Makalah ini membahas tentang vektor bangun ruang dan cara penyelesaian masalah vektor dalam bangun ruang. Pembahasan dimulai dari pengertian vektor, vektor posisi, operasi vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian vektor dengan skalar dan vektor, serta pembagian ruas garis dalam bentuk vektor dan koordinat. Tujuan makalah ini adalah sebagai pelengkap tugas persentasi dan referensi bagi p

1. VEKTOR BANGUN RUANG
(KAPITA SELEKTA)
DISUSUN OLEH:
ATIKAH MUSLIMAH PUTRI 11130020
DEA NINDRIA IMANSARI 11130032
EKA AFRIYANI 11130048
FERY SANDRIA 11130055
III A – MIPA
Dosen pengampu : Risnawati,S.Pd,M.Pd
STKIP-PGRI BANDAR LAMPUNG
T.P 2012/2013

2. BAB 1
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Besaran Vektor dapat disajikan dengan menggunakan suatu bilangan real, kemudian
diikuti dengan sistem suatu yang sesuai. Secara geometri, besaran vektor dapat disajikan
dengan ruas garis berarah. Panjang ruas garis menyatakan panjang atau besar vaktor,
sedangkan arah anak panah menunjukan arah vaktor.
Pengggunaan vector dapat di gunakan dalam dua bidang yaitu bidang datar dan
bidang 3 dimensi atau bangun datar. Pembahsan nya mengenai cara pemyelsaian oprasi
vekror yang terdiri dari penjumlahan , ppengurangan dan perkalian serta materi yang
melengkapi dan berhubungan dengan cara kerja dalam penyelesaian masalah yang terdapat
dalam vector.
Makalah ini berisi tenang penjelasan mengenai vector bangun ruang dan bagaimana
cara penyeleasain masalah dalam vector dalam bangun ruang
B. RUMUSAN MASALAH
1. Apakah vector itu?
2. Bagaimana vekor posisi itu?
3. Bagaimna cara penyelesain oprasi vector itu?
4. Bagaimna cara pembagian ruas garis dalam bentuk vector?
5. Proyeksi vector pada vector lain?
C. TUJUAN DAN MANFAAT
Tujuan di bentuknya makalah ini sebagai pelengkap tugas persentasi kami dan sebagai
reverensi pembaca yang ingin belajar mengenai vector dalam bangun ruang. Mulai dari
pembahasan apa itu vector sampai mengenai bagaimna cara penyelesaian masalah.

3. BAB 2
PEMBAHASAN
A. Pengertian Vektor
Besaran Vektor dapat disajikan dengan menggunakan suatu bilangan real, kemudian diikuti dengan
sistem suatu yang sesuai. Secara geometri, besaran vektor dapat disajikan dengan ruas garis berarah.
Panjang ruas garis menyatakan panjang atau besar vaktor, sedangkan arah anak panah menunjukan
arah vaktor.
B. Vektor Posisi
Vektor posisi adalah Vektor yang titik pangkalnya O(0,0) .
Misalkan koordinat titik T di R3 adalah (x, y, z) maka OP = xi; OQ = yj dan OS = zk
Misalkan koordinat titik T di R3 adalah (x, y, z) maka OP = xi;
OQ = yj dan OS = zk
x1
Jika titik P adalah sebuah titik pada bidang Kartesius maka vektor = = = y1
Z1
x1
Jika koordinat titik P(x1, y1,Z1) maka vektor posisi dari titik P adalah: y1
Z1
disebut komponen vektor p
Vektor Satuan Adalah vektor yang panjangnya satu satuan Vektor satuan dengan arah sumbu X,
disebut dengan 1
i 0
0
0
Vektor satuan dengan arah sumbu Y, disebut dengan j 1
0
0
Vektor satuan searah dengan sumbu z disebut dengan 0
k
1

4. 1. Kesamaan Vektor
Dua vektor a dan b dikatakan sama (ekuivalent), jika dan hanya jika kedua vektor itu mempunyai
panjang dan arah yang sama. Dua vektor yang sama, ditulis a = b (perhatikan gambar a). Sebagai

 

contoh, perhatikan kubus ABCD.EFGH pada gambar b. Misalnya AH wakil dari vektor a dan BG

 

wakil dari vektor b, maka a = b (a sama dengan atau ekivalen b) sebab AH dan BG mempunyai
arah dan panjang yang sama.
H
G
E F
a
b
D
C
(a) A B
(b)A
Misalkan: Jika: a = b , maka a1 = b1
a = a1i + a2j + a3k dan a2 = b2 dan
b = b1i + b2j + b3k a3 = b
C. OPERASI VEKTOR
a. Penjumlahan Vektor
Misalkan jumlah dari vektor u dengan v adalah w, maka penjumlahan vektor u dengan vektor v
itu dituliskan sebagai w = u + v. Vektor w disebut vektor resultan dari vektor u dengan vektor v.
Secara geometri, vektor w = u + v dapat ditentukan dengan dua cara, yaitu aturan segitiga dan aturan
jajargenjang.
1. Aturan Segitiga
Jumlah vektor u dengan vektor v atau w = u + v dapat ditentukan dengan cara memindahkan
vektor v (tanpa mengubah besar dan arahnya), sehingga titik pangkal vektor v berimpit dengan titik
ujung dari vektor u. Vektor w = u + v yang dimaksud diperoleh dengan menghubungkan titik pangkal
vektor u dengan titik ujung atau titik terminal vektor v yang telah dipindahkan tadi. (lihat gambar di
bawah ini). Menjumlahkan vektor dengan cara seperti ini dikenal sebagai aturan segitiga.
2. Aturan Jajargenjang
Cara lain untuk menentukan jumlah vektor u dan vektor v adalah dengan memindahkan vektor v
(tanpa mengubah besar dan arahnya), sehingga titik pangkal vektor v berimpit dengan titk pangkal
vektor u. Vektor w = u + v yang dimaksud adalah vektor yang titik pangkalnya di titik pangkal
persekutuan vektor u dan v serta vektor itu berimpit dengan diagonal jajargenjang yang dibentuk oleh

5. vektor u dan vektor v tadi. Menjumlahkan vektor dengan cara seperti ini dikenal sebagai aturan
jajargenjang (paralelogram).
b. Sifat-Sifat Penjumlahan Vektor
a. Komutatif : u + v = v + u
b. Asosiatif : (u + v) + w = u + (v + w)
c. Terdapat unsur identitas atau unsur satuan (yaitu vektor 0) sehingga berlaku hubungan : 0
+v=v+0=v
d. Setiap vektor mempunyai sebuah unsur invers tambah. Jika vektor -v merupakan invers
tambah dari vektor v, maka berlaku hubungan v + (-v) = 0.
Contoh: 3 p -5
a - 2p b 6 c 4q
Diketahui : dan
-1 3 2
Jika a + b = c , maka p – q =....
jawab: a+b=c
3 p 5
- 2p 6 4q
-1 3 2
3 p 5
2p 6 4q
( 1) 3 2
3 + p = -5 p = -8
-2p + 6 = 4q
16 + 6 = 4q
22 = 4q q = 5½;
Jadi p – q = -8 – 5½
= -13½

6. c. Pengurangan Vektor
Jika u dan v sebarang dua vektor, pengurangan v dari u didefinisikan oleh u - v = u + (-v)
Selisih dua vektor u dan v ditulis u – v didefinisikan sebagai u + (-v)
Misalkan:
3 p 5
- 2p 6 4q
-1 3 2
Jika: a - b = c , maka
c =(a1 – b1)i + (a2 – b2)j + (a3 - b3)k
contoh :
Diketahui titik-titik P(-1,3,0) dan Q(1,2,-2). Tentukan panjang vektor PQ (atau jarak P ke Q)
1 2
Jawab: P(1,2,-2) p 2 PQ 1
2 2
1
Q(-1,3,0) q 3
0
1
PQ = q – p = q 3
0
d. Perkalian Vektor dengan Skalar
Definisi:

7. Jika v adalah vektor taknol dan k bilangan real taknol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan
sebagai vektor yang panjangnya |k| kali panjang v dan arahnya sama seperti arah v jika k > 0. dan
berlawanan arah v jika k < 0.
Kita definisikan kv = 0 jika k = 0 atau v = 0.
e. Perkalian Skalar dengan Vektor menghasilkan sebuah Vektor
k : Skalar
v=ku
u : Vektor
Vektor v merupakan hasil perkalian antara skalar k dengan vektor u
 Jika k positif (k>0) arah v searah dengan u
 Jika k negatif (k<0) arah v berlawanan dengan u
Contoh
a1
Misalkan: a a2 dan m = bilangan real
a3
a1 m.a1
Jika: c = m.a, maka c m a2 m.a2
a3 m.a3
Contoh Soal :
2 2
Diketahui: a -1 dan b -1
6 4
Vektor x yang memenuhi
a – 2x = 3b adalah....
Jawab:
x1 2 x1 2
misal : x x2 1 2 x2 3 1
x3 6 x3 4

8. D. Perkalian vector dengan vector
a. Perkalian Titik (Dot Product)
Perkalian dot atau titik disebut juga perkalian skalar (scalar product). Hal itu
dikarenakan perkalian tersebut akan menghasilkan skalar meskipun kedua pengalinya
merupakan vektor.
Perkalian skalar dari dua vektor A dan B dinyatakan dengan A•B, karena notasi ini
maka perkalian tersebut dinamakan juga sebagai perkalian titik (dot product).
 Perkalian dot product :
A•B = |A||B| cos θ
 Dalam bentuk komponen vektor, bila A = [a1,a2,a3] dan B = [b1,b2,b3], maka :
A•B = a1b1 + a2b2+ a3b3
Diketahui :
A = [1,2,3]
B = [4,5,6]
A•B = (1x4) + (2x5)+(3x6) = 4 + 10 + 18 = 32
 Perkalian dot product :
A•B = |A||B| cos θ
Diketahui :
|A|= 5
|B| = 4
θ = 30˚
A•B = 5*4 cos 30 = 20 1 3 ) = 3
( 10
2

9. b. Perkalian Silang (Cross Product)
Perkalian silang (cross product) disebut juga sebagai perkalian vektor (vektor
product), karena perkalian ini akan menghasilkan vektor lain.
Perkalian vektor antara A dan B dinyatakan dengan A x B.
 Diketahui :
A = [1,2,3] i j k
B = [4,5,6] 1 2 3
4 5 6
AxB = 12i+12j+5k-8k-15i-6j = -3i+6j-3k
AxB = [-3 6 -3]
E. Rumus Pembagian Ruang Garis di R-3 (Bentuk Vektor dan Bentuk
Koordinat)
a. Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan Bagian
Misalkan titik C terletak pada ruas garis AB, sehingga titik C membagi ruas garis AB dengan
perbandingan m : n, maka AC : CB = m : n atau AC : AB = m : (m + n) (lihat gambar di bawah ini)
• • •
A m C n B
Tanda-tanda (positif atau negatifnya) m dan n ditentukan dengan kesepakatan sebagai berikut.
 

(1) Jika C terletak di dalam ruas garis AB sehingga AC dan CB searah, maka, m dan n bertanda
sama (m dan n keduanya positif atau keduanya negatif).
 

(2) Jika C terletak di luar ruas garis AB tetapi pada perpanjangan ruas garis AB, maka AC dan CB
berlawanan arah. Dalam hal demikian, m dan n berlawanan tanda (m positif dan n negatif atau m
negatif dan n positif).

10. b. Rumus Pembagian Ruas Garis dalam Bentuk Vektor
Vektor posisi titik A dan B berturut-turut adalah a dan b. Titik C pada ruas garis AB dengan
perbandingan m : n atau AC : CB = m : n. Jika vektor posisi titik C adalah c, maka vektor c ditentukan
dengan rumus
m b na
c=
m n
Rumus ini juga berlaku untuk titik C yang terletak pada perpanjangan garis AB.
Contoh:
Vektor posisi titik A dan titik B berturut-turut adalah a dan b. Pada ruas garis AB, tandailah
titik C sehingga AC : CB = 1 : 3, tentukan vektor posisi titik C,
Jawab :
1b 3a 1
Misalkan vektor posisi titik C adalah c, maka c = b 3a
1 3 4
c. Rumus Pembagian Ruas Garis dalam Bentuk Koordinat.
Diketahui koordinat titik A( x1,y1,z1 ), B( x 2 ,y 2 ,z 2 ), dan C(x,y,z),

11. Jika titik C membagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n atau AC : CB = m : n, maka
vektor posisi titik C dapat ditentukan dengan rumus pembagian ruas garis di R-3 dalam
bentuk vektor sebagai
m b na
c=
m n
B(x2,y2,z2)
n
b
C(x,y,z)
c m
a
O A(x1,y1,z1)
A. Panjang Vektor
Misalkan R adalah sebuah titik pada bidang dengan koordinat (x, y) dan r, maka r
x
dapat disajikan dalam bentuk vektor kolom sebagai r = . Panjang atau besar dari
y

ruas garis berarah OR dilambangkan dengan
Dari gambar di samping, didapat hubungan:
OR2 = OA2 + OB2 R(x,y)
r
OR2 = x2 + y2 y
OR = x2 y2 x
X

Dengan demikian, panjang OR adalah:
||OR|| = x2 + y 2
x
Jadi, besar atau panjang vektor r = dapat ditentukan dengan rumus:
y ||r|| = x2 y2

Misalkan titik R mempunyai koordinat (x, y, z) dan OR mewakili vektor r, maka
x
vektor r dapat dinyatakan dalam bentuk vektor kolom sebagai r = y .
z

12.  
Panjang atau besar ruas garis berarah OR ditulis sebagai || OR || atau OR.
Berdasarkan gambar di samping
diperoleh hubungan:
OR2 = OD2 + DR2 ...................... (1)
Sedangkan OD2 = OA2 + OB2
OD2 = x2 + y2
dan DR2 = z2
Substitusi OD2 dan DR2 ke persamaan
(1) diperoleh
OR2 = x2 + y2 + z2
Dengan demikian

|| OR || = OR = x2 y2 z2
Z
C
R
r
O Y
B
A D
X

13. x
Jadi, besar atau panjang vektor r = y dapat ditentukan dengan rumus
z
||r|| = x 2 + y 2 + z2
Contoh:
1 3 2
Diketahui vektor-vektor a = 2 , b = -2 dan c = 5 . Hitunglah||2a - b + c||
-2 1 4
Jawab:
1 3 2 1
2a – b + c = 2 2 - -2 + 5 = 11 ||2a - b + c|| = (1)2 + (11)2 + (-1)2 = 123 . Jadi,
-2 1 4 -1
panjang vektor a + b + c adalah ||2a - b + c|| = 123 satuan panjang
B. Rumus Jarak
Misalkan dua titik di R-3, yaitu titik P dengan koordinat (x1,y1,z1) dan titik Q dengan koordinat


(x2,y2,z2). Ruas garis berarah PQ mewakili suatu vektor dengan komponen-komponen (x2 – x1),


(y2 – y1), dan (z2 – z1). Oleh karena itu, panjang ruas garis berarah PQ dapat ditentukan
dengan rumus berikut.


|| PQ || = (x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 + (z2 - z1 )2
F. Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor Pada Vektor Lain
a. Mengetahui Panjang vektor dan vektor proyeksi
Dalam geometri bidang, kita telah mempelajari pengertian proyeksi ortogonal dari suatu ruas garis pada
ruas garis yang lain. Proyeksi ortogonal dari ruas garis OA pada ruas garis OE adalah ruas garis OC,

14. dengan panjang OC ditentukan oleh OC = OA cos . Pegertian proyeksi ortogonal pada geometri bidang
ini dapat dipakai sebagai landasan untuk memahami pengertian proyeksi orrtogonal suatu vektor lain.
Pada Gambar 1-19b, ruas-ruas garis berarah dan mewakili vektor-vektor a dan b, sedangkan 
menyatakan sudut antara vektor a dan vektor b. Proyeksi dari titik A pada ruas garis berarah adalah
titik C, sehingga
Besaran OC = ||a|| cos  dinamakan proyeksi skalar ortogonal (biasanya disingkat proyeksi skalar
saja) vektor a pada arah b.
Nilai proyeksi skalar ortogonal OC = ||a|| cos  bisa positif, nol, atau negatif,
tergantung dari besar sudut .
(1) Untuk 00   < 90, OC bernilai positif
0
(2) Untuk  = 90 , OC bernilai nol
0
(3) Untuk 90   < 180, OC bernilai negatif
0 0

15. Perhatikan bahwa ruas garis berarah mewakili vektor c, sehingga vektor c merupakan proyeksi
vektor a pada arah vektor b. Vektor c ini dinamakan proyeksi vektor ortogonal (biasanya disingkat
dengan proyeksi vektor saja). Dengan menggunakan definisi perkalian skalar, selanjutnya dapat
ditentukan bahwa :
(1) Proyeksi skalar orrtogonal dari vektor a pada arah vektor b adalah l c l, dengan ||c|| dirumuskan oleh :
(2) Proyeksi vektor ortogonal dari vektor a pada arah vektor b adalah c dirumuskan oleh :
Proyeksi vektor b pada arah vektor a dapat ditentukan dengan menggunakan analisis yang sama.
Misalkan proyeksi vektor b pada arah vektor a adalah vektor d (perhatikan Gambar), maka dapat
disimpulkan bahwa
(1) Proyeksi skalar ortogonal vektor b pada arah vektor a adalah
||d|| =
(2) Proyeksi vektor ortogonal vektor b pada arah vektor a adalah

16. b. Vektor Satuan
Dalam bentuk vektor kolom, vektor-vektor satuan di R-2 dapat dinyatakan sebagai berikut.
ˆ = 1 dan ˆ = 0
i j
0 1
Untuk satuan vektor a yang bukan vektor nol, kita dapat menentukan vektor satuan dari vektor a. Vektor
ˆ
satuan dari a (dilambangkan dengan e , dibaca: e topi) searah dengan vektor a dan panjangnya sama
dengan satu satuan.
x
Jika, vektor a = , maka vektor satuan dari a ditentukan dengan rumus:
y
a 1 x
ˆ
e = =
a x2 y2 y
Dengan sifat yang sama untuk vektor-vektor di R-3, vektor satuan dari vektor a(x,y,z) ditentukan dengan
rumus:
x
a 1
ˆ
e = = y
a x2 y2 z2
z

17. DAFTAR PUSTAKA
www.google.com
departemen pendidikan nasional, kurikulum 2004 berbasis kompetensi, standar kompetensi mata
peljaran matematika sekolah menengah atas dan madrasah aliyah, Jakarta, 2003
B.K Noormandiri, MATEMATIKA, penerbit erlangga ,2007.