Geometri adalah cabang matematik yang mengkaji saiz, bentuk, dan kedudukan relatif objek ruang. Teselasi merupakan corak yang meliputi permukaan sepenuhnya tanpa jurang atau pertindihan menggunakan bentuk asas yang sama. Teselasi telah digunakan sejak zaman purba dalam seni bina dan seni, dan merupakan konsep penting dalam matematik dan kristalografi.

1. 1.0 Pengenalan
Geometri adalah sebahagian daripada matematik yang mengambil berat persoalan
mengenai saiz, bentuk dan kedudukan relatif dari rajah dan sifat ruang. Geometri ialah
salah satu dari sains yang tertua. Pada mulanya ia hanyalah sebahagian jasad dari
pengetahuan praktikal yang mengambil berat jarak, luas dan isipadu tetapi pada abad
ketiga S.M, Geometri telah diletakkan di dalam bentuk aksiom oleh Euclid membentuk
Geometri Euclid, yang hasilnya menetapkan piawai untuk beberapa abad berikutnya.
Secara umumnya, geometri merupakan salah satu daripada cabang matematik yang
berhubung kait tentang ciri-ciri ruang, termasuklah titik, garisan, lengkungan, satah dan
permukaan ruang serta bentuk-bentuk polygon.
2.0 Definisi Teselasi
Kata teselasi berasal dari kata bahasa Inggeris iaitu Tesselation.Namun menurut
MathForum, kata tessellate berasal dari bahasa Yunani,Tesseres yang dalam bahasa
Inggeris ertinya adalah “empat”. Secara mudahnya,ia boleh diertikan sebagai corak yang
mencakupi permukaan satah dengan memasang bersama-sama dari bentuk asas yang
sama yang telah diciptakan oleh Alam dan bentuk. Contoh-contoh susunan dari corak
heksagonal mudah seperti sarang madu lebah,jubin rumah,dan sebagainya.
Dalam terminologi geometri,teselasi adalah satu bentuk pola yang meliputi sesuatu
permukaan sepenuhnya, dengan tiada ruang di antara bentuk dan tanpa sebarang
pertindihan bentuk digunakan. Contoh teselasi yang paling asas termasuklah jubin rumah.
Bentuk-bentuk teselasi yang lebih menarik termasuklah teselasi Islam berbentuk bintang.
Corak ini biasanya berulang. Teselasi merupakan konsep matematik yang digunakan oleh
guru-guru misalnya untuk pelajaran seni dan matematik.
Dalam pembelajaran matematik, teselasi dapat digunakan untuk membantu para pelajar
mempelajari konsep-konsep matematik secara lebih mendalam misalnya polygon,regular
polygon, non-regular/irregular polygon, kongruen, sudut dalam, jumlah sudut dalam dari
segibanyak yang saling bertemu pada titik sudut (vertex) tesselasi, translasi, refleksi, dan
pusingan.Tesselasi adalah suatu konsep matematik yang digunakan oleh guru-guru
misalnya untuk pelajaran seni dan matematik.
1

2. 2.1 Teselasi Menurut Wikipedia
Tessellation adalah proses mewujudkan satah dua dimensi menggunakan pengulangan
bentuk geometri dengan tidak bertindih dan tiada jurang . Generalisasi kepada dimensi yang
lebih tinggi juga mungkin. Tessellations sering muncul dalam seni MC Escher, yang
mendapat ilham ketika mengkaji penggunaan Moor simetri dalam jubin Alhambra semasa
lawatan beliau ke sana pada tahun 1922. Tessellations boleh dilihat sepanjang sejarah seni,
seni bina purba seni moden.
3.0 Sejarah Awal Teselasi
Teselasi telah wujud selama berabad tahun lamanya. Ia masih digunakan sehingga ke
hari ini. Menurut artikel “History of Tesellation” (2011), pada tahun 1619, Joannes Kepler
telah menjalankan satu kajian pertama teselasi yang telah didokumentasikan. Beliau
menulis tentang „regular dan semiregular yang merupakan penutup satah dengan poligon
sekata.. Teselasi di mana bentuk-bentuk ini telah di kenalpasti sebagai rangka pesawat
dalam bentuk poligon. Kajian E.S Federov pada tahun 1891 membuktikan bahawa setiap
sudut pesawat itu dibina berasaskan satu daripada tujuh belas bentuk isometri yang
berbeza. Secara tidak langsung, kajian Federov telah memperkenalkan kajian teselasi
dalam matematik.
Terdapat juga beberapa ahli matematik lain yang melakukan kajian terhadap tajuk
teselasi ini. Antaranya ialah Shubnokov dan Belov (1951), dan Heinrich Heeschdan Klienzie
(1963) Pelukis Belanda, MC Escher adalah penyumbang yang paling terkenal. Beliau
merupakan seorang yang amat dihormati oleh ahli matematik serta ahli sains yang
lain.Beliau tidak mempunyai latihan formal dalam bidang sains dan matematik. MC Ester
paling
terkenal
untuk
struktur
beliau
yang
dipanggil
„Ascending
and
Descending‟ ,„Relativity‟ , Transformation Prints seperti Metamorphosis I,Metamorphosis
II,Metamorphosis III, Sky & Water dan Reptiles.
Kira-kira 200 tahun kemudian pada tahun 1891, crystallographer Rusia Yevgraf
Fyodorov membuktikan bahawa setiap jubin yang dipasang berkala mempunyai salah satu
daripada 17 kumpulan yang berbeza daripada isometries. Kerja fyodorov menandakan
permulaan tidak rasmi kajian matematik tessellations. Penyumbang terkemuka yang lain
termasuk Shubnikov dan Belov (1951); dan Heinrich Heesch dan Otto Kienzle (1963).
2

3. Sejarah awal tessellations bermula sejak tamadun awal orang Greek. Perkataan asalnya
datang daripada perkataan Yunani "tesseres" yang bermaksud "empat" dalam Bahasa
Inggeris. Orang Yunani yang sebenarnya menggunakan jubin Sisi empat kecil sebagai
tanda dalam permainan mereka. Jubin ini kemudian telah diambil dan digunakan untuk
membuat gambar mozek pada dinding, lantai dan siling. Tessellation berasal daripada
penggunaan dalam seni. Dari Bahasa Yunani Kuno, Tessera atau Tessella ialah dadu kecil
keping batu yang digunakan dalam mosaik. Oleh itu, kamus mencadangkan, tessellations
yang asal adalah mozek. Tessellations pertama kali digunakan dalam bentuk mosaic kirakira 3000 SM di Mesopotamia Purba. Tessellation dalam mosaik adalah berkaitan dengan
struktur sebenar susunan kepingan kecil batu atau jubin, yang tessellation tetap.
Ramai menggunakan mosik bukan sahaja dalam corak seni tetapi juga bangunan,
pakaian, alatan rumah, perhiasan dan sebagainya. Umat Islam juga menggunakan jubin
untuk menghiasi bangunan-bangunan mereka, kerana agama mereka melarang mereka
dari menggunakan gambar-gambar orang atau benda-benda hidup dalam menghias rumah
dan bangunan mereka. Jubin yang terbaik dipercayai boleh didapati di Istana Alhambra di
Granada di selatan Sepanyol.Kerana paparan ini indah di istana di Granada, MC Escher,
pakar grafik Belanda atau seniman yang tidak pernah secara rasmi dilatih dalam bidang
matematik, menjadi terpesona dalam seni jubin ini. Beliau tidak pernah lulus dari sekolah
tinggi. Karya pertama seninya bermula pada awal tahun 1920-an, tetapi dalam kerja-kerja
mengecat dan kayu dan. Beliau pertama kalinya berminat dalam seni jubin semasa melawat
Istana Alhambra di Granada. Dia melihat contoh gaya hiasan Arab. Idea-idea ini
mencetuskan imaginasi, tetapi terletak tidak aktif di dalam fikirannya untuk 13 tahun akan
datang. Beliau kembali semula Istana dan sekali lagi mengkaji mengenai jubin ini. Pada titik
ini dalam hidupnya, Escher mendapati bahagian selatan Itali menjadi tempat yang paling
memberi inspirasi kerana peperangan yang berlaku disekeliling beliau, beliau berpaling
minat kepada teselasi. Pada tahun 1937, Escher menunjukkan beberapa karya beliau
kepada saudaranya, yang merupakan seorang profesor geologi. Dia kagum dengan potensi
kerja- kerja ini untuk kristalografi. Pada tahun 1938, Escher terus mencuba dengan
pengisian teknik, bentuk dan transformasi. Dia terus bekerja dengan perubahan,
transformasi, dan lain-lain teknik-pengisian pesawat. 1959 terbukti adalah tahun yang
menarik untuk Escher. Dr. MacGillavry mengaturkan untuk beliau untuk memberi satu
seminar tentang simetri pada perhimpunan antarabangsa crystallographers. Matematik dan
kristalografi yang dibentangkan dalam aspek kerja-kerja Escher dan jubin menjadi popular.
3

4. Beliau menjadi popular di dunia seni pada tahun 1975 di konvensyen Persatuan Origami
British di mana karya-karya beliau telah mula diiktiraf sebagai bentuk seni. Ahli matematik,
saintis, dan crystallographers semua menghargai kerjakerja yang dilakukan, dan beberapa
cetakan telah digunakan untuk mengkajipersepsi visual dalam bidang-bidang seperti fizik,
geologi, kimia, dan psikologi. Ahli matematik cenderung untuk menjadi sangat berminat
dalam tessellations kerana hubungan mereka kepada simetri angka, bahagian sudut,
putaran objek, dan lain-lain konsep geometri pelbagai. Dengan maklumat yang didapati dari
Escher , maka itulah dia digelar bapa tessellations. Pada masa ini, kita dapat melihat
tessellations dalam pelbagai bentuk: dalam bidang seni bina, alam semula jadi, sejarah
sosial, seperti membuat selimut, dan menghias, hanya untuk menamakan beberapa
perkara.
4.0 Teselasi Dalam Matematik
Teselasi, atau memasang jubin, menutupi satah oleh bentuk tertutup, dipanggil jubin,
tanpa jurang atau bertindih. Teselasi mempunyai banyak contoh-contoh nyata dunia dan
berhubungkait antara matematik dan seni. Contoh-contoh mudah teselasi ialah lantai
berjubin, kerja bata, dan tekstil. Artis sangat berminat dalam jubin kerana simetri dan replika
corak mudah. Ahli matematik berminat untuk belajar bagaimana jubin boleh meliputi satah,
lain-lain permukaan dan ruang. Mereka mahu tahu jika dan bagaimana jubin boleh meliputi
satah, bagaimana jubin dikelilingi oleh jubin lain,dan jika tompokan memasang jubin boleh
dilanjutkan untuk meliputi seluruh ruang. M.C. Escher mempunyai minat yang kukuh dalam
matematik. Dia belajar matematik topik sebagai satu cara untuk merealisasikan visi artistik
beliau. Topik-topik tertentu yang dikaji oleh Escher adalah bahagian satah, kumpulan simetri
17 dan ruang topologi. Escher juga rakan kepada ahli matematik terkenal abad ke-20,
Roger Penrose dan HSM Coxeter. Selepas saling berutus surat dengan Coxeter tentang
tilings dalam satah yang hiperbolik, Escher mendapat inspirasi untuk mewujudkan Circle
Limit I. Escher berminat dalam "corak dengan 'motif' kecil dan semakin kecil sehingga
mereka sampai ke tahap menghadkan kekecilan tidak terhingga. "Tilings satah yang
hiperbolik dalam model cakera Poincar'e yang adalah alat yang Escher gunakan untuk
mewujudkan imej yang lenyap ke infiniti.
Sejak akhir 1950-an apabila Escher mula menghasilkan cetakan Circle Limit, ahli
matematik dan saintis komputer terus mengkaji tessellations hiperbolik. Teknologi telah
bertambah baik dari hari ke hari. Gabungan matematik, pemikiran kreatif dan teknologi
4

5. komputer yang datang bersama-sama dalam kajian tessellations dan geometri hari ini
menghasilkan karya seni dalam Matematik yang amat menakjubkan. Tiada algoritma yang
boleh menentukan dengan tepat bagaimana jubin boleh direka atau bagaimana polyhedra
boleh mengisi ruang. "Penggunaan 'komputer visual' menimbulkan cabaran-cabaran baru
untuk ahli matematik - pada masa yang sama, grafik komputer pada masa akan datang
mungkin bersatu bahasa antara seni dan sains.
5.0 Jenis-Jenis Teselasi
Teselasi terbahagi kepada beberapa jenis. Teselasi dapat dibahagikan kepada 3 jenis
utama iaitu;
a)
b)
c)
d)
e)
Teselasi sekata
Teselasi separuh-sekata
Teselasi tidak sekata
Teselasi ringkas
Teselasi kompleks
5.1 Teselasi Sekata
Teselasi sekata merupakan sepenuhnya daripada poligon sekata kongruen semua
pertemuan bucu bertemu bucu. Hanya terdapat tiga teselasi sekata yang menggunakan
segitiga sama sisi, segi empat tepat dan segi enam. Berikut yang menggunakan segi tiga
dan segi enam.
a. Segitiga Sama Sisi
b. Segi Empat Tepat
c. Segi Enam.
Rajah di atas merupakan contoh kepada segi tiga sama sisi dan segi enam.
5

6. 5.2 Teselasi Separuh Sekata
Teselasi separuh sekata merupakan teselasi yang dicipta dengan dua atau lebih jenis
polygon sekata yang dipasangkan bersama-sama sedemikian rupa supaya polygon yang sama
dalam susunan kitaran yang sama mengelilingi setiap bucu. Terdapat lapan teselasi separasekata yang merangkumi pelbagai kombinasi segi tiga sama sisi, segi empat sama sisi, segi
enam, octagons dan dodecagons.
5.3 Teselasi Tidak Sekata
Teselasi tidak sekata merupakan teselasi yang tidak ada halangan dalam susunan polygon
di sekeliling . Terdapat nombor infiniti di dalam teselasi. Tesalasi boleh direka dengan
mempersembahkan satu atau lebih operasi asas, translasi, putaran dan pantulan pada
polyiamond (gabungan segitiga sama sisi). Contoh di bawah yang melibatkan translasi, putaran
dan pantulan.
Translasi ialah pergerakan polyiamond di sepanjang satah. Operasi translasi boleh
diaplikasikan kepada semua polyiamond.
6

7. Putaran ini memutarkan polyiamond di atas satah.Operasi putaran boleh diaplikasikan
kepada semua polyiamond yang mana tidak mempunyai simetri bulat, contohnya
hexiamond isi enam, yang mana tidak berubah.
Pantulan merupakan dimana ia memantulkan polyiamond di atas satah, seperti yang
terdapat pada cermin.
5.4 Teselasi ringkas
Teselasi ringkas merupakan dimana operasi translasi digunakan.
5.5 Teselasi kompleks
Teselasi kompleks merupakan dimana ia menggunakan satu atau lebih putaran dan
pantulan yang digunakan bersama-sma translasi. Satu atau lebih polyiamond boleh
digabungkan untuk membentuk rajah yang boleh menteseslasikan satah menggunakan
hanya operasi translasi.. Rajah ini akan dipanggil unit sel. Satu unit sel yang biasa boleh
diisi dengan beberapa polyiamond yang berlainan. Gardner menerangkan bagaimana lima
pasang heptiamond boleh digunakan untuk mengisi unit sel corak teselasi yang sama. Anda
akan berupaya untuk mencari contoh lain di dalam ilustrasi-ilustrasinya kemudian. Di bawah
merupakan contohnya.
Teselasi boleh dinyatakan dengan mudah apabila ia mengikut bagaimana unit sel
mengandungi satu atau lebih polyiamond yang disusun.. Jika unit sel disusun seperti corak
sekata yang berulang-ulang atau corak rambang , teselasi disebut periodic. Jika susunan
menghasilkan corak yang tidak sekata atau rambang , teselasi disebut aperiodic. Susunan
lain yang menghasilkan teselasi dengan pusat simetri bulat adalah disebut radial – seperti
teselasi, dengan pengecualian kes-kes istimewa , adalah kompleks dan akan meliputi dua
per tiga atau enam unit sel yang salah satunya mengandungi nombor polyiamond yang
tidak terbatas. Kesemua teselasi yang sekata termasuk dalam tujuh belas set simetri yang
7

8. berlainan kumpulan yang mana menguras semua cara yang coraknya boleh diulang tanpa
had dalam dua dimensi. Operasi putaran dan pantulan mesti digunakan untuk menyediakan
keseimbangan unit sel untuk teselasi.
5.5 Teselasi yang lain
Terdapat banyak corak tesalasi dalam dunia yang sebenar. Kita telah belajar tesalasi
yang berbentuk poligon yang berulang-ulang tanpa mempunyai ruang atau seksyen yang
bertindih. Contohnya sisik pada ikan, cengkerang kura-kura, ataupun kulit nanas. Dalam
pembinaan guna, terdapat pelbagai corak teselasi yang digunakan. Corak ini terdapat
dalam susunan batu dan mozek yang terdapat bangunan. Pembinaan bangunan yang
menggunakan teselasi seperti Masjid Biru dan Haiga Sophia di Istanbul, Turki dan
Westminster Abbey di London, England.
Masjid Biru, Turki
5.6 Teselasi dalam kehidupan seharian.
Dalam kehidupan seharian kita, terdapat pelbagai corak teselasi yang dapat kita lihat.
Corak-corak teselasi ini mempunyai corak yang menarik. Berikut merupakan contoh teselasi
dalam kehidupan seharian kita.
1. Kulit ular sawa
8

9. 2. Buah nenas
3. Sarang lebah
4. Sisik ikan
5. Lantai karpet
9

10. 6.0 Kesimpulan
Kesimpulannya, teselasi merupakan sebahagian daripada kehidupan manusia, teselasi
telah banyak memberikan sumbangan kepada manusia sejak zaman berzaman lagi
terutamanya dalam pembinaan. Teselasi merupakan gabungan corak geometri yang terdiri
daripada segi empat, segi tiga, bulat dan banyak lagi. Ciptaan teselasi yang dihasilkan oleh
tokoh-tokoh matematik banyak memberikan ihlam kepada wujudnya corak teselasi yang ada
pada masa sekarang.
10

11. 7.0 Rujukan
Man Ah Keow, (2013) . Literasi Nombor. Kuala Lumpur : Bs Print (M) Sdn. Bhd
Douglas H. Clements and Julie Sarama. ( 2009 ) . Learning And Teaching Early
Math ( The Learning Trajectories Approach ). New York : Routledge
Taylor and Francis Group.
Margaret Sangster and Rona Catterall, ( 2009 ). Early Numeracy ( Mathematical
Activities For 3 And 5 Year Old ). New York : CPI Antony Rowe,
Chippenham, Wiltshire.
Rujukan
Teselasi
diambil
pada
01
September
dari
laman
web
September
dari
laman
web
September
dari
laman
web
http://www.mathsisfun.com/geometry/tessellation.html
Rujukan
Teselasi
diambil
pada
03
http://www.coolmath4kids.com/tesspag1.html
Rujukan
Teselasi
diambil
pada
04
http://mathworld.wolfram.com/Tessellation.html
11