Dokumen tersebut membahas tentang turunan (diferensial) dan penggunaannya. Secara singkat, dijelaskan rumus-rumus dasar turunan fungsi tunggal dan majemuk beserta contoh soalnya. Diuraikan pula penggunaan turunan untuk menentukan garis singgung, titik stasioner, kecepatan dan percepatan, serta contoh soalnya.

1. SMA - 1
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
Turunan (Differensial)
Jika y = f(x), maka turunan pertamanya dinotasikan dengan y’ =
dx
dy
= f’(x)
dengan
dx
dy
=
0→h
Lim
h
xfhxf )()( −+
Rumus fungsi tunggal :
1. y = k n
x → y’= k. n 1−n
x
2. y = sin x → y’ = cos x
3. y = cos x → y’= - sin x
Rumus fungsi majemuk :
4. y = u ± v → y’ = u’ ± v’
5. y = u. v → y’ = u’ v + v’ u
6. y =
v
u
→ y’ = 2
''
v
uvvu −
7. y = k [f(x)] n
→ y’= k . n [f(x)] 1−n
. [f’(x)]
8. y = sin f(x) → y’ = f’(x), cos f(x)
9. y = cos f(x) → y’ = - f’(x). sin f(x)
10. y = sin n
f(x) → y’ = n sin 1−n
f(x). cos f(x) . f’(x)
11. y = cos n
f(x) → y’ = - n cos 1−n
f(x). sin f(x) . f’(x)
12. y = a )(xf
→ y’ = a )(xf
. ln a . f’(x)
13. y = e )(xf
→ y’ = e )(xf
. f’(x)
14. y = ln f(x) → y’ =
)(
)('
xf
xf

2. SMA - 2
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
Penggunaan Turunan :
1. Garis singgung
persamaan garis singgungya adalah y –b = m (x –a) dimana m = f’(x)
apabila terdapat dua persamaan garis y= m1 x + c1 dan y= m 2 x + c 2 dikatakan
- sejajar apabila m1 = m 2
- tegak lurus apabila m1 . m 2 = -1
2. Fungsi naik/turun
diketahui y = f(x);
- jika f’(x) < 0 maka f(x) turun
- jika f’(x) >0 maka f(x) naik
3. Menentukan titik stasioner
diketahui y = f (x).
Bila f’(a) = 0 maka (a, f(a) ) adalah titik stasioner
- (a, f(a) ) titik minimum jika f ’’ (a) > 0
- (a, f(a) ) titik maksimum jika f ’’ (a) < 0
- (a, f(a) ) titik belok jika f ’’ (a) = 0
3. Menentukan Kecepatan dan percepatan
S = S(t) → jarak yang ditempuh S merupakan fungsi waktu (t), maka
- kecepatan v = S’(t)
- percepatan a = S’’(t)

3. SMA - 3
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
Contoh-sontoh soal dan pembahasan :
1. Turunan pertama dari f(x) = (x 2
- 4)(x 4
+3) adalah f’(x)=….
jawab:
Menggunakan rumus : . y = u. v → y’ = u’ v + v’ u
u = (x 2
- 4) ; v =(x 4
+3)
u’ = 2x ; v’ = 4x3
y’ = u’ v + v’ u = 2x. (x 4
+3) + 4x3
. (x 2
- 4)
= 2x5
+ 6x + 4x5
- 16x3
= 6x5
- 16x3
+ 6x
= 2x (3x 4
- 8x 2
+3)
2. Jika f(x) =
x
x
cos1
sin1
+
+
maka f’(x) = ….
jawab :
Menggunakan rumus y =
v
u
→ y’ = 2
''
v
uvvu −
u = 1 + sin x ; v = 1 + cos x
u’ = cos x ; v’ = -sin x ; v 2
= (1 + cos x) 2
y’ = 2
''
v
uvvu −
= 2
)cos1(
)sin1(sin)cos1(cos
x
xxxx
+
+++
= 2
22
)cos1(
xsin+sin x+xcos+xcos
x+
= 2
)cos1(
cossin1
x
xx
+
++
; ( sin 2
x + cos 2
x = 1)

4. SMA - 4
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
3. jika f(x) = 3 2
x , maka f(x) - x 2
f’(x) = …
jawab :
f(x) = 3 2
x = x 3
2
f’(x) =
3
2
x 3
2
1−
=
3
2
x − 3
1
=
3
2
3
1
x
sehingga
f(x) - x 2
f’(x) = 3 2
x - x 2
3
2
3
1
x
= 3 2
x -
3
2
x 3
5
;( 3
2
x
x
= x 3
6
. x − 3
1
= x 3
6
− 3
1
= x 3
5
)
= 3 2
x (1 -
3
2
x) ; (x 3
5
= x 3
2
. x )
4. Turunan pertama fungsi f(x)= sin3
(3x-4) adalah
jawab :
menggunakan rumus . y = sin n
f(x) → y’ = n sin 1−n
f(x). cos f(x) . f’(x)
langsung saja :
y’ = n sin 1−n
f(x). cos f(x) . f’(x)
= 3 sin 2
(3x-4). Cos(3x-4). 3
= 9 sin 2
(3x-4). Cos(3x-4)
= 9 (1-cos 2
(3x-4)). Cos(3x-4)
= 9 (Cos(3x-4) - cos3
(3x-4))
5 Persamaan garis singgung pada kurva y = 2x 2
+ 3x – 5 di titik (2,9) adalah…
jawab :
Titik singgung adalah (a,b) → (2,9)
persamaan garis singgung = y – b = m(x-a) dimana m= y’

5. SMA - 5
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
y= 2x 2
+ 3x – 5 → y’ = 4x+3
masukkan nilai x pada titik potong yaitu x=2 didapat y’ = 4.2 + 3 = 11
m =y’= 11
sehingga persamaan garis singgungnya adalah :
y – 9 = 11(x-2) : (kalau kita masukkan nilai x = 2 didapat y = 9 )
6. Grafik fungsi y= x3
+ 2 x 2
- 5, naik dan turun pada interval….
jawab :
Gunakan rumus - jika f’(x) < 0 maka f(x) turun
- jika f’(x) >0 maka f(x) nai k
y =f(x) = x3
+ 2 x 2
- 5
y’ = f’(x) = 3x 2
+ 4x = x(3x-4)
y’ = f’(x) = 0 → x(3x-4) = 0 didapat nilai x = 0 dan x =
3
4
kita buat garis angka :
● ●
0
3
4
Kita masukkan angka pada persamaan y’ = x(3x-4)
untuk nilai x >0 dan x <
3
4
didapat nilai -
untuk nilai x < 0 dan x >
3
4
didapat nilai +
+ + - - - + +
● ●
0
3
4
Sehingga untuk interval 0< x <
3
4
maka fungsi adalah turun
untuk interval x <0 dan x >
3
4
maka fungsi adalah naik

6. SMA - 6
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
7. Tentukan nilai maksimum,minimum, stasioner dan titik belok dari persamaan
y= 2 x3
- 2 x 2
- 2x - 3
Jawab :
gunakan teori sbb :
jika diketahui y = f (x).
Bila f’(a) = 0 maka (a, f(a) ) adalah titik stasioner
- (a, f(a) ) titik minimum jika f ’’ (a) > 0
- (a, f(a) ) titik maksimum jika f ’’ (a) < 0
- (a, f(a) ) titik belok jika f ’’ (a) = 0
y= 2 x3
- 2 x 2
- 2x – 3 → y’= 6x 2
- 4x – 2 = 0
= 3x 2
- 2x – 1 = 0
(3x + 1 ) (x - 1 ) = 0
x = -
3
1
atau x = 1 → nilai stasioner
y’’ = 12x – 4
apabila x = -
3
1
; maka y’’ = (12 . -
3
1
) - 4 = - 4 - 4 = -8 → < 0
untuk x = -
3
1
maka y maksimum
x = -
3
1
→ y = 2. (-
3
1
)3
- 2 (-
3
1
) 2
- 2 (-
3
1
) - 3
= -
27
2
–
9
2
+
3
2
- 3 (x 27)
= - 2 – 6 + 18 – 81 = 71
titik maksimumnya adalah (-
3
1
, - 71)
apabila x = 1 ; maka y’’ = 12.1 – 4 = 8 → > 0
untuk x = 1 maka y minimum
x = 1 → y = 2. 13
- 2 . 1 2
- 2 .1 - 3
= 2 - 2 - 2 - 3 = -5
titik minimumnya adalah (1 , -5)

7. SMA - 7
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
titik belok jika f ’’ (a) = 0
f’’(a)= y’’ = 12x – 4= 0
didapat x =
3
1
untuk x =
3
1
→ y = 2 . (
3
1
)3
- 2 . (
3
1
) 2
- 2 .
3
1
- 3
=
27
2
-
9
2
-
3
2
- 3 (x 27)
= 1 – 6 – 18 – 81 = -104
Titik beloknya adalah (
3
1
, -104)
8..Jika y adalah jarak yang ditempuh dalam waktu t, dinyatakan dengan y = t3
+ 4 t 2
- t + 1, maka
kecepatan menjadi 15 pada waktu t=…..
Jawab :
Gunakan teori :
S = S(t) → jarak yang ditempuh S merupakan fungsi waktu (t), maka
- kecepatan v = S’(t)
- percepatan a = S’’(t)
Diketahui S=S(t) = y = t3
+4 t 2
- t + 1
kecepatan pada waktu t adalah :
S’(t) = y’ = 3t 2
+ 8t - 1
kecepatan menjadi 15 :
15 = 3t 2
+ 8t – 1 → 3t 2
+ 8t – 16 = 0
(3t - 4) (t + 4) = 0
Didapat t =
3
4
dan t = -4
Sehingga t yang berlaku adalah t =
3
4