logaritma

1. LOGARITMA
A. Ingat Kembali
Definisi logaritma:
Jika a > 0, b > 0, dan a  1 berlaku
. . . . = . . . .  . . . . . . . . . .
Kerjakan soal berikut:
53
= . . . .  . . . . . . . . .
. . .4
= 81  . . . . . . . . .
9. . .
=  . . . . . . . . .
10. . .
= 1000000  . . . . . . . . .
B. Sifat-sifat Logaritma
Ingat kembali
Jika a, b, dan c R positif, n R, dan a  1
berlaku
1. a
log 1 = . . . . karena a. . .
= . . . .
2. a
log a = . . . . karena a. . .
= . . . .
3. a
log an
= . . . .
4. a
log (b × c) = . . . . . . . . . .
Bukti :
a
log b = x  . . . . . . . . . dan
a
log c = y  . . . . . . . . .
b  c = . . . . .
 b  c = . . . . . (sifat-4 pangkat)
nyatakan dalam bentuk logaritma
 . . .
log (. . . .) = . . . . .
 . . .
log (. . . .) = . . . . . . . . . .
5. a
log ( ) = . . . . . . . . . .
Bukti :
a
log b = x  . . . . . . . . . dan
a
log c = y  . . . . . . . . .
(sifat-5 pangkat)
nyatakan dalam bentuk logaritma
 . . .
log (. . . .) = . . . . .
 . . .
log (. . . .) = . . . . . . . . . .
6. a
log bn
= . . . . . . . . . .
Bukti:
a
log bn
= a
log (b×b×b×...×b) (sifat-4 pangkat)
n faktor
(sifat-4 logaritma)
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 a
log bn
= . . . . . . . . . .
7. a
log b = . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . .
Bukti:
Ingat a
log b = x  . . . . = . . . .
c
log b = c
log ax
 c
log b = . . . . . . . . (sifat-6)
. . . .
 . . . . (tukar kedua ruas)
, b  1, dan c  1
rubah c menjadi b
, b  1, dan c  1
8. a
log b × b
log c = . . . . . . . . . .
Bukti :
Ingat b
log c = y  . . . . = . . . .
a
log b × b
log c = a
log b × b
log .... (subtitusikan c)
 a
log b × b
log c = a
log b × . . . . . . (sifat-6)
 a
log b × b
log c = a
log b × . . . . . (sifat-2)
 a
log b × b
log c = . . . . × a
log b
 a
log b × b
log c = a
log . . . .
 a
log b × b
log c = a
log . . . . ,syarat c  1
9. = . . . . . . . . . .
Bukti :
(sifat-6)
(sifat-7.2)
(sifat-6)
(sifat-7.2)
syarat p, q B dan q  1
10. . . . . .
11. Jika a
log b = c
maka b
log a = . . . . . . . . . (sifat 7.2)
Lembar Kerja Siswa

2. LOGARITMA
Fungsi Logaritma
Ingat ab
= x  . . . . . . . . . . .
Bentuk umum : f(x) = k a
log x
Contoh:
f(x) = 2 2
log x
f(x) = 2
log x
f(x) = -3
grafik fungsi:
x ... -2 -1 0 1 2 ...
f(x) = 2x
x ... 1 2 4 ...
g(x) = 2
log x
h(x) =

log x
(gambar grafik pada lembaran buku strimin/petak)
Sifat:
2
log x
1. Grafik fungsi g(x) = 2
log x merupakan . . . . . . .
. . . . dari fungsi f(x) = . . . . . . terhadap garis
y = x
2. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . adalah asimtotnya
3. Grafik fungsi g(x) = 2
log x monoton . . . . . . . .
4. Grafik fungsi g(x) = 2
log x memotong . . . . . ..
di (. . . ., . . . .)
1. Grafik fungsi h(x) =

log x merupakan . . . . .
. . . . . . dari fungsi h(x) = . . . . . . terhadap
garis y = x
2. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . adalah asimtotnya
3. Grafik fungsi h(x) =

log x monoton . . . . . .
4. Grafik fungsi h(x) =

log x memotong . . . .
di (. . . ., . . . .)
Kesimpulan:
1. Grafik fungsi f(x) = k a
log x dan
g(x) = k ½
log x . . . . . . . . . . terhadap . . . . .
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . adalah asimtot dari
fungsi f(x) = k a
log x dan g(x) = k ½
log x
3. Grafik fungsi f(x) = k a
log x monoton . . . . . .
4. Grafik fungsi g(x) = k ½
log x monoton . . . . .
Y
X
k
f(x) = k a
log x
g(x) = k ½
log x
0

3. Pergeseran Fungsi Logaritma
1. Gambarlah grafik fungsi berikut
(a) f(x) = 2
log x
(b) g(x) = 2
log x + 2
(c) h(x) = 2
log x – 2
(d) k(x) = 2
log (x + 2)
(e) l(x) = 2
log (x – 2)
untuk f(x), g(x), h(x)  x =  ,  , , 1, 2, 4, 8
untuk k(x)  x = , , -1, 0, 2, 6
untuk l(x)  x = , , 3, 4, 6, 10
gunakan warna yang berbeda tiap grafik (gambar grafik pada lembaran buku strimin/petak)
2. Sebutkan asimtot fungsi-fungsi tersebut
Kesimpulan:
Asimtot
f(x) = 2
log x
g(x) = 2
log x + 2 hasil pergeseran fungsi f(x) = 2
log x ke . . . . . sejauh . . . . satuan
h(x) = 2
log x – 2 hasil pergeseran fungsi f(x) = 2
log x ke . . . . . sejauh . . . . satuan
k(x) = 2
log (x + 2) hasil pergeseran fungsi f(x) = 2
log x ke . . . . . sejauh . . . . satuan
l(x) = 2
log (x – 2) hasil pergeseran fungsi f(x) = 2
log x ke . . . . . sejauh . . . . satuan
Asimtot
f(x) = a
log x
g(x) = a
log x + b hasil pergeseran fungsi f(x) = a
log x ke . . . . . sejauh . . . . satuan
h(x) = a
log x – b hasil pergeseran fungsi f(x) = a
log x ke . . . . . sejauh . . . . satuan
k(x) = a
log (x + b) hasil pergeseran fungsi f(x) = a
log x ke . . . . . sejauh . . . . satuan
l(x) = a
log (x – b) hasil pergeseran fungsi f(x) = a
log x ke . . . . . sejauh . . . . satuan
Asimtot
f(x) = a
log cx
g(x) = a
log cx + b hasil pergeseran fungsi f(x) = a
log cx ke . . . . . sejauh . . . . satuan
h(x) = a
log cx – b hasil pergeseran fungsi f(x) = a
log cx ke . . . . . sejauh . . . . satuan
k(x) = a
log (cx + b) hasil pergeseran fungsi f(x) = a
log cx ke . . . . . sejauh . . . . satuan
l(x) = a
log (cx – b) hasil pergeseran fungsi f(x) = a
log cx ke . . . . . sejauh . . . . satuan
Menentukan asimtot fungsi logaritma
Modal : numerus > 0
Menentukan batas nilai x agar fungsi
logaritma terdefinisi
Modal : (1) basis > 0 dan basis  1
(2) numerus > 0

4. Persamaan Logaritma
A. Ingat kembali
Sifat-sifat logaritma (materi wajib)
1. a
log 1 = . . . .
2. a
log a = . . . .
3. a
log an
= . . . .
4. a
log (b × c) = . . . . . . . . . .
5. a
log = . . . . . . . . .
6. a
log bn
= . . . . . . . . . .
7. a.) , b  1, dan c  1
b.)
8. a
log b × b
log c = . . . . . . . . . . ,syarat c  1
9. . . . . . . . . . .
syarat p, q B dan q  1
10. = . . . .
11. Jika a
log b = c maka b
log a =
B. Persamaan Logaritma
Persamaan Logaritma berbentuk:
(1) a
log f(x) = a
log p  . . . . . . . . . . . . . .
Bukti: misal a
log f(x)=n / a
log p=n (rubah ke b. eksponen)
an
= f(x) f(x) = an
= p
an
= p
(2) a
log f(x) = a
log g(x)  . . . . . . . . . . . . . .
(3) a  b (numerus sama tetapi basis beda)
a
log f(x) = b
log f(x)  . . . . . . . . . . . . . .
(4) h(x)
log f(x) = h(x)
log g(x)  . . . . . . . . . . . . . .
(5) f(x)
log h(x) = g(x)
log h(x)  . . . . . . . . . . . . . .
(6) A(a
log f(x))2
+ B(a
log f(x)) + C = 0
Cara menyelesaikan dengan langkah berikut:
 Ambil misal u = a
log f(x)
 Subtitusikan permisalan u = a
log f(x) ke dalam
persamaan sehingga
 Selesaikan persamaan hingga diperoleh nilai u
 Cari nilai x dengan menstubtitusikan kembali
nilai u pada permisalan u = a
log f(x)
Contoh:
Tentukan Himpunan Penyelesaian soal berikut!
(a) 2
log (x + 1) = 2
log 16
. . . . . . . . . = . . . . . . . . .
. . . . . . . . . = . . . . . . . . .
. . . . . . . . . = . . . . . . . . .
(b) log (x + 6) = log (3x – 2)
. . . . . . . . . = . . . . . . . . .
. . . . . . . . . = . . . . . . . . .
. . . . . . . . . = . . . . . . . . .
. . . . . . . . . = . . . . . . . . .
(c) log (3x + 2) – 2 log x = 1 – log (5x – 3)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ingat
basis > 0 dan basis  1
syarat numerus > 0

5. (d) 2 7
log x = 7
log (x +2)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(e) 3
log (2x – 5) = 4
log (2x – 5)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(f) 5
log (x2
– 4x – 3) = 7
log (x2
– 4x – 3)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(g) x+1
log (x2
–3) = x+1
log (x + 3)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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(h)
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(i) (3
log x)2
– 3
log x2
– 3 = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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(j)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Pertidaksamaan Logaritma
A. Ingat kembali
Persamaan logaritma:
hanya berlaku untuk basis . . . .
basis . . . .
numerus . . . .
maka
Pertidaksamaan logaritma:
hanya berlaku untuk basis . . . .
basis . . . .
numerus . . . .
B. Pertidaksamaan Logaritma
Untuk a > 1
a
log x < a
log y  . . . . . . . . . . . . . .
bukti:
misal a
log x = n  an
= x
a
log y = m  am
= y
a
log x < a
log y  an
< am
 x < y
Untuk 0 < a < 1
a
log x < a
log y  . . . . . . . . . . . . . .
bukti:
misal a
log x = p  ap
= x
a
log y = q  aq
= y
a
log x < a
log y  ap
< aq
ingat
 x > y
Kesimpulan:
Untuk a > 1 (basis > 1)
(1) a
log f(x) > a
log g(x)  . . . . . . . . . . . . . .
syarat numerus:
f(x) > 0
g(x) > 0
(2) a
log f(x) ≥ a
log g(x)  . . . . . . . . . . . . . .
syarat numerus:
f(x) > 0
g(x) > 0
(3) a
log f(x) < a
log g(x)  . . . . . . . . . . . . . .
syarat numerus:
f(x) > 0
g(x) > 0
(4) a
log f(x) ≤ a
log g(x)  . . . . . . . . . . . . . .
syarat numerus:
f(x) > 0
g(x) > 0
Untuk 0 < a < 1 (basis antara 0 dan 1)
(1) a
log f(x) > a
log g(x)  . . . . . . . . . . . . . .
syarat numerus:
f(x) > 0
g(x) > 0
(2) a
log f(x) ≥ a
log g(x)  . . . . . . . . . . . . . .
syarat numerus:
f(x) > 0
g(x) > 0
(3) a
log f(x) < a
log g(x)  . . . . . . . . . . . . . .
syarat numerus:
f(x) > 0
g(x) > 0
(4) a
log f(x) ≤ a
log g(x)  . . . . . . . . . . . . . .
syarat numerus:
f(x) > 0
g(x) > 0
Contoh:
1. 2
log(x2
–2x) < 3
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pembuat nol
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Syarat numerus:
x2
–2x > 0
 . . . . . . . . . . . .
Pembuat nol
. . . . . . . . . . . . . . .
 . . . . . . . . . . . . .
 . . . . . . . . . . . .
Penyelesaian
Jadi HP = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}

7. 2.
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Syarat numerus:
 3x+1 > 0
 . . . . . . . . . . . . .
 . . . . . . . . . . . . .
 x+7 > 0
 . . . . . . . . . . . . .
Penyelesaian:
Jadi HP = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}