1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
ลาดับและอนุกรม
(เนื้อหาตอนที่ 6)
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
โดย
อาจารย์ ดร. ศันสนีย์ เณรเทียน
อาจารย์ ดร. ไพโรจน์ น่วมนุ่ม
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง ลาดับและอนุกรม
สื่อการสอน เรื่อง ลาดับและอนุกรม มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 10 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
2. เนื้อหาตอนที่ 1 ลาดับ
- แนวคิดเรื่องลาดับ
- ลาดับเลขคณิต
- ลาดับเรขาคณิต
3. เนื้อหาตอนที่ 2 การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
- การประยุกต์ของลาดับเลขคณิต
- การประยุกต์ของลาดับเรขาคณิต
4. เนื้อหาตอนที่ 3 ลิมิตของลาดับ
- การลู่เข้าและลู่ออกของลาดับ และลิมิตของลาดับ
- ทฤษฎีบทของลิมิตของลาดับ
5. เนื้อหาตอนที่ 4 ผลบวกย่อย
- ผลบวกย่อย
- ผลบวกย่อยของลาดับเลขคณิต
- ผลบวกย่อยของลาดับเรขาคณิต
6. เนื้อหาตอนที่ 5 อนุกรม
- ความหมายของอนุกรม
- ความหมายของการลู่เข้า การลู่ออก และผลบวกของอนุกรม
- การตรวจสอบการลู่เข้าของอนุกรมเรขาคณิต
- ตัวอย่างการประยุกต์ของอนุกรมเรขาคณิต
7. เนื้อหาตอนที่ 6 ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
- ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
- ความสัมพันธ์ระหว่างการลู่เข้าของลาดับและอนุกรม
8. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
9. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)
10. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
2

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับ
ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับและ
อนุกรม นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการ
ไปแล้ว ท่ า นสามารถดูชื่ อเรื่อง และชื่ อตอนได้จากรายชื่ อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดใน
ตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้
3

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ลาดับและอนุกรม (ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 6 (6/6)
หัวข้อย่อย 1. ทบทวนความรู้พื้นฐาน
2. ทฤษฎีบทในการตรวจสอบการลู่เข้าของอนุกรมอนันต์
3. เทคนิคในการหาผลบวกของอนุกรมอนันต์
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียนสามารถ
1. อธิบายความหมายและตรวจสอบการลู่เข้า การลู่ออกของอนุกรมพี (p-series)
2. อธิบายสมบัติของการลู่เข้า รวมทั้งประยุกต์ใช้ในการตรวจสอบการลู่เข้า การลู่ออกของ
อนุกรมอนันต์
3. ตรวจสอบการลู่เข้าของอนุกรมอนันต์ โดยใช้วิธีพิจารณาลิมิตของพจน์ที่ n ของอนุกรม
4. ตรวจสอบการลู่เข้าของอนุกรมอนันต์ โดยใช้วิธีการเปรียบเทียบ (comparison test)
5. ใช้เทคนิคต่างๆ ในการหาผลบวกของอนุกรมอนันต์
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถ
1. ใช้ทฤษฎีบทของการลู่เข้า ในการตรวจสอบการลู่เข้า การลู่ออกของอนุกรมอนันต์
2. ใช้เทคนิคต่างๆ ในการหาผลบวกของอนุกรมอนันต์
4

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
เนื้อหาทั้งหมด
5

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. ทบทวนความรู้พนฐาน
ื้
6

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. ทบทวนความรู้พื้นฐาน
ในหัวข้อนี้ ผู้เรียนจะได้รู้จักสัญลักษณ์ที่ใช้แทนอนุกรมอนันต์ ทั้งนี้เพื่อความสะดวกในการเขียน
อนุกรมอนันต์
เมื่อผู้เรียนได้รู้จักถึงสัญลักษณ์ที่ใช้แทนอนุกรมอนันต์แล้ว ผู้สอนอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติมเพื่อให้ผู้เรียน
เข้าใจสัญลักษณ์แทนอนุกรมอนันต์มากขึ้น ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง จงเขียนอนุกรมอนันต์ที่กาหนดให้ต่อไปนี้ ในรูปสัญลักษณ์ซิกมา
1. อนุกรม 2  4  6  8   2n 
2. อนุกรม 3  9  27  81   (3)n 1 
3. อนุกรม 1  (1)  1  (1)   (1)n 1 
1 1 1 1 1
4. อนุกรม      
2 5 10 17 n2 1
5. อนุกรม 2  4  3  5  4  6  5  6   (n  1)(n  3) 
คาตอบ
  
1.  2n 2.  (3)n 1 3.  (1) n 1
n 1 n 1 n 1
 
1
4.  2
5.  (n  1)(n  3)
n 1 n  1 n 1
นอกจากนี้ ผู้สอนอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติม โดยกาหนดสัญลักษณ์แทนอนุกรมอนันต์ให้ จากนั้นให้ผู้เรียนบอกว่า
สัญลักษณ์ดังกล่าวแทนอนุกรมใด ดังตัวอย่างต่อไปนี้
7

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง อนุกรมอนันต์ในรูปสัญลักษณ์ซิกมาต่อไปนี้ แทนอนุกรมใด
 n 1 
1.  2
3
2.   n  1 1 
n 1   n 1
 
1 7
3.  n
4. 
n 1 n 3 n 1 2  5n
n
คาตอบ
n 1
3 9 27 3
1. อนุกรม 1      
2 4 8 2
2. อนุกรม ( 2  1)  ( 3  1)  ( 4  1)   ( n  1  1) 
1 1 1 1 1
3. อนุกรม      
1 3 2  9 3  25 4  81 n  3n
7 7 7 7
4. อนุกรม 1     
29 133 641 2n  5n
และในหัวข้อนี้ ผู้เรียนยังได้ทบทวนบทนิยามการลู่เข้า การลู่ออกของอนุกรมอนันต์ โดยพิจารณาจากลาดับของ
ผลบวกย่อย และยังได้ทบทวนทฤษฎีบทที่ใช้ในการตรวจสอบการลู่เข้าของอนุกรมเรขาคณิตโดยพิจารณาจาก
อัตราส่วนร่วม ซึ่งทฤษฎีบทนี้จะเป็นพื้นฐานสาคัญในการศึกษาเนื้อหาของสื่อการสอนในตอนนี้
ผู้สอนอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติม เพื่อทบทวนการใช้แนวทางการตรวจสอบการลู่เข้าของอนุกรมเรขาคณิต
โดยพิจารณาจากอัตราส่วนร่วม ดังตัวอย่างต่อไปนี้
8

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง จงพิจาณาว่าอนุกรมเรขาคณิตที่กาหนดให้ต่อไปนี้ เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออก
 n
3
1.   
n 1  
4
  n
5
2.  2 
 
n 1  

3.   1n 1  3n 1
n 1
4. อนุกรม 1  0.1  0.01  0.001   10 n 1 
n 1
5 25 125 n 1  5 
5. อนุกรม 1     (1)  
3 9 27 3
คาตอบ/แนวคิด
3
(1) อนุกรมลู่เข้า เนื่องจาก อัตราส่วนร่วม (r) มีค่าเท่ากับ ซึ่ง r 1
4
5
(2) อนุกรมลู่ออก เนื่องจาก อัตราส่วนร่วม (r) มีค่าเท่ากับ ซึ่ง r 1
2
(3) อนุกรมลู่ออก เนื่องจาก อัตราส่วนร่วม (r) มีค่าเท่ากับ 3 ซึ่ง r 1
(4) อนุกรมลู่เข้า เนื่องจาก อัตราส่วนร่วม (r) มีค่าเท่ากับ 0.1 ซึ่ง r 1
(5) อนุกรมลู่ออก เนื่องจาก อัตราส่วนร่วม (r) มีค่าเท่ากับ  5 ซึ่ง r 1
3
9

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. ทฤษฎีบทในการตรวจสอบการลู่เข้าของอนุกรมอนันต์
10

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. ทฤษฎีบทในการตรวจสอบการลู่เข้าของอนุกรม
ในหัวข้อนี้ ผู้เรียนจะได้ศึกษาถึงทฤษฎีบทต่างๆ ในการตรวจสอบการลู่เข้า การลู่ออกของอนุกรม
อนันต์ เนื้อหาส่วนนี้แบ่งนาเสนอเป็น 4 ส่วน ประกอบด้วย
2.1 ความหมายของอนุกรมพี (p - series) และการตรวจสอบการลู่เข้า การลู่ออกของอนุกรมพี
2.2 สมบัติการลู่เข้าของอนุกรม
2.3 การตรวจสอบการลู่ออกของอนุกรมโดยพิจารณาลิมิตของพจน์ที่ n ของอนุกรม
2.4 การตรวจสอบการลู่เข้า การลู่ออกของอนุกรมโดยวิธีการเปรียบเทียบ (comparison test)
ทฤษฎีบทต่าง ๆ จะนาเสนอในรูปข้อสรุป ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ แต่ในสื่อการสอนนี้ ขอละการพิสูจน์ไว้
2.1 ความหมายของอนุกรมพี (p - series) และการตรวจสอบการลู่เข้า การลู่ออกของอนุกรมพี
ในหัวข้อย่อยนี้ เริ่มจากการอธิบายความหมายของอนุกรมพี พร้อมทั้งยกตัวอย่างประกอบ
เพื่อให้ผู้เรียนเข้าใจความหมายของอนุกรมพีเพิ่มมากขึ้น ผู้สอนอาจสุ่มผู้เรียน 3-5 คน ให้ยกตัวอย่างอนุกรมพี
ตามความเข้าใจของตนเอง จากนั้นผู้สอนและผู้เรียนคนอื่นร่วมกันตรวจสอบความถูกต้อง
ต่อไป จะได้กล่าวถึงทฤษฎีบท (ข้อสรุป 1)ในการตรวจสอบการลู่เข้า การลู่ออกของอนุกรมพี
พร้อมยกตัวอย่างการนาไปใช้
11

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติม เพื่อให้ผู้เรียนเข้าใจข้อสรุป 1 เพิ่มมากขึ้น ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง จงพิจารณาว่าอนุกรม p ที่กาหนดให้ต่อไปนี้ เป็นอนุกรมลู่เข้า หรือเป็นอนุกรมลู่ออก
  
1.  3 1 2.  n 2 3.  5 n 3
4
n 1 n n 1 n 1
แนวคิด
 
1 1
1. จัดรูปใหม่จะได้ 3   4
n 1 n4 n 1
n3
อนุกรมพีที่กาหนด มีค่า p  4 ซึ่งมีค่ามากกว่า 1
3

จากข้อสรุป 1 จะได้ว่า  3 1 เป็นอนุกรมลู่เข้า 
4
n 1 n
 
1
2. จัดรูปใหม่จะได้  n 2
 
n 1 n 1 n 2
อนุกรมพีที่กาหนด มีค่า p  2 ซึ่งมีค่าน้อยกว่า 1

จากข้อสรุป 1 จะได้ว่า  n 2 เป็นอนุกรมลู่ออก 
n 1
 3  
1
3. จัดรูปใหม่จะได้  5 3
n  n 5 
 3 
n 1 n 1 n 1 
n 5
อนุกรมพีที่กาหนดมีค่า p   3 ซึ่งมีค่าน้อยกว่า 1
5

จากข้อสรุป 1 จะได้ว่า  5 n 3 เป็นอนุกรมลู่ออก 
n 1
12

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ก่อนที่จะศึกษาในทฤษฎีบทต่อไป ผู้สอนควรสรุปสาระสาคัญเกี่ยวกับข้อสรุป 1 ในประเด็นต่อไปนี้
1. ความหมายของอนุกรมพี และการตรวจสอบการลู่เข้า การลู่ออกของอนุกรมพี รวมทั้งเน้นย้ากับ
ผู้เรียนว่าข้อสรุป 1 ข้างต้นใช้ในการตรวจสอบอนุกรมพีว่าเป็นอนุกรมลู่เข้า หรือ อนุกรมลู่ออกเท่านั้น แต่
ข้อสรุปนี้ไม่สามารถระบุได้ว่าถ้าอนุกรมพีลู่เข้า แล้วผลบวกของอนุกรมเป็นเท่าใด
2. ผู้สอนควรเน้นให้ผู้เรียนทราบว่า อนุกรมพีที่กาหนดให้บางอนุกรม อาจต้องอาศัยการจัดรูปใหม่ก่อน
จึงสามารถระบุได้ว่าอนุกรมพีดังกล่าวมีค่าพีเป็นเท่าใด
3. ผู้สอนอาจตั้งคาถามเพื่อเน้นให้ผู้เรียนเปรียบเทียบของ อนุกรมพี กับ อนุกรมเรขาคณิต เพื่อมิให้
ผู้เรียนเกิดความสับสน
2.2 สมบัติการลู่เข้าของอนุกรม
ในหัวข้อย่อยนี้ ผู้เรียนจะได้ศึกษาถึงสมบัติการลู่เข้าของอนุกรม รวมทั้งการนาไปใช้ในการตรวจสอบ
การลู่เข้า การลู่ออกของอนุกรม สมบัติดังกล่าวที่ได้นาเสนอในสื่อการสอนนี้ ประกอบ
 
ข้อสรุป 2 ถ้า  a n เป็นอนุกรมลู่เข้า และ c เป็นค่าคงตัว แล้ว  ca n เป็นอนุกรมลู่เข้า
n 1 n 1
 
ข้อสรุป 3 ถ้า  a n เป็นอนุกรมลู่เข้า และ  bn เป็นอนุกรมลู่เข้า
n 1 n 1

แล้ว  (a n  bn ) เป็นอนุกรมลู่เข้า
n 1
 
ข้อสรุป 4 ถ้า  a n เป็นอนุกรมลู่เข้า และ  bn เป็นอนุกรมลู่ออก
n 1 n 1

แล้ว  (a n  bn ) เป็นอนุกรมลู่ออก
n 1
 
นอกจากนี้ ได้กล่าวถึงข้อควรระวัง คือ ถ้า  a n เป็นอนุกรมลู่ออก และ  bn เป็นอนุกรมลู่ออก
n 1 n 1

แล้วเราไม่สามารถสรุปได้ในทันทีว่า  (a n  bn ) เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออก
n 1
13

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
14

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนอาจอธิบายเพิ่มเติมว่า ข้อสรุป 2 และ ข้อสรุป 3 ที่กล่าวมาข้างต้น สามารถเขียนในรูปทั่วไป ดังนี้
ข้อสรุป 3.1
  
ถ้า  a n และ  b n เป็นอนุกรมลู่เข้า และ  ,  เป็นค่าคงตัว แล้ว  (a n  b n ) เป็นอนุกรมลู่เข้า
n 1 n 1 n 1
ผู้สอนควรยกตัวอย่างเพิ่มเติม เพื่อสาธิตการใช้ข้อสรุป 3.1 ในการตรวจสอบการลู่เข้าของการอนุกรม
ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง จงพิจารณาว่า  ( 53  3 3 4 ) เป็นอนุกรมลู่เข้า หรือเป็นอนุกรมลู่ออก
n 1 n n
 
แนวคิด พิจารณาอนุกรม  1
3
และ  3 3 4
n 1 n n 1 n
 
เนื่องจาก  13 เป็นอนุกรมพีที่มี p  3 ซึ่งมากกว่า 1 จะได้ว่า  13 เป็นอนุกรมลู่เข้า
n n 1 n n 1
 
เนื่องจาก  3 3 4 เป็นอนุกรมพีที่มี p  4 ซึ่งมากกว่า 1 จะได้ว่า  13 เป็นอนุกรมลู่เข้า
n 1 n 3 n n 1

จากข้อสรุป 3.1 จะได้ว่า  ( 53  3 3 4 ) เป็นอนุกรมลู่เข้า 
n 1 n n

5  2 n  3  5n
ตัวอย่าง จงพิจารณาว่า  ( 7n )
n 1
เป็นอนุกรมลู่เข้า หรือเป็นอนุกรมลู่ออก
 
5  2 n  3  5n 5 
 n n
2
แนวคิด จัดรูป  ( 7n )    5  7   3  7  

n 1      
n 1 
 n  n
พิจารณาอนุกรม   2  และ   5 
   
7 7 n 1   n 1  
 n
2 2
  7  เป็นอนุกรมลู่เข้า เนื่องจากเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี r  7 ซึ่ง | r |  1
 
n 1
 n
5
 7  เป็นอนุกรมลู่เข้า เนื่องจากเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี r  5 ซึ่ง | r |  1
n 1   7
 n

5 
n
จากข้อสรุป 3.1 จะได้ว่า   5  2 
  
 3    เป็นอนุกรมลู่เข้า
n 1   7  7 

5 2  35
n n
ทาให้ได้ว่า  ( 7n ) เป็นอนุกรมลู่เข้า
n 1

15

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนควรเน้นย้ากับผู้เรียนถึงการนาข้อสรุป 4 ไปใช้งาน โดยเงื่อนไขสาคัญที่ทาให้เราสามารถสรุปว่า

 (a
n 1
n  b n ) เป็นอนุกรมลู่ออกนั้น มีดังนี้
 
กรณีแรก  a n เป็นอนุกรมลู่เข้า และ
n 1
 b เป็นอนุกรมลู่ออก หรือ
n 1
n
 
กรณีที่สอง  a เป็นอนุกรมลู่ออก และ  b เป็นอนุกรมลู่เข้า
n 1
n
n 1
n
16

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย

ต่อไป จะได้กล่าวถึงข้อควรระวังในการตรวจสอบ  (a n  b n ) ว่าเป็นอนุกรมลู่เข้า หรือลู่ออกนั้น
n 1
  
โดยหากเราทราบว่า  a n และ  b n เป็นอนุกรมลู่ออกทั้งคู่ แล้วเราไม่สามารถสรุปได้ว่า  (a n  b n ) เป็น
n 1 n 1 n 1
อนุกรมลู่เข้า หรือลู่ออก
จากข้อสรุป 4 และ ข้อควรระวัง ข้างต้น ผู้สอนควรได้เน้นย้ากับผู้เรียนเพื่อไม่ให้ผู้เรียนเกิด

ความสับสน ในการตรวจสอบการลู่เข้า การลู่ออกของ  (a n  b n ) ดังนี้
n 1
 
หากตรวจสอบแล้วว่า  a n เป็นอนุกรมลู่ออก เรายังสรุปไม่ได้ในทันทีว่า  (a n  b n )
n 1 n 1

เป็นอนุกรมลู่ออก แต่ต้องตรวจสอบ  b n เสียก่อนว่าเป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก ถ้าเป็นอนุกรมลู่เข้า
n 1
 
จึงสรุปว่า  (a n  b n ) เป็นอนุกรมลู่ออก แต่ถ้าเป็นอนุกรมลู่ออก เราจะไม่สามารถสรุปได้ว่า  (a n  b n )
n 1 n 1
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือหรือลู่ออก โดยต้องไปใช้วิธีการอื่นในการตรวจสอบต่อไป
17

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เมื่อผู้เรียนได้ศึกษาสมบัติของการลู่เข้าของอนุกรมแล้ว ได้แก่ ข้อสรุป 2 ข้อสรุป 3 และข้อสรุป 4
รวมทั้งข้อควรระวัง ดังที่ได้กล่าวมาแล้วข้างต้น ผู้สอนควรยกตัวอย่างเพิ่มเติม เพื่อให้ผู้เรียนเกิดความเข้าใจ
เพิ่มมากขึ้น ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่าอนุกรมที่กาหนดให้ต่อไปนี้ เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออก
   n 
 5n
1.   n 2 

1 
 2.   2
 n


n 1  n3  n 1  3 
  3    n 1 n 1 
n  n4 4 3
3.  



4.   5    
 
n 1    7
7
n 1  n  
แนวคิด

 2 1    1 1 
1. จัดรูป   n  n3     n 2  n3 
n 1  n 1 

1
 n 2 เป็นอนุกรมลู่ออก เนื่องจากเป็นอนุกรมพีที่มี p = -2 ซึ่งน้อยกว่า 1
n 1

1
 n 3 เป็นอนุกรมลู่เข้า เนื่องจากเป็นอนุกรมพีที่มี p = 3 ซึ่งมากกว่า 1
n 1

 1 1    2 1 
จากข้อสรุป 4 ทาให้ได้ว่า   2  n3     n  n3  เป็นอนุกรมลู่ออก 
n 1 n  n 1 
  n
2  5n     2 n  5 n 
2. จัดรูป  

        
  
 n 1   3   3  
n
n 1  3
 n
2
 3  เป็นอนุกรมลู่เข้า เนื่องจากเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี r  2 ซึ่ง | r |  1
n 1   3
18

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
 n
5
 3  เป็นอนุกรมลู่ออก เนื่องจากเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี r  5 ซึ่ง | r |  1
n 1   3
  n n  n 
2  5n
จากข้อสรุป 4 ทาให้ได้ว่า    2  5
       เป็นอนุกรมลู่ออก 
 3   3   n 1  3n 
n 1      
  3    1
 n4 1 
3. จัดรูป   n
 7
  4  3

n 1  n  n 1  n n 

1
 n 4 เป็นอนุกรมลู่เข้า เนื่องจากเป็นอนุกรมพีที่มี p = 4 ซึ่งมากกว่า 1
n 1

1
 n 3 เป็นอนุกรมลู่เข้า เนื่องจากเป็นอนุกรมพีที่มี p = 3 ซึ่งมากกว่า 1
n 1

 1 1    n3  n 4 
จากข้อสรุป 3 ทาให้ได้ว่า   4  n3     n 7 
 n 1  
เป็นอนุกรมลู่เข้า 
n 1  n  
  n 1 n 1   
33 
n n
4. จัดรูป    4  3
 
54
       
 5   4 5 77 
n 1    7  n 1   
 n
4
 5  เป็นอนุกรมลู่เข้า เนื่องจากเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี r  4 ซึ่ง | r |  1
n 1   5
 n
3 3
  7  เป็นอนุกรมลู่เข้า เนื่องจากเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี r  7 ซึ่ง | r |  1
 
n 1
  n n
จากข้อสรุป 2 และข้อสรุป 3 จะได้ว่า      3  3  54
   เป็นอนุกรมลู่เข้า
4 5 
n 1   
77

  n 1 n 1
4 3 
ทาให้ได้ว่า        เป็นอนุกรมลู่เข้า 
 5  7 
n 1  
19

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2.3 การตรวจสอบการลู่ออกของอนุกรมโดยพิจารณาลิมิตของพจน์ที่ n ของอนุกรม
ในหัวข้อย่อยนี้ ผู้เรียนจะได้ศึกษาถึงทฤษฎีบท (ข้อสรุป 6) ในการตรวจสอบการลู่ออกของอนุกรม
ด้วยการพิจารณาลิมิตของพจน์ที่ n โดยทฤษฎีบทนี้ เป็นผลที่ได้มากจากข้อสรุป 5
20

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนควรเน้นย้ากับผู้เรียนเกี่ยวกับข้อสรุป 6 และการนาไปใช้ ในประเด็นต่อไปนี้

1. ข้อสรุป 6 ใช้ในการตรวจสอบการลู่ออกของ  a n โดยพิจารณาลิมิตของลาดับ a n ถ้าลิมิตมีค่า
n 1

ที่ไม่เท่ากับศูนย์ หรือ ลิมิตไม่มีค่า เราสามารถสรุปได้วา  a n เป็นอนุกรมลู่ออก
่
n 1

2. สาหรับกรณี ลิมิตของลาดับ a n มีค่าเท่ากับศูนย์ เราไม่สามารถสรุปได้ทันทีว่า  a n เป็นอนุกรม
n 1
ลู่เข้า หรือ อนุกรมลู่ออก โดยอาจต้องใช้วิธีการอื่นในการตรวจสอบ
ผู้สอนควรยกตัวอย่างเพิ่มเติม เพื่อฝึกใช้ข้อสรุป 6 ในการตรวจสอบการลู่ออกของอนุกรม ซึ่งจะทาให้
ผู้เรียนเกิดความเข้าใจมากยิ่งขึ้น ดังตัวอย่างต่อไปนี้

2n
ตัวอย่าง 1.  2n เป็นอนุกรมลู่ออก เนื่องจาก lim  2 1
n 1
n 1
n  n 1
2.  2  3 n เป็นอนุกรมลู่ออก เนื่องจาก n  2  3 n
 n n
lim n  2  1
2n  3
n 1 2 3
3.  (1)n  n  2  เป็นอนุกรมลู่ออก เนื่องจาก n  1) n  n  2  ไม่มีค่า

  lim(  
n 1  3n   3n 

4.  (n 2  1) เป็นอนุกรมลู่ออก เนื่องจาก n 2  1) ไม่มีค่า
lim(n
n 1
21

22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2.4 การตรวจสอบการลู่เข้า การลู่ออก ของอนุกรมโดยวิธีการเปรียบเทียบ (comparison test)
ในหัวข้อย่อยนี้ ผู้เรียนจะได้ศึกษาถึงทฤษฎีบทในการตรวจสอบการลู่เข้า การลู่ออกของอนุกรม
(ข้อสรุป 7) รวมทั้งอธิบายตัวอย่างประกอบทฤษฎีบทดังกล่าว
ผู้สอนอาจอธิบายเพิ่มเติมเกี่ยวกับข้อสรุป 7 ในประเด็นต่อไปนี้
1. เงื่อนไขสาคัญ คือ ลาดับ a n และ ลาดับ bn ต้องมากกว่าศูนย์ สาหรับทุกจานวนเต็มบวก n
หากไม่สอดคล้องกับเงื่อนไขดังกล่าว ข้อสรุปนี้จะไม่เป็นจริง
เช่น ลาดับ a n   1 และ ลาดับ bn  1
ซึ่ง a n  b n สาหรับทุกจานวนเต็มบวก n
n n2
 
 an เป็นอนุกรมลู่ออก แต่  bn เป็นอนุกรมลู่เข้า
n 1 n 1
2. การนาข้อสรุป 7 ไปใช้ ผู้เรียนต้องเข้าใจสมบัติของจานวนจริง ดังนี้
1 1 1 1
“ สาหรับจานวนจริงบวก x, y ถ้า x  y แล้ว  หรือ ถ้า x  y แล้ว  ”
x y x y
ดังนั้นผู้สอนควรอธิบายสมบัติของจานวนจริงดังกล่าว ให้ผู้เรียนเข้าใจเสียก่อน
ผู้สอนอาจยกตัวอย่างซึ่งไม่ซับซ้อนมากนัก เพื่อสาธิตการใช้ข้อสรุป 7 ในการตรวจสอบการลู่เข้า
การลู่ออกของอนุกรม ดังตัวอย่างต่อไปนี้
22

23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง จงพิจารณาว่าอนุกรมต่อไปนี้ เป็นอนุกรมลู่เข้า หรืออนุกรมลู่ออก
  n
1.  1
2.  3
n 1 n  1
3
n 1 n
วิธีทา
1. วิเคราะห์แนวคิด
ก่อนแสดงวิธีทา ผู้สอนควรใช้คาถามชวนผู้เรียนวิเคราะห์เพื่อเปรียบเทียบ อนุกรมที่โจทย์
  
1
กาหนดให้คือ  กับ  13 และเมื่อพิจารณาพบว่า  13 เป็นอนุกรมลู่เข้า เนื่องจากเป็นอนุกรมพี
n 1 n  1
3
n n 1 n n 1

1
ซึ่ง p >1 จึงทาให้เชื่อได้ว่า  น่าจะเป็นอนุกรมลู่เข้า ดังนั้นจึงควรเลือกใช้ข้อสรุป 7.1 เพื่อแสดง
n 1 n  1
3

1
n
n 1
3
1
ว่าเป็นอนุกรมลู่เข้า
1 1
วิธีทา ให้ลาดับ a n  และเลือกลาดับ b n 
n 13
n3
ตรวจสอบเงื่อนไขของข้อสรุป 7.1 ดังนี้
(1) สาหรับทุกจานวนเต็มบวก n เราได้ว่า a n , bn  0
(2) สาหรับทุกจานวนเต็มบวก n เราได้ว่า n 3  1  n 3
1 1
ดังนั้น  3
n 1 n
3
สรุปได้ว่า a n  bn ทุกจานวนเต็มบวก n

1
พิจารณาอนุกรม  3
ซึ่งเป็นอนุกรมลู่เข้า เนื่องจากเป็นอนุกรมพี ซึ่ง p = 3 >1
n 1 n

จากข้อสรุป 7.1 จะได้ว่า  31 เป็นอนุกรมลู่เข้า #
n 1 n 1
2. วิเคราะห์แนวคิด
ก่อนแสดงวิธีทา ผู้สอนควรใช้คาถามชวนผู้เรียนวิเคราะห์เพื่อเปรียบเทียบ อนุกรมที่โจทย์
 n  
กาหนดให้คือ  3 กับ  1 ซึ่งเมื่อพิจารณา  1 พบว่าเป็นอนุกรมลู่ออก เนื่องจากเป็นอนุกรมพี
n n n 1 nn 1 n 1
 n
ซึ่ง p =1 จึงทาให้เชื่อได้ว่า  3 น่าจะเป็นอนุกรมลู่ออก ดังนั้นจึงควรเลือกใช้ข้อสรุป 7.2 เพื่อแสดง
n n 1
 n
ว่า  3 เป็นอนุกรมลู่ออก
n 1 n
n
วิธีทา ให้ลาดับ a n  1 และเลือกลาดับ b n  3
n n
ตรวจสอบเงื่อนไขข้อสรุป 7.2 ดังนี้
23

24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
(1) สาหรับทุกจานวนเต็มบวก n >1 เราได้ว่า a n , bn  0
1 3n
(2) สาหรับทุกจานวนเต็มบวก n เราได้ว่า 
n n
สรุปได้ว่า a n  bn ทุกจานวนเต็มบวก n
 
พิจารณาอนุกรม  a n  1 ซึ่งเป็นอนุกรมลู่ออก เนื่องจากเป็นอนุกรมพี ซึ่ง p =1
n 1 n 1 n
 n
จากข้อสรุป 7.2 จะได้ว่า  3 เป็นอนุกรมลู่ออก #
n n 1
เมื่อผู้เรียนได้ศึกษาทฤษฎีบทต่างๆ ในการตรวจสอบการลู่เข้า การลู่ออกของอนุกรม ดังที่ได้กล่าว
มาแล้วข้างต้น ผู้สอนควรสรุปทฤษฎีบทดังกล่าวอีกครั้งเพื่อให้ผู้เรียนเห็นภาพรวม ดังนี้
2.1 ความหมายของอนุกรมพีและการตรวจสอบการลู่เข้า การลู่ออกของอนุกรมพี
2.2 สมบัติของการลู่เข้าของอนุกรม
2.3 การตรวจสอบการลู่ออกของอนุกรมโดยพิจารณาลิมิตของพจน์ที่ n ของอนุกรม
2.4 การตรวจสอบการลู่เข้า การลู่ออกของอนุกรมโดยใช้วิธีการเปรียบเทียบ (comparison test)
ผู้สอนอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติมซึ่งเป็นโจทย์ระคน เพื่อให้ผู้เรียนได้ฝกใช้ทฤษฎีบทต่างๆ ดังกล่าว
ึ
ในการตรวจสอบการลู่เข้า การลู่ออก ของอนุกรม ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง จงพิจารณาว่าอนุกรมที่กาหนดให้ต่อไปนี้ เป็นอนุกรมลู่เข้า หรืออนุกรมลู่ออก
3.  3n2  n  5
   2
1.  4n 5 2.   n 3  n 3 
n 1 n 1 5n  4n  1
n 1
n 1
  n
5  5
 n3
4.  2 5 5.  4 6.  n
n 2
n 1 n 1 6n n 1 n6
คาตอบ
1. ลู่เข้า 2. ลู่ออก 3. ลู่ออก
4. ลู่เข้า 5. ลู่เข้า 6. ลู่ออก
24

25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง การตรวจสอบการลู่เข้า การลู่ออก ของอนุกรม
จงพิจารณาว่าอนุกรมที่กาหนดให้ต่อไปนี้ เป็นอนุกรมลู่เข้า หรืออนุกรมลู่ออก
 5 
5
1.  2n 2. 
n 1 3 n 1
8
3 n7
 n 1 
3.  n5 n 4.   n 5  n 5 
5 3
n 1 n 1
5.  n  2n 2 1

 2 
6.  n5
5  2n
n 1 7 1
n 1
n 1 n 1

3  6
 n3
7.  2 8.  n
n 1 6n n 1 n9

 n  2 
7n
9.   n   10. 
n 1  n 1  n 1 6  5
n n
25

26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. เทคนิคในการหาผลบวกของอนุกรมอนันต์
26

27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. เทคนิคในการหาผลบวกของอนุกรมอนันต์
ในหัวข้อนี้ ผู้เรียนจะได้ศึกษาถึงเทคนิคในการหาผลบวกของอนุกรมอนันต์ เมืออนุกรมอนันต์ดังกล่าว
่
เป็นอนุกรมลู่เข้า
ผู้สอนควรเน้นกับผู้เรียนว่า เนื่องจากอนุกรมอนันต์ที่กาหนดให้เป็นอนุกรมลู่เข้า เราจึงสามารถ
กาหนดให้ผลบวกของอนุกรมมีค่าเท่ากับ S ได้ นอกจากนี้ ผู้สอนควรให้ผู้เรียนตั้งข้อสังเกตเกี่ยวกับอนุกรมใน
ตัวอย่าง 1 ว่าเป็นอนุกรมผสม โดยพิจารณาเฉพาะตัวเศษของทุกพจน์ จะเกี่ยวข้องกับลาดับเลขคณิต หาก
พิจารณาเฉพาะตัวส่วนของทุกพจน์ จะเกี่ยวข้องกับลาดับเรขาคณิต โดยหลักสาคัญคือ การหาจานวนจริงมาคูณ
ทั้งสองข้างของสมการ ซึ่งจานวนจริงดังกล่าวเกี่ยวข้องกับ อัตราส่วนร่วม (r) ของลาดับเรขาคณิต เช่น ตัวอย่าง
นี้ อัตราส่วนร่วม คือ r = 2 ดังนั้นเราจึงนา 1 หรือ 1
มาคูณทั้งสองข้างของสมการ
r 2
ผู้สอนอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติม เพื่อให้ผู้เรียนเข้าใจเทคนิคนี้มากยิ่งขึ้น ดังตัวอย่างต่อไปนี้
n 1
 1
ตัวอย่าง จงหาผลบวกของอนุกรม 1  3  5  7   (2n  1)    
5 25 125  5
n 1
3 5 7  1
วิธีทา ให้ S  1     (2n  1)     --------(1)
5 25 125  5
นา  1 คูณทั้งสองข้างของสมการ (1) จะได้
5
n
1 1 3 5 7  1
 S       (2n  1)     --------(2)
5 5 25 125 625  5
สมการ (1) ลบด้วย สมการ (2) จะได้
n
6 2 2 2  1
S  1     2   
5 5 25 125  5
27

28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
6  1 1 1  1
n

S  1 2        
5  5 25 125  5 
 
 1 
6  5 
S  1 2 
5  1 1 
 5
6  1 2
S  1 2   
5  6 3
5
S #
9
2 3 n
2 2 2 2
ตัวอย่าง จงหาผลบวกของอนุกรม 5    10    15     5n   
3 3 3 3
2 3 n
2 2 2 2
วิธีทา ให้ S  5    10    15     5n    ----------- (1)
3 3 3 3
2
นา คูณทั้งสองข้างของสมการ (1) จะได้
3
2 3 4 n 1
2 2 2 2 2
S  5    10    15     5n    ----------- (2)
3 3 3 3 3
นาสมการ (1) – (2) จะได้
2 3 4 n
1 2 2 2 2 2
S 5   5   5   5    5  
3 3 3 3 3 3
2
5 
S     10
1 3
3 2
1
3
S  30 #
สาหรับตัวอย่างต่อไป จะกล่าวถึงการหาผลบวกของอนุกรมอนันต์โดยอาศัยการแยกเศษส่วนย่อย
ดังนัน ผู้สอนควรอธิบายวิธีการแยกเศษส่วนย่อย เพื่อให้ผู้เรียนเกิดความเข้าใจและสามารถแยกเศษส่วนย่อยได้
้
ดังตัวอย่างต่อไปนี้
1
ตัวอย่าง การแยกเศษส่วนย่อยของ มีวิธีการดังนี้
n(n  1)
1 A B
1. กาหนดให้  
n(n  1) n n  1
28

29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. หาค่า A และ B โดยการสร้างระบบสมการ 2 ตัวแปร ซึ่งทาได้โดยเลือกค่า n สองค่าที่เหมาะสม แล้ว
แทนในสมการ 1  A(n  1)  Bn จากนั้นแก้ระบบสมการ 2 ตัวแปร จะได้ค่า A และ B
แทนค่า n = -1 และ n = 0 จะได้ B  1 และ A  1 ตามลาดับ
1 1 1
3. สรุปได้ว่า   
n(n  1) n n  1
หมายเหตุ
1. วิธีการข้างต้น จาเป็นต้องสร้างระบบสมการ และจานวนสมการที่สร้างนั้นขึ้นอยู่กับจานวนตัวแปรที่
เราต้องการหาค่า
2. กรณีเศษส่วนที่ต้องการแยกนั้นไม่ค่อยซับซ้อน อาจใช้วิธีการดังนี้
1
เช่น 1) การแยกเศษส่วนย่อยของ อาจทาได้โดย
n(n  1)
พิจารณา 1  1  (n  1)  n  1
n n 1 n(n  1) n(n  1)
ดังนั้น 1  1  1 
n(n  1) n n  1
1
2) การแยกเศษส่วนย่อยของ อาจทาได้โดย
(n  2)(n  1)
1 1 (n  1)  (n  2) 3
พิจารณา   
n  2 n 1 (n  2)(n  1) (n  2)(n  1)
1 1 1 1 
ดังนั้น     
(n  2)(n  1) 3  n  2 n  1 
1
ตัวอย่าง จงแยกเศษส่วนย่อย ของ
(n  3)(n  1)
1 1 1 1 
คาตอบ     
(n  3)(n  1) 2  n  3 n 1 
29

30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนอาจอธิบายเพิ่มเติมว่า ในการหาผลบวกของอนุกรมอนันต์ในตัวอย่างที่ 2 ข้างต้น เป็นการใช้
บทนิยามการลู่เข้าของอนุกรม นั่นคือ การพิจารณาลิมิตของลาดับของผลบวกย่อยของอนุกรม หรือ ลาดับ Sn
ดังกล่าว และในการหาผลบวกย่อยของอนุกรม หรือ Sn จะใช้วิธีการแยกเศษส่วนย่อย เข้ามาช่วย
ผู้สอนอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติม เพื่อให้ผู้เรียนเข้าใจวิธีการแยกเศษส่วนย่อย ในการหาผลบวกของ
อนุกรมอนันต์ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
1 1 1 1
ตัวอย่าง จงหาผลบวกของอนุกรม     
1 4 4  7 7 10 (3n  2)(3n  1)
1
วิธีทา พิจารณาแยกส่วนย่อยของ จะได้
(3n  2)(3n  1)
1 1 1 1 
   
(3n  2)(3n  1) 3  3n  2 3n  1 
1 1 1 1
ให้ S     
1 4 4  7 7 10 (3n  2)(3n  1)
1 1 1 1
พิจารณา Sn     
1 4 4  7 7 10 (3n  2)(3n  1)
1 1 11 1 11 1  1 1 1 
Sn   1               
3  4  3  4 7  3  7 10  3  3n  2 3n  1 
1 1
Sn  
3 3(3n  1)
30

31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ดังนั้น S  lim Sn
n 
1 1 
 lim   
n  3
 3(3n  1) 
1

3
สรุปได้ว่า อนุกรมที่โจทย์กาหนด มีผลบวกของอนุกรมเท่ากับ 3 
เมื่อผู้เรียนได้ฝึกการหาผลบวกของอนุกรมอนันต์โดยอาศัยวิธีการแยกเศษส่วน ผูสอนอาจอธิบาย
้
เพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุกรมที่เราสามารถใช้วิธีการแยกเศษส่วนนี้ในการหาผลบวกของอนุกรมได้ (ถ้าอนุกรมลู่เข้า)
โดยอนุกรมดังกล่าวมีชื่อเรียกว่า อนุกรมเทเลสโคป (telescoping series)
อนุกรมเทเลสโคป คือ อนุกรม a1  a 2  a 3   an  ที่สามารถเขียนอยู่ในรูป
(b1  b2 )  (b2  b3 )  (b3  b4 )   (b n  b n 1 ) 
เมื่อ a1  b1  b 2
a 2  b 2  b3
a 3  b3  b 4
a n  b n  b n 1
ดังนั้น a1  a 2  a 3   a n  b1  bn 1
31

32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง เทคนิคในการหาผลบวกของอนุกรมอนันต์
1 - 5 จงหาผลบวกของอนุกรมอนันต์ต่อไปนี้
5 8 11 14
1. อนุกรม    
2 4 8 26
1 4 7 10 3n  2
2. อนุกรม      
3 9 27 81 3n
2 3 n 1
 1  1  1  1
3. อนุกรม 5  8     11    14      (3n  2)    
 2  2  2  2
2 3 n 1
3 3 3 3
4. อนุกรม 2  5    8    11    (3n  1)   
4 4 4 4
n 1
8 11 14  1
5. อนุกรม 5     (3n  2)    
5 25 125  5
6 - 10 จงหาผลบวกของอนุกรมอนันต์ต่อไปนี้
1 1 1 1
6. อนุกรม     
1 3 2  4 3  5 (n)(n  2)
7. อนุกรม 2  2  2   2

3 8 15 (n  1)2  1
8. อนุกรม 1  1  1   1

45 56 67 (n  3)(n  4)
9. อนุกรม 1  1  1   1

35 5 7 7 9 (2n  1)(2n  3)
10. อนุกรม 3  5  7   22n  1 2 
1 4 4  9 9 16 n (n  1)
32