INTEGRAL MATEMATIKA

www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS 1
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
Penyusun : Nur Aini Indah H, S.Pd. ; Imam Indra Gunawan, S.Si.
Editor : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum.
Imam Indra Gunawan, S.Si.
A. DEFINISI INTEGRAL
Pada bab sebelumnya sudah dibahas tentang diferensial (turunan), sekarang akan
dibahas tentang integral. Hubungan antara turunan dengan integral yaitu integral
merupakan invers (kebalikan) dari diferensial (turunan). Oleh karena itu, integral juga
disebut anti diferensial (anti turunan).
Suatu fungsi F dikatakan sebagai anti turunan (integral) dari fungsi f apabila F’(x) = f(x)
untuk setiap x dalam domain dari F.
Integral dari f (x) dinotasikan sebagai :
CxFdxxf +=∫ )()( jika dan hanya jika F’ (x) = f (x),
dengan C sembarang konstanta.
B. INTEGRAL TAK TENTU
Hasil pengintegralan f(x) dengan berbentuk F(x) + C dinamakan integral tak
tentu. Berikut beberapa sifat integral tak tentu:
Keterangan:
k , C : konstanta
Contoh:
1. ..2 =∫ dx .
Jawab:
cxdx +=∫ 22
2. ..10 =∫ dxx
Jawab:
cxdxx +
+
= +
∫
111
11
10
10 = cx +2
2
10
Ckxdxk +=∫.1
Cx
n
dxx nn
+
+
= +
∫
1
1
1
.2
Cx
n
k
dxxk nn
+
+
= +
∫
1
1
.3
∫ ∫∫ ±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()}()({.4
∫∫ = dxxfkdxxfk )()(.5
, dengan 1−≠n
, dengan 1−≠n

3. ..9 8
=−∫ dxx
Jawab:
Cxdxx +
+
−=− +
∫
188
18
9
9
4. ..
6
4
=
−
∫ dx
x
Jawab:
cxdxxdx
x
+
+−
−
=−=
− +−−
∫∫
144
4
14
6
6
6
cxcx +=+
−
−
= −− 33
2
3
6
c
x
+= 3
2
5. ..5 3
=∫ dxx
Jawab:
∫∫ = dxxdxx 5
3
5 3
CxCx +=+
+
=
+
5
8
8
5
1
5
3
5
3
1
1
Cx += 5 8
8
5
6. ..)73( 2
=−∫ dxx
Jawab:
∫∫∫ −=− dxdxxdxx 73)73( 22
)7(
12
3
21
12
cxcx +−+
+
= +
21
3
7
3
3
cxcx −−+=
Cxx +−= 73
7. ..)3(5 2
=−∫ dxxx
Jawab:
dxxxdxxx ∫∫ −=− )155()3(5 232
∫∫ −= dxxdxx 23
155
)
12
15
(
13
5
2
12
1
13
cxcx +
+
−+
+
= ++
2
3
1
4
3
15
4
5
cxcx −−+=
Cxx +−= 34
5
4
5
LATIHAN SOAL 1
Hitunglah!
1. a. ..8 =∫ dx
b. ..7 =−∫ dx
c. ..
4
3
=∫ dx
d. ..=∫ dx
e. ..=− ∫ dx
2. a. ..3 =∫ dxx
b. ..14 =∫ dxx
c. ..6 =−∫ dxx
d. ..=∫ dxx
e. ..
6
5
=∫ dxx
3. a. ..6 2
=∫ dxx
b. ..5 8
=−∫ dxx
c. ..3 5
=∫ dxx
d. ..
2
1 3
=∫ dxx
e. ..
5
3 2
=∫ dxx
CxCx +−=+−= 99
9
9

4. a. ..
3
2
=∫ dx
x
b. ..
2
4
=
−
∫ dx
x
c. ..
3
2
5
=∫ dx
x
d. ..
1
3
=∫ dx
x
e. ..
1
6
=
−
∫ dx
x
5. a. ..=∫ dxx
b. ..3 4
=∫ dxx
c. ..=∫ dxxx
6. a. ..)56( =+∫ dxx
b. ..)16142( 2
=+−∫ dxxx
c. ..)148( 234
=−+−+−∫ dxxxxx
d. ..)
8
9( 4
2
=+−∫ dx
x
xx
e. ..)
1
(
3
3 24
=−−∫ dx
x
xx
7. a. ..)4(3 2
=−∫ dxxx
b. ..)45)(1( =+−∫ dxxx
c. ..
43 2
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
∫ dx
x
xx
d. ..
12
2
35
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +−
∫ dx
x
xx
e. ..
262
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −−
∫ dx
x
xx
----- Good Luck -----
B. INTEGRAL SUBSTITUSI
Definisi :
Jika u = g(x) maka du = g’(x) dengan g suatu fungsi yang dapat diturunkan dan F adalah
integral dari f, maka:
CuFduufdxxgxgf +==⋅ ∫∫ )()()('))((
Rumus Integral Substitusi
Keterangan :
u : fungsi dalam x
du : turunan pertama dari u
Contoh:
1. dxxx∫ + 32
)5(4 = ...
Jawab:
Misalkan u = x2
+ 5
x
du
dxx
dx
du
2
2 =⇔=
∫∫ ⋅=+
x
du
xudxxx
2
4)5(4 332
∫∫ =⋅= duuduu 33
22
CuCu +=+
+
= + 413
4
2
13
2
CxCu ++=+= 42
2
14
2
1
)5(
Cu
n
duu n
n
+
+
= +
∫
1
1
1
.6
Cu
n
k
duku n
n
+
+
= +
∫
1
1
.7
,dengan 1−≠n
,dengan 1−≠n

2. dx
x
x
∫ − 82
)3(
2
= ...
Jawab:
Misalkan u = (x2
– 3)
x
du
dxx
dx
du
2
2 =⇔=
x
du
xudxxx
2
.2.)3(2 882
∫∫
−−
=−
Cuduu +
+−
== +−−
∫
188
18
1
CxCu +−
−
=+
−
= −− 727
)3(
7
1
7
1
3. dxxx∫ + 42 2
= ...
Jawab:
Misalkan u = x2
+ 4
x
du
dxx
dx
du
2
2 =⇔=
x
du
xudxxx
2
.2.)4(2 2
1
2
1
2
∫∫ =+
Cuduu +
+
==
+
∫
1
2
1
2
1
1
2
1
1
CxCu ++=+= 2
3
22
3
)4(
3
2
2
3
1
Cx ++= 32
)4(
3
2
LATIHAN SOAL 2
Hitunglah!
1. a. ..)3(2 52
=+∫ dxxx .
b. ..)12(6 1032
=−∫ dxxx .
c. ..)2(4 843
=−∫ dxxx .
d. ..)3( 7
=+∫ dxx .
e. ..)10(6 62
=−∫ dxxx .
f. ..)4(12 932
=+∫ dxxx
g. ..)13)(32( 102
=−++∫ dxxxx
2. a. dx
x
x
∫
− 82
)3(
2
= ...
b. dx
x
x
∫
+
−
102
)1(
6
= ...
c. dx
xx
x
∫
−+
+
42
)23(
16
= ...
3. a. dxxx∫ + 52 2
= ...
b. dxxx∫ −18 2
= ...
c. dxxxx∫ ++ 2
)12( =...
----- Good Luck -----
C. INTEGRAL PARSIAL
Keterangan :
u, v : fungsi dalam x
dv : turunan pertama v
du : turunan pertama u
Contoh:
..)58(3 4
=+∫ dxxx
Jawab:
Misalkan u = 3x, dv = (8x + 5)4
dx
du = 3 dx v = Cxdxx ++=+∫
54
)58(
40
1
)58(
∫∫ −= duvvudvu.8

duvvudxxx ∫∫ −⋅=+ 4
)58(3
dxxxx 3)58(
40
1
)58(
40
1
.3 55
∫ +−+=
dxxxx ∫ +−+= 55
)58(
40
3
)58(
40
3
Cxxx ++⋅−+= 65
)58(
48
1
40
3
)58(
40
3
Cxxx ++−+= 65
)58(
640
1
)58(
40
3
LATIHAN SOAL 3
Hitunglah!
1. ..)16(6 5
=+∫ dxxx
2. ..)3(2 10
=−∫ dxxx
3. ..)3( 523
=+∫ dxxx
4. ..)43(2 523
=−∫ dxxx
5. ..24 23
=−∫ dxxx
----- Good Luck -----
D. INTEGRAL TRIGONOMETRI
Contoh:
1. ..3sin =∫ dxx
Jawab:
Cxdxx +−=∫ 3cos
3
1
3sin
2. ..)42cos( =+∫ dxx
Jawab:
Cxdxx ++=+∫ )42sin(
2
1
)42cos(
3. ..2sin6 =∫ dxx
Jawab:
Cxdxx +−=∫ 2cos
2
6
2sin6
Cx +−= 2cos3
Cxdxxa +−=∫ cossin..9
Cbax
a
dxbaxc ++−=+∫ )cos(
1
)sin(.
Cax
a
dxaxb +−=∫ cos
1
sin.
Cxdxxa +=∫ sincos..10
Cbax
a
dxbaxc ++=+∫ )sin(
1
)cos(.
Cax
a
dxaxb +=∫ sin
1
cos.

4. ..)cos(sin =+∫ dxxx
Jawab:
Cxxdxxx ++−=+∫ sincos)cos(sin
5. ..cossin =∫ dxxx
Jawab:
dxxdxxx 2sin
2
1
cossin ∫∫ =
CxCx +−=+−= 2cos
4
1
2cos
2
1
.
2
1
6. ..cos =∫ dxxx
Jawab:
Misalkan u = x, dv = cos x dx
du = dx, v= Cxdxx +=∫ sincos
∫∫ −= dxxxxdxxx sinsin.cos
Cxxxdxxx +−−=∫ )cos(sin.cos
Cxxx ++= cossin
LATIHAN SOAL 4
Hitunglah!
1. a. ..sin =∫ dxx
b. ..2sin =∫ dxx
c. ..)14sin( =−∫ dxx
d. ..)32sin( =−∫ dxx
2. a. ..cos =∫ dxx
b. ..6cos =∫ dxx
c. ..)63cos( =+∫ dxx
d. ..)51cos( =−∫ dxx
3.a. ..2sin8 =∫ dxx
b. ..5cos10 =∫ dxx
c. ..)34sin(8 =−−∫ dxx
d. ..)62cos(
4
1
=+∫ dxx
4. a. ..)2sin6(cos =−∫ dxxx
b. ..cossin2 =∫ dxxx
c. ..)sin21( 2
=−∫ dxx
5. a. ..2cos2sin =∫ dxxx
b. dx
x
x
∫ − 32
)sin1(
2sin
= ...
6. a. ..3cos =∫ dxxx
b. ..sin =∫ dxxx
c. ..sin2
=∫ dxxx
----- Good Luck -----

E. INTEGRAL TENTU
Keterangan:
f(x) : turunan pertama dari F(x)
a : batas atas
b : batas bawah
Contoh:
1. ..6
8
0
2
=∫ dxx
Jawab:
8
0
3
8
0
2
3
6
6 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=∫ xdxx
33
)0.(2)8(2 −= = 1024
2. ..)443(
4
1
2
=−+∫ dxxx
Jawab:
[ ]4
1
3
4
1
2
42)443( xxxdxxx −+=−+∫
= ((4)3
+ 2.4 – 4.4) – ((1)3
+ 2.1 – 4.1)
= 56 – (-1) = 57
3. ..cos
2
3
2
1
=∫
π
π
xdx
Jawab:
[ ]
π
π
π
π
2
3
2
1
2
3
2
1
sincos xxdx =∫
ππ
2
1
sin
2
3
sin −=
= (-1) – 1 = - 2
LATIHAN SOAL 5
Hitunglah!
1. a. ..3
4
1
2
=∫ dxx
b. ..10
2
0
=∫ xdx
c. ..20
1
0
3
=∫ dxx
d. ..8
2
1
=∫
−
dx
2. a. ..)163(
3
0
2
=−+∫ dxxx
b. ..)126(
2
1
2
=+−∫ dxxx
c. ..)4(
6
2
=+∫ dxx
d. ..)1238(
1
1
23
=++−∫
−
dxxxx
3. a. ..sin
0
=∫
π
xdx
b. ..cos
2
3
2
1
=∫
π
π
xdx
c. ..2sin
2
1
=∫
π
π
xdx
d. ..2sin
4
1
0
=∫
π
xdx
[ ]a
b
a
b
xFdxxf )()(.11 =∫
)()( bFaF −=

F. PENGGUNAAN INTEGRAL TENTU
Menghitung luas daerah tak beraturan dengan pendekatan luas persegi panjang
Permasalahan untuk diskusi bersama:
Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y = x2
;
sumbu x, x = 0 dan x = 3 seperti pada gambar
disamping !
jawab
Dengan membagi daerah yang diarsir dengan
beberapa persegi panjang dengan lebar
2
1
=∆x (tampak gambar 2), maka luas daerah
yang diarsir didapat dari pendekatan luas persegi panjang.
Untuk interval :
2
1
0 ≤≤ x ; Luas = 0
2
1
.0)0( ==∆⋅ xf
1
2
1
≤≤ x ; Luas =
8
1
2
1
.
4
1
2
1
==∆⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
xf
2
3
1 ≤≤ x ; Luas =
2
1
2
1
.1)1( ==∆⋅ xf
2
2
3
≤≤ x ; Luas =
8
9
2
1
.
4
9
2
3
==∆⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
xf
2
5
2 ≤≤ x ; Luas = 2
2
1
.4)2( ==∆⋅ xf
3
2
5
≤≤ x ; Luas =
8
25
2
1
.
4
25
2
5
==∆⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
xf
Luas daerah yang diarsir
8
55
8
25
2
8
9
2
1
8
1
0 ≈+++++≈
Bentuk penjumlahan diatas dapat disimbolkan sebagai :
∑
=
∆⋅≈
n
i
i xxfL
1
)( ; dengan n : banyak persegi panjang yang terbentuk.
Tentu saja hasil diatas bukan hasil yang sesungguhnya, melainkan didapat melalui
pendekatan.
Semakin kecil lebar ( )x∆ yang dibuat maka semakin teliti hasil yang didapat
(makin mendekati luas yang sesungguhnya). Hal ini ditunjukan dengan semakin
kecilnya daerah yang tidak diarsir pada gambar 2. Dengan memperkecil lebar ( )0→∆x ,
maka banyak persegi panjang (n) semakin banyak ( )∞→n . Sehingga luas daerah yang
sebenarnya dapat ditentukan dengan :
∫∑ =∆⋅
=∞→
a
b
n
i
i
n
dxxfxxf )()(lim
1
y
x
f(x) = x2
0 321
y
x
f(x) = x2
0 3
Gambar 1
Gambar 2

1. LUAS DAERAH
Luas daerah yang dibatasi kurva dengan sumbu x bila :
a. daerah berada di atas sumbu x
b. daerah berada di antara dua kurva f(x) dan g(x)
c. daerah berada di bawah sumbu x
dengan menganggap daerah yang diarsir dibatasi oleh kurva
y = 0 ; f (x) ; x = b dan x = a maka luasnya dirumuskan
[ ] dxxfdxxfL
a
b
a
b
∫∫ −=−= )()(0
LATIHAN SOAL 6
1. Hitunglah luas daerah yang diarsir berikut:
a. c.
b. d.
y
x
f(x)= x + 4
0 8
y
x
f(x) = x2
0 3
y
x0 8
f(x) = x – 8
y
0-2
4
f(x) = x
)()()( bFaFdxxfL
a
b
−== ∫
y
x
b a
f(x)
[ ])()()( bFaFdxxfL
a
b
−−=−= ∫
f(x)
y
xb a
Keterangan:
f(x) : kurva yang berada di atas
g(x): kurva yang berada di bawah
a , b: titik potong kurva f(x) dan g(x)
atau batas atas & batas bawah
[ ]dxxgxfL
a
b
∫ −= )()(
f(x)y
x
ab
g(x)

e. f.
a. b.
3. Hitunglah luas daerah yang dibatasi :
a. f (x) = 4x – x2
; sumbu x ; antara x = 0 dan x = 3
b. f (x) = x2
– 2x – 3 ; sumbu x ; antara x = 0 dan x = 2
c. y = x2
; y = x + 2
d. y = x2
– 4x ; y = – x2
----- Good Luck -----
Dengan cara yang sama, luas daerah yang dibatasi kurva dengan sumbu y bila :
a. daerah berada di kanan sumbu y
b. daerah berada di antara dua kurva f(y) dan g(y)
y
x
f(x)= x2
– 6x
0 6
y
x
f(x) = x2
0 6
f(x) = 6 – x
y
x
y = 4x
y = x2
– 6x + 9 y = x2
y = 8 - x2
y
x
)()()( bFaFdyyfL
a
b
−== ∫
Keterangan:
f(y) : kurva yang berada di kanan
g(y): kurva yang berada di kiri
a , b: titik potong kurva f(y) dan g(y)
atau batas atas & batas bawah
[ ]dyygyfL
a
b
∫ −= )()(
y
xb
a
f(y)
f(y)
y
x
a
b
g(y)

LATIHAN SOAL 7
a. b.
2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi parabola y2
= 4x dan 4x – 3y = 4
----- Good Luck -----
Menghitung volume benda putar dengan pendekatan volume tabung
Volume benda putar adalah volume bangun ruang yang terbentuk dari hasil pemutaran
suatu daerah di bidang datar terhadap garis tertentu (sumbu rotasi).
Permasalahan untuk diskusi bersama:
Hitunglah volume benda putar dari daerah yang
dibatasi kurva y = f(x) ; sumbu x, x = b dan
x = a, jika daerah diputar mengelilingi sumbu x
sebesar 360° (gambar 1)!
jawab
Bangun ruang yang terjadi seperti tampak pada gambar 2.
Dengan membagi bangun ruang dengan beberapa bagian (hampir menyerupai tabung)
dengan tinggi sama (∆x), maka volume benda putar yang terbentuk didapat dari
pendekatan volume tabung.
Ambil satu bagian sembarang, misal yang diarsir.
Volume daerah yang diarsir adalah
≈∆V Volume tabung
tr ⋅⋅≈ 2
π
[ ] xxf ∆⋅⋅≈ 2
)(π
Untuk n bagian yang terjadi maka volume benda
putarnya adalah [ ]∑
=
∆⋅⋅≈
n
i
ii xxfV
1
2
)(π
Semakin kecil tinggi ( )x∆ yang dibuat maka semakin teliti hasil yang didapat
(makin mendekati volume yang sesungguhnya). Dengan memperkecil tinggi ( )0→∆x ,
maka ∞→n . Sehingga volume benda putar yang sebenarnya dapat ditentukan dengan :
[ ]∑
=∞→
∆⋅⋅=
n
i
ii
n
xxfV
1
2
)(lim π
[ ] dxxf
a
b
i∫ ⋅= 2
)(π
[ ] dxxf
a
b
i∫= 2
)(π
y
x
y= f(x)
b a
Gambar 1
y
x
y= f(x)
b a
Gambar 2
∆x
y
xy =
x
3
y
x
x + 2y = 12
0
6

[ ] [ ]( )∫ −=
a
b
dxxgxfV 22
)()(π
y
x
f(x)
ab
g(x)
[ ] dxxfV
a
b
∫= 2
)(π
[ ] dyyfV
a
b
∫= 2
)(π
y
x
f(y)
b
a
y
x
f(x)
ab
2. VOLUME BENDA PUTAR
a. Volume Benda Putar bila daerah diputar mengelilingi sumbu x sebesar 360o
♦ Daerah dibatasi kurva dengan sumbu x
♦ Daerah berada di antara dua kurva f(x) dan g(x)
Keterangan:
f(x) : kurva yang berada di atas
g(x) : kurva yang berada di bawah
a, b : titik potong kurva f(x) dan g(x)
b. Volume Benda Putar bila daerah diputar mengelilingi sumbu y sebesar 360o
♦ Daerah dibatasi kurva dengan sumbu y

[ ] [ ]( )∫ −=
a
b
dyygyfV 22
)()(π
♦ Daerah berada di antara dua kurva f(y) dan g(y)
Keterangan:
f(y) : kurva yang berada di atas/kanan
g(y) : kurva yang berada di bawah/kiri
a, b : titik potong kurva f(y) dan g(y)
LATIHAN SOAL 8
1. Tentukan volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva berikut diputar
mengelilingi sumbu x sebesar 360o
a. f(x) = x – 2 ; dengan batas 62 ≤≤ x
b. f(x) = 8 – x ; dengan batas 42 ≤≤ x
c. f(x) = x2
; dengan batas 30 ≤≤ x
d. 2
4)( xxf −= ; dengan batas 21 ≤≤− x
2. Tentukan volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva y = x2
; y = x + 2 ;
diputar mengelilingi sumbu x sebesar 360o
3. Tentukan volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva berikut diputar
mengelilingi sumbu y sebesar 360o
a. y = x – 2 ; dengan batas 62 ≤≤ y
b. y = 4 – x ; dengan batas 42 ≤≤ y
c. y = x2
; dengan batas 50 ≤≤ y
4. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva x = y2
;
y = 2 ; y = 0 diputar mengelilingi sumbu y sebesar 360o
----- Good Luck -----
DAFTAR PUSTAKA
Noomandiri, BK. , Matematika SMA Untuk Kelas XII Program Ilmu Alam,
Penerbit Erlangga, Jakarta, 2004
Purcell, Edwin J. Varberg Dale, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I, Edisi kelima
Sartono Wirodikromo , Matematika Untuk SMA kelas XII Program Ilmu Alam,
y
x
f(y)
b
a
g(y)

UJI KOMPETENSI
1. Hitunglah :
a. ..)1218( 2
=−+∫ dxxx
b. ..)76( 23
=+−+∫ dxxxx
c. ..
834
5
56
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −+
∫ dx
x
xx
d. ..
13 23
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +−
∫ dx
x
xx
e. ..)65)(3( 2
=+−+∫ dxxxx
f. ..)32( 223
=+∫ dxxx
2. Tentukan fungsi f(x) jika diketahui :
a. 5415)( 2
−−= xxxf l
dan 0
5
2
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
f
b. 52)( −= xxf l
dan ( ) 21 =f
c. 212)( −= xxf l
dan ( ) 483 =−f
3. Tentukan nilai a , jika diketahui : 12)32(
1
=−∫ dxx
a
4. Hitunglah :
a. ..)825)(15( 62 =−++∫ dxxxx
b. ..
52
12
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∫ dx
x
x
5. Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva :
a. f(x) = 22
+− xx dengan batas 21 ≤≤− x
b. f(x) = 743 2
−+ xx dengan batas 20 ≤≤ x
c. y = 2 – x dan y = x2
d. y = 6 – x dan xy =
6. Hitunglah :
a. ..)8sin(8 32
=−∫ dxxx
b. ..
4
4cos2
2
2
=
−
−
∫ dx
x
xx
7. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva y = x + 7 dan y =
7 – x2
diputar mengelilingi sumbu x sebesar 360o
----- Good Luck -----

LATIHAN PEMANTAPAN
(Soal-Soal yang Sering Keluar dalam UN)
01. EBT-SMA-96-29
Ditentukan F ′(x) = 3x2
+ 6x + 2 dan
F(2) = 25.
F ′(x) adalah turunan dari F(x), maka
F(x) = …
A. 3x3
+ 6x2
+ 2x – 27
B. x3
+ 3x2
+ 2x – 1
C. x3
+ 3x2
+ 2x + 1
D. x3
+ 3x2
+ 2x + 49
E. x3
+ 3x2
+ 2x – 49
02. EBT-SMA-95-28
Diketahui F ′(x) = 3x2
– 4x + 2 dan
F(–1) = – 2 , maka
F(x) = …
A. x3
– 3x2
+ 2x – 13
B. x3
– 3x2
+ 2x + 4
C. x3
– 3x2
+ 2x – 2
D. 9x3
– 12x2
+ 2x – 13
E. 9x3
– 12x2
+ 2x + 4
03. MD-96-17
F ′(x) = (x + 1) (x + 2) . Jika F(–3),
maka F(x) = …
A. 3
1
x2
+ 2
3
x + 2x
B. 3
1
x2
+ 2
3
x – 2x
C. 3
1
x2
+ 2
3
x + 2x – 3
D. 3
1
x2
+ 2
3
x + 2x + 3
E. (x + 1)2 ( )
4
2+x
04. MA–99–08
Diketahui
dx
dF
= ax + b
F(0) – F(–1) = 3
F(1) – F(0) = 5
a + b = …
A. 8
B. 6
C. 2
D. –2
E. –4
05. MD-94-25
Jika f(x) = ∫ (x2
+ 2x – 1) dx dan f(1) = 0
, maka f(x) = …
A. 3
1
x3
– x2
+ x – 3
1
B. 3
1
x3
– 2
1
x2
+ 2
1
x – 3
1
C. 3
1
x3
– 2
1
x2
– 2
1
x – 3
1
D. 3
1
x3
+ x2
+ x – 3
1
E. 3
1
x3
+ 2x2
– 2x – 3
1
06. MD-84-26
Jika F ′ (x) = 1 – 2x dan F(3) = 4, maka
F(x) adalah …
A. 2x2
– x – 11
B. –2x2
+ x + 19
C. x2
– 2x – 10
D. x2
+ 2x + 11
E. –x2
+ x + 10
07. MD-91-25
Jika F ′(x) = 8x – 2 dan F(5) = 36 maka
F(x) = …
A. 8x2
– 2x – 159
B. 8x2
– 2x – 154
C. 4x2
– 2x - 74
D. 4x2
– 2x - 54
E. 4x2
– 2x - 59
08. MA-94-02
Diketahui 3)(
x
dx
xdf
= . Jika f(4) = 19,
maka f(1) = …
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
E. 6
09. EBT-SMA-92-29
Diketahui F ′ (x) = x
x
+
1
dan F(4)
= 9. Jika F ′(x) turunan dari F(x), maka
F(x) = …
A. 2√x + 3
2
x√x + 3
1
B. 2√x + 3
2
x√x – 3
1
C. 3
2
√x + 2x√x + 3
1
D. 3
2
√x + 2x√x – 3
1
E. 2√x + 3
1
x√x + 3
1

10. EBT-SMA-88-28
Ditentukan 1
1
2
x
F '(x) += dan
F(–1) = 0, maka
F(x) = …
A. 1
1
−−
x
B. x
x
+−
1
C. x
x
+− 3
1
D. 2
1
++− x
x
E. 2
1
3
++ x
x
11. EBT-SMA-90-36
Turunan fungsi F adalah f yang di-
tentukan oleh f(x) = 3x2
– 4x + 6.
Apabila ditentukan F(–1) = 0 maka
F (x) = …….
A. x3
– 2x2
+ 6x
B. x3
– 2x2
+ 6x – 5
C. x3
– 2x2
+ 6x – 9
D. x3
– 2x2
+ 6x + 5
E. x3
– 2x2
+ 6x + 9
12. EBT-SMA-87-28
∫ (x2
+ 2) dx adalah …
A. 3
1
x3
+ 2x + C
B. 2x3
+ 2x + C
C. 2
1
x3
+ 2x + C
D. 3
1
x3
+ 2x + C
E. 3
1
x3
+ 2x2
+ C
13. MD-85-21
∫
xx2
1
dx = …
A. –
x
1
+ c
B. -
x
2
+ c
C.
x
1
+ c
D.
x
2
+ c
E. –
x2
1
+ c
14. MD-81-28
∫ x2sin dx = ...
A. 2
1
cos 2x + C
B. – 2
1
cos 2x + C
C. 2 cos 2x + C
D. –2 cos 2x + C
E. –cos 2x + C
15. EBT-SMA-97-30
Nilai ∫
π
π
−
3
1
6
1
)sin5cos3( dxxx = …
A. 4 – 4√3
B. –1 –3√3
C. 1 – √3
D. –1 + √3
E. 4 + 4√3
16. EBT-SMA-96-30
( )∫
π
π
+
−
4
2
cos6sin2 dxxx = …
A. 2 + 6√2
B. 6 + 2√2
C. 6 – 2√2
D. –6 + 2√2
E. –6 – 2√2
17. EBT-SMA-90-38
( )∫
π
+
6
0
3cos3sin dxxx = …
A. 3
2
B. 3
1
C. 0
D. – 2
1
E. – 3
2
18. EBT-SMA-89-36
Diberikan ∫ 15x2
(x3
– 1)4
dx , selesaikan
dengan langkah-langkah berikut :
a. Misalkan U = x3
– 1
Tentukan dU
b. Ubahlah menjadi ∫ f(U) dU dan
selesaikan
c. Hitung integral di atas untuk x = 0
sampai x = 1

19. EBT-SMA-02-35
dxxx∫ −
23
6
2
2 = …
A. 24
B. 18 3
2
C. 18
D. 17 3
1
E. 17
20. EBT-SMA-01-27
Hasil ∫ − 53
2
x
dxx
= …
A. 53
3
2
−x + C
B. 53
3
1
−x + C
C. 53
6
1
−x + C
D. 53
9
1
−x + C
E. 53
12
1
−x + C
21. EBT-SMA-99-30
Hasil ∫ +
dx
x
x
82
18
3
2
= …
A. Cx ++− 82 2
2
3
B. Cx ++ 829 2
C. Cx ++ 82 2
6
1
D. Cx ++ 826 2
E. Cx ++ 8236 2
22. EBT-SMA-95-32
Diketahui f(x) =
42
2
2
−x
x
maka
∫ dxxf )( = …
A. 43 2
3
1
−x + C
B. 43 2
3
2
−x + C
C. 43 2
3
2
−xx + C
D. 432 2
−xx + C
E. 432 2
−x + C
23. EBT-SMA-03-33
Nilai ∫ x sin (x2
+ 1) dx = …
A. –cos (x2
+ 1) + C
B. cos (x2
+ 1) + C
C. – 2
1
cos (x2
+ 1) + C
D. 2
1
cos (x2
+ 1) + C
E. –2 cos (x2
+ 1) + C
24. EBT-SMA-88-30
∫ sin5
x cos x dx adalah …
A. 6
1
sin6
x + C
B. 6
1
cos6
x + C
C. – 6
1
sin6
x + C
D. – 6
1
cos6
x + C
E. 4
1
sin4
x + C
25. MD-91-26
∫ sin3
x cos x dx = …
A. 4
1
sin4
x + C
B. 4
1
cos4
x + C
C. – 4
1
cos2
x + C
D. 3
1
sin2
x + C
E. – 3
1
sin4
x + C
26. EBT-SMA-97-32
Hasil dari ∫ + 53
6
x
dx
adalah …
A. 6 ln (3x + 5) + C
B. 3 ln (3x + 5) + C
C. 3 ln (6x + 5) + C
D. 2 ln (3x + 5) + C
E. ln (3x + 5) + C
27. MD-82-19
( )∫ −+
4
2
2
2
1
4
-
dxxx = …
A. 2
B. 18
C. 20 3
1
D. 22
E. 24 3
1
28. MA-79-03
( )∫
2
0
2 =733 dxx +-x …
A. 16
B. 10
C. 6
D. 13
E. 22

29. MD-83-19
∫
2
1
3
1
x
x -
dx sama dengan …
A. –1 6
1
B. 8
1
C. 8
7
D. 1
E. 1 2
1
30. MD-87-24
=
x
dx
∫
2
1
3
…
A. 8
3
B. 8
5
C. 64
63
D. 64
1
1−
E. 8
7
31. EBT-SMA-02-30
Hasil dari ( )∫−
−
1
1
2
6 dxxx = …
A. –4
B. – 2
1
C. 0
D. 2
1
E. 4 2
1
32. EBT-SMA-89-33
Nilai ∫
2
0
12 3 dx)x -( = …
A. 10
B. 20
C. 40
D. 80
E. 160
33. MD-87-19
Jika b > 0 dan 1232
1
=) dxx(
b
∫ − , maka
nilai b = …
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
E. 7
34. MD-84-16
Jika p banyaknya himpunan bagian dari
(1,2) dan q akar positif persamaan x2
+
2x – 3 = 0, maka =−∫
p
q
x)dx( 28 …
A. 9
B. 5
C. 3
D. 2
E. –6
35. MD-93-22
Jika 10
3
0
3 2
2
1
=∫ dxx
a
, ∫ −
b
dxx
0
)32( =4 dan
a, b > 0, maka nilai a2
+ 2ab + b2
adalah …
A. 10
B. 15
C. 20
D. 25
E. 30
36. MD-84-29
Jika ∫
y
+ x) dx =(
1
61 , maka nilai y dapat
diambil …
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
E. 2
37. MD-95-27
Jika p banyaknya faktor prima dari 42
dan q akar positif persamaan 3x2
– 5x –
2 = 0, maka …
( )∫ −
p
q
dxx35 = …
A. –3 2
1
B. –2 2
1
C. 2 2
1
D. 3 3
1
E. 5 2
1

38. UAN-SMA-04-30
Gradien garis singgung di sembarang
titik pada suatu kurva ditentukan oleh
rumus y’ = 3x2
– 6x + 2. Jika kurva
tersebut melalui titik (1, –5), maka
persamaan kurvanya adalah …
A. y = x3
– 3x2
+ 2x + 5
B. y = x3
– 3x2
+ 2x – 5
C. y = x3
– 3x2
+ 2x – 1
D. y = x3
– 3x2
+ 2x + 1
E. y = x3
– 3x2
+ 2x
39. MA-93-06
Jika
dx
xdf )(
= x3
+ x-3
dan f(1) = –
20
11
maka ∫
2
1
)( dxxf = …
A. 2
B. 1
C. 2
1
D. 4
1
E. – 4
1
39. MD-83-20
∫
π
2
0
=cos dxx …
A. 2
B. 0
C. π
D. 1
E. 2
1
40. EBT-SMA-00-28
Hasil dari ∫ dxxx 4coscos = …
A. – 5
1
sin 5x – 3
1
sin 3x + C
B. 10
1
sin 5x + 6
1
sin 3x + C
C. 5
2
sin 5x + 5
2
sin 3x + C
D. 2
1
sin 5x + 2
1
sin 3x + C
E. – 2
1
sin 5x – 2
1
sin 3x + C
41. EBT-SMA-99-29
Nilai ∫
π
6
0
cos2cos xdxx = …
A. 6
5
B. 6
4
C. 12
5
D. – 12
5
E. – 6
5
42. EBT-SMA-03-32
Nilai dari ∫
π
2
0
sin5sin xdxx = …
A. 2
1
−
B. 6
1
−
C. 12
1
D. 8
1
E. 12
5
43. EBT-SMA-00-24
Nilai ∫ =−
1
0
6
)1(5 dxxx …
A. 56
75
B.
56
10
C. 56
5
D. 56
7
−
E. 56
10
−
44. EBT-SMA-93-40
∫ dxxx sin = …
A. x cos x + sin x + C
B. –x cos x + sin x + C
C. x sin x – cos x + C
D. –x sin x
E. x cos x
45. EBT-SMA-96-32
∫ + xdxx 2cos)13( = …
A. 2
1
(3x + 1) sin 2x + 4
3
cos 2x + C
B. 2
1
(3x + 1) sin 2x – 4
3
cos 2x + C
C. 2
1
(3x + 1) sin 2x + 2
3
cos 2x + C
D. – 2
1
(3x + 1) sin 2x + 2
3
cos 2x + C
E. – 2
1
(3x + 1) sin 2x – 4
3
cos 2x + C

Panjang jari tangan menentukan kecerdasan?
Menentukan seseorang cerdas atau tidak tanpa menguji otaknya memang
tidaklah mudah. Apalagi jika hanya mengandalkan tampilan fisik. Seringnya kita
mendapatkan fakta yang berseberangan. Seseorang dengan tampilan fisik menarik
tak berkorelasi positif dengan kemampuan otaknya yang cerdas. Demikian pula
sebaliknya. Meski demikian, berdasarkan hasil penelitian ada bagian tubuh
manusia yang bisa digunakan untuk mengungkapkan kecerdasan seseorang.
Mark Brosnan salah satu peneliti dari Universitas Bath mengungkapkan
bahwa kecerdasan seseorang dapat dilihat dari perbandingan panjang jari manis
dan jari telunjuknya. Seorang anak yang memiliki jari manis lebih panjang daripada
jari telunjuk cenderung memiliki kemampuan matematika lebih tinggi daripada
kemampuan verbal dan bahasa. Jika perbandingan sebaliknya anak umumnya
memiliki kemampuan verbal seperti menulis dan membaca yang lebih baik dari
matematika. Panjang jari tangan merefleksikan perkembangan bagian-bagian di
otak.
Para ilmuwan telah lama mengetahui bahwa pertumbuhan jari-jari tangan
manusia berbeda-beda tergantung hormon testosteron dan estrogen di dalam
rahim saat bayi dikandung ibunya. Kadar testosteron yang tinggi diyakini
mendukung perkembangan bagian otak yang berhubungan dengan matematika
dan pandang ruang. Hormon itu pula yang menyebabkan jari manis tumbuh lebih
panjang. Estrogen juga mendorong efek yang sama pada bagian otak, namun yang
berhubungan dengan kemampuan verbal. Hormon ini mendukung pertumbuhan
jari telunjuk, sehingga lebih panjang dari jari manis.
Untuk menguji hubungan kecerdasan dengan rasio panjang jari tangan,
Brosnan dan koleganya membandingkan tes scholastic (SAT) semacam psikotes
kepada calon siswa yang mendaftar sekolah dengan panjang cap jari setiap siswa
yang telah diminta sebelumnya. Mereka mengukur panjang jari-jari secara teliti
menggunakan jangka sorong yang memiliki tingkat ketelitian 0,01 mm. Kemudian
rasio panjang jari dicatat untuk memperkirakan perbandingan kadar testosteron
dan estrogen.
Hasil tes siswa laki-laki dan perempuan dipisahkan. Mereka menemukan
hubungan yang jelas antara tingginya paparan testosteron terlihat dari panjang jari
manis yang lebih panjang daripada jari telunjuk dengan nilai uji matematika yang
tinggi. Juga tingginya paparan estrogen dengan kemampuan bahasa dan verbal
pada sebagian anak perempuan. ”Rasio panjang jari memberikan kita gambaran
mengenai kemampuan pribadi yang berhubungan dengan kognitif (daya pikir).”
Ujar Brosnan yang akan melaporkan temuannya dalam British Journal of
Psychology.
Sumber : Harian pikiran rakyat, 31 Mei 2007

INTEGRAL MATEMATIKA

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to INTEGRAL MATEMATIKA

Similar to INTEGRAL MATEMATIKA (20)

More from Hardini_HD

More from Hardini_HD (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

INTEGRAL MATEMATIKA