integral aljabar

1. turunan
antiturunan
INTEGRAL
A. Konsep Integral Tak Tentu
1. Integral tak tentu sebagai kebalikan dari turunan
F(x) = x3
 F’(x) = 3x2
F(x) = x3
+ 1  F’(x) = 3x2
F’(x) = 3x2
maka
F(x) = x3
+   F’(x) = 3x2
F(x) = x3
+ C
F(x) = x3
– 5  F’(x) = 3x2
2. Rumus dasar integral tak tentu
Notasi:
dengan C = konstanta
Rumus:
(a)
(b) dengan a, n bilangan real, a  -1
3. Sifat-sifat Integral tak tentu
(a)
(b)
(c)
Contoh:
(1)
=
= 2x4
– x3
+ 2x2
– 5x + C
(2)
=
=
=
=
4. Hubungan antara jarak, kecepatan, dan percepatan
V(t) = S’(t) maka S(t) =  V(t) dt
a(t) = V’(t) maka V(t) =  a(t) dt
a(t) = S’’(t) maka S(t) =   V(t) dt
F(x) F(x)+CF‘(x) = f(x)

2. B. Integral Subtitusi
1. Konsep Integral Subtitusi
Ingat (f o g)(x) = f[g(x)] misal u = g(x)
= f(u)
f[g(x)] = f(u)
 f ’[g(x)] = f ’(u)  u’
maka
u’dx =
= du
2. Integral Subtitusi Fungsi Berpangkat
(a)
dengan u = f(x)
suatu fungsi
(b) Apabila u = ax + b
maka
 du = a dx
 dx =
Latihan
1)
2)
3)
4)
5)
6)
C. Penggunaan Integral
1. Menentukan fungsi f(x) jika f ’(x) dan f(a)
diketahui
1) Jika diketahui f ’(x) = 6x – 2x + 4 dan f(2) = 4
maka tentukanlah f(x)
Selesaian
f ’(x) = 6x – 2x + 4
maka f(x) =
= 2x3
– x2
+ 4x + C
f(2) = 4
 2(2)3
– (2)2
+ 4(2) + C = 4
 16 – 4 + 8 + C = 4
 20 + C = 4
 C = 4 – 20
 C = –16
f(x) = 2x3
– x2
+ 4x – 16
2. Menentukan persamaan kurva jika
diketahui gradient garis singgung dan titik
singgungnya
2) Gradien garis singgung dari suatu kurva
ditentukan dengan rumus . Jika
kurva tersebut melalui titik (3,-15), maka
tentukan persamaan kurva itu
Selesaian
y =  (-4x + 3) dx
=
= –2x2
+ 3x + C
Kurva melalui (3, -15)
–2(3)2
+ 3(3) + C = –15
 –18 + 9 + C = –15
 –9 + C = –15
 C = –15 + 9
 C = –6
Jadi persamaan kurva adl y = –2x2
+ 3x – 6
3. Mementukan jarak, kecepatan, dan
percepatan
3) Laju suatu partikel ditentukan dengan rumus
V(t) = 8t – 6. Jika pada saat 3 detik partikel
itu menempuh jarak 28 m, maka tentukan
jarak setelah 5 detik
Selesaian:
V(t) = 8t – 6
S(t) =  V(t) dt
=  (8t – 6) dt
= t2
– 6t + C
= 4t2
– 6t + C
S(3) = 4(3)2
– 6(3) + C
 28 = 36 – 18 + C
 28 = 18 + C
 F(x) dx = F(x) + C
 f ’(u)  u’ du = f(u) + C
 f ’(u) du = f(u) + C

3.  28 – 18 = C
 10 = C
S(t) = 4t2
– 6t + 10
S(5) = 4(5)2
– 6(5) + 10
= 100 – 30 + 10
= 80
Jadi jarak setelah 5 detik adalah 80 m
Soal
1) Jika diketahui f ’’(x) = 12x2
– 6x dan berlaku
f ’(2) = 15 dan f(–1) = 10 maka tentukanlah
persamaan fungsi f(x)
2) Gradien garis singgung dari suatu kurva
ditentukan dengan rumus . Jika
kurva tersebut melalui titik (-2,16), maka
tentukan persamaan kurva itu
3) Percepatan gerak suatu benda ditentukan
dengan rumus a(t) = 24t – 6. Jika pada saat 2
detik benda tersebut memiliki kecepatan 30
m/dt dan jarak 10 m, maka berapakah jarak
benda setelah 3 detik ?