Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

บทที่ 3 อนุกรมอนันต์

  • Login to see the comments

บทที่ 3 อนุกรมอนันต์

  1. 1. บทที่ 3 อนุกรมอนันต อนุกรมอนันต (Infinite series) เปนผลบวกที่มีจํานวนพจนนับไมถวน อนุกรมอนันตมีการประยุกตใชในสาขาวิศวกรรมศาสตร วิทยาศาสตร และในหลายสาขาวิชาของคณิตศาสตร ผลบวกที่มีพจนเปนจํานวนมากนับไมถวนนั้นมีตัวอยางของผลบวกที่คุนเคยกันมากเกิดขึ้น 1จากการแทนจํานวนจริงดวยทศนิยม เชน เมื่อเขียน ในรูปทศนิยม จะได 3 1 = 0.33333... นั้นหมายถึง 3 1 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + 0.00003 + ... 3 แสดงวาการแทน 1 ดวยทศนิยม อาจจะพิจารณาเปนผลบวกของจํานวนจริงหลายจํานวน 3นับไมถวนไดผลบวกของอนุกรมอนันตนิยาม 1 อนุกรมอนันต คือ นิพจน (expression) ที่อยูในรูปของ u1 + u2 + u3 + K + uk + Kหรือเขียนในรูปสัญลักษณผลรวมไดเปน ∞ u1 + u2 + u3 + K + uk + K = ∑ uk k =1 เรียกจํานวน u1 , u 2 , u3 , ... วา พจนของอนุกรม และจะเรียก “อนุกรมอนันต’’ เพียงสั้น ๆวา “อนุกรม” ∞ 1 1 1 1 1เชน ∑k k =1 = 1+ + + + ... + + ... 2 3 4 k โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
  2. 2. 2 ∞ 1 1 1 1 1 1 ∑ k (k + 1) = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 5 + ... + k (k + 1) + ... k =1 อนุกรมและลําดับมีความเกี่ยวพันกันอยางมากดังตอไปนี้กําหนดให S1 = u1 S 2 = u1 + u 2 S3 = u1 + u2 + u3 M n S n = u1 + u 2 + u 3 + ... + u n = ∑ u k k =1 ∞ นั่นคือ Sn เปนผลบวกของ n พจนแรกของอนุกรม ∑ uk เรียกวา ผลบวกยอยที่ k =1 ∞n ( n th partial sum) ของอนุกรม ∑ u ซึ่งจะเห็นวาจากผลบวกยอยตาง ๆ นี้ สามารถนํามาสราง k k =1เปนลําดับไดดังนี้ {Sn } = S1 , S 2 , S 3 ,..., S n ,... เรียกวา ลําดับของผลบวกยอย นั่นเอง จากตัวอยางผลบวกของ 0.3 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + 0.00003 + ... นั้น เราไมสามารถบวกจํานวนเลขหลายจํานวนนับไมถวนเขาดวยกันไดดงนั้นจึงตองนิยามผลบวกของ ัอนุกรมและคํานวณคาโดยวิธลิมต ี ิ เพื่อขยายผลจากแนวคิดพื้นฐานพิจารณาทศนิยม 0.33333... ซึ่งสามารถเขียนเปนอนุกรมไดดังนี้ 0.3 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + 0.00003 + ... 3 3 3 3 3หรือ + 2 + 3 + 4 + 5 +K 10 10 10 10 10 1 1เนื่องจาก 0.33333K = ดังนั้นผลบวกของอนุกรมควรจะเปน ดวย 3 3 3 3 3 3 3 1นั่นคือ + 2 + 3 + 4 + 5 +K = 10 10 10 10 10 3 โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
  3. 3. 3 การหาผลบวกของอนุกรมทําไดโดยการพิจารณาลําดับของผลบวก ดังนี้ 3 S1 = = 0.3 10 3 3 S2 = + 2 = 0.33 10 10 3 3 3 S3 = + 2 + 3 = 0.333 10 10 10 3 3 3 3 S4 = + 2 + 3 + 4 = 0.3333 10 10 10 10 3 3 3 3 3 S5 = + 2 + 3 + 4 + 5 = 0.33333 10 10 10 10 10 M สําหรับ S1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 K สามารถใชเปนการประมาณผลบวกของอนุกรมได ในลําดับของผลบวกดังกลาว หากมีการใชพจนของอนุกรมมากขึ้น ๆ และการประมาณคาก็จะดีขึ้น 1ตามลําดับ และลิมิตของลําดับควรจะเปน นั่นเอง 3 เพื่อใหเห็นวาลิมิตเปน 1 จริงนั้น จะตองคํานวณลิมิตของพจนทั่วไป (S n ) ในลําดับที่ใช 3ประมาณคา ในที่นี้พจนทั่วไปคือ .......... (1) 3 3 3 3 3 3 Sn = + 2 + 3 + 4 + 5 K+ n 10 10 10 10 10 10จากนั้นทําการหา lim S n จะไดวา n→∞ ⎡3 3 3 3 3 3 ⎤ lim S n = lim ⎢ + 2 + 3 + 4 + 5 K + n ⎥ n→∞ ⎣ n →∞ 10 10 10 10 10 10 ⎦ จะเห็นไดวา การหาลิมิตคอนขางยุงยากเพราะทั้งพจนสุดทายและจํานวนพจนเปลี่ยนตามคา n จึงตองพยายามเขียนลิมิตใหอยูในรูปที่จํานวนพจนไมแปรคาได ถาหากสามารถทําได ในที่น้อาจทําไดดังนี้ ี โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
  4. 4. 4 .......... (1) 3 3 3 3 3 3จาก Sn = + 2 + 3 + 4 + 5 K+ n 10 10 10 10 10 10สมการ (1) × 10 .......... (2 ) 1 3 3 3 3 3 3 3 S n = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 K + n + n +1 10 10 10 10 10 10 10 10แลวนํา (1) − (2) ได 1 3 3 Sn − S n = − n+1 10 10 10 9 3 3 Sn = − 10 10 10 ⋅ 10 n 9 3⎛ 1 ⎞ S n = ⎜1 − n ⎟ 10 10 ⎝ 10 ⎠ 3 10 ⎛ 1 ⎞ Sn = ⋅ ⎜1 − n ⎟ 10 9 ⎝ 10 ⎠ 1⎛ 1 ⎞นั่นคือ S n = ⎜1 − n ⎟ 3 ⎝ 10 ⎠ 1⎛ 1 ⎞และไดวา lim S n = lim ⎜1 − n ⎟ n→∞ n →∞ 3 ⎝ 10 ⎠ = 1 (1 − 0) 3 1 = 3ซึ่งอาจจะแทนดวยการเขียน 1 3 3 3 3 3 3 = + 2 + 3 + 4 + 5 + K + n + ... 3 10 10 10 10 10 10 โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
  5. 5. 5 ∞ จากตัวอยางที่กลาวขางตน จะนิยามแนวคิดของผลบวกของอนุกรม ∑ uk ไดดังนี้ k =1 ∞ จาก S n เปนผลบวกของ n พจนแรกของอนุกรม ∑ uk นั้น ในขณะที่ n มีคาเพิ่มขึ้น k =1ผลบวกยอย S n = u1 + u 2 + ... + u n จะรวมพจนของอนุกรมมากขึ้น ๆ ดังนั้นถา S n มีคาเขาใกลลิมตคาหนึ่งขณะที่ n → ∞ แลวคาลิมิตนั้นจะเปนผลบวกของทุกพจนในอนุกรมนั้น เขียนเปน ินิยามดังนี้การลูเขาของอนุกรม ∞นิยาม 2 ให {Sn } เปนลําดับของผลบวกยอยของอนุกรม ∑ uk ถาลําดับ {Sn } ลูเขาสูลิมิต S k =1หรือ lim S n = S แลวจะเรียกอนุกรมนี้วา อนุกรมลูเขา และเรียก S วา ผลบวกของอนุกรม เขียน n →∞ ∞แทนดวย S = ∑ uk k =1 ∞นิยาม 3 ให {Sn } เปนลําดับของผลบวกยอยของอนุกรม ∑ uk ถาลําดับของผลบวกยอยลูออกหรือ k =1lim S nn→∞ หาคาไมไดแลว จะเรียกอนุกรมนี้วา อนุกรมลูออก และจะไมมีผลบวกตัวอยาง 1 จงพิจารณาวา อนุกรม 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + K ลูเขาหรือลูออก ถาลูเขาจงหาผลบวกวิธีทํา อนุกรมนี้มีพจนเปนคาบวกและลบสลับกันไป โดยมีคาของผลบวกยอยดังนี้ S1 = 1 S2 = 1 − 1 = 0 S3 = 1 − 1 + 1 = 1 S4 = 1 − 1 + 1 − 1 = 0 S5 = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 = 1 … ดั้งนั้นทําใหมีลําดับของผลบวกยอยดังนี้ 1, 0, 1, 0, 1, 0,K ซึ่งพจนในลําดับนี้มีคาสลับกันระหวาง 1 และ 0 ไมมคาลูเขาสูคาใดคาหนึ่ง จึงไมมีลิมิต ี นั่นคือลําดับของผลบวกยอยนี้เปนลําดับลูออก โดยนิยามจึงไดวาอนุกรมที่กําหนดเปน อนุกรมลูออกเชนเดียวกันและไมมีผลบวก โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
  6. 6. 6อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series)นิยาม 4 อนุกรมเรขาคณิต คืออนุกรมที่สามารถเขียนใหอยูในรูปดังนี้ a + ar + ar 2 + ar 3 + K + ar k −1 + K , (a ≠ 0) สังเกตไดวาแตละพจนไดจากการคูณพจนกอนหนาดวยโดยคาคงตัว r และเรียกตัวคูณr วา อัตราสวนรวม (Common Ratio) ของอนุกรมนั้นตัวอยางของอนุกรมเรขาคณิต1 + 2 + 4 + 8 + K + 2k −1 + K : a = 1, r = 2 3 3 3 3 3 1 + 2 + 3 + K + k −1 + K :a = ,r=10 10 10 10 10 101 1 1 1 1 1 1 − + − + K + (−1) k −1 k + K :a = ,r=2 4 8 16 2 2 21+1+1+1+K+1+K : a = 1, r = 11 − 1 + 1 − 1 + K + (−1) k +1 + K : a = 1, r = −1 การลูเขาของอนุกรมเรขาคณิตกลาวไวในทฤษฎีบทตอไปนี้ทฤษฎี 1 อนุกรมเรขาคณิต a + ar + ar 2 + K + ar k −1 + K , (a ≠ 0) จะลูเขา ถา r < 1 และลูออก ถา r ≥ 1 ถาอนุกรมเรขาคณิตนี้ลูเขาแลวจะมีผลบวกเปน a a + ar + ar 2 + K + ar k −1 + K = 1− r โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
  7. 7. 7พิสจน จะแยกพิจารณาเปน 2 กรณี คือ ู r = 1 และ r ≠ 1 ดังนี้กรณีที่ 1 r = 1 พิจารณาแยกเปน 1.1 r =1 และ 1.2 r = −11.1 ถา r = 1 แลวอนุกรมอยูในรูป a + a + a +K+ a +K ผลบวกยอยที่ n คือ S n = na ⎧+ ∞ , a ∈ R + ⎪ และลิมิต lim S n = lim na = ⎨ n→∞ n →∞ ⎪− ∞ , a ∈ R − ⎩ แสดงวาอนุกรมลูออก1.2 ถา r = −1 แลวอนุกรมอยูในรูป a − a + a − a +K ลําดับของผลบวกยอย คือ a , 0 , a , 0 , a , 0 , ... จึงเปนลําดับลูออกกรณีที่ 2 r ≠1 ลําดับผลบวกยอยที่ n คือ S n = a + ar + ar 2 + K + ar n −1 .......... (1)คูณทั้งสองขางของ (1) ดวย r ได r S n = ar + ar 2 + K + ar n −1 + ar n .......... (2 )นํา (1) − (2) ได S n − rS n = a − ar n โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
  8. 8. 8 (1 − r )S n = a − ar nเนื่องจาก r ≠ 1 ได a − ar n Sn = 1− r a (1 − r n ) Sn = 1− r a (1 − r n ) lim S n = lim n→∞ n →∞ 1− r ถา r <1 แลว lim r n = 0 n→∞ ได {S n } ลูเขา a และได lim S n = n→∞ 1− r ถา r > 1 แลว r > 1 หรือ r < −1 กรณี r > 1 , lim r n = ∞ n→∞ กรณี r < - 1 , คาของ r n จะแกวงระหวางคาบวกและคาลบและมีขนาดเพิ่มขึ้น ดังนั้น {S n } ลูออก ถา r >1 โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
  9. 9. 9 7 7 7ตัวอยาง 1 อนุกรม 7+ + 2 + K + k −1 + K 4 4 4 7 a 1 เปนอนุกรมเรขาคณิต มี a=7,r= 2 = 4 = a1 7 4 1 1 เนื่องจาก r = = <1 4 4 ดังนั้นอนุกรมนี้ลูเขา a 7 7 28 มีผลบวกเปน = = = 1− r 1 3 3 1− 4 4 k −1 3 3 3 ⎛ 1⎞ตัวอยาง 2 อนุกรม 3 − + 2 − 3 +K+ ⎜− ⎟ ⋅3 +K 4 4 4 ⎝ 4⎠ 3 − a 1 เปนอนุกรมเรขาคณิต มี a=3, r = 2 = 4 = − a1 3 4 1 1 เนื่องจาก r =− = <1 4 4 ดังนั้นอนุกรมนี้ลูเขา a 3 3 12 มีผลบวกเปน = = = 1− r ⎛ 1⎞ 5 5 1− ⎜− ⎟ ⎝ 4⎠ 4 โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
  10. 10. 10ตัวอยาง 3 จงหาจํานวนตรรกยะที่แทนโดยทศนิยมซ้ํา 0.7777…วิธีทํา เขียนทศนิยมซ้ําที่กําหนดใหอยูในรูปผลบวกอนุกรมอนันตดังนี้ 0.7777... = 0.7 + 0.07 + 0.007 + 0.0007 + ... 7 7 7 7 7 1 = + 2 + 3 + 4 + ... ( เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี a = ,r= ) 10 10 10 10 10 10 7 = 10 1 1− 10 7 = 10 9 10 7 = 9ตัวอยาง 4 จงพิจารณาวาอนุกรมเรขาคณิตตอไปนี้ลูเขาหรือไม และถาลูเขาจงหาผลรวมของอนุกรมดวย 21. 1 − 2 + ⎛ 2 ⎞ − K ⎜ ⎟ 3 ⎝3⎠วิธีทํา เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี a = 1 , r = − 2 3 2 2 เนื่องจาก r =− = <1 ดังนั้นอนุกรมนี้ลูเขา 3 3 2 2 ⎛2⎞ a 1 1− + ⎜ ⎟ −K = = 3 ⎝3⎠ 1− r ⎛ 2⎞ 1− ⎜− ⎟ ⎝ 3⎠ 1 3 = = 5 5 3 โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
  11. 11. 112. 1 + π + ⎛ π ⎞ 2 ⎜ ⎟ +K 4 ⎝4⎠วิธีทํา เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี a = 1, r = π 4 π π เนื่องจาก r = = < 1 ดังนั้นอนุกรมนี้ลูเขา 4 4 ⎛π ⎞π 2 a 1 1 4 1+ + ⎜ ⎟ +K = = = = 4 ⎝4⎠ 1− r 1− π 4 −π 4 −π 4 4 ∞ k ⎛4⎞3. ∑⎜ 5 ⎟ k =2 ⎝ ⎠ ∞ k 2 3 4 ⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎛4⎞วิธีทํา ∑ ⎜ 5 ⎟ = ⎜ 5 ⎟ + ⎜ 5 ⎠ + ⎜ 5 ⎟ + ... k =2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎟ ⎝ ⎠ 2 ⎛4⎞ 16 4 เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี a=⎜ ⎟ = , r = ⎝5⎠ 25 5 4 4 เนื่องจาก r = = <1 ดังนั้นอนุกรมนี้ลูเขา 5 5 16 16 ∞ k ⎛4⎞ a 16 16 ∑ ⎜ 5 ⎟ = 1 − r = 254 = 25 = 25 • 5 = 5 k =2 ⎝ ⎠ 1 1− 5 5 ∞4. ∑ (ln 3)k k =1 ∞วิธีทํา ∑ (ln 3)k = ln 3 + (ln 3) + (ln 3) + ... 2 3 k =1 เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี a = ln 3 , r = (ln 3) 3 = ln 3 ln 3 เนื่องจาก r = ln 3 = ln 3 = log e 3 > 1 ดังนั้นเปนอนุกรมเรขาคณิตที่ลูออก โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
  12. 12. 12 ∞5. ∑ (sin 5)k k =1 ∞วิธีทํา ∑ (sin 5)k = sin 5 + (sin 5) + (sin 5) + ... 2 3 k =1 เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี a = sin 5 , r = (sin 5) 2 = sin 5 sin 5 เนื่องจาก r = sin 5 = sin 5 < 1 ( เนื่องจาก − 1 ≤ sin θ ≤ 1 ) ดังนั้นอนุกรมนี้ลูเขา ∞ ∑ (sin 5) a sin 5 = = k k =1 1 − r 1 − sin 5ตัวอยาง 5 จงหาจํานวนตรรกยะที่แทนโดยทศนิยมซ้ําตอไปนี้1. 0.7888...วิธีทํา 0.7888... = 0.7 + 0.08 + 0.008 + 0.0008 + ... 7 8 8 8 = + 2 + 3 + 4 + ... 10 10 10 10 7 ⎛ 8 8 8 ⎞ ⎛ 8 1⎞ = + ⎜ 2 + 3 + 4 + ...⎟ ⎜a = 2 ,r = ⎟ 10 ⎝ 10 10 10 ⎠ ⎝ 10 10 ⎠ ⎛ 8 ⎞ 7 ⎜ 10 2 ⎟ = +⎜ ⎟ 10 ⎜ 1 − 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 10 ⎠ 7 ⎛ 8 10 ⎞ = +⎜ • ⎟ 10 ⎝ 10 2 9 ⎠ 7 8 = + 10 90 63 + 8 71 = = 90 90 โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
  13. 13. 132. 0.784784...วิธีทํา 0.784784784... = 0.784 + 0.000784 + 0.000000784 + ... 784 784 784 ⎛ 784 1 ⎞ = + + + ... ⎜a = 3 ,r = 3 ⎟ 103 106 109 ⎝ 10 10 ⎠ 784 3 = 10 1 1− 3 10 784 3 = 10 999 103 784 103 = 3• 10 999 784 = 999ตัวอยาง 6 โยนลูกปงปองจากที่สูงระยะ a เมตร ลงบนพื้นที่เรียบ แตละครั้งที่ลูกปงปองกระทบพื้น เมื่อตกลงมาเปนระยะทาง h เมตร จะกระดอนกลับขึ้นไปเปนระยะ rh เมตร (0 < r < 1)จงหาระยะทางที่ลูกปงปองเคลื่อนที่ทั้งหมดจนกวาจะหยุดนิ่งวิธีทํา พิจารณาจากรูปไดดังนี้ • A0 A1 A2 A3 A4 K โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
  14. 14. 14จาก A0 ถึง A1 เคลื่อนที่ไดระยะทาง a เมตรจาก A1 ถึง A2 เคลื่อนที่ไดระยะทาง ar + ar = 2ar เมตรจาก A2 ถึง A3 เคลื่อนที่ไดระยะทาง ar 2 + ar 2 = 2ar 2 เมตรจาก A3 ถึง A4 เคลื่อนที่ไดระยะทาง ar 3 + ar 3 = 2ar 3 เมตรมีลักษณะเชนนี้ไปเรื่อย ๆ จะไดระยะทางที่เคลื่อนที่ทั้งหมด S = a + 2ar + 2ar 2 + 2ar 3 + ... = a + (2ar + 2ar 2 + 2ar 3 + ...) = a + 2ar (1 + r + r 2 + ...) ⎛ 1 ⎞ = a + 2ar ⎜ ⎟ (a = 1, r = r < 1) ⎝1− r ⎠ 2ar = a+ 1− r 2 เชน a = 10 , r = จะได 3 2(10 ) 2 ระยะทางทั้งหมด = 10 + 3 2 1− 3 40 = 10 + 3 1 3 40 = 10 + •3 3 = 50 โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
  15. 15. 15ตัวอยาง 7 กําหนดใหรปสามเหลี่ยมดานเทารูปที่ n + 1 เกิดจากการลากเสนตรงตอจุดกึ่งกลางทั้ง ูสามของรูปสามเหลี่ยมดานเทารูปที่ n ถากระบวนการสรางรูปสามเหลี่ยมดานเทานี้ไมสิ้นสุด และผลบวกของเสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมดานเทารูปที่ 1 เทากับ a หนวย จงหาผลบวกของเสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมดานเทาเหลานี้วิธีทํา พิจารณาจากรูปไดดังนี้ เสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมดานเทารูปที่ 1 เทากับ a หนวย a เสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมดานเทารูปที่ 2 เทากับ หนวย 2 a เสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมดานเทารูปที่ 3 เทากับ หนวย 4 a เสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมดานเทารูปที่ 4 เทากับ หนวย 8 M a a a ผลบวกของเสนรอบรูปทั้งหมดเทากับ a+ + + + ... 2 4 8 a = 1 1− 2 = 2a หนวย โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
  16. 16. 16 ∞ 1 1 1 1ตัวอยาง 8 จงพิจารณาวาอนุกรม ∑ = + + +K k =1 k (k + 1) 1.2 2.3 3.4ลูเขาหรือลูออก ถาลูเขาจงหาผลบวกวิธีทํา ผลบวกยอยที่ n ของอนุกรมนี้ คือ n 1 1 1 1 1 Sn = ∑ = + + +K+ k =1 k (k + 1) 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) พิจารณาการลูเขาหรือลูออก โดยการหา lim S n n →∞ พิจารณาเขียน S n ใหมในรูปที่ไมมีการขยายพจน เพื่อสะดวกในการหา lim S n n→∞ ในกรณีนี้สามารถทําไดโดยใชวิธของการแยกเศษสวนยอยไดผลดังนี้ ี 1 1 1 = − n(n + 1) n n + 1 ⎛ 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1 ⎞ดังนั้น S n = ⎜1 − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + K + ⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 3⎠ ⎝3 4⎠ ⎝ n n +1⎠ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 1⎞ 1 = 1+ ⎜− + ⎟ + ⎜− + ⎟ +K+ ⎜− + ⎟ − ⎝ 2 2⎠ ⎝ 3 3⎠ ⎝ n n ⎠ n +1 1 =1− n +1 ⎛ 1 ⎞และ lim S n = lim⎜1 − ⎟ =1 n →∞ n →∞ ⎝ n + 1⎠ ∞ 1ดังนั้น ∑ k (k + 1) = 1 k =1 โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
  17. 17. 17ตัวอยาง 9 จงพิจารณาวาอนุกรมตอไปนี้ลูเขาหรือลูออก ถาลูเขาจงหาผลบวก ∞ 11. ∑ k =1 (4k − 3)(4k + 1) n 1วิธีทํา Sn = ∑ k =1 (4 k − 3)(4k + 1) 1 1 1 1 = + + +K+ 1.5 5.9 9.13 (4n − 3)(4n + 1) 1 1⎛ 1 1 ⎞ จาก = ⎜ − ⎟ (โดยการแยกเศษสวนยอย) จะได (4n − 3)(4n + 1) 4 ⎝ 4n − 3 4n + 1 ⎠ 1⎛ 1⎞ 1⎛1 1⎞ 1⎛ 1 1 ⎞ Sn = ⎜1 − ⎟ + ⎜ − ⎟ + K + ⎜ − ⎟ 4⎝ 5⎠ 4⎝5 9⎠ 4 ⎝ 4n − 3 4 n + 1 ⎠ 1 ⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞⎤ = ⎢⎜1 − 5 ⎟ + ⎜ 5 − 9 ⎟ + ... + ⎜ 4n − 3 − 4n + 1 ⎟⎥ 4 ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ 1 ⎡ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎤ = ⎢1 + ⎜ − 5 + 5 ⎟ + ⎜ − 9 + 9 ⎟ + ... + ⎜ − 4n − 3 + 4n − 3 ⎟ − 4n + 1⎥ 4⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ 1⎛ 1 ⎞ = ⎜1 − ⎟ 4 ⎝ 4n + 1 ⎠และ lim S n = lim 1 ⎛1 − ⎜ 1 ⎞ 1 ⎟ = (1 − 0 ) = 1 n →∞ n →∞ 4⎝ 4n + 1 ⎠ 4 4 ∞ 1 1ดังนั้น ∑ = k =1 (4k − 3)(4k + 1) 4 โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
  18. 18. 182. ∑ 22k + 1 2 ∞ k =1 k (k + 1) n 2k + 1วิธีทํา Sn = ∑ k (k + 1) 2 2 k =1 1 5 7 2n + 1 = + 2 2 + 2 2 +K+ 2 1 •2 2 •3 3 •4 n (n + 1) 2 2 2 1 1 1 จาก = 2− (โดยการแยกเศษสวนยอย) จะได n (n + 1) n (n + 1)2 2 2 ⎛ 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ S n = ⎜1 − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ K + ⎜ 2 − ⎜n ⎟ ⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 9 ⎠ ⎝ 9 16 ⎠ ⎝ (n + 1)2 ⎠ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 1 = 1+ ⎜− + ⎟ + ⎜− + ⎟ +K+ ⎜− 2 + 2 ⎟ − ⎝ 4 4⎠ ⎝ 9 9⎠ ⎝ n n ⎠ (n + 1)2 1 =1− (n + 1)2 ⎛ ⎞ 1และ lim S n = lim ⎜1 − n→∞ ⎜ ⎟ = 1− 0 = 1 n→∞ ⎝ (n + 1) ⎟ ⎠ 2ดังนั้น ∑ 22k + 1 2 ∞ =1 k =1 k (k + 1) โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
  19. 19. 19 ∞3. ∑ ln k k +1 k =1 n kวิธีทํา S n = ∑ ln k =1 k +1 1 2 3 n = ln + ln + ln + K + ln 2 3 4 n +1 = ln n − ln (n + 1) n จากกฎลอการิทึม ln จะได n +1 S n = (ln1 − ln 2 ) + (ln 2 − ln 3) + (ln 3 − ln 4 )K + (ln n − ln (n + 1)) = ln 1 − ln (n + 1) = 0 − ln(n + 1) = − ln (n + 1)และ lim S n = lim (− ln(n + 1)) = − ∞ n→∞ n→∞ ∞ดังนั้น ∑ ln k เปนอนุกรมลูออก k +1 k =1 ∞ 1 14. ∑ − k =1 k k +1 n 1 1วิธีทํา Sn = ∑ − k =1 k k +1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ = ⎜1 − ⎟+⎜ − ⎟+⎜ − ⎟K + ⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 3⎠ ⎝ 3 4⎠ ⎝ n n +1 ⎠ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 1 = 1+ ⎜− + ⎟ + ⎜− ⎜ + ⎟ +K+ ⎜− ⎟ ⎜ + ⎟− ⎟ ⎝ 2 2⎠ ⎝ 3 3⎠ ⎝ n n⎠ n +1 1 = 1− n +1และ lim S n = lim⎛1 − ⎜ n → ∞⎜ 1 ⎞ ⎟ = 1− 0 = 1 ⎟ n→∞ ⎝ n +1 ⎠ ∞ 1 1ดังนั้น ∑ − =1 k =1 k k +1 โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
  20. 20. 20ตัวอยาง 10 จงหาคา x ที่ทําใหอนุกรมตอไปนี้เปนอนุกรมที่ลูเขา ∞1. ∑ (− 1)k x 2 k k =0 ∞วิธีทํา ∑ (− 1)k x 2 k =1 − x 2 + x 4 − x 6 + ... k =0 a = 1 , r = −x2 เปนอนุกรมเรขาคณิต อนุกรมลูเขาเมื่อ r <1 นั่นคือ − x 2 <1 x2 < 1 x2 −1 < 0 (x − 1)(x + 1) < 0จะได −1 < x < 1 ⎛ x −1⎞ ∞ k2. ∑ 3⎜ 2 ⎟ k =0 ⎝ ⎠ ⎛ x −1 ⎞ ⎛ x −1⎞ ∞ ∞ k kวิธีทํา ∑ 3⎜ 2 ⎟ = 3∑ ⎜ 2 ⎟ k =0 ⎝ ⎠ k =0 ⎝ ⎠ ⎡ ⎛ x − 1 ⎞ ⎛ x − 1 ⎞2 ⎤ = 3⎢1 + ⎜ ⎟+⎜ ⎟ + ...⎥ ⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎣ ⎥ ⎦ x −1 a =1 , r = เปนอนุกรมเรขาคณิต 2 อนุกรมลูเขาเมื่อ r <1 นั่นคือ x −1 <1 2 x −1 −1 < <1 2 − 2 < x −1 < 2จะได −1 < x < 3 โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
  21. 21. 21 ∞3. ∑ sin n x k =0 ∞วิธีทํา ∑ sin n x = 1 + sin x + sin 2 x + sin 3 x + ... k =0 a = 1 , r = sin x เปนอนุกรมเรขาคณิต อนุกรมลูเขาเมื่อ r <1 นั่นคือ sin x <1 − 1 < sin x < 1 ถา sin x =1 จะได sin x = ±1 π จะได x = (2r + 1) เมื่อ r เปนจํานวนเต็ม 2 π จะไดคําตอบคือ x ≠ (2r + 1) 2 ∞4. ∑ (ln x )n k =0 ∞วิธีทํา ∑ (ln x )n = 1 + ln x + (ln x )2 + (ln x )3 + ... k =0 a = 1 , r = ln x เปนอนุกรมเรขาคณิต อนุกรมลูเขาเมื่อ r <1 นั่นคือ ln x <1ดังนั้น − 1 < ln x < 1จะได − 1 < log e x < 1 e −1 < x < e 1 <x<e e โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
  22. 22. 225. ∑ (− 1) ∞ k ⎛ 1 ⎞ k ⎜ ⎟ k =02 ⎝ 3 + sin x ⎠ ∞ (− 1)k ⎛ 1 ⎞ k ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ 1⎛ ⎞ 2 ⎟ = (1) + ⎜ − ⎟⎜ 1 1วิธีทํา ∑ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ + ... k =0 2 ⎝ 3 + sin x ⎠ 2 ⎝ 2 ⎠⎝ 3 + sin x ⎠ 2 ⎝ 3 + sin x ⎠ 1⎡ ⎤ 2 1 ⎛ 1 ⎞ = ⎢1 − +⎜ ⎟ + ...⎥ 2 ⎢ 3 + sin x ⎝ 3 + sin x ⎠ ⎣ ⎥ ⎦ 1 a =1 , r = − เปนอนุกรมเรขาคณิต 3 + sin x อนุกรมลูเขาเมื่อ r <1 นั่นคือ 1 − <1 3 + sin x 1 <1 3 + sin x 1 −1 < <1 3 + sin xจะได − 3 − sin x < 1 < 3 + sin x (3 + sin x > 0) − 3 − sin x < 1 และ 1 < 3 + sin x − sin x < 4 และ − 2 < sin x sin x > −4 และ sin x > −2 sin x > −2เนื่องจาก − 1 ≤ sin x ≤ 1คําตอบคือ −∞< x<∞ โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
  23. 23. 23ตัวอยาง 11 จงหาคา x ที่ทําใหอนุกรม 1 + 2 x + x 2 + 2 x 3 + x 4 + 2 x 5 + x 6 + 2 x 7 + x8 + ...เปนอนุกรมที่ลูเขาพรอมกับหาผลรวมดวยวิธีทํา1 + 2 x + x 2 + 2 x 3 + x 4 + 2 x 5 + x 6 + 2 x 7 + x8 + ... ( ) ( = 1 + x 2 + x 4 + x 6 + x8 + ... + 2 x + 2 x 3 + 2 x 5 + 2 x 7 + ...) ( ) ( = 1 + x 2 + x 4 + x 6 + x8 + ... + 2 x 1 + x 2 + x 4 + x 6 + ...) ( ) = 1 + x 2 + x 4 + x 6 + x8 + ... (1 + 2 x ) (เปนอนุกรมเรขาคณิต) ⎛ 1 ⎞ =⎜ 2 ⎟ (1 + 2 x ) ⎝1− x ⎠ 1 + 2x = 1 − x2เปนอนุกรมลูเขาเมื่อ x2 < 1 x2 < 1 x 2 − 1< 0 (x − 1)(x + 1)< 0จะได −1 < x < 1 1 + 2xและผลรวมของอนุกรมนี้คือ 1 − x2 โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
  24. 24. 24อนุกรมฮารมอนิก (Harmonic Series) ในบรรดาอนุกรมที่ลูออกทั้งหมด มีอนุกรมที่สําคัญที่สดอนุกรมหนึ่ง คือ อนุกรมฮารมอ ุนิก ∞ 1 1 1 1 1 ∑ k = 1+ 2 + 3 + 4 + 5 +K k =1 อนุกรมนี้เกิดขึ้นในเรื่องที่เกี่ยวกับเสียงสอดแทรกที่เกิดจากการสั่นของเสนลวดในเครื่องดนตรี เราทราบวาอนุกรมนี้ลออกโดยการตรวจสอบผลบวกยอย ดังนี้ ู S1 = 1 1 S2 = 1 + 2 1 1 S3 = 1 + + 2 3 1 1 1 S4 = 1 + + + 2 3 4ผลบวกยอยเหลานี้สรางลําดับเพิ่ม S1 < S 2 < S3 K < S n <โดยทฤษฎีบทสามารถพิสูจนไดวาลําดับนี้ลูออก โดยจะแสดงใหเห็นวาไมมีคาคงที่ M ที่มีคามากกวาหรือเทากับทุกผลบวกยอย พิจารณาผลบวกยอยบางจํานวน คือ S2 , S4 , S8 , S16 , S32 ,K ซึ่งเปนผลบวกยอยในรูป S2 n ผลบวกยอยเหลานี้สอดคลองอสมการ 1 1 1 2 S2 = 1 + > + = 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 S4 = S2 + + > S2 + ( + ) = S2 + > 3 4 4 4 2 2 โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
  25. 25. 25 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 S8 = S 4 + + + + > S4 + ( + + + ) = S4 + > 5 6 7 8 8 8 8 8 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 5 S16 = S8 + + + + + K + > S8 + ( + K + ) = S8 + > M 9 10 11 12 16 16 16 2 2 ← 8 พจน → n +1 S2n > 2 n +1 ถา M เปนคาคงตัวใด ๆ เราสามารถหาจํานวนเต็มบวก n โดยที่ >M แตสําหรับ 2n คานี้ เรามี n +1 S2n > >M 2 ดังนั้นจึงไมมีคาคงตัว M คาใดที่มากกวาหรือเทาหรับผลบวกยอยของอนุกรมฮารมอนิกจึงพิสูจนไดวาอนุกรมฮารมอนิกนี้ลูออก โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
  26. 26. 26 แบบฝกหัด1. ในแตละขอยอย จงหารูปแบบที่ไมมีการขยายพจนของผลบวกยอย S n และจงหาวาอนุกรมที่กําหนดลูเขาหรือไม ถาลูเขาจงหาผลบวก ∞ ∞ 2 1 ก. ∑ ข. ∑ k =1 (k + 1)(k + 2 ) k −1 k =1 5 ∞ k −1 ∞ 7 ค. ∑ 2 ง. ∑ k k =1 4 k =1 4 ∞ ∞ 4 1 จ. ∑ ฉ. ∑ k =1 (4k − 3)(4 k + 1) k =1 (4k − 3)(4k + 1)จากขอ 2 – 20 จงหาวาอนุกรมลูเขาหรือลูออก ถาลูเขาจงหาผลบวก ∞ ∞ k −1 1 ⎛ 3⎞2. ∑ 5k k =1 3. ∑⎜− 4 ⎟ k =1 ⎝ ⎠ ∞ k +2 ∞ k −1 ⎛2⎞4. ∑⎜ 3 ⎟ 5. ∑ (− 1) ⋅ 7 k =1 ⎝ ⎠ k =1 6 k −1 ∞ ∞ k +1 7. ∑ ⎛ − 3 ⎞ k −16. ∑ 4 ⎜ ⎟ k =1 k =1 ⎝ 4⎠ ∞ ∞8. ∑ ⎛ ⎜ 1 − 1 ⎞ ⎟ 9. ∑ 1 k =1 ⎝ k + 3 k +4⎠ k =1 (k + 2 )(k + 3) ∞ ∞10. ∑ ⎛ ⎜ 1 1 ⎞ − k +1 ⎟ 11. ∑ 1 k =1 ⎝ 2 2 ⎠ k =1 9k + 3k − 2 k 2 ∞ 1 ∞ 4 k +212. ∑ 13. ∑ k =2 k − 1 k =1 7 − 1 2 k ∞ k −1 ∞ k14. ∑ ⎛ e ⎞ ⎜ ⎟ 15. ∑ ⎛ − 1 ⎞ ⎜ ⎟ k =1 ⎝π ⎠ k =1 ⎝ 2⎠ ∞ ∞16. ∑ 5 17. ∑ (− 1)k ⋅ 5 k =1 k − 2 k =1 4k โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
  27. 27. 27 ∞ ∞ 19. ∑ ⎛ 1 ⎞ k 518. ∑ 2 k ⎜ − k⎟ k =1 ⎝ 2 3 ⎠ k k =0 5 ∞ 420. ∑ k =3 (4k − 3)(4 k + 1)จากขอ 21 - 24 จงกระจายทศนิยมซ้ําในรูปเศษสวน21. 0.4444K 22. 5.373737 K23. 0.782178217821K 24. 0.234234234 K25. ปลอยลูกบอลจากที่สูง 4 เมตร แตละครั้งที่ลูกบอลกระทบพื้น ลูกบอลจะกระดอนขึ้นตามแนวดิ่งมีความสูงเปน 3 เทาของความสูงกอนหนานั้น จงหาระยะทางรวมที่ลูกบอลเคลื่อนไปไดสมมติ 4ลูกบอลกระดอนแบบไมหยุด ∞26. จงแสดงวา ∑ ln⎛1 − 22 ⎞ = − ln 2 ⎜ ⎟ ⎝ k ⎠ k =2 ∞ k +1 − k27. จงแสดงวา ∑ =1 k =1 k2 + k 1 1 1 128. จงแสดงวา + + +K= 1.3 3.5 5.7 229. จงใชอนุกรมเรขาคณิตแสดงวา ∞ k ก. ∑ (− 1) xk = 1 ถา − 1 < x < 1 k =0 1+ x ∞ ข. ∑ (x − 3)k = 1 ถา 2 < x < 4 k =0 4− x ∞ ค. ∑ (− 1)k x 2 k = 1 ถา − 1 < x < 1 k =0 1+ x2 โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
  28. 28. 28จากขอ 30 – 31 จงหาคา x ทั้งหมดที่ทําใหอนุกรมลูเขา และจงหาผลบวก 1 2 4 8 1630. 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +K x x x x x 1 1 131. sin x − sin 2 x + sin 3 x − sin 4 x + K 2 4 832. ถาดานหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปหนึ่งยาว p หนวย ถาเชื่อมจุดกึ่งกลางของดานทั้งสี่ดวยเสนตรงจะเกิดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหม และถาเชื่อมจุดกึ่งกลางของดานทั้งสี่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหมน้นดวยเสนตรงอีกก็จะเกิดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหมอีก ทําเชนนี้ไปเรื่อย ๆ จงหาความยาว ัของเสนรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรสที่เกิดขึ้นทั้งหมด ั33. รูปสามเหลี่ยมดานเทารูปหนึ่งยาวดานละ 1 นิ้ว ถาแบงครึ่งดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมดานเทารูปนี้แลวสรางรูปสามเหลี่ยมดานเทาอีกรูปหนึ่ง แลวแบงครึ่งดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมดานเทารูปที่สองวนี้แลวสรางรูปสามเหลี่ยมดานเทารูปที่สาม ทําเชนนี้เรื่อย ๆ ไปไมสิ้นสุด จงหาความยาวของเสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมดานเทาทุกรูปที่สรางได34. ภายในรูปครึ่งวงกลมมีรปสามเหลี่ยมหนาจั่วมุมฉากบรรจุอยู และภายในรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว ูมุมฉาก จะมีรูปครึ่งวงกลมบรรจุอยูภายใน เปนเชนนี้ไปเรื่อย ๆ ไมส้นสุด ถากําหนดใหรัศมีของรูป ิครึ่งวงกลมนอกรูปนอกสุดเทากับ 1 นิ้ว จงหาความยาวของสวนโคงทั้งหมด35. แมลงตัวหนึ่งซึ่งมีขนาดเล็กมากอยูที่จุด (0,0) บนพิกัดระนาบ xy แลวเดินไปทางขวา 1 หนวยถึงจุด (1,0) แลวเดินเลี้ยวซายไป 0.5 หนวย ถึงจุด (1,0.5) และตอไปทุก ๆ ครั้งของการเดินทางจะเดินเลี้ยวซาย แลวเดินเปนระยะครึ่งเทาของการเดินทางครั้งกอนเสมอ ถาแมลงตัวนี้เดินไปเรื่อย ๆจะเดินเขาใกลจุดใด โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
  29. 29. 29 คําตอบแบบฝกหัด1. ก. ลูเขาสู 5 ข. ลูเขาสู 1 2 2 7 ค. ลูออก ง. ลูเขาสู 3 จ. ลูเขาสู1 ฉ. ลูเขาสู 1 42. ลูเขาสู 1 3. ลูเขาสู 4 4 74. ลูเขาสู 8 5. ลูเขาสู 6 96. ลูออก 7. ลูออก8. ลูเขาสู 1 9. ลูเขาสู 1 4 310. ลูเขาสู 1 11. ลูเขาสู 1 2 612. ลูเขาสู 1 13. ลูเขาสู 448 4 3 π14. ลูเขาสู 15. ลูเขาสู − 1 π −e 316. ลูออก 17. ลูเขาสู 418. ลูเขาสู 5 19. ลูเขาสู 17 3 2 120. ลูเขาสู 9 4 53221. 22. 9 99 869 23423. 24. 1111 99925. 28 โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
  30. 30. 30 130. x < −2 ∪ x > 2 หรือ x >2 มีผลบวก = x −x 2 2 sin x31. −∞ < x < ∞ มีผลบวก = 2 + sin x 4 2p32. หนวย 2 −133. 6 นิ้ว 2π34. นิ้ว 2 −135. (0.8 , 0.4) โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท

×