2. 62
ขอเสนอแนะ
1. ฟงกชันที่กลาวถึงในหนังสือเรียนเลมนี้เปนฟงกชันพีชคณิตและเนนเฉพาะฟงกชัน
พหุนามและฟงกชันตรรกยะเนื่องจากผูเรียนมีความรูพื้นฐานในเรื่องฟงกชันพหุนามและ
ฟงกชันตรรกยะมาแลว สําหรับฟงกชันอื่นๆ เชน ฟงกชันลอการิทึม ฟงกชันตรีโกณมิติ จะ
ไมนํามากลาวในระดับนี้ ผูเรียนจะไดเรียนเมื่อศึกษาคณิตศาสตรในระดับอุดมศึกษาตอไป
2. ผูสอนควรยกตัวอยางฟงกชันในรูปของกราฟและสมการที่ผูเรียนคุนเคย เชน
ฟงกชันเชิงเสน ฟงกชันกําลังสอง เปนตน เพื่อใหเกิดความสะดวกในการพิจารณาหาลิมิต
3. เมื่อกลาวถึง ลิมิตของ f(x) เมื่อ x เขาใกล a หาคาไมได หมายความวา ลิมิตซาย
ของ f ที่ x = a ไมเทากับลิมิตขวาของ f ที่ x = a
4. จากบทนิยามของฟงกชันตอเนื่องที่กลาววา
เมื่อ c เปนจํานวนจริงใดๆ ที่อยูในชวงเปด (a, b) ฟงกชัน f เปนฟงกชัน ซึ่งนิยาม
บนชวงเปด (a, b) f เปนฟงกชันตอเนื่องที่ x = c ก็ตอเมื่อฟงกชัน f มีสมบัติตอไปนี้
1) f(c) หาคาได
2) x c
lim f (x)
→
หาคาได
3) x c
f (c) lim f (x)
→
=
ผูสอนควรยกตัวอยางใหผูเรียนสรุปใหไดวา การตรวจสอบวาฟงกชันที่กําหนดให
เปนฟงกชันตอเนื่องที่จุดที่กําหนดใหหรือไม ควรพิจารณาคาของฟงกชัน ณ จุดที่กําหนดใหกอน
เนื่องจากเปนคาที่พิจารณาไดงายที่สุดในสมบัติ 3 ขอขางตน ถาหาคาไมไดก็สรุปวา ฟงกชันนั้น
ไมตอเนื่อง ณ จุดที่กําหนดให
4.1 ผูสอนแสดงใหผูเรียนเขาใจโดยการใชภาพประกอบการอธิบาย เชน
1) 1. f(a) = L2
2. )x(flim
ax→
ไมนิยาม
f(x) ไมตอเนื่องที่ x = a
X
Y
0 a
L1
L2
y = f(x)
3. 63
2)
3)
4)
4.2 เมื่อผูสอนชี้ใหผูเรียนเห็นภาพความตอเนื่องของฟงกชันแลวควรเนนใหผูเรียนนํา
ทฤษฏีบทในการหาคาลิมิตของฟงกชันที่มีความตอเนื่องที่ a ไปใช
5. กอนที่จะสอนเรื่องความชันของเสนโคงผูสอนควรทบทวนเรื่องการหาความชันของเสนตรง
กอนและหลังจากที่สอนเรื่องความชันของเสนโคงแลว ผูสอนควรใหผูเรียนสรุปไดวา ความชันของ
เสนโคงหรือความชันของเสนสัมผัสเสนโคงเปนจํานวนบวกหรือลบในชวงที่กําหนดใหนั้นทําใหรู
วาฟงกชันในชวงนั้นๆ เปนฟงกชันเพิ่มหรือฟงกชันลด
1. f(a) ไมนิยาม
2. L)x(flim
ax
=
→
f(x) ไมตอเนื่องที่ x = a
1 f(a) = L2
2 1L)x(flim
ax
=
→
3 f(a) ≠ )x(flim
ax→
f(x) ไมตอเนื่องที่ x = a
1. f(a) = L
2. L)x(flim
ax
=
→
3. f(a) = )x(flim
ax→
f(x) ตอเนื่องที่ x = a
X
Y
0 a
L
y = f(x)
X
Y
0 a
L1
L2
y = f(x)
X
Y
0 a
L
y = f(x)
4. 64
6. ในหัวขอ2.4อนุพันธของฟงกชันผูสอนตองทําความเขาใจกับผูเรียนวาการหาความชัน
ของเสนโคง )x(fy = ที่จุด )y,x( ใดๆ คือการหาอนุพันธของฟงกชัน f ที่จุดที่กําหนดใหนั้น
7. การหาอนุพันธของฟงกชัน f ที่ x ในหัวขอนี้เนนการใชบทนิยาม คือ
h
)x(f)hx(f
lim)x(f
0h
−+
=′
→
อนุพันธของฟงกชันจะหาไดก็ตอเมื่อสามารถหา
h
)x(f)hx(f
lim
0h
−+
→
ไดเทานั้น ดังนั้นในการใหผูเรียนหาอนุพันธโดยใชบทนิยาม ผูสอนไมควรกลาวถึงฟงกชันที่หา
h
)x(f)hx(f
lim
0h
−+
→
ไมได หรือหาไดแตยุงยาก เชน f(x) = |x| ,
x
3
xx2x)x(f 23
−+−=
8. ผูสอนควรทําความเขาใจในเรื่องการใชสัญลักษณ อนุพันธของฟงกชัน f ที่ x
สามารถเขียนแทนดวย )x(f ′ ,
dx
dy
, y′ และ
dx
)x(df
การเขียนในรูปเศษสวนผูสอนให
ขอสังเกตกับผูเรียนวา ตัวแปรตาม (y ) จะเขียนเปนตัวเศษและตัวแปรตน (x ) จะเขียนเปน
ตัวสวน การเขียน
dx
dy
หมายถึง อนุพันธของฟงกชัน f ที่ x ไมได หมายถึง d คูณ y
หาร d คูณ x
9. อนุพันธของฟงกชัน f ในหนังสือเรียนเลมนี้ใหความหมายเพื่อการนําไปประยุกตใช
ไว 2 แบบ คือ
)x(f ′ คือ ความชันของเสนโคง )x(fy = ที่ x ใด ๆ
และ )x(f ′ คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x มีคาใด ๆ
10. การสอนเกี่ยวกับการใชสูตรในการหาอนุพันธ ผูสอนควรเนนใหผูเรียนพิสูจนสูตรโดย
ใชบทนิยาม
h
)x(f)hx(f
lim)x(f
0h
−+
=′
→
เพื่อใหเกิดความเขาใจที่มาของสูตรกอน หลังจากนั้น
จึงสอนเรื่องการใชสูตรในการหาอนุพันธ
11. การยกตัวอยางหรือการใหแบบฝกหัดเพิ่มเติมควรเปนฟงกชัน ที่อยูในรูปผลบวก
ผลตาง ผลคูณ และผลหารของฟงกชันพีชคณิตที่งาย ๆ
12. ในการสอนเรื่อง การหาอนุพันธของฟงกชันโดยใชสูตร ไมควรยกตัวอยางฟงกชันที่
ไมสามารถหาอนุพันธไดบางจุด เชน ฟงกชันที่มีกราฟเปนรูปหัก และฟงกชันที่มีคาคงตัวเปนชวง ๆ
ตัวอยาง x)x(f = เมื่อเขียนกราฟจะไดกราฟดังนี้
Y
x)x(f =
X0
5. 65
จะเห็นวาที่ 0x = นั้น
h
)x(f)hx(f
lim)x(f
0h
−+
=′
→
หาคาไมไดเพราะวา
1
h
h
lim
h
)0(f)h(f
lim
h
)0(f)h0(f
lim
0h0h0h
−=
−
=
−
=
−+
−−−
→→→
และ
1
h
h
lim
h
)0(f)h(f
lim
h
)0(f)h0(f
lim
0h0h0h
==
−
=
−+
+++
→→→
จะเห็นวา
h
)0(f)h0(f
lim
h
)0(f)h0(f
lim
0h0h
−+
≠
−+
+−
→→
แต ax = เมื่อ 0a ≠ จะพิจารณา 2 แบบ คือ
1) เมื่อ 0a >
จะไดวา 1
h
h
lim
h
a)ha(
lim
h
)a(f)ha(f
lim
0h0h0h
==
−+
=
−+
−−−
→→→
และ 1
h
h
lim
h
a)ha(
lim
h
)a(f)ha(f
lim
0h0h0h
==
−+
=
−+
+++
→→→
ดังนั้น
h
)a(f)ha(f
lim
0h
−+
→
หาคาได
2) เมื่อ 0a <
จะไดวา 1
h
h
lim
h
)a()ha(
lim
h
)a(f)ha(f
lim
0h0h0h
−=
−
=
−−+−
=
−+
−−−
→→→
และ 1
h
h
lim
h
)a()ha(
lim
h
)a(f)ha(f
lim
0h0h0h
−=
−
=
−−+−
=
−+
+++
→→→
ดังนั้น
h
)a(f)ha(f
lim
0h
−+
→
หาคาได
นั่นคือ ฟงกชัน f หาคาไดที่ a เมื่อ 0a ≠
ควรชี้ใหผูเรียนเห็นวาสําหรับฟงกชัน f ที่กําหนดคา x เปนชวง เชน
⎩
⎨
⎧
<−
≥
=
0x,x
0x,x
)x(f
ถาจะหาอนุพันธที่ x = 0 โดยใชสูตรดังนี้
⎩
⎨
⎧
<−
≥
=′
0x,1
0x,1
)x(f
จะทําใหไดขอสรุปวา 1)0(f =′ ซึ่งไมถูกตอง
เนื่องจากฟงกชันนี้ไมมีคา
h
)x(f)hx(f
lim
0h
−+
→
เมื่อ x = 0 หรือไมมีคาอนุพันธ
ที่จุด x = 0 นั่นเอง ผูสอนจึงควรย้ํากับผูเรียนวาการใชสูตรในการหาอนุพันธ ณ จุดที่กําหนดจะ
ใชไดเมื่อฟงกชันมีคาอนุพันธ ณ จุดนั้น
6. 66
13. ในการหาคาต่ําสุดหรือสูงสุดของฟงกชัน )x(fy = ซึ่งหาไดโดยอาศัยการหาคาx
ที่ทําให 0)x(f =′ นั้น ผูสอนควรบอกใหผูเรียนทราบวา ไมจําเปนเสมอไปวา ณ คา x ที่
0)x(f =′ จะใหคาต่ําสุดสัมพัทธหรือคาสูงสุดสัมพัทธ ดังนั้นจึงจําเปนตองมีการทดสอบคา
ดังกลาวดวย เชน
ถา 3
x)x(f =
2
x3)x(f =′
ถา 0)x(f =′
จะได 0x3 2
=
นั่นคือ x = 0 เปนคาวิกฤต
แตกราฟ จุด (0,0) ไมเปนจุดต่ําสุดหรือจุดสูงสุดของกราฟของฟงกชัน 3
x)x(f =
ดังนั้นในกรณีที่กําหนดฟงกชัน f ที่มีอนุพันธใหแลวใหหาคาต่ําสุดหรือคาสูงสุด
สัมพัทธของฟงกชัน ตองทดสอบวาเมื่อ 0)a(f =′ จุด ))a(f,a( ที่หาไดเปนจุดที่ฟงกชันมีคา
ต่ําสุดหรือคาสูงสุดสัมพัทธหรือไม โดยพิจารณาดังนี้
จุด ))a(f,a( จะเปนจุดที่ฟงกชันมีคาต่ําสุดสัมพัทธตองมีสมบัติครบทั้ง 3 ขอ คือ
1) 0)a(f =′
2) 0)x(f <′ เมื่อ x นอยกวา a เล็กนอย
3) 0)x(f >′ เมื่อ x มากกวา a เล็กนอย
และจุด ))a(f,a( จะเปนจุดที่ฟงกชันมีคาสูงสุดสัมพัทธตองมีสมบัติครบทั้ง 3 ขอ คือ
1) 0)a(f =′
2) 0)x(f >′ เมื่อ x นอยกวา a เล็กนอย
3) 0)x(f <′ เมื่อ x มากกวา a เล็กนอย
14. ในกรณีที่ตองการทดสอบคาต่ําสุดหรือคาสูงสุดสัมพัทธของฟงกชัน เมื่อทราบวา a
ทําให 0)a(f =′ จะเลือก x มากกวา a เล็กนอย และ x นอยกวา a เล็กนอย มาทดสอบ
คําวาเล็กนอยนั้นพิจารณาไดดังนี้
1) กรณีที่มี x เพียง 1 คาที่ทําให 0)x(f =′ เชน a เปนคาที่ทําให 0)a(f =′
การเลือกคาที่นอยกวา a และคาที่มากกวา a มาทดสอบ จะเลือกคาใดก็ได ผูสอนอาจจะใช
ภาพประกอบคําอธิบายเพื่อใหผูเรียนสามารถมองเห็นชวงของ x ไดชัดเจนขึ้น ดังภาพประกอบ
ตอไปนี้
X
Y
0
7. 67
2) กรณีที่มี x สองคาที่ทําให 0)x(f =′ เชน b และ c เปนคาที่ทําให
0)c(f,0)b(f =′=′ และ b < c จะพิจารณาดังนี้
คา x ที่นอยวา b เล็กนอย เลือกจากจํานวนจริงในชวง )b,(−∞
คา x ที่มากกวา b เล็กนอย เลือกจากจํานวนจริงในชวง )c,b(
คา x ที่นอยวา c เล็กนอย เลือกจากจํานวนจริงในชวง )c,b(
คา x ที่มากกวา c เล็กนอย เลือกจากจํานวนจริงในชวง ),c( ∞
ผูสอนอาจจะใชภาพประกอบคําอธิบายเพื่อใหผูเรียนสามารถมองเห็นชวงของ x ไดชัดเจนขึ้น
ดังภาพประกอบตอไปนี้
3) กรณีที่มี x มากกวา 2 คาที่ทําให 0)x(f =′ เชน b, c, d เปนคาที่ทําให
0)d(f,0)c(f,0)b(f =′=′=′ และ dcb << จะพิจารณาดังนี้
คา x ที่นอยวา b เล็กนอย เลือกจากจํานวนจริงในชวง )b,(−∞
คา x ที่มากกวา b เล็กนอย เลือกจากจํานวนจริงในชวง )c,b(
คา x ที่นอยวา c เล็กนอย เลือกจากจํานวนจริงในชวง )c,b(
คา x ที่มากกวา c เล็กนอย เลือกจากจํานวนจริงในชวง )d,c(
คา x ที่นอยกวา d เล็กนอย เลือกจากจํานวนจริงในชวง )d,c(
คา x ที่มากกวา d เล็กนอย เลือกจากจํานวนจริงในชวง ),d( ∞
X0 a
Y
0)a(f =′
ax >ax <
X
Y
0 b
cx >
0)c(f =′
0)b(f =′
c
cx <bx <
bx >
X
Y
0
cx >
0)c(f =′
0)b(f =′
cx <bx < bx >
b c
X0
Y
0)a(f =′
ax >ax <
a
14. 74
17. ถาอนุพันธของฟงกชันอยูในรูป n
x
dx
dy
= แลวใหหาฟงกชันเดิม โดยใชสูตร
1n
x
y
1n
+
=
+
จะเห็นวาจะหาฟงกชันนี้ไมได เมื่อ 1n −= ดังนั้นในการกําหนดอนุพันธของฟงกชัน
ใหอนุพันธของฟงกชันที่กําหนดใหตองไมอยูรูป
x
1
หรือ
bax
1
+
เมื่อ b,a เปนจํานวนจริงที่
0a ≠ เนื่องจากฟงกชันที่มีอนุพันธอยูในรูปดังกลาวจะเปนฟงกชันลอการิทึมในรูป xlny =
และ cbaxlnay ++= ซึ่งฟงกชันในลักษณะแบบนี้ผูเรียนจะไดเรียนในระดับสูงตอไป
18. รูปทั่วไปของปฏิยานุพันธของ f คือ ฟงกชัน c)x(Fy += เมื่อ c เปนคาคงตัว
และ )x(f)x(F =′ เขียนแทนปฏิยานุพันธของ f ดวยสัญลักษณ ∫ dx)x(f อานวา ปริพันธ
ไมจํากัดเขตของฟงกชัน f เทียบกับตัวแปร x
19. จากตัวอยางที่ 5 หัวขอ 2.10 เรื่องปริพันธไมจํากัดเขต ที่กลาววา
∫ + dx)x2x( 2
= ∫ ∫+ xdx2dxx2
= [ ]2
2
1
3
c
2
x
2c
3
x
+++
= cx
3
x 2
3
++ เมื่อ 21 c2cc +=
ผูสอนควรเนนใหผูเรียนเห็นวาในการหาคาของ ∫ dxx2
ใหคาคงตัวหนึ่ง คือ 1c และใน
การหาคาของ ∫ xdx2 ใหคาคงตัว คือ 2c2 ซึ่งคาคงตัวที่เกิดขึ้นนี้มีหลายคาแตนิยมเขียนสรุป
โดยใช c เพียงคาเดียว ซึ่งในที่นี้หมายถึง 21 c2c +
20. ในหัวขอ 2.11 ในการหาปริพันธจํากัดเขต และ )x(fy = ตองเปนฟงกชันตอเนื่อง
บนชวงปด [a, b] ซึ่งหาไดจากทฤษฎีหลักมูลของแคลคูลัสและไมเนนการพิสูจน ดังนี้
1) หา )x(F ซึ่งเปนปฏิยานุพันธของ )x(f หรือ หา ∫ dx)x(f
2) หา )a(F)b(F −
และคาที่ไดจาก 2) จะเปนคาของปริพันธจํากัดเขต ∫
b
a
dx)x(f
การหาปริพันธจํากัดเขตไมตองบวกคา c เนื่องจาก การหา )a(F)b(F − คา c จะหักลาง
กันหมดไป
21. ในการศึกษาหัวขอ 2.12 เรื่องพื้นที่ที่ปดลอมดวยเสนโคง จะศึกษาเฉพาะเสนโคงของ
ฟงกชันพหุนามที่เลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวกไมเกินสอง และจะตองระบุดวยวาเปนการหาพื้นที่
ที่ปดลอมดวยกราฟของฟงกชันที่กําหนดให แกน X เสนตรง ax = และเสนตรง bx = เมื่อ
Rb,a ∈ ผูสอนควรย้ําวาในหนังสือเรียนที่ไมไดเขียนแกน X ไวนั้นจริง ๆ แลว มีเสนปดลอมอีก
เสนหนึ่ง คือ แกน X แตในที่นี้ไดละไว สําหรับการหาพื้นที่ที่อยูระหวางเสนโคงสองเสน ไมได
ศึกษาในหัวขอนี้
15. 75
กิจกรรมเสนอแนะ
ลิมิตของฟงกชัน
1. ผูสอนฝกใหผูเรียนทําความเขาใจความหมายของคําวา x เขาใกล a โดยการ
ลากเสนจํานวนดังรูป
จากนั้น ผูสอนกําหนดจํานวนจํานวนหนึ่งให เชน 2 แลวใหผูเรียนหาจํานวนที่มีคา
มากกวา 2 และมีคาเขาใกล 2
ผูสอนบอกผูเรียนวาการพิจารณาจํานวนจริง x ที่มีคามากกวา 2 และมีคาเขาใกล 2 ซึ่ง
เรียกวา x มีคาเขาใกล 2 ทางดานขวาเขียนแทนดวยสัญลักษณ x → 2+
ในทํานองเดียวกัน ผูสอนใหผูเรียนหาจํานวนที่มีคานอยกวา 2 และมีคาเขาใกล 2 และ
บอกผูเรียนวา เปนการพิจารณาจํานวนจริง x ที่มีคานอยกวา 2 และมีคาเขาใกล 2 ซึ่งเรียกวา x
มีคาเขาใกล 2 ทางดานซายเขียนแทนดวยสัญลักษณ x → 2–
ตัวอยาง
2. ผูสอนกําหนดฟงกชันตอไปนี้ใหผูเรียนพิจารณาโดยใชการแทนคา x ที่เขาใกล a
ทั้งทางดานขวาและทางดานซาย พรอมทั้งเขียนกราฟ
1) f(x) = 2x – 1 เมื่อ x มีคาเขาใกล 1
2) f(x) = x2
– 4x + 5 เมื่อ x มีคาเขาใกล 2
3) f(x) = x เมื่อ x มีคาเขาใกล 0
4) f(x) =
5) f(x) =
จากฟงกชันขางตนผูสอนแบงกลุมผูเรียนใหชวยกันหาคาของ f(x) จาก x → a ที่
กําหนดให ซึ่งควรไดผลดังนี้
2 – x เมื่อ x < 1
(x – 1)2
เมื่อ x ≥ 1
x 4− เมื่อ x > 4
8 – 2x เมื่อ x < 4
0 1 2
x → 2–
x → 2+
3
0 1 2 3-1-2-3
16. 76
1) f(x) = 2x – 1 เมื่อ x เขาใกล 1
เมื่อพิจารณาคาของ f(x) ในตารางและกราฟ จะเห็นวา x มีคาเขาใกล 1 ทางดานซายและดานขวา
คาของ f(x) มีคาเขาใกล 1 เพียงคาเดียว
2) 5x4x)x(f 2
+−= เมื่อ x เขาใกล 2
เมื่อพิจารณาคาของ f(x) ในตารางและกราฟ จะเห็นวา เมื่อ x มีคาเขาใกล 2 ทางดานซายและ
ดานขวา คาของ f(x) มีคาเขาใกล 1 เพียงคาเดียว
x 1.001 1.01 1.1
f(x) 1.002 1.02 1.2
x 0.9 0.99 0.999
f(x) 0.8 0.98 0.998
x 2.001 2.01 2.1
f(x) 1.000001 1.0001 1.01
x 1.9 1.99 1.999
f(x) 1.01 1.0001 1.000001
1 2
1
-1
30
X
Y
f(x) = 1x2 −
Y
2
1
4
X0
5x4x)x(f 2
+−=
17. 77
3) f(x) = x เมื่อ x เขาใกล 0
เมื่อพิจารณาคาของ f(x) ในตารางและกราฟ จะเห็นวา เมื่อ x มีคาเขาใกล 0 ทางดานซายและ
ดานขวา คาของ f(x) มีคาเขาใกล 0 เพียงคาเดียว
4) f(x) =
เมื่อพิจารณาคาของ f(x) ในตารางและกราฟ จะเห็นวา เมื่อ x มีคาเขาใกล 4 ทางดานซาย
และดานขวา คาของ f(x) มีคาเขาใกล 0 เพียงคาเดียว
x 0.001 0.01 0.1
f(x) 0.001 0.01 0.1
x -0.1 -0.01 -0.001
f(x) 0.1 0.01 0.001
x 4− เมื่อ x > 4
8 – 2x เมื่อ x < 4
x 4.001 4.01 4.1
f(x) 0.0316 0.1 0.316
x 3.99 3.999 3.9999
f(x) 0.02 0.002 0.0002
X
4
4
2
0
Y
4x)x(f −=
f(x) = 8 – 2x
-1 1 2
1
-1
0
X
Y
-2
2
x)x(f =
18. 78
5) f(x) =
เมื่อพิจารณาคาของ f(x) ในตารางและกราฟ จะเห็นวา เมื่อ x มีคาเขาใกล 1 ดานซาย f(x) มีคา
เขาใกล 1 เมื่อ x มีคาเขาใกล 1 ดานขวา f(x) เขาใกล 0
3. จากการพิจารณาฟงกชันที่กําหนดใหขางตน ผูเรียนชวยกันสรุปวา ถา f เปนฟงกชัน
และ f(x) มีคาเขาใกลจํานวนจริง เพียงคาเดียวในขอ 1 – 4 สวนฟงกชันในขอ 5 จะสรุปไดวา
เมื่อ x มีคาเขาใกล 1 ดานซาย f(x) มีคาเขาใกล 1 เมื่อ x มีคาเขาใกล 1 ดานขวา f(x) เขาใกล 0
4. ผูสอนสรุปวาในกรณีทั่วไป “คาของ f(x) เมื่อ x เขาใกล a ทางดานซาย มีคา
เทากับ Lเขียนแทนดวย x a
lim f (x)−
→
= L อานวา ลิมิตของ f(x) เมื่อ x เขาใกล a ทางดานซาย
เทากับ Lและ “คาของ f(x) เมื่อ x เขาใกล a ทางดานขวา มีคาเทากับ L เขียนแทนดวย
x a
lim f (x)+
→
= L อานวา ลิมิตของ f(x) เมื่อ x เขาใกล a ทางดานขวา เทากับ L และถา f เปน
ฟงกชัน และ f(x) มีคาเขาใกลจํานวนจริง L เพียงคาเดียว เมื่อ x มีคาเขาใกล a (ไมวา x > a หรือ
x < a) เราจะกลาววาฟงกชัน f มีลิมิตเทากับ L หรือกลาววา ลิมิตของฟงกชัน f ที่ x เมื่อ x
เขาใกล a มีคาเทากับ L เขียนแทนดวยสัญลักษณ x a
limf (x)
→
= L และ ถา f เปนฟงกชัน และ
คาของ f(x) เมื่อ x เขาใกล a ทางดานซาย ไมเทากับคาของ f(x) เมื่อ x เขาใกล a ทางดานขวา
กลาววา x a
limf (x)
→
หาคาไมได
2 – x เมื่อ x < 1
(x – 1)2
เมื่อ x ≥ 1
x 1.001 1.01 1.1
f(x) 0.000001 0.0001 0.01
x 0.99 0.999 0.9999
f(x) 1.01 1.001 1.0001
4
2
1
X
Y
f(x) = 2 – x
2
)1x()x(f −=
O
19. 79
5. ผูสอนชี้ใหผูเรียนเห็นวา บางครั้งการหาคาลิมิตของฟงกชันโดยการใชกราฟหรือ
คํานวณคาของฟงกชันนั้นไมสะดวก โดยทั่วไปจะใชวิธีการหาลิมิต โดยอาศัยทฤษฎีบทเกี่ยวกับ
ลิมิต ผูสอนควรแนะนําทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตพรอมกับตัวอยางการนําทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตไปใช
ความตอเนื่องของฟงกชัน
1. ผูสอนใหผูเรียนพิจารณากราฟของฟงกชันที่กําหนดใหดังรูปผูสอนและผูเรียน
รวมกันอภิปรายความหมายของความตอเนื่องของฟงกชัน โดยผูสอนยกตัวอยางกราฟในรูป
1)
2)
3)
X
Y
0 a
)x(fy 2=
X
Y
0 a
)x(fy 3=
X
Y
0 a
)x(fy 1=
20. 80
4)
เมื่อผูเรียนพิจารณากราฟควรอธิบายไดวา มีเพียงกราฟขอ 4) ตอเนื่องที่จุด x = a
สวนกราฟขอ 1), 2) และ 3) ไมตอเนื่องเพราะมีบางจุดที่กราฟขาดตอน และควรบอกไดวาขาด
สมบัติในขอใดบาง
2. ผูเรียนพิจารณาความตอเนื่องของฟงกชันที่กําหนด ณ จุดที่กําหนดใหพรอมทั้งบอก
เหตุผล
1) f(x) =
2
x x 2
x 2
− −
−
ณ จุดที่ x = 2
2) f(x) =
ณ จุดที่ x = 0
X
Y
0 a
)x(fy 4=
Y
-1 1 2
1
-1
0
X
-2
2
3
2
x
1 , x ≠ 0
1 , x = 0
Y
-1 1 2
1
-1
0
X
-2
2
3
21. 81
3) f(x) =
ณ จุดที่ x = 2
3. ผูสอนใหผูเรียนพิจารณาความตอเนื่องของฟงกชันเมื่อ กําหนดให
5x5x)x(f 2
−−= พิจารณา )1(f และ )x(flim
1x→
)1(f = –9
)x(flim
1x→
= –9
จะเห็นวา )1(f = )x(flim
1x→
เมื่อพิจารณากราฟจะเห็นวา f(x) มีความตอเนื่องที่ x = 1
2
x x 2
x 2
− −
−
, x ≠ 2
1 , x = 2
Y
-1 1 2
1
-1
0
X
-2
2
3
(2, 1)
Y
X
2 4 60
5
10
–10
–5
–2
22. 82
4. ผูสอนและผูเรียนสรุปวา f มีความตอเนื่อง ที่ x = a เมื่อมีสมบัติครบ 3 ขอ คือ
1. f(a) หาคาได
2. )x(flim
ax→
หาคาได
3. f(a) = )x(flim
ax→
5. ผูสอนแนะนําผูเรียนใหใชหลักการขางตนหาความตอเนื่องบนชวงของฟงกชันแลว
ใหผูเรียนทําแบบฝกหัด
ความชันของเสนโคง
1. 1) ผูสอนทบทวนเกี่ยวกับการหาความชันของเสนตรง โดยพิจารณารูปตอไปนี้
ผูเรียนควรตอบไดวา ความชัน คือ
1 1
1
2 2
2 1
−
−
= 1
2) ผูสอนเสนอแนะผูเรียนเกี่ยวกับกรณีทั่วไปวาการหาความชันของเสนตรงคือ
อัตราสวนของ k และ h
ดังนั้น ความชันของเสนตรง คือ b k b
a h a
+ −
+ −
= k
h
Y
a a + h
b
0
X
b + k Q (a+h,b+k)
P (a,b)
h k
Y
-1 1 2
1
-1
0
X
2
3
Q
)
2
1
1,2(
)
2
1
,1(
P
24. 84
ผูเรียนควรสรุปไดวา การหาความชันของเสนโคง ณ พิกัดของจุดที่กําหนดให เมื่อ h
เขาใกล 0 ความชัน คือ 0
จากกราฟและตารางที่ 1 ผูเรียนหาความชันไดดังนี้
Qn k h k
h
(4, 5) 5 – 1 = 4 4 – 2 = 2 4/2 = 2
(3, 2) 2 – 1 = 2 4 – 3 = 1 2/1 = 1
(2.5, 1.25) 1.25 – 1 = 0.25 2.5 – 2 = 0.5 0.25/0.5 = 0 .5
(2.25, 1.0625) 1.0625 – 1 = 0.0625 2.25 – 2 = 0.25 0.0625/0.25 = 0.25
(2 + h, f(2 + h)) f(2 + h) – f(2) 2 + h – 2 f (2 h) f (2)
h
+ −
ผูเรียนควรสรุปไดวา ในขณะที่เสนตรง PQn เกือบทับจุด P ที่จุด Qn คา h มีคาเขาใกล 0
ซึ่งสามารถหาความชันไดจากการหา h 0
f (2 h) f (2)
lim
h→
+ −
คือการหาความชันของเสนโคงนั่นเอง
แตถาจุด Qn ทับกับจุด P พอดี จุดนั้นก็จะเปนจุดสัมผัสซึ่งมีสมการของเสนสัมผัสเสนโคงที่จุด
P(x, y) ใด ๆ
3. ผูสอนสรุปเปนกรณีทั่วไป โดยใชบทนิยามในหนังสือเรียนถา y = f(x) เปนสมการ
ของเสนโคง เสนตรงที่สัมผัสเสนโคงที่จุด P(x, y) ใด ๆ จะเปนเสนตรงที่ผานจุด P และมีความชัน
m = h 0
f (x h) f (x)
lim
h→
+ −
ถาลิมิตหาคาไดความชัน ณ จุด P(x, y) หมายถึง ความชันของเสน
สัมผัสเสนโคง ณ จุด P
4. ผูเรียนทําแบบฝกหัด
อนุพันธของฟงกชัน
1. ผูสอนทบทวนเรื่องการหาความชันของเสนโคง ผูเรียนควรบอกไดวา การหาความ
ชันของเสนโคง y = f(x) ที่จุด P(x, y) เปนการหาความชันของ PQ เมื่อจุด Q(x + h, y + k) เปน
จุดใด ๆ โดยให h เขาใกล 0 ซึ่งเปนการหาอัตราสวนระหวาง f(x + h) – f(x) กับ h เมื่อ คา h
เขาใกล 0 จึงไดความชันเสนโคง คือ m = h 0
f (x h) f (x)
lim
h→
+ −
เมื่อลิมิตหาคาได
2. ผูสอนบอกผูเรียนวา โดยใชบทนิยามในหนังสือเรียน ถา y = f(x) เปนฟงกชัน
และมีโดเมนและเรนจ เปนสับเซตของจํานวนจริง และ h 0
f (x h) f (x)
lim
h→
+ −
หาคาได เรียก
ลิมิตที่ไดนี้วา อนุพันธของฟงกชัน f ที่ x เขียนแทนดวย f′(x) นอกจากนี้ยังเขียนแทนดวย
สัญลักษณอยางอื่น เชน dy
dx
หรือ y′ หรือ d
f (x)
dx
25. 85
การหาอนุพันธของฟงกชันพีชคณิตโดยใชสูตร
1. ผูสอนทบทวนการหาอนุพันธของฟงกชันโดยใชบทนิยามของการหาอนุพันธดังนี้
f′(x) = h 0
f (x h) f (x)
lim
h→
+ −
และเสนอแนะผูเรียนวา การหาอนุพันธสําหรับบางฟงกชันใช
เวลาคอนขางนาน จําตองสรางสูตรเพื่อนํามาใชใหเกิดความสะดวก เชน 1x5x)x(f 3
++=
เมื่อหาอนุพันธของฟงกชัน f โดยลิมิต จะได dy
dx
= h 0
f (x h) f (x)
lim
h→
+ −
ดังนั้น f′(x) = ( ) ( )
h
1x5x1)hx(5)hx(
lim
33
0h
++−++++
→
= ( )
h
1x5x)1h5x5xh3hx3hx(
lim
32233
0h
++−++++++
→
=
h
)h5xh3hx3h(
lim
223
0h
+++
→
=
h
)5xh3x3h(h
lim
22
0h
+++
→
= 2 2
h 0
lim (h 3x 3xh 5)
→
+ + +
= 5x3 2
+
เมื่อหาอนุพันธของฟงกชัน f โดยใชสูตร
จาก 1x5x)x(f 3
++=
f′(x) = 1
dx
d
x
dx
d
5x
dx
d 3
++
= 5x3 2
+
2. ผูสอนยกตัวอยางการหาอนุพันธของฟงกชันบางฟงกชันโดยใชสูตรแลวใหผูเรียนฝก
หาอนุพันธของฟงกชันโดยใชสูตร
อนุพันธของฟงกชันประกอบ
1. ผูสอนยกตัวอยางฟงกชัน เชน f(x) = (x7
– 2x–7
)15
โดยชี้ใหผูเรียนเห็นวา
การจะหาอนุพันธของฟงกชันที่มีดีกรีสูง ๆ โดยใชบทนิยาม f′(x) = h 0
f (x h) f (x)
lim
h→
+ −
ที่เรียนผานมาจะไมสะดวก ดังนั้น จึงมีการสรางสูตรที่เรียกวา กฎลูกโซ ซึ่งกฎนี้จะใชกับฟงกชัน
ที่เรียกวา ฟงกชันประกอบ
26. 86
2. ผูสอนบอกสูตรการหาอนุพันธฟงกชันประกอบ ดังนี้
ถา y = (g°f)(x) = g(f(x)) แลว dy
dx
= d d
g(f (x)) f (x)
df (x) dx
⋅
ซึ่งผูสอนอาจจะแสดงบทพิสูจนดังนี้
จากบทนิยามของการหาอนุพันธของฟงกชัน จะไดวา
(g°f)′(x) =
h
)x)(fg()hx)(fg(
lim
0h
−+
→
= h 0
g(f (x h)) g(f (x))
lim
h→
+ −
= h 0
g(f (x h)) g(f (x)) f (x h) f (x)
lim
f (x h) f (x) h→
⎡ ⎤+ − + −
⋅⎢ ⎥+ −⎣ ⎦
โดยที่ f(x + h) – f(x) ≠ 0
=
h
)x(f)hx(f
lim
)x(f)hx(f
))x(f(g))hx(f(g
lim
0h0h
−+
⋅
−+
−+
→→
ให f(x + h) – f(x) = t
จะไดวา h 0
g(f (x h)) g(f (x))
lim
f (x h) f (x)→
+ −
+ −
=
t
))x(f(g)t)x(f(g
lim
0h
−+
→
ดังนั้น (g°f)′(x) = )x(f))x(f(g ′⋅′
= )x(f
dx
d
))x(f(g
)x(df
d
⋅
ถา u = f(x) และ y = g(u)
จะได dy
dx
= dy du
du dx
⋅
3. ผูสอนยกตัวอยางการหาอนุพันธของฟงกชันประกอบโดยใชสูตรแลวใหผูเรียนทํา
แบบฝกหัด
อนุพันธอันดับสูง
1. ผูสอนทบทวนการหาอนุพันธของฟงกชันโดยใชสูตร และยกตัวอยางฟงกชันบาง
ฟงกชันที่หาอนุพันธได และสามารถหาอนุพันธไดอีกโดยการถามนักเรียน
กําหนด f(x) = 2x4
– 3x3
+ 2x2
+6x – 5
f′(x) = df (x)
dx
= 8x3
– 9x2
+ 4x + 6
d
f (x)
dx
′ = 24x2
– 18x+ 4
ดังนั้น อนุพันธของ f′ (x) คือ 24x2
– 18x + 4
27. 87
2. ผูสอนบอกบทนิยามการหาอนุพันธอันดับสูง ดังนี้
ให f เปนฟงกชันที่สามารถหาอนุพันธได และ f′(x) เปนอนุพันธของฟงกชัน f ที่ x ที่สามารถ
หาอนุพันธไดแลว จะเรียกอนุพันธของอนุพันธของฟงกชัน f ที่ x หรืออนุพันธของฟงกชัน f ′ ที่
x วาอนุพันธอันดับที่ 2 ของ f ที่ x และเขียนแทนอนุพันธของฟงกชัน f′ ที่ x ดวย f″(x)
ทั้งนี้ ผูสอนอธิบายถึงการเขียนแทนดวยสัญลักษณ เชน อนุพันธอันดับที่ 2 ของ
f ที่ x เขียนแทนดวย
2
2
d y
dx
หรือ
2
2
d f (x)
,y
dx
′′ อนุพันธอันดับที่ 3 ของ f ที่ x เขียนแทนดวย
3
3
d y
dx
หรือ
3
3
d
f (x)
dx
หรือ y ′′′ เปนตน
3. ผูสอนแนะนําผูเรียนในการนําความรูเรื่องอนุพันธของฟงกชันอันดับสูงไปใช
ประโยชนในเรื่องการเคลื่อนที่ซึ่งอนุพันธของฟงกชันอันดับที่ 2 ของ f ที่ x คือ ความเรง (a)
ของวัตถุขณะเวลา t ใด ๆ ซึ่งหาไดจากการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว (v) เทียบกับ
เวลา t ใด ๆ จากสมการ s = f(t) ซึ่งจะแสดงไดดังนี้
a = dv
dt
และ v = ds
dt
ดังนั้น a = )
dt
ds
(
dt
d
= 2
2
dt
sd
4. ผูเรียนทําแบบฝกหัด
การประยุกตอนุพันธ
1. ผูสอนทบทวนความรูเกี่ยวกับฟงกชันเพิ่มและฟงกชันลด พรอม ๆ กับการพิจารณา
ความชันของเสนโคงดังแผนภาพตอไปนี้
ถา 21 xx < และ )x(f)x(f 21 < จะไดวา )x(f เปนฟงกชันเพิ่ม และ 0)x(f >′
X
y = f(x)
0
Y
x2x1
28. 88
ถา 21 xx < และ )x(f)x(f 21 > จะไดวา )x(f เปนฟงกชันลด และ 0)x(f <′
2. ผูสอนกําหนดกราฟมาให โดยใหผูเรียนเขียนกราฟของฟงกชันที่กําหนดใหและ
พิจารณาคาของ f(x) และ )x(f ′ เมื่อกําหนด x = a ที่เปนจุดต่ําสุดและจุดสูงสุด โดยเขียน +
และ – เมื่อคาของฟงกชันในชวงนั้นเปนจํานวนจริงบวกและลบ ตามลําดับ ดังแสดงในตาราง
จุดสูงสุดหรือ
จุดต่ําสุด
X
Y
y = f(x)
0 x1 x2
)1,2( –+ 01
0
1)
2
5-2
-2
X
Y
)1,1( − – 0 +–1
0
2)
2
5-2
-2
X
Y
)3,2( –+ 0–3
0
3)
)x(f
ax =ax < ax >
)x(f ′)x(f ′
2
5-2
-2
X
Y
)x(f ′)x(f
29. 89
จากตารางพิจารณาคา ของ f(x) และ )x(f ′ โดยยึดจุดสูงสุดและจุดต่ําสุดสัมพัทธเปนชวง
แบงผูเรียนสรุปไดวา
1. ฟงกชันในขอ 1 และ 3 ณ จุดสูงสุดในชวง x < a คาของ f(x) จะเพิ่มขึ้น
ในขณะที่ x = a ฟงกชันจะใหคาสูงสุด ในชวง x > a คาของ f(x) เริ่มลดลง
2. ฟงกชันในขอ 2 และ 4 ณ จุดต่ําสุดในชวง x < a คาของ f(x) จะลดลง
ในขณะที่ x = a ฟงกชันจะใหคาต่ําสุด ในชวง x > a คาของ f(x) เริ่มเพิ่มขึ้น
3. ณ จุดที่เปนจุดต่ําสุดหรือจุดสูงสุดของฟงกชันจะเปนจุดเปลี่ยนจากคาบวกเปน
คาลบหรือจากคาลบเปนคาบวก (จุดที่ 0)x(f =′ )
3. จากขอคนพบและสิ่งที่ผูเรียนสรุปได ผูสอนสรุปความหมายของคาสูงสุดสัมพัทธ
คาต่ําสุดสัมพัทธ และคาวิกฤต ตามที่นิยามในหนังสือเรียน
4. ผูสอนใหผูเรียนหาคาสูงสุดสัมพัทธ คาต่ําสุดสัมพัทธ และคาวิกฤต โดยกําหนด
ฟงกชัน ดังตอไปนี้
1. 8x2x)x(f 2
−−=
2x2)x(f −=′
หาคาวิกฤต 2x2)x(f −=′ = 0
x = 1
ถา x > 1, 0)x(f >′ ถา x < 1, 0)x(f <′
ดังนั้น f(x) มี คาต่ําสุดสัมพัทธ คือ –9
2. 1x3x)x(f 3
−−=
3x3)x(f 2
−=′
หาคาวิกฤต โดยให 0)x(f =′
จะได 0)1x(3 2
=−
x = –1 หรือ x = 1
พิจารณากรณี x = –1
ถา x < –1, 0)x(f >′ ถา x > –1, 0)x(f <′
-4
5-2
-2
X
Y
)4,1( − – ––40
4)
0
30. 90
ดังนั้น f(x) มี คาสูงสุดสัมพัทธ คือ 1
พิจารณากรณี x = 1
ถา x < 1, 0)x(f <′ ถา x > 1, 0)x(f >′
ดังนั้น f(x) มี คาต่ําสุดสัมพัทธ คือ –3
5. ผูสอนใหผูเรียนพิจารณาหาคาสูงสุดสัมพัทธและคาต่ําสุดสัมพัทธพรอมทั้งเปรียบเทียบ
คาที่หาได ภายในชวงที่กําหนดให
ผูเรียนสรุปวา 1. f มีคาสูงสุดสัมพัทธที่จุด 1x และ 3x และ )x(f)x(f 31 <
2. f มีคาต่ําสุดสัมพัทธที่จุด 2x และ 4x และ )x(f)x(f 42 <
6. ผูสอนสรุปความหมายของคาสูงสุดสัมบูรณและคาต่ําสุดสัมบูรณตามบทนิยามใน
หนังสือเรียน พรอมทั้งเนนความแตกตางระหวางจุดสูงสุดสัมพัทธและจุดสูงสุดสัมบูรณ จุดต่ําสุด
สัมพัทธและจุดต่ําสุดสัมบูรณโดยอาจจะอธิบายโดยใชกราฟดังนี้
X
A C
0 x1 x2 x3 x4
f(x)
B D
Y
g
B
C
D
E
F
•
•
•
•
•
•GA
•
Y
Xa b c d fe
31. 91
จากกราฟ ผูสอนใหผูเรียนชวยกันพิจารณาวาจุดใดบางเปนจุดสูงสุดสัมพัทธ และจุดใด
บางเปนจุดต่ําสุดสัมพัทธ จากนั้นใหผูเรียนระบุวาจุดใดเปนจุดสูงสุดสัมบูรณและจุดใดเปนจุดต่ํา
สุดสัมบูรณ ซึ่งผูเรียนควรตอบไดวา จุด B, จุด D และจุด F เปนจุดสูงสุดสัมพัทธ สวนจุด C
และจุด E เปนจุดต่ําสุดสัมพัทธ หรือ ผูเรียนอาจกลาววา ฟงกชัน f มีคาสูงสุดสัมพัทธที่ x = b,
x = d และ x = f เพราะมีความหมายเหมือนกัน จากกราฟ ผูเรียนควรตอบไดวา จุด B เปน
จุดสูงสุดสัมบูรณ และคาสูงสุดสัมบูรณเทากับ f(b) จุด E เปนจุดต่ําสุดสัมบูรณ และคาต่ําสุด
สัมบูรณเทากับ f(e) ผูสอนควรชี้แจงใหผูเรียนเขาใจวา ตามนิยามในหนังสือเรียนหนา 129 การ
พิจารณาจุดต่ําสุดสัมพัทธและจุดสูงสุดสัมพัทธจะไมพิจารณาจุดปลายของชวงเปด (a, g) ดังนั้น
จุด A และ จุด G จึงไมเปนจุดต่ําสัมพัทธหรือจุดสูงสุดสัมพัทธ อยางไรก็ตามในการพิจารณาคา
ต่ําสุดสัมบูรณและคาสูงสุดสัมบูรณนั้น ตองพิจารณาจุดปลายของชวงเปด (a, g) ดวย นั่นคือ
จุด A และจุด G อาจจะเปนจุดที่ใหคาต่ําสุดสัมบูรณหรือจุดสูงสุดสัมบูรณก็ได
7. ผูเรียนทําแบบฝกหาคาสูงสุดสัมพัทธและคาต่ําสุดสัมพัทธ คาสูงสุดสัมบูรณและคา
ต่ําสุดสัมบูรณของฟงกชัน
ปฏิยานุพันธ
1. ผูสอนทบทวนการหาอนุพันธของฟงกชัน ดังนี้
)x(f )x(f′
5x + 1 5
x2
+ 1 2x
x2
+ 3x + 2 2x + 3
x3
+ 2 3x2
x3
– 5 3x2
x3
+ 3x + 2 3x2
+ 3
x3
+ 3x – 5 3x2
+ 3
ผูสอนใหผูเรียนรวมกันสรุปวา การหาอนุพันธของ y = xn
หาไดจากสูตร n 1dy
nx
dx
−
=
เมื่อทบทวนเรื่องการหาอนุพันธแลวผูสอนควรถามใหผูเรียนหาฟงกชันหลายๆ ฟงกชันที่มีคาอนุพันธ
เทากันแลวจึงคอยใหผูเรียนสรุปวา ฟงกชันที่มีอนุพันธเทากันนั้นจะตางกันเฉพาะคาคงตัว ซึ่งใน
การเรียนการสอนคณิตศาสตรระดับสูงขึ้นไปจะสามารถพิสูจนไดวา ฟงกชันที่มีอนุพันธเทากันนั้น
จะตางกันเฉพาะคาคงตัว
34. 94
ผูสอนใหผูเรียนแตละกลุมกําหนดฟงกชันตามตัวอยางขางตน เพื่อทดลองใชความรูจาก
บทสรุปที่วา เมื่อกําหนด f(x) = xn
หา ∫f(x)dx ไดจาก
n 1
x
n 1
+
+
โดยที่ 1n −≠ เพื่อหาขอสรุป
สูตรการหาปริพันธไมจํากัดเขต ดังนี้
ตัวอยางเชน
∫1dx = x + c ∫kdx = kx + c
∫3x2
dx = x3
+ c ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx
∫[x2
+ x3
]dx ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
∫[4x3
+ 3x2
]dx ∫[(k1f1(x) + k2f2(x)+ ... + knfn(x)]dx = k1∫f1(x)dx + k2∫f2(x)dx + ...+ kn∫fn(x)dx
3. ผูสอนกลาวถึงประโยชนของการนําสูตรการหาปริพันธไปใชใหเกิดความสะดวกและ
รวดเร็ว เชน การนําไปใชในการหาปฏิยานุพันธของฟงกชัน ( )
dy
f x
dx
= การหาสมการเสนโคง
ดังตัวอยางที่ 10 หนา 157 การหาความเร็วจากการเคลื่อนที่เมื่อกําหนดความเรงขณะเวลา t ใด ๆ
เปนตน
4. ใหผูเรียนฝกหาปริพันธไมจํากัดเขตของฟงกชัน
ปริพันธจํากัดเขต
1. ผูสอนทบทวนเรื่องปฏิยานุพันธของฟงกชัน ผูเรียนควรบอกไดวา เมื่อกําหนด
f(x) = xn
ปริพันธหนึ่งคือ
n 1
x
n 1
+
+
โดยที่ n ≠ –1 เขียนผลการหาปริพันธในรูปทั่วไปคือ F(x) + c
เมื่อ c เปนคาคงตัว และใชหลักการทบทวนการหาสูตรปริพันธทั้ง 5 สูตรในหัวขอ 2.10
2. ผูสอนทบทวนเรื่องฟงกชันตอเนื่องบนชวง [a, b]
3. ผูสอนแนะนําสัญลักษณ ( )
b
a
f x dx∫ ที่ใชแทนปริพันธจํากัดเขตของฟงกชันตอเนื่อง f
บนชวง [a, b] และแนะนําวิธีหาคา ( )
b
a
f x dx∫ โดยใชทฤษฏีหลักมูลของแคลคูลัสวา เมื่อกําหนด
ฟงกชัน f ซึ่งเปนฟงกชันตอเนื่องบนชวง [a, b] มาให จะหาปริพันธจํากัดเขตของฟงกชันไดดังนี้
3.1 หา F(x) ซึ่งเปนรูปทั่วไปของปฏิยานุพันธของฟงกชัน f
3.2 หา F(b) – F(a)
3.3 ( )
b
a
f x dx∫ = F(b) – F(a)
4. ผูสอนกําหนดฟงกชันตอเนื่องบนชวง [a, b] และใหผูเรียนฝกหาปริพันธของฟงกชัน
ตามวิธีการในขอ 3 เชน f(x) = x2
+ 2 , x ∈[1, 2]
35. 95
ผูเรียนควรหาไดวา F(x) =
3
x
2x c
3
+ +
F(2) = ( )
3
2
2 2 c
3
+ + c
3
20
+=
F(1) = ( )
3
1
2 1 c
3
+ + c
3
7
+=
( )
2
1
f x dx∫ = F(2) – F(1) = 13
3
5. ผูสอนใหผูเรียนสังเกตวา เมื่อหาฟงกชัน F ซึ่งเปนรูปทั่วไปของปริพันธของฟงกชัน
ที่กําหนดให แลวหา F(b) – F(a) คาคงตัว c จะหักลางกันหมดไป ดังนั้นเพื่อประหยัดเวลาใน
การคํานวณไมจําเปนตองเขียนคาคงตัว c แลวใหผูเรียนทําแบบฝกหัด
พื้นที่ที่ปดลอมดวยเสนโคง
1. ผูสอนทบทวนการหาปริพันธจํากัดเขตโดยกําหนดฟงกชันตอเนื่องบน [a, b] เชน
กําหนด f(x) = 2 , x ∈ [0, 1] และ g(x) = 5x2
, x ∈[–1, 2] ใหผูเรียนหาปริพันธจํากัดเขต
ดังกลาว
2. ผูสอนใหความหมายของคําวา “พื้นที่ปดลอมดวยเสนโคงของ y = f(x) กับแกน X
จาก x = a ถึง x = b” และฟงกชัน f ที่กลาวถึงนี้เปนฟงกชันพหุนามที่มีดีกรีเปนจํานวนเต็มบวก
ไมเกินสอง ซึ่งกราฟของ f อาจจะเปนเสนตรงหรือเสนโคง ผูเรียนควรบอกไดวา เมื่อเขียนกราฟ
แลวพื้นที่ดังกลาวคือบริเวณใด ผูสอนใหผูเรียนพิจารณารูปดังตอไปนี้
X
Y
a b 0 X
Y
a b0
X
Y
a b
0
X
Y
a b0
ก
ค
ง
ข
36. 96
ผูเรียนควรบอกไดวา พื้นที่ปดลอมดวยกราฟของ y = f(x) แกน X เสนตรง x = a
และเสนตรง x = b เชนรูป ก , ข และ ค จะมีพื้นที่ที่อยูเหนือแกน X คาของ f(x) มากกวาศูนย
สวนพื้นที่ปดลอมดวยกราฟของ y = f(x) แกน X เสนตรง x = a เสนตรง x = b
จะมีพื้นที่ที่อยูใตแกน X เมื่อ f(x) นอยกวาศูนย เชน รูป ง
3. ผูสอนเสนอแนะผูเรียนวาการหาพื้นที่ปดลอมดวยเสนโคงจะหาโดยอาศัยการหา
ปริพันธจํากัดเขต ตามบทนิยามในหนังสือเรียน
4. ผูสอนใหผูเรียนพิจารณาวา การหาพื้นที่ปดลอมดวยเสนโคง เปรียบเทียบ 2 วิธีคือ
วิธีใชสูตรการหาพื้นที่ที่ผูเรียนเคยเรียนมา และวิธีการหาปริพันธจํากัดเขต เพื่อตรวจสอบคาของ
พื้นที่ที่ได เชน
กราฟ วิธีใชสูตรการหาพื้นที่ วิธีการหาปริพันธจํากัดเขต
พื้นที่ A= 1
2
(ผลบวกของดานคูขนาน)×ความสูง
= 1
2
(1+2)×1
= 3
2
ตารางหนวย
พื้นที่ A = ( )
2
1
f x dx∫
2
x2
=
= 4 1
2 2
−
= 3
2
ตารางหนวย
พื้นที่ A = 1
2
×ความยาวฐาน×ความสูง
= 1
2
×3×3
= 9
2
ตารางหนวย
พื้นที่ A = ∫−
5
2
dx)x(g
= –((–
2
x2
+2x) )
= 25 4
( 10 4)
2 2
− − + + −
= 9
2
ตารางหนวย
5. ผูสอนและผูเรียนชวยกันอภิปรายถึงประโยชนของการหาพื้นที่ที่ปดลอมดวยเสนโคง
ดวยวิธีการหาปริพันธจํากัดเขต “หากรูปภาพมีความซับซอนหรือมีลักษณะเปนกราฟเสนโคง การ
ใชวิธีการหาปริพันธจํากัดเขตจะสะดวกและหาคําตอบไดงายกวา”
0 1 2 3 4
1
2
3
A
X
Y
–1
–2
–3
–4
43210 5
A
X
g(x) = –x + 2
Y
1
2
2
5
