1. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (PtLDV)
Kesepakatan: Daerah penyelesaian PtLDV yang (diarsir), sedangkan untuk daerah
penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang bersih (tidak diarsir)
Jika x dan y merupakan variabel,a,b,dan c merupakan bilangan/konstanta, pertidaksamaan
linear dapat dituliskan sebagai berikut:
ax + by < c
ax + by > c
ax + by ≤ c dan
ax + by ≥ c
Contoh bentuk pertidaksamaan linear dua variabel.
1) x + y ≤ 10
2) 2x + 3y < 6
3) 3x + 4y > 12
4) 5x - 2y ≥ 20
Pertidaksamaan-Pertidaksamaan linear dua variabel mempunyai penyelesaian yang berupa
daerah penyelesaian. Daerah penyelessaian ini merupakan titik-titik (x, y) yang memenuhi
pertidaksamaan tersebut.
Daerah penyelesaian ini dapat digambarkan seperti berikut.
Contoh 1
Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan x + y ≤ 10.
Jawaban:
Langkah pertama kita membuat persamaan x + y = 10 (persamaan garis lurus)
Membuat dua titik bantu.
x 0 10
y 10 0
(x, y) (0, 10) (10, 0)
Selanjutnya digambar garis sesuai pertidaksamaan x + y ≤ 10.
Karena lambang ≤ garisnya tidak putus - putus
Y Untuk mengecek/menyelidiki daerah
penyelsaian sebgai berikut.
Ambil titik misal (0,0).
Jika (0,0) kita substitusikan ke x + y ≤ 10 akan
diperoleh 0 + 0 ≤ 10. Hal ini sebuah pernyataan
yang benar. Maka titik (0,0) termasuk daerah
penyelesaian x + y ≤ 10. Arsir daerah yang
terdapat titik (0,0)
X Gambar yang diarsir adalah daerah penyelesaian
pertidaksamaan x + y ≤ 10.
Soal
Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan berikut
(1) 2x + 3y < 6
(2) 3x + 4y > 12
(3) 5x - 2y ≥ 20
(4) 2x + 3y ≥ 18
2. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Kita tahu bahwa pada materi yang lalu dibahas sistem persamaan linear dua variabel.
Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah gabungan beberapa pertidaksamaan linear
dua variabel yang variabel-variabelnya saling berkaitan (variabelnya sama). Dengan
demikian dari sistem pertidaksamaan tersebut diperoleh penyelesaian dari kedua atau lebih
pertidaksamaan itu.
Bentuk umum sistem pertidaksamaan linear dua veriabel.
ax + by ≤ c
px + qy ≤ r
Tanda ketidaksamaan dapat meliputi ≤, ≥, <, >.
Perhatikan contoh sistem pertidaksamaan dan penyelesaiannya berikut.
Contoh 1
Tentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan berikut.
x + y <10
2x + 3y ≤ 24
x ≥ 0,
y ≥ 0
Jawaban:
Persamaan x + y = 10
x 0 10
y 10 0
(x, y) (0, 10) (10, 0)
berpotongan terhadap sumbu X di (10, 0) dan dan sumbu Y di (0,10).
Ambil titik (0,0) subtitusikan ke x + y < 10 akan diperoleh 0 + 0 < 10. Hal ini sebuah
pernyataan yang benar. Maka titik (0,0) termasuk daerah penyelesaian x + y < 10
Persamaan 2x + 3y = 24
x 0 12
y 8 0
(x, y) (0, 8) (12, 0)
berpotongan terhadap sumbu X di (12, 0) dan dan sumbu Y di (0,8).
Ambil titik (0,0) subtitusikan ke 2x + 3y 24 akan diperoleh 0 + 0 24. Hal ini sebuah
pernyataan yang benar. Maka titik (0,0) termasuk daerah penyelesaian 2x + 3y 24
Sehingga daerah penyelesaian dari SPLDV tersebut dapat digambarkan seperti di bawah ini.
Soal
Tentukan daerah penyelesaian system
pertidaksamaan berikut
(1) x + y ≥ 8
5x + 3y > 30
x ≥ 0,
y ≥ 0
(2) x + y < 12
2x + 5y > 40
x ≥ 0,
y ≥ 0
3. PROGRAM LINEAR
Contoh Soal
Ling ling membeli 240 ton beras untuk dijual lagi. Ia menyewa dua jenis truk untuk
mengangkut beras tersebut. Truk jenis A memiliki kapasitas 6 ton dan truk jenis B memiliki
kapasitas 4 ton. Sewa tiap truk jenis A adalah Rp 100.000,00 sekali jalan dan truk jenis B
adalah Rp 50.000,00 sekali jalan. Maka Ling ling menyewa truk itu sekurang-kurangnya 48
buah. Berapa banyak jenis truk A dan B yang harus disewa agar biaya yang
dikeluarkan minimum?
Pembahasan Contoh Soal
Langkah pertama. Tentukan kendala-kendala dari permasalahan program linear yang
dimaksud oleh soal. Untuk mengetahui kendala-kendalanya, sebaiknya kita ubah soal tersebut
ke dalam tabel sebagai berikut.
Sehingga, kendala-kendalanya dapat dituliskan sebagai berikut.
x + y ≥ 48,
6x + 4y ≥ 240,
x ≥ 0, y ≥ 0, x, y anggota bilangan cacah
Dengan fungsi objektifnya adalah f(x, y) = 100.000x + 50.000y.
Langkah kedua. Gambarkan daerah penyelesaian dari kendala-kendala di atas. Gambar dari
daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas adalah sebagai berikut
Langkah ketiga. Tentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian itu. Titik pojok dari
daerah penyelesaian di atas adalah titik potong garis 6x + 4y = 240 dengan sumbu-y, titik
potong garis x + y = 48 dengan sumbu-x, dan titik potong garis-garis x + y = 48 dan 6x + 4y =
240.
Titik potong garis 6x + 4y = 240 dengan sumbu-y adalah titik (0, 60). Titik potong garis x + y
= 48 dengan sumbu-x adalah titik (48, 0). Sedangkan titik potong garis-garis x + y = 48 dan
6x + 4y = 240 dapat dicari dengan menggunakan cara eliminasi berikut ini.
4. Diperoleh, titik potong garis-garis x
+ y = 48 dan 6x + 4y = 240 adalah
pada titik (24, 24).
Langkah keempat. Substitusikan koordinat setiap titik pojok itu ke dalam fungsi objektif.
Langkah kelima. Bandingkan nilai-nilai fungsi objektif tersebut. Dari ketiga hasil tersebut,
dapat diperoleh bahwa agar biaya yang dikeluarkan minimum, Ling ling harus menyewa 60
truk jenis B dan tidak menyewa truk jenis A.
