Makalah ini membahas tentang pecahan aljabar, termasuk pengertian pecahan aljabar, jenis-jenis pecahan seperti pecahan murni, senama, dan semu, operasi pecahan aljabar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian, serta menceraikan pecahan ke dalam pecahan bagian.

1. Makalah Aljabar
Pecahan
Disusun oleh
Dosen Pengasuh
Dra.Nyimas Aisyah,M.Pd
Dra.Cecil Hiltrimartin,M.Si
Universitas Sriwijaya
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Prodi Pendidikan Matematika
2015
Krista Lestari T (06081281419034)
Fitri Indahsari (06081281419035)
Sesi Winarni (06081281419036)

2. A. Pendahuluan
Pecahan digambarkan dengan bentuk
𝐴
𝐵
, sedang A dan B adalah bentuk
aljabar (pada umumnya suatu sukubanyak). Selamanya dianggap bahwa
kepada kebesaran-kebesaran yang terdapat di dalam B tidak pernah diberikan
harga yang menjadikan B sama dengan nol.
I. Pengertian Pecahan Aljabar
Pecahan aljabar adalah bentuk bentuk aljabar yang mana dapat
dinyatakan dengan
𝐴
𝐵
, dengan A dan B merupakan suatu suku banyak, dan
nilai-nilai variabel dalam B tidak boleh menjadikan 𝐵 = 0.
II. Pecahan Murni, Senama , Semu.
 Pecahan murni adalah pecahan yang pangkat pembilangnya lebih
rendah dari pada pangkat penyebut. Pecahan murni disebut juga
pecahan sebenarnya atau pecahan sejati.
Contoh :
2𝑥−1
3𝑥2 +4
;
3𝑎4
+𝑏
𝑎7 (dalam 𝑎)
 Pecahan senama adalah pecahan-pecahan yang memiliki penyebut
yang sama.
Contoh :
𝑥2
−9
𝑥2−3𝑥−28
dengan
7𝑥−3
(𝑥−7)(𝑥+4)
 Pecahan semu adalah pecahan dengan pangkat pembilangnya
adalah lebih besar atau sama dengan pangkat penyebutnya.
pecahan semu dapat diubah menjadi pecahan campuran, yaitu suatu
bentuk aljabar yang menyatakan hasiljumlah suatu suku banyak
dan pecahan murni.
Contoh Pecahan semu
Ubahlah pecahan semu berikut menjadi pecahan tercampur :

3. 3𝑥2
+ 5𝑥 − 7
𝑥 − 7
Penyelesaian :
3𝑥2
+ 5𝑥 − 7
𝑥 − 7
=
(3𝑥 + 26)( 𝑥 − 7) − 175
𝑥 − 7
= 3𝑥 + 26 −
75
𝑥 − 7
Maka sebaliknya, untuk mengubah bentuk pecahan tercampur menjadi pecahan
semu dapat dilakukan dengan cara :
𝑎 +
𝑏
𝑐
=
𝑎𝑐
𝑐
+
𝑏
𝑐
=
𝑎𝑐 + 𝑏
𝑐
Contoh soal :
Ubahlah pecahan campuran berikut menjadi pecahan semu:
𝑎 + 𝑏 −
𝑎2
− 4𝑏2
𝑎 + 𝑏
Penyelesaian :
𝑎 + 𝑏 −
𝑎2
− 4𝑏2
𝑎 + 𝑏
=
( 𝑎 + 𝑏)( 𝑎 + 𝑏)
𝑎 + 𝑏
−
𝑎2
− 4𝑏2
𝑎 + 𝑏
=
(𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
) − (𝑎2
− 4𝑏2
)
𝑎 + 𝑏
=
5𝑏2
+ 2𝑎𝑏
𝑎 + 𝑏
III. Menyederhanakan Pecahan Aljabar
Pecahan dikatakan sederhana jika pembilang dan penyebut pecahan
tersebut tidak lagi memiliki faktor persekutuan , kecuali 1. Dengan kata lain, jika

4. pembilang dan penyebut suatu pecahan memiliki factor yang sama kecuali 1 maka
pecahan tersebut dapat disederhanakan. Hal ini juga berlaku pada pecahan bentuk
aljabar.
Menyederhanakan pecahan aljabar dapat dilakukan dengan
memfaktorkan pembilang dan penyebutnya terlebih dahulu, kemudian dibagi
dengan factor sekutu dari pembilang dan penyebut tersebut.
Contoh soal menyederhanakan pecahan :
Sederhanakan pecahan berikut :
𝑎2
+ 7𝑎 + 10
𝑎2 + 4𝑎 − 5
Penyelesaian :
𝑎2
+ 7𝑎 + 10
𝑎2 + 4𝑎 − 5
=
(𝑎 + 5)(𝑎 + 2)
(𝑎 + 5)(𝑎 − 1)
=
(𝑎 + 2)
(𝑎 − 1)
IV. Operasi Pecahan Aljabar
a. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Aljabar
Penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar sama seperti
penjumlahan dan pengurangan bilangan pecahan, yaitu “ pada penjumlahan dan
pengurangan pecahan aljabar dengan penyebutnya sama maka dapat langsung
dijumlahkan atau dikurangkan pembilangnya. Adapun pada penjumlahan dan
pengurangan pecahan aljabar dengan penyebut berbeda dapat dapat dilakukan
dengan cara menyamakan penyebutnya terlebih dahulu menjadi kelipatan
persekutuan terkecil (KPK) dari penyebut-penyebutnya.”
𝑎
𝑏
+
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑑+𝑏𝑐
𝑏𝑑
atau
𝑎
𝑏
−
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑑−𝑏𝑐
𝑏𝑑

5. Contoh menjumlahkan dan mengurangi pecahan:
Hitunglah :
a.
𝑥
(𝑥−1)
−
1−2𝑥
𝑥2−1
=
b.
1
(𝑥−3)(𝑥−4)
−
2
( 𝑥−2)( 𝑥−4)
+
1
( 𝑥−2)( 𝑥−3)
=
Penyelesaian :
a.
𝑥
(𝑥−1)
−
1−2𝑥
𝑥2−1
=
𝑥
(𝑥−1)
−
1−2𝑥
(𝑥−1)(𝑥+1)
=
𝑥(𝑥 + 1)
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
−
1 − 2𝑥
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
=
(𝑥2
+ 𝑥) − (1 − 2𝑥)
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
=
𝑥2
+ 3𝑥 − 1
𝑥2 − 1
b. =
1(𝑥−2)
(𝑥−2)(𝑥−3)(𝑥−4)
−
2(𝑥−3)
(𝑥−2)(𝑥−3)(𝑥−4)
+
1(𝑥−4)
(𝑥−2)(𝑥−3)(𝑥−4)
=
( 𝑥 − 2) − (2𝑥 − 6) + ( 𝑥 − 4)
( 𝑥 − 2)( 𝑥 − 3)( 𝑥 − 4)
=
( 𝑥 − 2) − 2𝑥 + 6 + 𝑥 − 4
(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)(𝑥 − 4)
=
0
(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)(𝑥 − 4)
= 0

6. b. Perkalian dan Pembagian Pecahan Aljabar
Perkalian antara dua pecahan aljabar sama dengan perkalian antara dua
pecahan biasa ,yaitu dapat dilakukan dengan mengalikan antara pembilang dengan
pembilang dan penyebut dengan penyebut.
a
b
×
c
d
=
a × c
b × d
=
ac
bd
Contoh mengalikan pecahan aljabar
Hitunglah :
𝑥2
+ 3𝑥 + 2
𝑥 + 3
×
𝑥 + 2
𝑥2 + 4𝑥 + 3
=
Penyelesaian :
𝑥2
+ 3𝑥 + 2
𝑥 + 3
×
𝑥 + 2
𝑥2 + 4𝑥 + 3
=
( 𝑥 + 2)( 𝑥 + 1)
( 𝑥 + 3)
×
( 𝑥 + 2)
( 𝑥 + 3)( 𝑥 + 1)
=
( 𝑥 + 2)2
( 𝑥 + 3)2
Pembagian antara dua pecahan aljabar dilakukan dengan mengubah
bentuk pembagian menjadi bentuk perkalian dengan cara mengalikan dengan
kebalikan pecahan pembagi.
𝑎
𝑏
÷
𝑐
𝑑
=
𝑎
𝑏
×
𝑑
𝑐
=
𝑎 × 𝑑
𝑏 × 𝑐
=
𝑎𝑑
𝑏𝑐
Contoh :
Hitunglah :
(
𝑎
𝑎 + 2
−
𝑎 − 2
𝑎
) ÷ (
𝑎
𝑎 + 2
+
𝑎 − 2
𝑎
) =
Penyelesaian :

7. a. (
𝑎
𝑎+2
−
𝑎−2
𝑎
) ÷ (
𝑎
𝑎+2
+
𝑎−2
𝑎
) = (
𝑎( 𝑎)−(𝑎−2)(𝑎+2)
𝑎(𝑎+2)
) ÷ (
𝑎( 𝑎)+(𝑎−2)(𝑎+2)
𝑎(𝑎+2)
)
= (
𝑎( 𝑎)−(𝑎−2)(𝑎+2)
𝑎(𝑎+2)
) × (
𝑎(𝑎+2)
𝑎( 𝑎)+(𝑎−2)(𝑎+2)
)
= (
𝑎2
− (𝑎2
− 4)
𝑎(𝑎 + 2)
) × (
𝑎(𝑎 + 2)
𝑎2 + (𝑎2 − 4)
)
= (
𝑎2
− 𝑎2
+ 4
𝑎(𝑎 + 2)
) × (
𝑎(𝑎 + 2)
𝑎2 + 𝑎2 − 4
)
= (
4
𝑎(𝑎 + 2)
) × (
𝑎(𝑎 + 2)
2𝑎2 − 4
)
=
4
2(𝑎2 − 2)
=
2
(𝑎2 − 2)
V. Menceraikan Pecahan kedalam Pecahan Bagian
Telah kita ketahui bahwa, hasil jumlah dua atau beberapa buah pecahan
pada umumnya berupa pecahan pula. Sekarang kita hendak memeriksa, adakah
hasil jumlah itu dapat diuraikan lagi kedalam suku-sukunya. Pengerjaan ini di
sebut menceraikan pecahan kedalam pecahan bagian.
Penjumlahan beberapa buah pecahan aljabar menghasilkan suatu pecahan
jumlah, yang penyebutnya berupa KPK penyebut suku-suku yang di jumlahkan.
Maka jika suatu pecahan aljabar hendak diuraikan kedalam suku-suku asalnya,
mestilah penyebut pecahan itu diuraikan dahulu kedalam factor. Pangkat penyebut
pecahan yang akan diceraikan ituboleh dipandang sekurang-kurangnya satu lebih
tinggi daripada pangkat pembilang; bila tidak demikian halnya, pecahan boleh
dijabar dahulu menjadi bentuk tercampur, contohnya :
𝑥3
− 5
𝑥2 − 3𝑥 + 2
≡ 𝑥 + 3 +
7𝑥 − 11
𝑥2 − 3𝑥 + 2
yang harus diceraikan menjadi pecahan bagian,

8. yaitu bentuk
7𝑥−11
𝑥2−3𝑥+2
. Mula-mula diuraikan penyebutnya : 𝑥2
− 3𝑥 + 2 ≡
(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) sesudah itu diumpamakan :
7𝑥−11
𝑥2−3𝑥+2
≡
𝐴
(𝑥−1)
+
𝐵
(𝑥−2)
. . . . . . .(I)
Kedua pembilang didalam ruas yang kedua itu harus berupa
pangkat x yang ke-nol, sebab jika umpamanya ia berpangkat satu atau lebih
dalam x, mestilah pecahan dalam ruas kedua itu dapat diceraikan kedalam bentuk
tercampur, sedang hasil jumlah bentuk-bentuk bulat itumenurut suatu sifat yang
telah dibicarakan terdahulu harus identik dengan nol. Hal itu disebabkan, oleh
karena ruas pertama berupa pecahan sebenarnya.
Selanjutnya (I) itu memperlihatkan, bahwa A dan B melukiskan bilangan
yang demikian, sehingga dipenuhi :
7𝑥 − 11 ≡ 𝐴( 𝑥 − 2) + 𝐵(𝑥 − 1)
Artinya, untuk setiap harga yang diberikan kepada x, ruas pertama harus sama
dengan ruas kedua. Karena ruas-ruas itu hanyalah berupa pangkat kesatu dalam x,
jika kita mengusahan, agar ia sama untuk dua buah harga xyang berlainan; maka
berturut-turut diambil 𝑥 = 1 dan 𝑥 = 2 sehingga 𝐴 = 4 dan 𝐵 = 3, sehingga
𝑥3−5
𝑥2−3𝑥+2
≡ 𝑥 + 3 +
4
(𝑥−1)
+
3
(𝑥−2)
Ceraikan pecahan berikut ke dalam pecahan bagian :
5𝑥 + 1
𝑥2 − 𝑥 − 12
Penyelesaian :
5𝑥 + 1
𝑥2 − 𝑥 − 12
=
𝐴
(𝑥 − 4)
+
𝐵
(𝑥 + 3)

9. Samakan antara ruas kiri dan ruas kanan sebagai berikut :
5𝑥 + 1
𝑥2 − 𝑥 − 12
=
𝐴(𝑥 + 3)
(𝑥 − 4)(𝑥 + 3)
+
𝐵(𝑥 − 4)
(𝑥 − 4)(𝑥 + 3)
Maka dari persamaan diatas , dapat dibuat suatu identitas sebagai berikut :
5𝑥 + 1 = 𝐴( 𝑥 + 3) + 𝐵(𝑥 − 4)
Langkah selanjutnya yaitu substitusikan 𝑥 = −3 ke dalam identitas tersebut ,
diperoleh
5(−3) + 1 = 𝐴((−3) + 3) + 𝐵((−3)− 4)
−14 = 𝐴(0)+ 𝐵(−7)
−14 = 𝐵(−7)
𝐵 = 2
Kemudian subsitusikan 𝑥 = 4 ke dalam identitas tersebut, diperoleh :
5(4) + 1 = 𝐴((4) + 3) + 𝐵((4)− 4)
21 = 𝐴(7)+ 𝐵(0)
21 = 𝐴(7)
𝐴 = 3
Sehingga pecahan tersebut dapat disajikan sebagai berikut :
5𝑥 + 1
𝑥2 − 𝑥 − 12
=
3
(𝑥 − 4)
+
2
(𝑥 + 3)

10. Latihan Soal dan Kunci Jawaban
1. 1 − 𝑥 − 𝑥2
−
1
1+𝑥
Jawaban :
𝑥3
1+𝑥
2.
𝑥2 −1
(1+𝑎𝑥)2 −(𝑥+𝑎)2
Jawaban :
1
𝑎2 −1
3.
𝑎2
(𝑎2−𝑏2)(𝑎2−𝑐2)
+
𝑏2
(𝑏2−𝑐2)(𝑏2−𝑎2)
+
𝑐2
(𝑐2−𝑎2)(𝑐2−𝑏2)
Jawaban : 0
4.
1
𝑥−3
−
3
𝑥2−4𝑥+3
+
1
( 𝑥−1)(𝑥2−5𝑥+6)
Jawaban:
𝑥2
−8𝑥+13
( 𝑥−1)( 𝑥−3) (𝑥−2)
5.
𝑥2−𝑦3
𝑥4−𝑦4
−
𝑥−𝑦
𝑥2−𝑦2
−
1
2
{
𝑥+𝑦
𝑥2−𝑦3
−
1
𝑥+𝑦
}
Jawaban :
−𝑥3
+𝑥2
𝑥4−𝑦4
6.
(−36𝑎𝑏𝑐𝑑)2 (−𝑎2 𝑏3)
(−36𝑎𝑏2 𝑐𝑑)3

11. Jawaban :
48𝑎
𝑏𝑐𝑑
7.
𝑥 − 𝑥3
𝑎𝑥3 + 𝑎𝑥2
÷
𝑎𝑥2 + 3𝑎𝑥 − 4𝑎
4𝑎2 𝑥 + 𝑎2 𝑥2
Jawaban:− 𝑥
8.
𝑚2 − 6𝑚𝑛 + 9𝑛2
𝑚2 − 4𝑚𝑛 + 4𝑛2
÷ (
𝑚2 − 9𝑛2
4𝑛2 − 𝑚2
×
𝑚2 − 𝑚𝑛 − 6𝑛2
𝑚2 + 𝑚𝑛 − 6𝑛2
)
Jawaban: − 1
9.
3𝑥2+ 𝑥 + 1
𝑥3+ 𝑥2+ 4𝑥 + 4
Jawaban:
−5
3(𝑥−1)
+
15
4(𝑥−2)
+
21
12(𝑥+2)
10.
4𝑥2+ 𝑥 + 4
( 𝑥−1) (𝑥+2)2
Jawaban:
1
(𝑥−1)
−
6
(𝑥+2)2 +
3
(𝑥+2)

12. A. Referensi
Kuipers, L dan Rawuh. 1968. Aldjabar Rendah Djilid 1. Djakarta : Pradnja
Paramita.
Noname. 2000. Bahan Ajar Matematika Tingkat 1 ATMI [Pdf]. Diakses tanggal
13
Mei2015.<https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=
web&cd=3&ved=0CCgQFjAC&url=https%3A%2F%2Fmaterikuliah.goog
lecode.com%2Ffiles%2FMatematika%2520%2520Dasar%2520Aljabar.pd
f&ei=Q9RVe70FoHHuASmhYH4CQ&usg=AFQjCNFrgpl_DiXBreDlUc
NVtiFzNrZikQ&sig2=o2n8vv2q1i4QZ3M6xKDpvQ&bvm=bv.92885102,
d.c2E&cad=rja>
Nuharini, Dewi. Triwahyuni. 2008. Matematika Konsep dan Aplikasinya: untuk
SMP/Mts Kelas VIII. [e-book] . Diakses tanggal 20 januari 2015.
<http://matematika100.blogspot.com/2012/05/download-bse-matematika-
smp-kelas-7_18.html>