)
ixi=0 ixj=k j x i = -k
jxj=0 jxk=i k x j = -i
kxk = 0 kxi=j i x k = -j


Perkalian Titik Dua Vektor


Perkalian titik dua buah vektor menghasilkan skalar.

Jika C adalah hasil kali titik vektor A dengan vektor B, maka
C = A • B = (Ax i + Ay j) • (Bx i + By j)
= (Ax i • Bx i) + (Ax i • Byj) + (Ay j • Bxi) + (Ay j • Byj)
= (Ax Bx) + 0 + 0 + (Ay By)

C = (Ax Bx) + (Ay By)


Contoh
Q = -2 i + 4 j. Tentukan: a) hasil kali titik kedua vektor, b) sudut antara
kedua vektor tersebut
Jawab
P.Q = PxQx + PyQy Dari (1) dan (2), diperoleh
= (5.(-2))+(1.4) -6 = ( 520).cos
= -6 ...........................(1) cos = -6/( 520)
= cos-1 -5/ (26)
P.Q = P.Q.cos
P = (52 + 12) = 26
Q = (-2)2 + 42) = 20
P.Q = ( 26) ( 20).cos
= ( 520) cos ........... (2)


Perkalian Silang Dua Vektor

Perkalian Silang dua buah vektor menghasilkan vektor.

C = A x B = (Ax i + Ay j) x (Bx i + By j)
= (Ax i x Bx i) + (Ax i x Byj) + (Ay j x Bxi) + (Ay j x Byj)
= 0 + (Ax By) k + (Bx Ay) -k + 0

C = {(Ax By) - (Ay Bx)} k

Besar C adalah

C = (Ax By) - (Ay Bx)

Arah vektor C sejajar vektor legiyo - sma tn 2004 sumbu z
st. satuan k atau

Contoh
Q = -2 i + 4 j. Tentukan: besar dan arah hasil kali silang kedua vektor itu

Jawab
PxQ = (PxQy – PyQx) k
= {(5.4)-(1.(-2)} k
= 22 k

Jadi vektor hasilnya
sebesar 22 satuan
dengan arah ke sumbu
z positif


Vektor Posisi
Vektor Posisi adalah vektor untuk menyatakan posisi sebuah titik di
dalam ruang.

y+ Sebuah titik P berada di dalam ruang dengan
y koordinat (x,y,z)
•P Vektor Posisi titik P tersebut dituliskan:
r r=xi+yj+zk
x+
x
z
z+


Vektor Posisi

Jika sebuah titik berpindah dari posisi
r1 = x1 i + y1 j + z1 k
menuju
y+ r2 = x2 i + y2 j + z2 k
y1 Maka vektor perpindahan titik tersebut:
•P r = r2 - r1
r1 r = (x2 - x1)i + (y2 - y1)j + (z2 - z1)k
y2
r2
x+
z1 x1 x2
z2
z+


Contoh
Sebuah partikel berada pada titik A dengan vektor posisi rA = 5 i + j.
Kemudian partikel tersebut bergerak ke titik B yang vektor posisinya
rB = -2 i + 4 j. Tentukan: besar dan arah perpindahan partikel tersebut

Jawab
r = rB - rA Besar perpindahan partikel
= (x2 - x1)i + (y2 - y1)j r = (-7)2 + 32 = 58 satuan
= (-2 - 5)i + (4 - 1)j Arah perpindahan (terhadap sumbu x)
= -7 i + 3 j = tan-1(3 / -7)


Pengantar vektor

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (6)

Similar to Pengantar vektor

Similar to Pengantar vektor (20)

Pengantar vektor