Dokumen tersebut membahas tentang materi elektromagnetika II yang mencakup analisis vektor, bilangan kompleks, sistem koordinat, turunan berarah, curl dan makna fisisnya, gaya coulomb dan intensitas medan listrik, fluks listrik dan hukum gauss, energi dan potensial, medan magnet tunak, persamaan poisson dan laplace. Diberikan juga referensi dan aturan penilaian mata kuliah tersebut.

1. ELEKTROMAGTIKA II
Simon Patabang, ST. MT.

2. Materi Kuliah
1. Analisa Vektor
2. Bilangan Kompleks
3. Sistem Koordinat
4. Turunan Berarah (Gradien) Dan Divergensi
5. Curl (Rotasi) Dan Makna Fisisnya5. Curl (Rotasi) Dan Makna Fisisnya
6. Gaya Coulomb Dan Intensitas Medan Listrik
7. Fluks Listrik Dan Hukum Gauss
8. Energi Dan Potensial
9. Medan Magnet Tunak (Steady)
10.Persamaan Poisson Dan Laplace

3. Referensi
1. Boas, Mary L. Mathematical Methads in The Physical
Sciences. 1983, Jhon Wiley & Sons. Inc
2. Edminister, Josep A. Theory And Problems Of
Electromagnetics (Schaum Series). 1984, Mc Graw –
Hill. Inc
3. Feymen, Richard. The Feymen Lecturey on Physics3. Feymen, Richard. The Feymen Lecturey on Physics
Mainly Electromagneticsm and Matter. 1966. Addis
on-Wesly Publishing Company.
4. Sadiku, Mathew N. O. Elements Of Electromagnetics.
1989, Saundres College Publishing.
5. Spiegel, Murray R. Theory And Problems Of Vektor
Analysis (Schaum Series). 1959, Mc Graw- Hill. Inc

4. Aturan Penilaian
1. Tugas I = 20%
2. Tugas II = 20%
3. Tugas III = 20%
4. Tugas VI = 20%
5. Tugas V = 20%5. Tugas V = 20%
========
100%
Syarat :
1. Absen Kuliah
2. Tidak Terlambat kumpulkan Makalah

5. BAB I
BILANGAN KOMPLEKS
Definisi 1
Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk:
z = x + iy
Notasi
• Bilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z,
5
• Bilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z,
sedang huruf x dan y menyatakan bilangan real.
• Jika z = x + iy menyatakan sembarang bilangan
kompleks, maka x disebut bagian real dan y disebut
bagian imajiner dari z.
• Bagian real dan bagian imaginer dari bilangan
kompleks z biasanya dinyatakan dengan Re(z) dan
Im(z).

6. Jika z1=x1+ iy1 dan z2=x2 + iy2
• z1=z2 dikatakan sama jika dan hanya jika x1=x2 dan
y1=y2.
• Penjumlahan Bilangan kompleks :
z1+z2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2)
6
1 2 1 2 2
z1+z2 = (x1+x2) + i(y1+y2)
• Perkalian Bilangan kompleks :
z1 • z2 = (x1 + iy1) (x2+ iy2)
z1 • z2 = (x1x2 –y1y2) + i(x1y2+x2y1)

7. • Himpunan semua bilangan kompleks diberi
notasi ℂ
Jadi ℂ = { z | z = x + iy, x∈ℝ, y∈ℝ }.
• Jika Im(z)=0 maka bilangan kompleks z menjadi
bilangan real x, sehingga bilangan real adalah
keadaan khusus dari bilangan kompleks,
7
bilangan real x, sehingga bilangan real adalah
keadaan khusus dari bilangan kompleks,
sehingga ℝ⊂ℂ .
• Jika Re(z)=0 dan Im(z)≠0, maka z menjadi iy dan
dinamakan bilangan imajiner murni.

8. Sifat-sifat Bilangan Kompleks
Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan kompleks z1,z2
dan z3 adalah sebagai berikut:
1. z1+z2 ∈ ℂ dan z1•z2 ∈ ℂ . (sifat tertutup)
2. z1+z2= z2+z1 dan z1•z2= z2•z1 (sifat komutatif)
3. (z +z )+z = z +(z +z ) dan (z •z ) •z = z •(z •z )
8
3. (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) dan (z1•z2) •z3= z1•(z2•z3)
(sifat assosiatif)
4. z1•(z2+z3)=(z1•z2)+(z1•z3) (sifat distribtif)
5. Ada 0=0+i0 ∈ ℂ , sehingga z+0=z (0 elemen netral
penjumlahan)

9. 6. Ada 1=1+i0 ∈ ℂ , sehingga z•1=z (1elemen netral
perkalian
7. Untuk setiap z = x + iy ∈ ℂ, ada –z = –x –iy
sehingga z+(–z)=0
8. Untuk setiap z=x+iy ∈ ℂ, ada z-1=sehingga
z•z-1=1.
9

10. Latihan :
1. Jika z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2,
buktikan bahwa: z1 – z2= (x1 – x2)+i(y1 – y2)
2. Diketahui: z1=2+3i dan z2=5–i.
10
2. Diketahui: z1=2+3i dan z2=5–i.
tentukan z1 + z2, z1 – z2 , z1z2, dan
2
1
z
z

11. Kompleks Sekawan
Jika z = x + iy bilangan kompleks, maka bilangan
kompleks sekawan dari z ditulis , didefinisikan
sebagai : (x,–y) = x – iy.
Contoh:
z
11
Contoh:
sekawan dari 3 + 2i adalah 3 – 2i , dan sekawan
dari 5i adalah –5i.
Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam
himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat
berikut :

12. Teorema 1 :
a. Jika z bilangan kompleks, maka :
1.
2.
3. )zIm(2zz
)zRe(2zz
zz
=−
=+
=
12
4. [ ] [ ]22
)zIm()zRe(zz
)zIm(2zz
+=⋅
=−

13. b. Jika z1, z2 bilangan kompleks , maka :
1.
2.
3.
4. , dengan z2≠0.
2121 zzzz +=+
2121 zzzz −=−
2121 zzzz ⋅=⋅
2
1
2
1
z
z
z
z
=





2121 zzzz +=+
2121 zzzz −=−
2121 zzzz ⋅=⋅
2121 zzzz +=+
2121 zzzz −=−
13

14. Koordinat Bilangan Kompleks
• Bilangan kompleks z = x + iy dapat digambarkan
secara geometri dalam koordinat Kartesius sebagai
sebuah titik (x,y).
• Sumbu x disebut sumbu Real dan sumbu y disebut
sumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut disebut
14
sumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut disebut
bidang Argand atau bidang z.
• Jika kita hubungkan titik asal (0,0) dengan titik (x,y),
maka terbentuk vektor; sehingga bilangan kompleks
z = x + iy = (x,y) dapat dipandang sebagai vektor z..

15. Im
)y,x(z•
ArganBidang
z
15
ReO
Bidang Kompleks Dalam Koordinat Kartesian

16. Im
1z
21 zz +
16
Re
2z
O
Penjumlahan Vektor Bilangan Kompleks

17. Im
2z
1z
17
Re
2z−
21 zz −
O
Pengurangan Vektor Bilangan Kompleks

18. Latihan :
Diketahui z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i.
Gambarkan pada bidang kompleks (bidang argand), z1,
z2, z1+ z2, z1- z2,
⋅
212121 zz,zz,z,z −+
18

19. Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks
Definisi 4 :
Jika z = x + iy = (x,y) bilangan kompleks, maka
modulus dari z, ditulis |z| = |x+iy| = 22
yx +
19
Arti geometri dari modulus z adalah merupakan jarak
dari titik O(0,0) ke z = (x,y). Akibatnya, jarak antara dua
bilangan kompleks z1 = x1+ iy1 dan z2 = x2 + iy2 adalah
2
21
2
21 )yy()xx( −+−

20. Selanjutnya apabila z1 = x1+ iy1 dan r real positif,
maka |z – z1| = r merupakan lingkaran yang berpusat di
titik z1 dengan jari-jari r.
Bagaimanakah dengan |z – z1| < r dan |z – z1| > r
Gambarkanlah pada bidang z.
20

21. Teorema 2 :
A. Jika z bilangan kompleks, maka berlaku :
1.
2.
3.
( ) ( )
zzz
zz
)zIm()zRe(z
2
222
=
+=
21
3.
4.
5. )zIm()zIm(z
)zRe()zRe(z
zzz2
≥≥
≥≥
⋅=

22. B. Jika z1, z2 bilangan kompleks, maka berlaku :
1.
2.
3.
4.
5.
2121
2121
2121
2
1
2
1
2121
zzzz
zzzz
zzzz
z
z
z
z
zzzz
−≥−
−≥−
+≤+
=
⋅=⋅
22
Latihan :
Buktikanlah teorema A di atas dengan memisalkan z =
x + iy, kemudian berdasarkan hasil A, buktikan juga
teorema B !
2121 zzzz −≥−

23. 1. Bukti: 2121 zzzz ⋅=⋅
)iyx()iyx(zz 221121 +⋅+=⋅
)yxyx(i)yyxx( 12212121 ++−=
2121
2
1
2
2
2
2
2
12121
2
2
2
1
2
2
2
1 yyxx2yxyxyyxx2yyxx +++−+=
2
1221
2
2121 )yxyx()yyxx( ++−=
23
2121122121212121 yyxx2yxyxyyxx2yyxx +++−+=
)yx()yx( 2
2
2
2
2
1
2
1 +⋅+=
)yx()yx( 2
2
2
2
2
1
2
1 +⋅+=
21 zz ⋅=
2121 zzzz ⋅=⋅∴

24. 2. Bukti:
22
22
22
11
2
1
iyx
iyx
iyx
iyx
z
z
−
−
⋅
+
+
=
2
2
2
2
2112
2
2
2
2
2121
yx
yxyx
i
yx
yyxx
+
−
+
+
+
=
2
2
2
2
2
2112
2
2
2
2
2
2121
yx
yxyx
yx
yyxx






+
−
+





+
+
=
24
2222 yxyx  + +
22
2
2
2
2121
2
2
2
1
2
1
2
22121
2
2
2
1
2
2
2
1
)yx(
yyxx2yxyxyyxx2yyxx
+
−++++
=
)yx()yx(
)yx()yx(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
+⋅+
+⋅+
=
.terbukti
z
z
yx
yx
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
=
+
+
=

25. 3. Bukti: 2121 zzzz +≤+
2
1221 )yxyx(0 −≤
2121
2
1
2
2
2
2
2
1 yyxx2yxyx0 −+≤
2
1
2
2
2
2
2
12121 yxyxyyxx2 +≤
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
12121
2
2
2
1
2
2
2
1 yxyxyyxxyyxx2yyxx +++≤++
)yx)(yx()yyxx( 2
2
2
2
2
1
2
1
2
2121 ++≤+
)yx)(yx(2)yyxx(2 2
2
2
2
2
1
2
12121 ++≤+
25
)yx)(yx(2)yyxx(2 22112121 ++≤+
≤+++++ 2
221
2
1
2
221
2
1 yyy2yxxx2x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1 yx)yx)(yx(2yx ++++++
( )2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
21
2
21 yxyx)yy()xx( +++≤+++
2
2
2
2
2
1
2
1
2
21
2
21 yxyx)yy()xx( +++≤+++
terbukti
zzzz 2121 +≤+

26. 4. Bukti: 2121 zzzz −≥−
2121
221
2211
zzzz
zzzz
zzz
zzzz
−≤−
+−≤
+−=
26
2121 zzzz −≥−∴

27. Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari Bilangan
Kompleks
Selain dinyatakan dalam bentuk z = x+iy = (x,y),
bilangan kompleks z dapat dinyatakan pula dalam
bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu z = (r,θ).
Im ),r()y,x(z
27
Im
Re
),r()y,x(z θ==
θ
rz =
O

28. Adapun hubungan antara keduanya, dan
adalah :
x = r cosθ , y = r sinθ,
sehingga θ = arc tan
θ adalah sudut antara sumbu x positif dengan oz






x
y
)y,x( ),r( θ
28
didapat juga
Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks z adalah
z = (r, θ) = r(cos θ + i sin θ) = r cis θ.
dan sekawan dari z adalah = (r, -θ) = r(cos θ - i sin θ).
zyxr 22
=+=

29. Definisi 5 :
Pada bilangan kompleks z = (r, θ) = r(cos θ + i sin θ),
sudut θ disebut argument dari z, ditulis arg z. Sudut θ
dengan 0 ≤θ < 2π atau -π < θ ≤ π disebut argument
utama dari z, ditulis θ = Arg z. Pembatasan untuk
sudut θ tersebut dipakai salah satu saja.
29
Definisi 6 :
Dua bilangan kompleks z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1) dan
z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2) dikatakan sama, jika r1 = r2,
dan θ1 = θ2.

30. Bentuk Euler :
Penulisan Bilangan kompleks z = (x , y) = (r, θ) = r(cos θ + i
sin θ) = r cis θ,
Penulisan Bilangan kompleks z bentuk Euler (eksponen),
yaitu :
z = reiθ, dan sekawannya adalah re-iθ.
30
z = reiθ, dan sekawannya adalah re-iθ.
Latihan :
Buktikan bahwa eiθ = cos θ + i sin θ, dengan menggunakan
deret MacLaurin untuk cos θ , sin θ dan et dengan
mengganti t = iθ.

31. Contoh :
Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk
polar dan eksponen !
31
Jawab :
z = 1 + i, r = , tan θ = 1, sehingga θ = 45⁰= π
Jadi z = (cos π + i sin π) = cis π =2 4
1
4
1
2 4
1
2
i
4e
π
2 4
1

32. Perkalian dan Pemangkatan
Bilangan kompleks dalam bentuk kutub adalah
z = r(cos θ + i sin θ).
Jika z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1) & z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2),
maka hasil perkaliannya sebagai berikut :
32
maka hasil perkaliannya sebagai berikut :
z1 z2 = [r1(cos θ1 + i sin θ1)][r2(cos θ2 + i sin θ2)]
z1 z2 = r1 r2 [(cos θ1 cos θ2 - sinθ1sin θ2) +
i (sin θ1 cos θ2 + cos θ1sin θ2)]
z1 z2 = r1 r2 [cos (θ1 + θ2 ) + i sin (θ1 + θ2)]

33. Dari hasil perkalian tersebut diperoleh:
arg(z1 z2) = θ1 + θ2 = arg z1+ arg z2
Pertanyaan :
Bagaimanakah jika kita perkalikan z1 z2 . . . zn dan
z z z z … z = zn ?
33
z z z z … z = zn ?

34. Jika diketahui:
z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1)
z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2)
zn = rn(cos θn + i sin θn), untuk n asli,
maka secara induksi matematika, diperoleh rumus
perkalian z1 z2 … zn = r1 r2 …rn[cos (θ1 + θ2+…+θn) + i
sin (θ1 + θ2+…+θn)] .
M
34
sin (θ1 + θ2+…+θn)] .
Akibatnya jika, z = r(cos θ + i sin θ) maka
zn = rn (cos nθ + i sin nθ). . . . . . . . . . .1
Khusus untuk r = 1, disebut Dalil De-Moivre
(cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ, n asli.

35. Pembagian:
Sedangkan pembagian z1 dan z2 adalah sebagai
berikut:
Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan
sekawan penyebut, yaitu r2(cos θ2 - i sin θ2), maka
)sini(cosr
)sini(cosr
z
z
222
111
2
1
θ+θ
θ+θ
=
35
sekawan penyebut, yaitu r2(cos θ2 - i sin θ2), maka
diperoleh : [cos (θ1 - θ2 ) + i sin (θ1 - θ2)]
Dari rumus di atas diperoleh:
arg θ1-θ2 = arg z1 – arg z2.
2
1
2
1
r
r
z
z
=
=
2
1
z
z

36. Akibat lain jika z = r(cos θ + i sin θ),
maka:
Untuk: .
Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan
( )
( )θ+θ
=
θ−+θ−=
nsinincosr
1
z
1
)sin(i)cos(
r
1
z
1
nn
36
Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan
penyebut, maka didapat :
. . . . . . . 2
( ))nsin(i)ncos(
r
1
z
1
nn
θ−+θ−=

37. Dari 1 dan 2 diperoleh:
, Dalil De-Moivre
berlaku untuk semua n bilangan bulat.
)nsin(i)ncos(rz nn
θ+θ=
37
berlaku untuk semua n bilangan bulat.

38. Contoh:
Hitunglah :
Jawab :
Misalkan maka
1tan
213zr
,i3z
−
=+==
−=
( ) 6
i3
−
−
38
karena z di kuadran IV, maka dipilih
jadi
3
1tan −=θ
( )
( ) ( )
6
6
oo66
oo
2
)01(2
180sini180cos2i3
30sini30cos2i3
−
−
−−
−=
+−=
−+−=−
−+−=−
o
30−=θ

39. Akar Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari
bilangan kompleks w, jika zn = w, dan ditulis .
Jika z = ρ(cosφ +i sinφ) akar pangkat n dari bilangan
kompleks w = r(cosθ+i sinθ), maka dari zn = w
n
1
wz =
39
diperoleh: ρn(cosnφ +i sinnφ) = r(cosθ+i sinθ),
sehingga ρn = r dan nφ= θ+2kπ , k bulat.
Akibatnya dan
Jadi . . .
n
1
r=ρ n
k2 π+θ=φ

40. Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks
w = r(cosθ+i sinθ) adalah:
z = [cos( ) + i sin ( )],
k bulat dan n bilangan asli.
Dari persamaan zn = w, ada n buah akar berbeda
n
1
r n
k2 π+θ
n
k2 π+θ
40
Dari persamaan zn = w, ada n buah akar berbeda
yang memenuhi persamaan itu.
Untuk mempermudah dipilih k = 0,1,2,3,…,(n-1);
0 ≤ < 2π, sehingga diperoleh z1,z2,z3,…,zn
sebagai akar ke-n dari z.
n
k2 π+θ

41. Contoh :
Hitunglah (-81)1/4
Jawab :
Misalkan z = (-81)1/4, berarti harus dicari penyelesaian
persamaan z4 = -81.
Tulis z = ρ(cosφ +i sinφ) dan –81 = 81(cos1800+i sin1800),
41
Tulis z = (cos +i sin ) dan –81 = 81(cos180 +i sin180 ),
sehingga ρ4(cos4φ +i sin4φ) = 81(cos1800+i sin1800),
diperoleh ρ4 = 81, atau ρ = 3 dan .
Jadi z = 3[cos( )+i sin( )]
Keempat akar yang dicari dapat diperoleh dengan
mensubstitusi k = 0,1,2,3 ke persamaan terakhir.
4
k2 π+π=φ
4
k2 π+π
4
k2 π+π

42. TUGAS 1 :
• No. Ganjil Untuk Absen No Ganjil
• No. Genap Untuk Absen No. Genap
1. Buktikan Teorema 1 dengan memisalkan
z = (x,y) = x + iy.
2. Diketahui z1 = 6 + 5i dan z2 = 8 – i.
Tentukan z + z , z - z , z z , dan z / z
42
Tentukan z1 + z2, z1 - z2 , z1z2, dan z1 / z2
3. Jika z = -1-i, buktikan z2 + 2z + 2 = 0.
4. Cari bilangan kompleks z yang memenuhi
sifat: a. z-1 = z dan b.
5. Buktikan untuk setiap z bilangan kompleks
berlaku : z1. + .z2 = 2Re(z1. )
6. Hitung jarak antara z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i.
zz −=
1z2z 2z

43. 7.Gambarkan pada diagram argand dan
sebutkan nama kurva yang terjadi :
a. |z – 5| = 6 dan |z – 5| > 6
b. |z + i| = |z – i|
c. 1 < |z – i| < 3
43
8.Nyatakan bilangan kompleks z = 2 -2i dalam
bentuk polar dan eksponen !
9. Hitunglah (-2+2i)15
10.Tentukan himpunan penyelesaian dari : z3- i = 0

44. Sekian