Download luận văn thạc sĩ ngành giáo dục học với đề tài: Phát triển năng lực liên tưởng cho học sinh Trung học cơ sở trong dạy học toán, cho các bạn làm luận văn tham khảo 50000354

1. i
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
VÕ THỊ MỸ LỆ
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC LIÊN TƢỞNG
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ
TRONG DẠY HỌC TOÁN
Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60140111
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ THỊ HƢƠNG
HUẾ, NĂM 2016

2. ii
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi,
các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung
thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng
được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.
Tác giả
Võ Thị Mỹ Lệ

3. iii
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn såu sắc đến TS. Lê Thị
Hương, người đã tận tình hướng dẫn, hết lòng giúp đỡ tôi
hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin chån thành câm ơn:
- Phòng Đäo täo Sau đäi học, trường ĐHSP Huế đã täo
điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập täi trường;
- Khoa Toán, trường ĐHSP Huế;
- Quý thæy, cô đã tham gia giâng däy lớp Cao học khóa
XXIII chuyên ngành Lý luận và phương pháp däy học
môn Toán, những người đã mang đến cho tôi những kiến
thức vô cùng quý báu và bổ ích cho công việc của tôi sau này;
- Ban giám hiệu và các thæy cô giáo trường THCS
Nguyễn Du, trường THCS Triệu Long, trường THCS Hâi
Thượng đã täo điều kiện thuận lợi cho tôi khi khâo sát và
thực nghiệm sư phäm täi trường;
Cuối cùng tôi xin trân trọng câm ơn gia đình, bän bè đã
quan tåm, động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong
nhận được sự hướng dẫn, góp ý của quý thæy cô và bän đọc.
Huế, tháng 10 năm 2016
Võ Thị Mỹ Lệ

4. 1
MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa .................................................................................................. i
Lời cam đoan .................................................................................................. ii
Lời cảm ơn ...................................................................................................... iii
MỤC LỤC ..................................................................................................... 1
DANH MỤC CÁC MÔ HÌNH VÀ BIỂU BẢNG....................................... 3
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT .......................................................... 4
MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 5
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN ....................................................................... 11
1.1. Một số quan niệm về năng lực, năng lực toán học .............................. 11
1.1.1. Một số quan niệm về năng lực ....................................................... 11
1.1.2. Một số quan niệm về năng lực toán học ......................................... 13
1.1.3. Một số nhận xét được rút ra từ việc nghiên cứu các quan điểm trên của
các tác giả ....................................................................................................... 18
1.2. Năng lực liên tưởng ............................................................................. 20
1.2.1. Liên tưởng ...................................................................................... 20
1.2.2. Năng lực liên tưởng ........................................................................ 23
1.2.3. Các thành tố của năng lực liên tưởng ............................................. 24
1.2.4. Các mức độ biểu hiện của năng lực liên tưởng .............................. 33
1.3. Kết luận chương 1 ............................................................................... 35
Chƣơng 2. THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU ......................................................... 36
2.1. Ngữ cảnh và mục tiêu .......................................................................... 36
2.1.1. Ngữ cảnh ........................................................................................ 36

5. 2
2.1.2. Mục tiêu ......................................................................................... 36
2.2. Phương pháp nghiên cứu .................................................................... 36
2.3. Công cụ nghiên cứu ............................................................................ 37
2.4. Quy trình thu thập, phân tích dữ liệu và kết quả thực nghiệm sư phạm 37
2.5. Kết luận chương 2 ............................................................................... 38
Chƣơng 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU .......................................................... 39
3.1. Kết quả trả lời phiếu khảo sát thăm dò ý kiến giáo viên và học sinh ... 40
3.2. Một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực liên tưởng cho HS
THCS trong dạy học toán ................................................................................ 43
3.2.1. Định hướng sư phạm của việc đề ra các biện pháp ........................ 43
3.2.2 Một số biện pháp nhằm góp phần phát triển năng lực liên tưởng cho HS
THCS trong dạy học toán ............................................................................... 43
3.3. Kết quả thực nghiệm ........................................................................... 68
3.3.1. Phân tích định tính ......................................................................... 69
3.3.2. Phân tích định lượng ...................................................................... 70
3.4. Kết luận chương 3 ............................................................................... 77
Chƣơng 4. LÝ GIẢI VÀ KẾT LUẬN ........................................................... 78
4.1. Trả lời câu hỏi nghiên cứu................................................................... 79
4.2. Kết luận................................................................................................ 79
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 81
PHỤ LỤC

6. 3
DANH MỤC CÁC MÔ HÌNH VÀ BIỂU BẢNG
1. Các mô hình
Mô hình 1.1. Sơ đồ các giai đoạn của quá trình tư duy theo K. K. Plantônôv 22
Mô hình 3.1. Sơ đồ hệ thống hóa kiến thức về tứ giác..................................... 55
Mô hình 3.2. Bản đồ tư duy dạy bài tổng kết chương II, đại số 8................... 56
2. Các biểu bảng
Bảng 3.1. Kết quả khảo sát NLLT của HS trường THCS................................ 42
Bảng 3.2. Thống kê các điểm số của bài kiểm tra............................................ 70
Bảng 3.3. Biểu đồ phân phối tần suất của hai nhóm lớp 9............................... 71
Bảng 3.4. Biểu đồ phân phối tần suất của hai nhóm lớp 8.............................. 72
Bảng 3.5. Đồ thị phân phối tần suất của hai nhóm lớp 9................................. 72
Bảng 3.6. Đồ thị phân phối tấn suất của hai nhóm lớp 8................................. 73
Bảng 3.7. Bảng phân loại theo học lực............................................................ 73
Bảng 3.8. Biểu đồ phân loại học lực của hai nhóm lớp 9................................ 74
Bảng 3.9. Biểu đồ phân loại học lực của hai nhóm lớp 8................................ 74
Bảng 3.10. Bảng tổng hợp các tham số............................................................. 75

7. 4
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
Viết tắt Viết đầy đủ
BĐTT : Biến đổi thông tin
ĐC : Đối chứng
GV : Giáo viên
HS : Học sinh
NL : Năng lực
NLLT : Năng lực liên tưởng
NLTH : Năng lực toán học
Nxb : Nhà xuất bản
PPDH : Phương pháp dạy học
SGK : Sách giáo khoa
SBT : Sách bài tập
TB : Trung bình
THCS : Trung học cơ sở
THPT : Trung học phổ thông
TL : Tỷ lệ
TN : Thực nghiệm

8. 5
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài :
Cuộc cách mạng khoa học công nghệ đã và đang tiếp tục phát triển với những
bước tiến nhảy vọt trong thế kỷ 21, đưa thế giới chuyển từ kỷ nguyên công nghiệp
hóa sang kỷ nguyên thông tin và phát triển kinh tế tri thức. Trong bối cảnh đó, xã
hội rất cần những công dân có năng lực hành động, tính năng động, sáng tạo, tính tự
lực và trách nhiệm cũng như năng lực cộng tác làm việc, năng lực giải quyết các
vấn đề phức hợp.
Sự phát triển của đất nước trong giai đoạn mới sẽ tạo ra nhiều cơ hội và thuận
lợi to lớn, đồng thời cũng đặt ra những thách thức đối với sự nghiệp phát triển giáo
dục. Chính vì vậy, trước những yêu cầu đó, đòi hỏi sự nghiệp giáo dục và đào tạo
phải có những chiến lược phát triển mới, có nhiều giải pháp đổi mới mạnh mẽ, toàn
diện hơn và điều đó cần phải được bắt đầu từ giáo dục phổ thông. Tập trung thực
hiện đồng bộ ở nhiều lĩnh vực trong đó việc đổi mới nội dung dạy học cần phải theo
định hướng thực hiện đổi mới chương trình và sách giáo khoa từ sau năm 2015 theo
hướng phát triển phẩm chất, năng lực học sinh. Ngoài ra, phương pháp giáo dục
phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học.
Môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo
dục phổ thông. Cùng với việc tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo những tri thức và
rèn luyện kỹ năng cần thiết, môn Toán góp phần quan trọng trong việc phát triển
năng lực trí tuệ chung. Do đó, hình thành và phát triển năng lực cho học sinh nói
chung và năng lực học tập toán nói riêng đang là xu thế, là mục tiêu quan trọng, là
yêu cầu có tính cấp thiết đối với hoạt động dạy và học ở các trường phổ thông trên
thế giới cũng như nước ta. Trong những năng lực đó có năng lực liên tưởng.
Việc đổi mới phương pháp dạy học toán ở nước ta hiện nay đã có những
chuyển biến tích cực. Giáo viên quan tâm nhiều hơn đến việc phát triển các năng
lực thông qua các tiết dạy, giáo viên thiết kế các tình huống và tổ chức nhiều hoạt
động giảng dạy để học sinh tham gia…Những đổi mới đó nhằm tạo ra môi trường
học tập mà trong đó học sinh được hoạt động nhận thức nhiều hơn, có cơ hội để

9. 6
khám phá và kiến tạo tri thức nhiều hơn, qua đó giúp học sinh có điều kiện tốt hơn
để lĩnh hội bài học và phát triển tư duy. Tuy nhiên, thực tế một số giáo viên vẫn còn
gặp nhiều khó khăn, hạn chế trong việc áp dụng phương pháp đổi mới này như :
chưa hiểu được bản chất của việc đổi mới phương pháp dạy học, đó là “đổi mới
hình thức hoạt động nhận thức của người học”; trong các tiết dạy nói chung và tiết
bài tập nói riêng giáo viên chưa thật chú ý đến việc phát triển năng lực toán học cho
học sinh, đôi khi ít quan tâm phân tích, định hướng để học sinh phát hiện vấn đề cần
giải quyết. Bên cạnh đó, đối với học sinh khả năng liên tưởng các vấn đề, các kiến
thức để kết nối các thông tin và huy động kiến thức để giải quyết bài toán vẫn còn
gặp những trở ngại và hạn chế nhất định.
Đã có nhiều tác giả trong nước, ngoài nước quan tâm và có những công trình
nghiên cứu các năng lực nói chung, năng lực dạy học môn toán nói riêng cũng như
nghiên cứu việc rèn luyện, bồi dưỡng một số thành tố của các năng lực đó cho học
sinh.
Ở nước ngoài, nhà toán học người Pháp H.Poincaré là một trong những người
khởi xướng việc nghiên cứu vấn đề này trong những năm đầu thế kỷ XX. Theo
A.A.Stoliar “Dạy toán có thể xem như dạy cho học sinh hoạt động toán học, mà đi
liền với mỗi hoạt động sẽ có những năng lực tương ứng” [41]. Điều đó được kiểm
nghiệm tính đúng đắn trong thực tiễn. Với quan điểm này ta hiểu rằng: dạy toán,
học toán trong hoạt động và bằng hoạt động. Cụ thể, để dạy một nội dung toán học
nào đó, người giáo viên phải thiết kế các hoạt động tương thích với nội dung toán
học đó, để thông qua các hoạt động như vậy, học sinh lĩnh hội hàm lượng kiến thức
hàm chứa trong nội dung đó, và đồng thời hình thành các phẩm chất, năng lực cần
thiết. Đặc biệt, G. Polia đã khẳng định vai trò to lớn của bài tập toán trong việc giáo
dục nhân cách và trí tuệ học sinh, ông nhận xét, “Nhiệm vụ hàng đầu của giáo viên
toán phổ thông là phải nhấn mạnh mặt phương pháp của quá trình giải toán. Việc
dạy nghệ thuật giải toán trong các bài toán cho ta một cơ hội thuận lợi để hình thành
các tri thức nhất định của trí tuệ học sinh, đó là yếu tố quan trọng nhất của trình độ
văn hoá”[26]…

10. 7
Trong nước, Đào Tam [30] đã phân tích chỉ ra các thành tố của năng lực toán
học khác nhau khi tiếp cận với các phương pháp dạy học không truyền thống. Gần
đây nhất, tại Hội thảo quốc tế Việt Nam – Đan Mạch, khi bàn về mục tiêu môn toán
trong trường phổ thông Việt Nam, Trần Kiều và các cộng sự đã chỉ ra các năng lực
cần hình thành và phát triển cho người học qua dạy học môn toán ở trường phổ
thông Việt Nam: năng lực tư duy, năng lực thu nhận và chế biến thông tin, năng lực
giải quyết vấn đề, năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giao tiếp; năng lực sử
dụng các công cụ và phương tiện toán học; năng lực học tập độc lập và hợp tác
[19]. Như vậy, các nghiên cứu này đã tạo nên một bức tranh nhiều màu sắc về năng
lực nói chung và năng lực toán học nói riêng. Ở Việt Nam, tuy gần đây xuất hiện
nhiều công trình nghiên cứu về năng lực và phát triển năng lực trong dạy học nhưng
xem xét vấn đề phát triển năng lực liên tưởng cho học sinh trung học cơ sở trong
dạy học toán còn có phần tản mạn, chưa cụ thể, thiếu tính hệ thống, đặc biệt là phần
lý luận.
Vì những lý do trên, để đáp ứng mục tiêu giáo dục toán học ở trường trung
học cơ sở và mục tiêu giáo dục nhân cách người học sinh trong giai đoạn mới, nhằm
giúp học sinh trung học cơ sở phát huy được tính tích cực, chủ động sáng tạo trong
quá trình học tập của mình và góp phần nâng cao hiệu quả của việc dạy học toán ở
trường trung học cơ sở, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là “Phát triển năng lực
liên tưởng cho học sinh Trung học cơ sở trong dạy học toán”. Nội dung luận văn
tập trung nghiên cứu, phát triển năng lực liên tưởng cho học sinh lớp 8 và lớp 9.
2. Mục tiêu nghiên cứu :
Trên cơ sở nghiên cứu, phân tích các cơ sở lý luận để xác định các thành tố và
các mức độ biểu hiện của năng lực liên tưởng để từ đó xây dựng một số biện pháp
sư phạm nhằm phát triển năng lực liên tưởng cho học sinh trung học cơ sở trong dạy
học toán nhằm nâng cao chất lượng dạy học.
3. Câu hỏi nghiên cứu
 Mức độ biểu hiện của NL liên tưởng của HS THCS hiện nay trong dạy học
toán như thế nào ?

11. 8
 Làm thế nào để phát triển NL liên tưởng cho HS THCS trong dạy học toán ?
4. Nhiệm vụ nghiên cứu :
- Hệ thống hóa, làm rõ những vấn đề về cơ sở lý luận và thực tiễn của năng lực
liên tưởng và việc phát triển năng lực đó.
- Phân tích các thành tố của năng lực liên tưởng trong dạy học toán.
- Đề xuất các mức độ biểu hiện của năng lực liên tưởng trong dạy học toán.
- Xác định một số định hướng cơ bản làm cơ sở cho việc xây dựng và thực
hiện các biện pháp phát triển năng lực liên tưởng trong dạy học toán.
- Đề xuất các biện pháp phát triển năng lực liên tưởng cho học sinh trong dạy
học toán ở trường trung học cơ sở.
- Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi của các biện pháp sư
phạm đã đề xuất .
5. Phƣơng pháp nghiên cứu:
5.1. Nghiên cứu lý luận :
- Nghiên cứu các văn bản, tài liệu của Bộ Giáo dục và Đào tạo có liên quan
đến nhiệm vụ dạy học toán ở trường trung học cơ sở.
- Nghiên cứu các tài liệu triết học, tâm lí học, giáo dục học và lý luận dạy học
bộ môn Toán có liên quan đến luận văn .
- Phân tích chương trình, sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên toán
trường trung học cơ sở.
5.2. Nghiên cứu thực tiễn :
- Dự giờ, trao đổi, xin ý kiến giáo viên, chuyên gia, lấy ý kiến của học sinh để
khảo sát việc dạy học toán ở trường trung học cơ sở nhằm nắm được khả năng liên
tưởng của học sinh và thực trạng việc bồi dưỡng năng lực liên tưởng cho học sinh
trong dạy học toán.

12. 9
- Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét, đánh giá tính khả thi và hiệu quả
của các biện pháp sư phạm đã đề xuất.
- Xử lý định lượng các kết quả thực nghiệm, làm cơ sở để minh chứng cho
tính hiệu quả và khả thi của đề tài.
6. Những đóng góp của nghiên cứu :
*Về mặt lý luận :
- Hệ thống hóa, làm rõ những vấn đề cơ bản về cơ sở lý luận và thực tiễn của
năng lực liên tưởng và việc bồi dưỡng năng lực đó.
- Đề xuất các mức độ biểu hiện của năng lực liên tưởng trong dạy học toán.
- Xác định một số định hướng cơ bản và các biện pháp bồi dưỡng năng lực
liên tưởng cho học sinh trong quá trình dạy học toán ở trường trung học cơ sở.
*Về mặt thực tiễn :
Có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên toán, sinh viên sư phạm
ngành toán nhằm góp phần nâng cao hiệu quả của việc dạy học môn toán.
6. Cấu trúc luận văn
Luận văn được trình bày như sau:
Mở đầu
Chƣơng 1. Cơ sở lý luận
1.1. Một số quan niệm về năng lực, năng lực toán học
1.2. Năng lực liên tưởng
1.3. Kết luận chương 1
Chƣơng 2. Thiết kế nghiên cứu
2.1. Ngữ cảnh và mục tiêu
2.2. Phương pháp nghiên cứu
2.3. Công cụ nghiên cứu

13. 10
2.4. Quy trình thu thập, phân tích dữ liệu và kết quả thực nghiệm sư phạm
2.5. Kết luận chương 2
Chƣơng 3. Kết quả nghiên cứu
3.1. Kết quả trả lời phiếu khảo sát thăm dò ý kiến giáo viên và học sinh
3.2. Một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực liên tưởng cho HS
THCS trong dạy học toán
3.3. Kết quả thực nghiệm
3.4. Kết luận chương 3
Chƣơng 4. Lý giải và kết luận
4.1. Trả lời câu hỏi nghiên cứu
4.2. Kết luận
Tài liệu tham khảo
Phụ lục

14. 11
Chƣơng 1.
CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Một số quan niệm về năng lực, năng lực toán học
1.1.1. Một số quan niệm về năng lực
Một số công trình nghiên cứu về tâm lý học và giáo dục học cho thấy từ nền
tảng các khả năng ban đầu, trẻ em bước vào hoạt động. Qua quá trình hoạt động mà
dần dần hình thành cho mình những tri thức, kỹ năng, kỷ xảo cần thiết và ngày càng
phong phú, rồi từ đó nảy sinh những khả năng mới với mức độ cao hơn. Cho đến
một lúc sự phát triển bên trong đủ khả năng giải quyết những yêu cầu của hoạt động
khác thì lúc đó các em sẽ có một NL nhất định.
NL là một vấn đề trừu tượng của tâm lý học. Khái niệm này cho đến nay vẫn
có nhiều cách hiểu và diễn đạt khác nhau, dưới đây là một số quan điểm và định
nghĩa khác nhau về NL. Theo từ điển Tiếng Việt định nghĩa: “NL là phẩm chất tâm
lý tạo ra cho con người hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao”
[24]. Theo từ điển Triết học: “Năng lực hiểu theo nghĩa rộng là những đặc tính tâm
lý của cá thể điều tiết hành vi của cá thể và là điều kiện cho hoạt động sống của cá
thể. Năng lực chung nhất của cá thể là tính nhạy cảm được hoàn thiện trong một quá
trình phát triển về mặt phát sinh loài và về mặt phát triển cá thể”. Nhấn mạnh đến
tính mục đích và nhân cách của NL, Phạm Minh Hạc đưa ra định nghĩa: “NL chính
là một tổ hợp các đặc điểm tâm lý của một con người (còn gọi là tổ hợp thuộc tính
tâm lý của một nhân cách), tổ hợp đặc điểm này vận hành theo một mục đích nhất
định tạo ra kết quả của một hoạt động nào đấy” [13]. Tác giả Bùi Văn Huệ thì có
quan niệm: “NL là tổng hợp những thuộc tính độc đáo của cá nhân phù hợp với
những yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định nhằm đảm bảo việc hoàn
thành có kết quả tốt trong lĩnh vực hoạt động đó” [16]. Còn theo Nguyễn Quang
Uẩn và Trần Trọng Thủy: “NL là một tổ hợp những thuộc tính độc đáo của cá nhân
phù hợp với những yêu cầu của một hoạt động nhất định, đảm bảo cho hoạt động đó
có kết quả” [37].

15. 12
Tuy có nhiều cách tiếp cận khác nhau song về cơ bản các định nghĩa đều có
điểm chung thống nhất là:
- NL là tổng hợp những thuộc tính độc đáo, có nghĩa NL không phải là một
thuộc tính riêng lẻ hoặc những thuộc tính rời rạc của cá nhân tạo nên.
- NL có thể chia thành hai loại: NL chung và NL chuyên biệt. NL chung là NL
cần thiết cho nhiều lĩnh vực hoạt động khác nhau. NL chuyên biệt là sự thể hiện độc
đáo các phẩm chất riêng biệt, có tính chuyên môn, nhằm đáp ứng yêu cầu của một
lĩnh vực hoạt động chuyên biệt với kết quả cao.
- Nói đến NL bao giờ cũng phải nói đến NL đối với một hoạt động cụ thể. NL
này chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới
mẻ; Để có NL cần có những phẩm chất của cá nhân đáp ứng yêu cầu của một loại
hoạt động nhất định, đảm bảo cho hoạt động ấy đạt hiệu quả cao. Do đó NL gắn liền
với tính sáng tạo tuy có khác nhau về mức độ.
- Mọi NL của con người được bộc lộ ở những tiêu chí cơ bản như tính dễ
dàng, chính xác, linh hoạt, nhanh nhẹn, hợp lý, sáng tạo và độc đáo trong giải quyết
nhiệm vụ.
- NL có thể được hình thành, bồi dưỡng, phát triển và cũng có thể quan sát,
đánh giá được.
Trên cơ sở tìm hiểu những quan điểm về NL, xét từ phương diện giáo dục,
chúng tôi tổng hợp lại một số vấn đề sau:
Mỗi con người có NL khác nhau vì có những tư chất riêng, tức là thừa nhận sự
tồn tại của những tư chất tự nhiên của cá nhân thuận lợi cho sự hình thành phát triển
của những NL khác.
NL thể hiện đặc thù tâm lí, sinh lí khác biệt của cá nhân, chịu ảnh hưởng của
yếu tố bẩm sinh di truyền về mặt sinh học, được phát triển hay hạn chế còn do
những điều kiện khác của môi trường sống.
Những yếu tố bẩm sinh của NL cần có môi trường điều kiện xã hội (ở đây ta
sẽ giới hạn trong môi trường giáo dục) thuận lợi mới phát triển được. Do vậy NL

16. 13
không chỉ là yếu tố bẩm sinh, mà còn phát triển trong hoạt động, chỉ tồn tại và thể
hiện trong mỗi hoạt động cụ thể.
Nói đến NL là nói đến NL trong một loại hoạt động cụ thể của con người. Mỗi
hoạt động đều có yêu cầu riêng, đòi hỏi con người thực hiện hoạt động ấy phải đáp
ứng.
Bản thân NL cần phải được gắn với một nền tảng kiến thức nhất định và một
hệ thống các kỹ năng tương ứng. NL bao gồm một tổ hợp nhiều kỹ năng thực hiện
những hành động thành phần và có liên quan chặt chẽ với nhau. NL có tính tổng
hợp, khái quát còn kỹ năng có tính cụ thể, riêng lẻ. Chính vì vậy, bồi dưỡng NL là
phải bồi dưỡng để có một nền tảng kiến thức cùng với một hệ thống các kỹ năng
tương ứng. Ngoài ra hình thành và phát triển các NL cơ bản của học sinh trong học
tập và đời sống là nhiệm vụ quan trọng, là yêu cầu có tính cấp thiết đối với hoạt
động dạy học ở các trường trung học.
1.1.2. Một số quan niệm về năng lực toán học
Đã có nhiều công trình nghiên cứu về NL toán học từ những phương diện và
dưới các gốc độ khác nhau. Cấu trúc NL toán học của HS là một trong những đối
tượng nghiên cứu của nhiều nhà khoa học (toán học, tâm lý học và sư phạm).
Theo A.N. Kôlmôgôrôv [40] trong thành phần của NL toán học gồm có
1. NL biến đổi khéo léo các biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm kiếm các
cách hay để giải các phương trình không phù hợp với quy tắc giải thông thường,
hoặc như các nhà toán học gọi là năng lực tính toán hay năng lực “Angôrit”.
2. Trí tượng tượng hình học hoặc “ Trực giác hình học “.
3. Nghệ thuật suy luận logic theo các bước được phân chia một cách đúng đắn.
Đặc biệt có kỹ năng vận dụng đúng đắn nguyên lý quy nạp toán học.
Ngoài ra, ông còn nhấn mạnh rằng: các khía cạnh khác nhau và các NL này
thường được gặp trong các tổ hợp khác nhau, các NL này thường bộc lộ sớm và đòi
hỏi phải luyện tập thường xuyên.

17. 14
Theo A.A. Stoliar [41], dạy toán có thể xem như dạy cho HS hoạt động toán
học, mà đi liền với mỗi hoạt động sẽ có những NL tương ứng. Học toán bao gồm
các hoạt động liên quan đến Số học, Đại số, Giải tích, Hình học,... nên ta có thể
phân chia NL thành các NL học Số học, NL học Đại số, NL học Giải tích, NL học
Hình học... Mặt khác, toán học có tính trừu tượng cao và tính logic chặt chẽ nên
hoạt động học toán liên quan chặt chẽ với tư duy toán học. Do đó, NL toán học có
thể được nghiên cứu từ những góc độ riêng. Có các tác giả đã cụ thể hóa và vận
dụng NL này vào dạy học toán theo các khía cạnh, phạm vi và chủ đề khác nhau.
E.L. Thorndike [42] khi nghiên cứu về NL toán học của HS đã đi sâu hơn vào
lĩnh vực Đại số và đã xác định bảy thành tố của NL Đại số gồm:
1. NL hiểu và thiết lập các công thức.
2. NL biểu diễn các tương quan số lượng thành hình dạng công thức.
3. NL biến đổi các công thức.
4. NL thiết lập các phương trình biểu diễn các quan hệ số lượng đã cho.
5. NL giải các phương trình.
6. NL thực hiện các phép biến đổi đại số đồng nhất.
7. NL biểu diễn bằng đồ thị sự phụ thuộc hàm của hai đại lượng.
Tổ chức về đánh giá thành tích toán học (UNESCO) [39], đã công bố quan
điểm về 10 yếu tố cơ bản của NL toán học như sau:
1. NL phát biểu và tái hiện những định nghĩa, ký hiệu, phép toán, khái niệm.
2. NL tính nhanh và cẩn thận, sử dụng đúng các ký hiệu.
3. NL dịch chuyển các dữ kiện thành ký hiệu.
4. NL biểu diễn các dữ kiện, ẩn, các điều kiện ràng buộc giữa chúng thành ký
hiệu.
5. NL theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh.
6. NL xây dựng một chứng minh.

18. 15
7. NL giải một bài toán đã toán học hóa.
8. NL giải một bài toán có lời văn (chưa toán học hóa).
9. NL phân tích bài toán và xác định các phép toán có thể áp dụng.
10. NL khái quát hóa.
Theo một nghiên cứu đầy đủ về cấu trúc NL toán học đó là công trình tâm lý
NL toán học của HS của V.A. Kruchetxki, NL toán học được hiểu theo hai nghĩa,
hai mức độ.
Một là, theo ý nghĩa NL học tập (tái tạo) tức là NL đối với việc học toán, đối
với việc nắm giáo trình toán học ở trường phổ thông, nắm một cách nhanh và tốt
các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng.
Hai là, theo ý nghĩa NL sáng tạo (khoa học) tức là NL đối với hoạt động sáng
tạo toán học ra những kết quả mới, khách quan, có một giá trị lớn đối với loài
người.
Với việc nghiên cứu khái quát, luận văn chỉ chủ yếu tiếp cận NL toán học theo
góc độ thứ nhất. Tuy nhiên giữa hai mức độ toán học đó không có một sự ngăn cách
tuyệt đối. Nói đến NL học tập toán không phải là không đề cập tới NL sáng tạo. Sau
đây là một định nghĩa về NL toán học theo V.A. Kruchetxki: “NL toán học được
hiểu là những đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết là những đặc điểm hoạt động trí
tuệ) đáp ứng những yêu cầu của hoạt động học tập toán học và trong những điều
kiện vững chắc như nhau thì nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững
một cách sáng tạo toán học với tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương
đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực toán
học” [40].
Theo quan điểm của V.A. Kruchetxki, ông chỉ ra cấu trúc NL toán học của HS
bao gồm các thành phần sau:
* Về mặt thu nhận thông tin toán học
NL tri giác hình thức hóa tài liệu toán học, NL nắm được cấu trúc hình thức
của bài toán.

19. 16
* Về mặt chế biến thông tin toán học
1. NL tư duy logic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và các quan hệ không
gian, các ký hiệu dấu, các ký hiệu số, NL tư duy bằng các kí hiệu toán học.
2. NL khái quát nhanh chóng và rộng các đối tượng, quan hệ toán học và các
phép toán.
3. NL rút ngắn quá trình suy luận toán học và hệ thống các phép toán tương
ứng, NL tư duy bằng các cấu trúc được rút gọn.
4. Tính linh hoạt của quá trình tư duy trong hoạt động toán học.
5. Khuynh hướng vươn tới sự rõ ràng, đơn giản, tính tiết kiệm và tính hợp lý
của lời giải.
6. NL nhanh chóng và dễ dàng sửa chữa lại phương hướng của quá trình tư
duy, NL chuyển từ tiến trình tư duy thuận sang tiến trình tư duy ngược.
* Về mặt lưu trữ thông tin toán học
Trí nhớ toán học tức là trí nhớ khái quát về các quan hệ toán học, về các đặc
điểm điển hình, về sơ đồ suy luận và chứng minh, phương pháp giải toán, nguyên
tắc, đường lối giải.
* Thành phần tổng hợp chung là khuynh hướng toán học của trí tuệ.
Các thành phần ở trên có quan hệ mật thiết với nhau, ảnh hưởng lẫn nhau và
tạo thành hệ thống, một cấu trúc hoàn chỉnh của năng lực toán học. Trong đó theo
ông NL khái quát hóa toán học là NL đặc thù.
Theo hướng bồi dưỡng NL toán học cho HS THCS, Trần Đình Châu tập trung
vào bốn yếu tố của nó trong dạy học Số học [2].
1. NL suy luận chính xác, linh hoạt.
2. NL tính đúng nhanh.
3. NL toán học hóa tình huống và vận dụng toán học vào thực tiễn.
4. NL khái quát hóa toán học.

20. 17
Trong bài viết Về cấu trúc của NL toán học của HS, Trần Luận đã phân tích
đầy đủ và chi tiết về các quan điểm về NL của các nhà giáo dục học trên thế giới.
Từ những phân tích đó, ông đã đề xuất sơ đồ cấu trúc NL toán học của HS gồm hai
nhóm: NL trí tuệ chung và NL toán học đặc thù.
* Nhóm các NL trí tuệ chung bao gồm các thành phần sau:
1. NL hệ thống hóa và trừu tượng hóa toán học.
2. NL sử dụng các sơ đồ hệ thống tín hiệu và những cái trừu tượng.
3. NL suy luận logic được phân nhỏ hợp lý, tuần tự, có liên quan đến nhu cầu
phải chứng minh, luận chứng, kết luận.
4. NL khái quát hóa toán học và tri giác khái quát tình huống.
5. NL phân tích triệt để cấu trúc toán học, tái phối hợp các yếu tố của nó.
6. Tính linh hoạt của quá trình tư duy.
7. NL hệ thống hóa chặt chẻ thông tin toán học.
8. NL ghi nhớ logic và sử dụng nhanh chóng, dễ dàng các thông tin đã được
ghi nhớ.
9. NL diễn đạt bằng một cách chính xác ý nghĩa toán học.
* Nhóm các NL đặc thù bao gồm các thành phần sau:
1. NL tưởng tượng không gian.
2. NL biểu diễn trực quan các quan hệ và phụ thuộc trừu tượng.
3. Tính sâu sắc và cặn kẽ các quá trình tư duy trong hoạt động toán học.
4. NL trực giác toán học.
Theo ông, sơ đồ cấu trúc NL toán học vừa nêu chỉ mới dừng ở nghĩa hẹp của
NL. Trên thực tế, NL cần được hiểu theo nghĩa rộng là có thể bao gồm cả nhóm
thành phần trí tuệ, cảm xúc, ý chí và thể chất.
Đặc biệt, khi bàn về mục tiêu môn toán trong trường phổ thông Việt Nam, với
quan điểm chương trình môn toán của trường phổ thông Việt Nam sau năm 2015

21. 18
được xây dựng theo định hướng phát triển NL người học, Trần Kiều đã chỉ ra các
NL cần hình thành và phát triển cho người học qua dạy học môn toán ở trường phổ
thông Việt Nam: NL tư duy; NL thu nhận và chế biến thông tin; NL giải quyết vấn
đề; NL mô hình hóa toán học; NL giao tiếp; NL sử dụng các công cụ và phương
tiện toán học; NL học tập độc lập và hợp tác [19].
Thông qua việc nghiên cứu các quan điểm của các nhà khoa học ở trên về cấu
trúc năng lực toán học (nhóm NL toán học) chúng ta nhận thấy, các quan điểm
không đồng nhất với nhau, không mâu thuẫn với nhau, mà các quan điểm đó bổ
sung cho nhau, trong các quan điểm đó có những thành phần của một số quan điểm
trùng nhau.
1.1.3. Một số nhận xét đƣợc rút ra từ việc nghiên cứu các quan điểm trên của
các tác giả
1.1.3.1 Có thể nhận thấy rằng:
Hai cấu trúc có tên gọi như nhau theo quan điểm của hai tác giả có thể không
đồng nhất về nội hàm và thành phần của nó. Chẳng hạn, cấu trúc NL toán học của
A.N. Kôlmôgôrôv [40] với cấu trúc NL toán học của V.A. Kruchetxki [21].
Khi đưa ra các thành tố của các NL, giữa các thành tố của các NL toán học có
sự giao thoa, các thành phần của nó có mối liên hệ chặt chẽ với nhau. V.A.
Kruchetxki nhận xét: “Các thành phần của cấu trúc NL toán học liên quan mật thiết
với nhau thành một hệ thống duy nhất, một tổ chức toàn vẹn. Sự liên quan chặt chẽ
giữa chúng trong quá trình giải toán đã được thấy qua rất nhiều ví dụ. Chẳng hạn
thành phần NL rút gọn quá trình suy luận là hệ quả của thành phần NL khái quát
hóa” [21]; [40]. Chính vì lẽ đó mà ở trong mục 1.2.3 của luận văn khi đưa ra các
thành tố của NL liên tưởng cũng không tránh khỏi sự giao thoa giữa các thành tố
với nhau.
Không dễ để so sánh tính hợp lý giữa các cách quan niệm khác nhau về NL
toán học hay các thành tố của nó. Có thể quan niệm này là hợp lý hơn quan niệm
kia nếu xét ở đối tượng HS cấp học này, nhưng có thể không hợp lý bằng ở đối

22. 19
tượng HS cấp học khác. Tương tự như vậy nếu xem xét trên các kiến thức khác
nhau như: Số học, Đại số, Hình học, Giải tích.
Với tầm quan trọng của NL toán học và cấu trúc NL toán học nên ngày càng
tăng việc phát hiện và bồi dưỡng các tài năng toán học đồng thời có nhiều nhà
nghiên cứu, dưới các gốc độ khác nhau đã đưa ra nhiều quan điểm về cấu trúc NL
toán học. Tuy nhiên do đặc trưng riêng của luận văn quan tâm đến NL liên tưởng
trong dạy học toán nên chúng tôi chọn điểm tựa quan trọng nhất là xét cấu trúc NL
theo quan điểm của V.A. Kruchetxki.
1.1.3.2. Nghiên cứu quan điểm của V.A. Kruchetxki về NL toán học và cấu trúc NL
toán học, có thể thấy một số vấn đề sau:
a. Về mặt lý luận
Trong cùng một điều kiện dạy học như nhau có những HS tiếp thu nhanh hơn,
vận dụng tốt hơn so với một số em khác. Tuy nhiên các khả năng đó được hình
thành và phát triển thông qua hoạt động giải toán là chủ yếu. Do đó cần thiết phải
nghiên cứu để nắm được bản chất của NL và các con đường hình thành, phát triển
và hoàn thiện NL.
Vấn đề NL chính là vấn đề khác biệt cá nhân. Khi ta nói tới vấn đề NL tức là
đã giả định rằng có một sự khác biệt nào đấy giữa các cá nhân. NL của một người
có thể không phải ở trong một lĩnh vực này mà là ở trong một lĩnh vực khác.
Trong cuộc đời của mỗi con người, thực sự tồn tại những điểm tỏ ra thích hợp
hơn cho việc hình thành và phát triển NL toán học. Nhiều công trình tâm lý và giáo
dục học khác cũng chỉ rõ, lứa tuổi từ 10 – 15 chính là một trong các thời điểm đó
[2].
NL toán học không phải là những tính chất bẩm sinh mà được tạo thành, phát
triển trong đời sống, trong hoạt động.
Hiệu quả hoạt động trong một lĩnh vực nào đó của con người thường phụ
thuộc vào một tổ hợp các NL. Kết quả học tập toán cũng không nằm ngoài quy luật
đó, ngoài ra còn phụ thuộc vào một số yếu tố khác, chẳng hạn niềm say mê, thái độ

23. 20
chăm chỉ học tập, sự khuyến khích, hỗ trợ bồi dưỡng của giáo viên, gia đình và xã
hội.
b. Về mặt thực tiễn:
Việc đào tạo con người có hiệu suất cao nhất trong một lĩnh vực hoạt động
nhất định đòi hỏi phải nghiên cứu những NL của mỗi người, phải biết những
phương pháp tốt nhất để bồi dưỡng những NL đó.
Để bồi dưỡng NL toán học cho HS, ngoài việc cần tìm hiểu điểm mạnh nhằm
giúp các em phát triển NL ấy, đồng thời cần tìm những NL còn yếu của HS để tìm
cách giúp HS khắc phục. Ông cũng chỉ rõ rằng, không thể xóa nhòa sự khác biệt
giữa các cá nhân HS được, các em không thể giỏi như nhau mà mức độ có khác
nhau. V.A. Kruchetxki cũng khẳng định, việc bồi dưỡng NL toán học được đặt
trong việc bồi dưỡng NL toàn diện của con người vì chính việc bồi dưỡng NL toán
học sẽ góp phần quan trọng để bồi dưỡng NL con người.
1.1.3.3. Như vậy, trên cơ sở nghiên cứu những lý luận và thực tiễn, có thể thấy:
NL toán học là những đặc điểm tâm lý về hoạt động trí tuệ của HS, giúp họ
nắm vững và vận dụng tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc những kiến thức, kỹ năng,
kỹ xảo trong môn toán.
NL toán học chỉ hình thành, tồn tại và phát triển trong hoạt động toán học và
chỉ trên cơ sở phân tích hoạt động toán học mới thấy được biểu hiện của NL toán
học. Chính vì vậy khi nghiên cứu việc bồi dưỡng các NL toán học cần lưu ý tới các
hoạt động toán học và đặc biệt chú ý tới hoạt động giải toán.
NL toán học được hình thành, thể hiện và phát triển thông qua (và gắn liền
với) các hoạt động của HS nhằm giải quyết những nhiệm vụ học tập trong môn
toán: xây dựng và vận dụng khái niệm, chứng minh và vận dụng định lý, giải bài
toán,...
1.2. Năng lực liên tƣởng
1.2.1. Liên tƣởng

24. 21
Theo Từ điển tiếng Việt, liên tưởng có nghĩa là, “Nhân sự vật, hiện tượng nào
đó mà nghĩ đến sự vật, hiện tượng khác có liên quan” [36].
Trong tâm lý học, trường phái tiếp cận liên tưởng vấn đề tư duy (Đ. Ghatli,
D.S. Milơ, H.Spenxơ...) cho rằng: Tư duy là quá trình thay đổi tự do tập hợp các
hình ảnh, là sự liên tưởng các biểu tượng [33].
Mối quan tâm chủ yếu của các nhà liên tưởng là tốc độ và mức độ liên kết các
hình ảnh, các biểu tượng đã có, tức là quan tâm chủ yếu đến vấn đề tái tạo các mối
liên tưởng. Theo họ, có bốn loại liên tưởng: liên tưởng giống nhau, liên tưởng tương
phản, liên tưởng gần nhau về không gian và thời gian, liên tưởng nhân quả.
Liên tưởng nhân quả có vai trò đặc biệt quan trọng trong các quá trình trí tuệ.
Sự phát triển trí tuệ là quá trình tích lũy các mối liên tưởng. Sự khác biệt về trình độ
trí tuệ được quy về sự khác nhau về số lượng các mối liên tưởng, về tốc độ hóa các
liên tưởng đó [22].
Nhà tâm lý học P.A. Seevarev đã nghiên cứu tỉ mĩ những mối liên tưởng khái
quát độc đáo và vai trò của chúng trong dạy học. Ông chỉ ra rằng, những mối liên
tưởng khái quát bao gồm ba kiểu cơ bản: những liên tưởng được biến đổi một nữa,
những liên tưởng trừu tượng – biến thiên, những liên tưởng cụ thể - biến thiên [23].
L.B. Itenxơn cho rằng: “Tư duy tốt tức là tư duy đúng đắn và có hiệu quả, biết
thực hiện những liên tưởng khái quát, những liên tưởng phù hợp với bài toán cần
giải. Vì vậy để việc dạy tư duy có hiệu quả, không chỉ đòi hỏi phải tìm hiểu những
thuộc tính hay những quan hệ chung xác định của các đối tượng mà còn phải biết
những thuộc tính này là bản chất đối với những bài toán nào” [23].
Nhà tâm lý học K.K. Plantônôv xem các mối liên tưởng là một thành phần cốt
lõi của hoạt động tư duy, hoạt động nhận thức. Ông xem tư duy như là một quá
trình gồm nhiều giai đoạn kế tiếp nhau mà hai trong số những giai đoạn ấy là: xuất
hiện các liên tưởng; sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thuyết [14].
Điều đó được thể hiện qua sơ đồ sau đây:

25. 22
Mô hình 1.1. Sơ đồ các giai đoạn của quá trình tƣ duy theo K. K. Plantônôv
Theo tác giả Vũ Dương Thụy, cho rằng: “Trong dạy học, cần chú ý rèn luyện
cho học sinh kỹ năng biến đổi xuôi và ngược chiều một cách song song với nhau,
nhằm giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược diễn ra đồng thời với việc hình
thành các liên tưởng thuận” [10].
Từ đó, ta có thể thấy vai trò của liên tưởng trong quá trình tư duy là rất quan
trọng. Lẽ đương nhiên, liên tưởng cũng có vai trò quan trọng trong hoạt động tư duy
khi giải toán.
Theo Thuyết liên tưởng:
- Tâm lý (hiểu theo nghĩa là yếu tố ý thức) được cấu thành từ các cảm giác.
Các cấu thành cao hơn như biểu tượng, ý nghĩ, tình cảm,...là cái thứ hai, xuất hiện
Nhận thức vấn đề
Xuất hiện các liên tưởng
Sàng lọc các liên tưởng
Kiểm tra giải thuyết
Khẳng định Bác bỏ
Hoạt động tư duy mới
Giải quyết vấn đề

26. 23
nhờ liên tưởng các cảm giác. Nói khác đi, con đường hình thành tâm lý con người là
liên kết các cảm giác và các ý tưởng.
- Điều kiện để hình thành các liên tưởng là sự gần gủi của các quá trình tâm lý.
- Sự liên kết các cảm giác và ý tưởng để hình thành ý tưởng mới không phải là
sự kết hợp giản đơn các cảm giác hoặc các ý tưởng đã có mà giống như sự kết hợp
của các nguyên tố hóa học để tạo thành hợp chất mới.
- Các mối liên tưởng bị quy định bằng sự linh hoạt bởi các cảm giác cùng với
các ý tưởng thành phần được liên tưởng và tần số nhắc lại của chúng trong kinh
nghiệm.
- Các liên tưởng được hình thành theo một quy luật: quy luật tương tự; quy
luật tương cận; quy luật nhân quả. Trong các quy luật trên, quy luật nhân quả có vai
trò đặc biệt quan trọng trong quá trình nhận thức và phát triển trí tuệ.
Như vậy, điều kiện để hình thành các liên tưởng là sự gần gủi của quá trình
tâm lý.
Thực tiễn dạy học cho thấy, trong quá trình phát hiện và xác lập lời giải bài
toán, HS thường liên tưởng đến các kiến thức lý thuyết, các bài toán có liên quan.
Sự liên tưởng này hình thành trên cơ sở so sánh, đối chiếu các dữ kiện, điều kiện
của bài toán đã cho với các kiến thức lý thuyết, các bài toán mà HS lưu giữ trong trí
nhớ. Sự xác lập các liên tưởng này chính là xác lập mối quan hệ giữa những tri thức
có sẵn và những khám phá độc lập trong quá trình học tập.
Trong quá trình giải toán, giáo viên có thể giúp HS hình thành các liên tưởng
về tri thức phương pháp và tri thức đối tượng. Xuất phát từ tri thức phương pháp
được sử dụng khi giải bài toán ban đầu, có thể hình thành các liên tưởng cho HS
qua xây dựng và sử dụng các chuỗi bài toán có cùng tri thức về phương pháp giải.
1.2.2. Năng lực liên tƣởng
Khi bàn về NL bao giờ cũng phải nói đến NL đối với một hoạt động cụ thể
nào đó. Chẳng hạn, NL toán học của hoạt động học tập hay hoạt động nghiên cứu
toán học, NL giảng dạy của hoạt động giảng dạy...Liên tưởng toán học là một hoạt

27. 24
động quan trọng trong quá trình học tập của HS. Khi giải quyết một vấn đề đặt ra,
thông tin mà HS mới tiếp nhận chưa gắn kết được với kiến thức đã có tức là chưa
đồng hóa được thì HS có thể liên tưởng tới những kiến thức liên quan khác và họ
phải thực hiện hoạt động điều ứng chuyển nghiên cứu từ đối tượng này sang đối
tượng khác để tạo nên một sự cân bằng.
Theo Nguyễn Văn Thuận [33], NL liên tưởng của mỗi người một khác. Đứng
trước một bài toán cụ thể, có người liên tưởng được nhiều định lý, mệnh đề, bài
toán phụ mà những cái này có hy vọng giúp cho việc giải toán. Có người chỉ liên
tưởng đến một số ít định lý, mệnh đề, bài toán phụ... mà thôi. NL liên tưởng phụ
thuộc vào khả năng tích lũy kiến thức và phụ thuộc vào sự nhạy cảm trong khâu
phát hiện vấn đề.
Theo thuật ngữ của thuyết liên tưởng, có thể nói: NL toán học là NL tạo thành
các mối liên tưởng khái quát, tắt, linh hoạt, ngược và hệ thống của chúng dựa trên
tài liệu toán học. Các NL đó biểu hiện với các mức độ khác nhau ở các em học sinh
giỏi, trung bình, kém. Ở các em giỏi, các em có năng khiếu thì các mối liên tưởng
đó được tạo thành ngay lập tức, ngay sau một số ít bài tập. Ở các em kém thì mối
liên tưởng đó được tạo thành một cách hết sức khó khăn. Ở các em trung bình thì
muốn hình thành dần dần các mối liên tưởng đó cần phải có cả một hệ thống bài
tập, cần phải có sự rèn luyện [21].
Như vậy, trên cơ sở nghiên cứu, phân tích các quan điểm, các khái niệm về
NL, NL toán học, NL liên tưởng đồng thời vận dụng vào thực tiễn dạy học ở trường
THCS, chúng tôi quan niệm: NL liên tưởng trong dạy học toán là một NL toán học
bao gồm tổ hợp các NL thành phần nhằm thực hiện tốt hoạt động điều ứng chuyển
đối tượng quan hệ đã có sang đối tượng quan hệ mới để tạo nên một sự cân bằng.
1.2.3. Các thành tố của NL liên tƣởng
1.2.3.1. Năng lực dự đoán vấn đề
 Năng lực dự đoán vấn đề
Con đường tìm đoán một vấn đề toán học nào đó gắn chặt với tri thức đã có,
về các khái niệm, các quy luật về những kiến thức logic học và với ngôn ngữ của

28. 25
HS. Theo tác giả Nguyễn Bá Kim, tri thức đặc biệt là tri thức phương pháp vừa là
điều kiện vừa là mục đích của hoạt động nhận thức.
Khi đứng trước một vấn đề trong cuộc sống hay trong toán học ta thường dự
đoán xem là vấn đề này có thể nảy sinh những tình huống nào. Và khi không tìm
thấy câu trả lời cho vấn đề đó, thì ta chuyển sang dự đoán một bộ phận nào đó nét
đặc trưng trong lời giải, một tiếp cận nào đó trong lời giải, rồi sau đó cố gắng mở
rộng dự đoán của mình, đồng thời tìm cách kiểm tra dự đoán của mình có phù hợp
với bài toán không. Không thể khẳng định ngay là dự đoán của mình về vấn đề đó
chính xác nhưng trong nhiều trường hợp người giải cảm nhận được tính khả thi của
các dự đoán đó.
Dự đoán là một phương pháp tư tưởng được ứng dụng rộng rãi trong nghiên
cứu khoa học. Đó là căn cứ các nguyên lí và sự thật đã biết để nêu lên những giả
định về các hiện tượng và quy luật chưa biết [36].
Nhà toán học G. Polia đã phát biểu: Toán học được coi như là một môn khoa
học chứng minh. Tuy nhiên đó mới chỉ là một khía cạnh của nó. Toán học hoàn
chỉnh, được trình bày dưới hình thức hoàn chỉnh, được xem như chứng minh thuần
túy, chỉ bao gồm các chứng minh. Nhưng toán học trong quá trình hình thành gợi lại
mọi kiến thức khác của nhân loại trong quá trình hình thành. Bạn phải dự đoán về
một định lí toán học trước khi bạn chứng minh nó. Bạn phải dự đoán về ý của
chứng minh trước khi tiến hành chứng minh chi tiết... Nếu việc dạy toán phản ánh ở
mức độ nào đó việc hình thành toán học như thế nào, thì trong việc giảng dạy đó,
phải dành chỗ cho dự đoán về suy luận có lí [27].
Dự đoán là khâu quan trọng giúp ta định hướng bài toán, và cũng có thể một
trong những dự đoán đó ta tìm được lời giải của bài toán. Việc dự đoán chính xác
vấn đề đến đâu tùy thuộc vào kinh nghiệm, kiến thức vốn có của mỗi người nếu dự
đoán tốt giúp ta giảm bớt mày mò, mù quáng, trước những bài toán khó không vội
đi vào tính toán, chứng minh ngay mà biết căn cứ vào các dữ kiện và mục tiêu cần
giải quyết để có những trù liệu, phán đoán bằng những câu hỏi như: Nó thuộc loại
vấn đề gì? Đại thể nó bắt đầu từ đâu? Sau đó mới bắt tay vào tính toán, chứng minh.

29. 26
Khi đạt được một kết quả nào đó thì kết hợp với mục tiêu dự đoán, cảm nhận được
cách giải nào sẽ đạt được kết quả. Nếu thấy có thể được thì sẽ tiếp tục phương pháp
đó, nếu cảm nhận thấy không được thì phải quay lại điều kiện ban đầu để dự đoán,
tìm cách giải khác, điều chỉnh cho tới khi giải được bài toán.
Ví dụ 1.1. Cho nữa đường tròn
tâm O đường kính AB và C là một
điểm trên nữa đường tròn. Trên bán
kính OC lấy điểm D sao cho OD bằng
khoảng cách CH từ C tới AB. Tìm
quỹ tích các điểm D khi C chạy trên
nữa đường tròn đã cho.
Với bài toán này ta có thể dự
đoán như sau: Điểm C thay đổi dẫn
đến việc điểm D thay đổi theo. Điểm
C chạy trên nữa đường tròn tâm O
đường kính AB nên ta cũng dự đoán
khả năng điểm D nằm trên đường tròn
hoặc nữa đường tròn nào đó. Thật
vậy, vẽ OP vuông góc với AB (P
thuộc nữa đường tròn), điểm D nằm
trên đường tròn đường kính OP. Như
vậy việc dự đoán trên mang lại cho ta
một nhận định đúng.
Hình 1.1
 Các thao tác tư duy khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa
Một bài toán có thể khi mới nhìn vào ta có cảm giác rất phức tạp, khó có thể
giải được. Nhưng nếu có một vốn kiến thức thì có thể vận dụng hợp lý các thao tác
tư duy linh hoạt, thường xuyên rèn luyện khả năng sáng tạo để giải các bài toán,
hoặc tạo ra bài toán mới dựa vào các thao tác tư duy khái quát hóa, đặc biệt hóa,
tương tự hóa.
Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp ban
đầu bằng cách nêu bật một số trong các đặc điểm chung của các phần tử của tập hợp
xuất phát [20].
Trong học tập và cuộc sống, ta bắt gặp các tình huống cần sử dụng đến
phương pháp tư duy khái quát. Không có khái quát thì không có khoa học, không
D
A
P
BO
C
H

30. 27
biết khái quát là không biết cách học. Khả năng khái quát là khả năng học tập vô
cùng quan trọng. Khả năng khái quát toán học là một khả năng khái quát đặc biệt.
Khái quát hóa có nhiều vấn đề bao gồm: khái quát các tài liệu toán học, các quan hệ
số lượng, khái quát phương pháp giải...
Ví dụ 1.2. GV yêu cầu HS giải phương trình
( )( )( )( )
Khi đọc thông tin đã cho về phương trình này, thông qua việc phân tích đặc
điểm của các thừa số chứa trong biểu thức vế trái của phương trình, HS nhận xét về
mối quan hệ giữa các thừa số ( )( ) và ( )( ) (hơn nhau 2 đơn
vị). Khi đó phương trình được viết lại: ( )( ) .
Từ đặc điểm của phương trình này HS sẽ liên tưởng đến cách giải phương
trình bậc hai đã học và dùng cách đặt ẩn phụ rồi quy về phương
trình bậc hai quen thuộc và tìm nghiệm. Sau khi giải xong phương trình GV có thể
giúp HS khái quát phương pháp giải cho dạng phương trình:
( )( )( )( )
Ví dụ 1.3. GV yêu cầu HS lớp 9 chứng minh bất đẳng thức sau:
Với không âm, chứng minh rằng: √ √ √
HS sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm và dễ dàng chứng
minh được bài toán. GV yêu cầu HS tổng quát trong trường hợp năm số không âm.
Rõ ràng, khi tổng quát cho năm số không âm, ta có bất đẳng thức:
√ √ √ √ √
Đặc biệt hóa là thao tác tư duy ngược lại của khái quát hóa. Đặc biệt hóa là
thao tác tư duy chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang
nghiên cứu một tập nhỏ hơn chứa trong tập hợp ban đầu [27].
Chẳng hạn, khi đang giải quyết bài toán có liên quan đến tứ giác, ta có thể đặc
biệt hóa tứ giác đó trong các trường hợp đặc biệt như: hình bình hành, hình thoi,
hình vuông... để tìm ra cách giải cho bài toán trong trường hợp đặc biệt và từ những

31. 28
lời giải đó tìm hướng để giải bài toán ban đầu. Cũng có thể lấy một ví dụ khác, cho
điểm nằm trong tam giác , ta có thể đặc biệt hóa như sau: cho lần lượt là
trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, tâm đường tròn nội tiếp
tam giác, từ việc đặc biệt hóa ta đi gần đến lời giải của bài toán gốc. Do vậy đặc biệt
hóa có vai trò quan trọng trong học tập và giải toán.
Trong toán học không ít những bài toán chúng ta không thể giải nó một cách
tổng quát mà việc giải quyết bài toán đó lại phải nhờ vào việc xét và giải những
trường hợp đặc biệt.
Về NL tương tự, G.Polya cho rằng: Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó.
Có thể nói tương tự là sự giống nhau ở mức độ xác định hơn và ở mức độ được
phản ánh bằng khái niệm. Tuy vậy, chúng ta có thể diễn tả chính xác hơn một chút.
Theo tôi, sự khác nhau căn bản giữa tương tự và những loại giống nhau khác là ở ý
định của người đang suy nghĩ. Những đối tượng giống nhau ấy như là những đối
tượng tương tự. Và nếu bạn đạt tới những khái niệm rõ ràng, thì tức là bạn làm sáng
tỏ sự tương tự [27].
Tác giả Nguyễn Bá Kim cũng khẳng định phép tương tự có thể coi như tiền
thân của khái quát hóa bởi vì chuyển từ một trường hợp này sang một trường hợp
riêng khác của cùng một cái tổng quát là một bước để đi đến những trường hợp
riêng bất kỳ của cái tổng quát đó.
Ví dụ 1.4. Ta có thể làm sáng tỏ nhận thức của HS dễ dàng nếu đi từ một vấn
đề tương tự này sang một vấn đề tương tự khác. HS cấp THCS nắm được kết quả
trong tam giác vuông: + thì tới cấp THPT, với sự tương tự họ dễ dàng
nhận thức kết quả trong một tứ diện vuông đó là: + + .
Khi giải một bài toán chúng ta cần tìm cách liên hệ nó với một bài toán nào đó
tương tự nhưng đơn giản hơn, rồi tìm cách vận dụng kết quả hoặc phương pháp giải
của bài toán tương tự này để giải bài toán đã cho.
Trong dạy học toán, các NL khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự hóa là
những thao tác tư duy quan trọng giúp người học tiếp thu và làm quen với các quy

32. 29
luật biện chứng, mối quan hệ giữa cái chung và cái riêng từ đó vận dụng chúng vào
trong học tập và trong cuộc sống hàng ngày. Một cái riêng có thể nằm trong nhiều
cái chung khác.
1.2.3.2. Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ
NL liên tưởng để giải quyết các vấn đề còn phụ thuộc nhiều vào khả năng
chuyển đổi ngôn ngữ. Không phải mọi bài toán đặt ra ta đều giải một cách trực tiếp
mà có rất nhiều bài toán ta phải dựa vào những quan hệ tương đương trong toán học
để chứng minh bài toán theo một quan hệ khác. Ta có thể hiểu NL chuyển đổi ngôn
ngữ theo hai phương diện
 Chuyển đổi ngôn ngữ trong nội tại một nội dung toán học
Theo phương diện này kèm theo sự chuyển tải nội dung và diễn đạt nội dung
ban đầu theo một ngôn ngữ khác, thông tin khác trong cùng một loại ngôn ngữ hình
học, đại số...
Ví dụ trong hình học phẳng, yêu cầu ta chứng minh hai đường thẳng a và b
song song nhưng việc làm này khó khăn, ta có thể chuyển yêu cầu bài toán sang
một dạng khác tương đương là chỉ ra tồn tại một đường thẳng c vuông góc với cả a
và b. Khi đó thì a và b song song.
 Chuyển đổi từ ngôn ngữ từ đối tượng toán học này sang đối tượng toán học
khác
Theo cách hiểu này thì cùng một nội dung toán học ta có thể chuyển nội dung
từ đối tượng ngôn ngữ này sang đối tượng ngôn ngữ khác với hệ thống ký hiệu của
ngôn ngữ đó chẳng hạn như chuyển từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ đại số
hoặc từ ngôn ngữ đại số sang hình học.
Ví dụ 1.5. Cho thỏa: { . Với .
Tính
Để tính giá trị của M, đối với HS nếu thực hiện kỹ thuật biến đổi đồng nhất

33. 30
M về dạng có thể sử dụng các giả thiết ở trên hay là suy nghĩ đến phương án tìm ra
x; y; z để suy ra M là khó khăn. Tuy nhiên, phân tích từ các thông tin đã cho của bài
toán ta có thể hướng dẫn giúp học sinh phát hiện và liên tưởng đến các kết quả trong
tam giác vuông (định lí Pithago, định lí hình chiếu) đồng thời liên kết các thông tin
đã cho đó. GV có thể dẫn dắt cho HS hướng giải quyết bài toán bằng cách gợi ý
qua hệthống các câu hỏi: Biểu thức đã cho và với
gợi cho các em liên tưởng đến điều gì ? Hệ thức của định lý quen thuộc
nào các em đã học có liên quan ?
Sau khi HS phát hiện được hệ thức liên quan là định lý Pitago và dự đoán sẽ
gắn các giá trị có trong các biểu thức trên với các độ dài cụ thể của các tam giác
vuông: Tam giác thứ nhất có hai cạnh góc vuông là ; cạnh huyền là 3; Tam giác
thứ hai có hai cạnh góc vuông là thì GV tiếp tục hướng dẫn cho HS phát hiện
và liên kết thêm với thông tin để gắn tất cả các yếu tố đã cho vào trong
một tam giác vuông cụ thể nhờ định lý hình chiếu trong tam giác vuông như hình
vẽ.
Hình 1.2
Từ đó, có thể biến đổi chuyển cách giải bài toán đại số đó về giải bài toán
hình học bằng cách xét tam giác vuông với ; ; đường cao
, thỏa các điều kiện ở giả thiết trên.
Khi đó:
Việc chuyển đổi ngôn ngữ giúp HS mở rộng con đường tìm kiếm lời giải các
bài toán. Không chỉ vậy mà HS có nhiều cách giải hơn đối với một bài toán.
Có nhiều bài toán có thể giải được hay không phụ thuộc vào việc ta có biết
3 4
x
y
B
A
C
H
z

34. 31
chuyển đổi ngôn ngữ hay không. Ta có thể xét ví dụ sau đây:
Ví dụ 1.6. Cho tam giác có , đường cao . Một
hình chữ nhật có đỉnh thuộc cạnh , đỉnh thuộc cạnh còn hai đỉnh
và thuộc cạnh . Xác định vị trí điểm trên cạnh sao cho diện tích của
hình chữ nhật đó bằng .
Đối với bài toán này, nếu chỉ sử dụng ngôn ngữ hình học để giải quyết thì khá
khó khăn, tuy nhiên nếu HS được gợi ý để chuyển đổi bài toán sang ngôn ngữ đại số
và áp dụng phương trình bậc hai để giải thì bài toán trở nên đơn giản hơn nhiều. Khi
đó bài toán có thể giải như sau:
Hình 1.3
Gọi là giao điểm của và . Đặt: ( )
Do song song với nên:
Mặt khác: nên:
( )
=
hoặc
* Với :
* Với :

35. 32
Vậy có hai vị trí của thỏa mãn yêu cầu bài toán:
1.2.3.3. Năng lực quy lạ về quen nhờ biến đổi về dạng tƣơng tự
G. Polya đã có nhận định rằng: Thực tế khó mà đề ra một bài toán hoàn toàn
mới, không giống một chút nào với các bài toán khác, hay là không có một điểm
nào chung với các bài toán trước đây đã giải. Nếu có bài toán như vậy nó vị tất đã
giải được. Thật vậy khi giải một bài toán, ta luôn luôn phải lợi dụng bài toán đã giải,
dùng kết quả, phương pháp hay là kinh nghiệm có được khi giải các bài toán đó
[28].
Khi nghiên cứu một đối tượng thì cần phải xem xét nó trong mối liên hệ với
các đối tượng khác. Khi giải một bài toán, một phương pháp tổng quát là tìm cách
đưa bài toán phải giải về một bài toán đơn giản hơn, sao cho nếu giải được bài toán
này thì sẽ giải được bài toán đã cho (nhờ áp dụng kết quả hoặc phương pháp giải bài
toán đơn giản đó)
Ví dụ 1.7. Giải hệ phương trình sau: {
√
√
Đối với bài toán này, nếu sử dụng phương pháp bình phương hai vế hoặc biến
đổi thông thường thì việc giải nó không hề đơn giản nhưng nếu ta biết liên hệ bài
toán này với bài toán tìm hai nghiệm của phương trình bậc hai khi biết tổng và tích
hai nghiệm thì việc giải rất đơn giản, chỉ việc sử dụng định lý Viet đảo. Như vậy
với bài toán đã cho ta đặt √ thì hệ phương trình trở thành: { .
Khi đó là hai nghiệm của phương trình:
Việc bồi dưỡng cho HS NL biến đổi để đưa về dạng tương tự trong khi giải
bài tập toán là cần thiết. Nó mang lại cho HS khả năng suy xét, liên tưởng tốt đến
các bài toán, các tình huống đã gặp trước đó. Từ đó HS dễ dàng tìm ra mối liên hệ

36. 33
giữa cái đã biết và cái chưa biết. Cần phải biến đổi bài toán, vấn đề ta đang gặp phải
như thế nào cho giống hay tương tự với cái đã có, đã biết trước đó.
1.2.3.4. Năng lực nhìn nhận vấn đề dƣới nhiều góc độ khác nhau
Một khái niệm có nhiều thuộc tính; trong một bài toán có nhiều giả thiết, nhiều
quan hệ, liên quan đến nhiều khái niệm. Vì vậy, cùng một khái niệm, cùng một bài
toán có thể tổng quát hóa hay xét các vấn đề tương tự theo nhiều khía cạnh khác
nhau, nhiều hướng khác nhau.
Ví dụ 1.8. So sánh hai phân số và . Ta có những cách tiếp cận dưới đây:
Cách 1: Liên tưởng đến việc so sánh hai phân số cùng mẫu
Thực hiện biến đổi:
Rồi so sánh và để suy ra kết quả.
Cách 2: Liên tưởng đến việc so sánh hai phân số cùng tử
Thực hiện biến đổi:
Rồi so sánh và để suy ra kết quả.
Cách 3: Liên tưởng đến việc so sánh tích trung tỉ và tích ngoại tỉ
So sánh tích của và để suy ra kết quả.
Cách 4: Liên tưởng đến việc so sánh với một phân số trung gian: Dựa vào hai
quy tắc so sánh theo cách 1; 2 ở trên và tính chất bắc cầu trong quan hệ thứ tự
Cách 5: Liên tưởng đến việc so sánh dựa vào hai phân số trung gian

37. 34
Do: suy ra
Cách 6: Liên tưởng đến việc bổ sung thêm kiến thức khi so sánh
Ta có:
Việc phân tích một khái niệm, tính chất, bài toán hay vấn đề theo nhiều cách
thể hiện khác nhau giúp ta hình thành một chuỗi các ứng dụng khác nhau của cùng
một loại kiến thức. Việc phân loại nhìn nhận vấn đề theo nhiều cách làm cho HS
làm quen với các cặp phạm trù, quy luật triết học duy vật biện chứng như cặp phạm
trù cái chung cái riêng, quy luật mối quan hệ nhân quả.
1.2.4. Các mức độ biểu hiện của NL liên tƣởng
Có thể phân NL liên tưởng trong dạy học toán theo các mức độ sau:
Mức độ thứ nhất: HS thực hiện những yêu cầu và thao tác cơ bản của việc liên
tưởng khi vấn đề GV đặt ra được hướng dẫn tương đối tường minh, rõ ràng bằng
cách giảng giải, thuyết trình.
Mức độ thứ hai: HS nhận ra được yêu cầu liên tưởng trong tình huống do GV
đưa ra và có thể hoàn tất việc liên tưởng dưới sự gợi ý, dẫn dắt của GV khi cần
thiết. GV không chỉ ra cho HS một cách tường minh yêu cầu và cách thức liên
tưởng mà chỉ giảng giải, hướng dẫn một phần giúp HS vượt qua chỗ quá khó hoặc
định hướng, gợi ý cụ thể hóa, chi tiết hóa thêm một bước để thu hẹp hơn phạm vi,
mức độ liên tưởng cho vừa sức đối với HS để có thể từ đó giúp HS liên tưởng một
cách hợp lý.
Mức độ thứ ba: HS chủ động phát hiện được vấn đề cần liên tưởng. GV không
có sự định hướng, gợi ý nào mà chỉ với vai trò đánh giá vai trò và ý nghĩa của
những kết quả đạt được.

38. 35
1.3. Kết luận chƣơng 1
Trong chương 1, chúng tôi đã phân tích và làm rõ một số vấn đề sau:
Chúng tôi đã hệ thống hóa quan điểm của một số tác giả về NL và NL toán
học, trong đó có phân tích, so sánh đối chiếu các quan điểm và rút ra một số nhận
định. Bên cạnh đó chúng tôi cũng đưa ra những quan niệm về liên tưởng, từ đó đề
xuất khái niệm NL liên tưởng trong dạy học toán.
Ngoài ra, chúng tôi đã xác định các thành tố của NL liên tưởng trong dạy học
toán từ việc phân tích một số cơ sở lý luận và thực tiễn : NL dự đoán vấn đề, NL
chuyển đổi ngôn ngữ, NL quy lạ về quen nhờ biến đổi về dạng tương tự, NL nhìn
nhận vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau.
Trên cơ sở đó, chúng tôi cũng đã chỉ ra ba mức độ biểu hiện của NL liên
tưởng trong dạy học toán.
Những vấn đề lý luận đã được nghiên cứu và phân tích trên là cơ sở quan
trọng làm tiền đề cho việc đưa ra những định hướng cũng như các giải pháp nhằm
góp phần phát triển NL liên tưởng cho HS THCS trong dạy học toán.

39. 36
Chƣơng 2.
THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU
2.1. Ngữ cảnh và mục tiêu
2.1.1. Ngữ cảnh
Thực nghiệm đã được tiến hành vào học kì 2 năm học 2015 – 2016 tại hai
trường THCS Triệu Long thuộc huyện Triệu Phong và trường THCS Nguyễn Du
thuộc thành phố Đông Hà cùng một số GV toán và HS cấp THCS trên địa bàn tỉnh
Quảng Trị. Được sự đồng ý của ban giám hiệu nhà trường và GV bộ môn, sau khi
tìm hiểu kết quả học tập chúng tôi lựa chọn những lớp có trình độ chung về môn
Toán tương đối tương đương làm lớp thực nghiệm và đối chứng, cụ thể là: Lớp thực
nghiệm 8A trường THCS Triệu Long, lớp 9A trường THCS Nguyễn Du và lớp đối
chứng 8B trường THCS Triệu Long, lớp 9B trường THCS Nguyễn Du. Các GV dạy
thực nghiệm và đối chứng được ban giám hiệu nhà trường thống nhất với tổ chuyên
môn giới thiệu, họ là những người tâm huyết, nhiệt tình, có kiến thức vững vàng,
NL sư phạm tốt.
2.1.2. Mục tiêu
 Tìm hiểu thực trạng dạy học ở trường THCS theo hướng phát triển NLLT
cho HS được GV tổ chức như thế nào.
 Kháo sát, đánh giá NLLT của HS ở trường THCS trong dạy học toán.
 Kết quả khảo sát, đánh giá thu được là một cơ sở để đề xuất các giải pháp sư
phạm nhằm phát triển NLLT cho HS trong dạy học toán từ đó góp phần nâng
cao hiệu quả đổi mới phương pháp dạy học ở trường THCS.
2.2. Phƣơng pháp nghiên cứu
Trước hết chúng tôi dùng thiết kế khảo sát để thu thập các thông về thực trạng
NLLT của HS THCS trong dạy học toán. Đây là lựa chọn phù hợp vì qua khảo sát
chúng ta nắm bắt được tình hình để phân tích và đưa ra các đề xuất phù hợp với khả
năng của HS THCS nhằm phát triển NLLT cho các em.

40. 37
Sau đó, dùng thiết kế thực nghiệm sư phạm để phân tích và kiểm chứng các đề
xuất đã đưa ra.
2.3. Công cụ nghiên cứu
Theo phương pháp nghiên cứu đã chọn, chúng tôi chọn công cụ nghiên cứu
như sau:
Sử dụng các phiếu khảo sát: Dùng để nắm bắt tình trạng phát triển NLLT cho
HS THCS trong dạy học toán. Khảo sát đối tượng GV và HS.
Kế hoạch bài học: Dùng để dạy thực nghiệm với các phương pháp dạy học và
biện pháp đã đề ra. Các tiết dạy được chọn trong SGK Toán 8 (tập 2) và SGK Toán
9 (Tập 2).
Sử dụng tập đề kiểm tra sau khi dạy thực nghiệm để kiểm chứng các biện pháp
đã đề ra trong khi dạy thực nghiệm.
2.4. Quy trình thu thập, phân tích dữ liệu và kết quả thực nghiệm sƣ phạm
Bước 1: Chúng tôi sử dụng các phiếu khảo sát thăm dò ý kiến của GV (Phụ
lục 1) và HS (Phụ lục 3) về NLLT để nắm được khả năng liên tưởng của HS và thực
trạng việc phát triển NLLT cho HS trong dạy học toán. Từ đó đề xuất các biện pháp
sư phạm.
Bước 2: Chọn lớp dạy thực nghiệm và đối chứng. Chọn hai lớp tương đồng về
trình độ dựa trên kết quả năm học trước và thông qua GV giảng dạy trước đó.
Bước 3: Tiến hành thực nghiệm sư phạm trên các lớp thực nghiệm và đối
chứng để xem xét, đánh giá tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã
đề xuất.
+ Chọn bài học
+Thiết kế giáo án
+ Tiến hành thực nghiệm và kiểm tra
Bước 4: Sử dụng các bài kiểm tra cuối chương để tổng hợp và phân tích thống
kê, khẳng định tính hiệu quả, khả thi của các biện pháp đã đề ra.

41. 38
2.5. Kết luận chƣơng 2
Trong chương này, chúng tôi đã đưa ra thiết kế nghiên cứu cụ thể bao gồm:
thiết kế khảo sát thông qua các phiếu khảo sát để thăm dò ý kiến của GV và HS
nhằm nắm bắt được thực trạng phát triển NLLT cho HS trong dạy học toán và thiết
kế thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi của các biện pháp đề xuất. Đồng
thời, chúng tôi cũng xây dựng quy trình thu thập, phân tích số liệu và kết quả thực
nghiệm sư phạm. Trong chương tiếp theo, chúng tôi sẽ đưa ra các kết quả của
nghiên cứu.

42. 39
Chƣơng III
KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
3.1. Kết quả trả lời phiếu khảo sát thăm dò ý kiến giáo viên và học sinh
3.1.1. Đối với giáo viên
Các câu hỏi trong phiếu khảo sát nhằm tìm hiểu GV toán ở trường THCS có
những hiểu biết như thế nào về hoạt động liên tưởng trong quá trình dạy học toán?
NLLT có vai trò như thế nào, được biểu hiện bởi những thành tố gì? Việc phát triển
NLLT được quan tâm ra sao? Thực hiện như thế nào? Thông qua những hoạt động
gì? Trên cơ sở đó để có những kiến nghị, đề xuất về việc phát triển NLLT nhằm
nâng cao hiệu quả của việc dạy học toán nói riêng và đáp ứng yêu cầu đổi mới
PPDH nói chung. Có tất cả 60 giáo viên tham gia trả lời phiếu khảo sát, kết quả
được phân tích như sau:
* Về ưu điểm:
Các GV đã đưa ra những hiểu biết riêng của mình về hoạt động liên tưởng
trong quá trình dạy học môn toán mặc dù chưa đầy đủ. Hầu hết tất cả GV đều cho
rằng NLLT của HS ở cấp THCS trong dạy học toán có vai trò quan trọng và rất
quan trọng. Cụ thể là ở câu 1 có 37 GV chọn đáp án A và 23 GV chọn đáp án B,
không có GV chọn đáp án C và D.
Nhiều GV cũng đã chỉ ra được những thành tố quan trọng của NLLT như: NL
dự đoán vấn đề, NL chuyển đổi ngôn ngữ, NL nhìn nhận vấn đề dưới nhiều góc độ
khác nhau, NL quy lạ về quen. Thể hiện ở câu 2:
Nội dung Đánh dấu chọn Không chọn
NL dự đoán vấn đề 54 (90%) 6 (10%)
NL huy động kiến thức 26 (43,3%) 34 (56,7%)
NL tư duy và sử dụng chính xác ngôn ngữ 28 (46,7%) 32 (53,3%)

43. 40
NL chuyển đổi ngôn ngữ 46 (76,7%) 14 (23,3%)
NL toán học hóa các tình huống thực tiễn 31 (51,7%) 29 (48,3%)
NL quy lạ về quen 49 (81,7%) 11 (18,3%)
NL nhìn nhận vấn đề dưới nhiều góc độ khác
nhau
41 (68,3%) 19 (31,7%)
Các NL khác
NL sàng lọc liên tưởng
NL phát hiện và sửa chữa sai lầm
17 (28,3%)
19 (31,7%)
Bên cạnh đó đa số các GV đã chỉ ra được những yếu tố quan trọng ảnh hưởng
tới việc phát triển NLLT cho HS THCS từ phía người học, người dạy và môi trường
học tập. Nhiều GV cũng chỉ ra những khó khăn trong việc phát triển NLLT cho HS
trong dạy học toán như: Khả năng suy đoán và liên tưởng của học sinh chưa thành
thạo; NL chuyển đổi ngôn ngữ của HS chưa tốt; chương trình toán vẫn còn quá tải
đối với HS. Cụ thể ở câu 4:
Nội dung Đánh dấu chọn Không chọn
Trình độ HS chưa đồng đều 21 (35%) 39 (65%)
Chương trình toán vẫn còn quá tải 48 (80%) 12 (20%)
Thời lượng phân bổ quy định cho các tiết học
chưa phù hợp
25 (41,7%) 35 (58,3%)
Khả năng suy đoán và liên tưởng của học sinh
chưa thành thạo
48 (80%) 11 (20%)
NL chuyển đổi ngôn ngữ của HS chưa tốt 43 (71,7%) 17 (28,3%)

44. 41
Trên cơ sở những hiểu biết của mình, các GV đã đề xuất một số giải pháp
nhằm phát triển NLLT cho HS như: Luyện tập cho HS các kỹ năng liên tưởng và
huy động kiến thức; rèn luyện cho HS kỹ năng biến đổi tương đương; phát triển cho
HS khả năng tư duy và dự đoán vấn đề; rèn luyện cho HS khả năng hệ thống hóa
kiến thức, xây dựng chuỗi bài toán tương tự; xây dựng hệ thống các câu hỏi trong
các tình huống dạy học để dẫn dắt HS chuyển hóa các liên tưởng.
* Về nhược điểm:
Những hiểu biết của một số ít GV về hoạt động liên tưởng và NLLT của HS
cũng như những biểu hiện của NLLT là chưa đầy đủ.
Theo đánh giá của nhiều GV thì nhiều NL thành tố của NLLT của HS trường
THCS còn hạn chế: Khả năng suy đoán và liên tưởng của HS chưa thành thạo; NL
chuyển đổi ngôn ngữ của HS chưa tốt.
Một số GV ít quan tâm đến việc phát triển NLLT cho HS trong quá trình dạy
học môn toán mà chỉ tập trung ở một vài tiết học quan trọng, ở câu 3 có 5/60 GV
(chiếm 8,3%) chọn phương án B, 3/60 GV (chiếm 5%) chọn phương án C.
NL chuyển đổi ngôn ngữ được nhiều GV chọn là một thành tố quan trọng của
NLLT nhưng lại có rất ít GV quan tâm đưa ra giải pháp phát triển thành tố này.
3.1.2. Đối với học sinh
Phiếu khảo sát bao gồm 5 câu với thang điểm đánh giá từ 1 đến 5 nhằm tìm
hiểu, đánh giá NLLT của HS các trường THCS ở mức nào? Những nội dung nào đã
được HS quan tâm và thực hiện tốt, những nội dung nào chưa được HS quan tâm
đúng mức và khả năng thực hiện còn chưa tốt cần được chú ý và rèn luyện thêm
trong quá trình dạy học môn toán? Kết quả khảo sát của 138 HS của ba trường gồm
trường THCS Hải Thượng, trường THCS Nguyễn Du, trường THCS Triệu Long
trên địa bàn tỉnh Quảng Trị như sau:

45. 42
Bảng 3.1. Kết quả khảo sát NLLT của HS trƣờng THCS
Nội dung
Kết quả khảo sát trung bình
Hải
Thượng
Nguyễn
Du
Triệu
Long
Khi GV đưa ra vấn đề cần giải quyết, em đọc và
nghiên cứu chi tiết các dữ kiện, thông tin đã cho
3,4 3,4 3,5
Thường xuyên liên tưởng đến các kiến thức liên
quan tới các khái niệm, dữ kiện trong đề bài.
3,4 2,9 3,2
Thường chú ý liên tưởng đến các bài toán, các
tình huống đã làm tương tự.
3,6 3,5 3,3
Tìm và phân tích các dữ kiện để đưa về các vấn đề
quen thuộc đã giải quyết.
2,7 3,3 3,0
Có suy nghĩ sắp xếp phân loại những kiến thức
liên quan, những dạng bài tập tương tự như nhau.
2,9 3,1 2,7
Tổng cộng 16,0 16,2 15,7
Tổng số học sinh 46 43 49
Từ kết quả số liệu khảo sát thu được và qua dự giờ thực tế cùng với việc lấy ý
kiến từ GV tại các trường THCS, chúng tôi nhận thấy:
Nhìn chung, hầu hết HS THCS đã có quan tâm thực hiện các nội dung cơ bản
của NLLT tuy nhiên ở mức độ còn thấp, chưa đầy đủ.
Kết quả khảo sát cũng cho thấy NLLT của HS THCS nhìn chung chưa đạt đến
mức độ như mong muốn mà nó có thể đạt tới.
Một số yếu tố đánh giá NLLT của HS qua kết quả khảo sát và tìm hiểu còn
thấp cần được tập trung phát triển như: khả năng liên tưởng, lên kết các thông tin

46. 43
liên quan; khả năng sắp xếp phân loại những kiến thức liên quan, những dạng bài
tập tương tự nhau; khả năng tìm và phân tích các dữ kiện để đưa về các vấn đề quen
thuộc đã giải quyết...
3.2. Một số biện pháp sƣ phạm nhằm phát triển NLLT cho HS THCS trong
dạy học toán
3.2.1. Định hƣớng sƣ phạm của việc đề ra các biện pháp
Định hƣớng 1: Các biện pháp phải được xây dựng trên một số cơ sở quan
trọng, đó là căn cứ vào mục tiêu của việc dạy học môn toán, nội dung môn toán,
phương pháp dạy học môn toán ở trường THCS cũng như phải xuất phát từ thực
trạng của việc dạy học toán ở trường THCS và đặc biệt là từ thực tế của việc phát
triển NLLT cho HS THCS trong dạy học toán.
Định hƣớng 2: Các biện pháp thể hiện rõ ý tưởng, mục đích là góp phần rèn
luyện để phát triển NLLT cho HS THCS trong dạy học toán.
Định hƣớng 3: Các biện pháp phải đảm bảo tính khả thi trong điều kiện dạy
học hiện nay.
Định hƣớng 4: Việc thực hiện các biện pháp sẽ góp phần nâng cao chất lượng
của việc dạy học toán ở trường THCS, đặc biệt là phát huy tối đa tính chủ động, tích
cực và sáng tạo của HS trong quá trình học toán.
Định hƣớng 5: Các biện pháp cần được thể hiện thông qua các phương pháp
dạy học tích cực đang được triển khai và vận dụng ở các trường phổ thông.
Định hƣớng 6: Các biện pháp thực hiện không chỉ áp dụng được trong quá
trình dạy học toán ở trường THCS mà có thể mở rộng cho một số cấp học khác.
3.2.2. Một số biện pháp nhằm góp phần phát triển NL liên tƣởng cho HS
THCS trong dạy học toán
3.2.2.1. Biện pháp 1: Luyện tập cho HS các hoạt động chuyển hóa các liên
tƣởng để giải quyết các vấn đề đặt ra và tiếp nhận tri thƣớc mới
* Mục đích của biện pháp

47. 44
Theo tâm lý học liên tưởng cái mới được hình thành thông qua hoạt động
chuyển hóa các liên tưởng. Biện pháp nêu trên được thực hiện nhờ vận dụng các
quy luật tương cận, quy luật tương tự và quy luật nhân quả.
Tác dụng của biện pháp này là phát triển NL hoạt động biến đối tượng để chủ
thể HS xâm nhập vào đối tượng phát hiện tri thức mới, NL hoạt động điều ứng để
thích nghi môi trường mới nhằm tạo điều kiện và tiền đề cho HS phát hiện và giải
quyết các vấn đề đặt ra.
* Cách thức thực hiện
Để thực hiện biện pháp này, người GV cần lựa chọn, thiết kế các tình huống
chứa đựng các dấu hiệu thể hiện bản chất đối tượng nhằm làm cho HS liên tưởng
đến các công cụ để phát hiện và giải quyết vấn đề đặt ra.
Hoạt động 1.1: Phát triển cho HS kỹ năng liên tưởng và huy động tri thức
nguồn cội
Chúng ta biết rằng, tri thức nguồn cội là tri thức mà bằng một cách nào đó sẽ
suy luận ra các tri thức khác liên quan, nghĩa là mọi tri thức liên quan có thể bắt
nguồn từ tri thức đó. Chẳng hạn, trong quá trình giải quyết vấn đề đặt ra, từ những
thông tin đã cho HS biết liên tưởng tới những tri thức đã học (như khái niệm, định
lý, quy tắc,...) hoặc liên tưởng tới các bài toán quen thuộc đã giải để huy động hợp
lý các kiến thức liên quan và giải quyết tốt các tình huống, các vấn đề đặt ra.
Ví dụ 3.1. GV yêu cầu học sinh lớp 9 chứng minh bất đằng thức Cauchy: Với
, chứng minh :
√
Sau khi học về căn bậc 2, HS có thể thấy rằng, do không âm nên √ và
√ xác định.
Từ thông tin về bất đẳng thức các em có thể liên tưởng đến việc
lập bình phương của một hiệu như sau
(√ √ )

48. 45
Khai triển vế trái
√
Từ đó suy ra
√
Sau đó chia hai vế của bất đẳng thức trên cho 2 ta được bất phương trình phải
chứng minh và rõ ràng dấu bằng xảy ra khi . Ở đây bất đẳng thức với
mọi là tri thức nguồn cội cho bài toán đã cho.
Khi đã chứng minh được bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm thì bất
đẳng thức này lại là tri thức nguồn cội cho việc chứng minh một bài toán khác.
Ví dụ 3.2. Sau khi chứng minh được bất đẳng thức Cauchy cho hai số không
âm, GV có thể yêu cầu HS chứng minh hệ quả sau đây:
Với và , chứng minh
√
√ √
HS có thể dựa vào đặc điểm của bài toán, liên tưởng đến tri thức nguồn cội ở
đây là bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm. Có được liên tưởng này nó sẽ
góp phần giúp các em phát hiện ra vấn đề đó là cộng vào hai vế của bất đẳng
thức Cauchy và từ đó đi đến lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số và , ta có
√ ( )
Cộng vào hai vế của bất đẳng thức ( ) và biến đổi được
( ) (√ √ ) ( )
Chia hai vế của bất đẳng thức ( ) cho 4 rồi khai phương ta được điều phải
chứng minh.

49. 46
Như vậy tri thức nguồn cội góp phần quan trọng trong việc giải các bài toán đã
nêu. Nếu HS nắm được các tri thức này và huy động khi cần thiết thì sẽ tạo tiền đề
thuận lợi cho việc giải các bài toán. Để thực hiện hoạt động này hiệu quả, GV phải
biết chọn lựa các bài toán mang dụng ý sư phạm nhằm giúp HS liên tưởng đến kiến
thức nguồn cội và bằng PPDH hợp lý làm cho HS phát hiện ra tri thức đó.
Hoạt động 1.2: Tăng cường cho HS luyện tập phát triển kỹ năng quy lạ về
quen
Kỹ năng quy lạ về quen là kỹ năng chuyển đổi vấn đề cần giải quyết về dạng
quen thuộc đã biết cách giải. Trong quá trình học tập, khi giải quyết một vấn đề đặt
ra, HS thường liên tưởng tới một kiến thức và kỹ năng đã có. Sự liên tưởng này
hình thành trên cơ sở so sánh, đối chiếu các dữ kiện, các yêu cầu của bài toán hay
vấn đề đặt ra với các kiến thức và kỹ năng mà họ lưu giữ trong trí nhớ. Thực hiện sự
chuyển hóa các liên tưởng này tức là xác lập các mối liên hệ giữa tri thức sẵn có với
các khám phá của HS trong quá trình học tập. Do đó, trong quá trình dạy học, nếu
GV biết tổ chức, điều khiển sao cho sự “chuyển di” tri thức về tri thức sẵn có diễn
ra thuận lợi, HS biết chuyển hóa tốt sự liên tưởng đến các kiến thức, kỹ năng liên
quan thì giúp HS tích cực, tự giác trong học tập và hiệu quả dạy học sẽ được nâng
cao.
Ví dụ 3.3. Khi học xong bài “Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng
phương pháp cộng đại số”, GV đưa ra yêu cầu giải hệ phương trình sau:
1. {
2. {
Yêu cầu này không vượt quá xa đối với những kiến thức, kỹ năng mà HS đã
tích lũy được sau khi học xong bài “Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng
phương pháp cộng đại số”. GV sẽ định hướng dẫn dắt, gợi ý thông qua hệ thống các

50. 47
câu hỏi để HS thấy được mối liên hệ giữa các phương trình đó với hệ hai phương
trình bậc nhất hai ẩn đã được học và từ đó tìm được cách biến đổi quy về dạng hệ
phương trình đã học thích hợp, chẳng hạn như:
- Có nhận xét gì về các số hạng có trong các phương trình của hệ, mối liên hệ
giữa các số hạng đó trong hai phương trình của mỗi hệ?
- Có sự liên tưởng nào giữa hệ phương trình đã cho và hệ hai phương trình bậc
nhất hai ẩn đã học?
- Để đưa hệ phương trình trên về dạng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn đã
học ta thực hiện những phép biến đổi như thế nào?
- Sau khi đã biến đổi về dạng quen thuộc ta có thể huy động những phương
pháp nào để giải?
Như vậy kỹ năng quy lạ về quen đóng vai trò rất quan trọng trong việc giải
toán của HS, giúp phát triển thành tố NL quy lạ về quen.
Hoạt động 1.3: Luyện tập cho HS phát triển kỹ năng liên tưởng liên môn
Những dạng liên tưởng trên là chuyển hóa liên tưởng trong nội tại một loại
ngôn ngữ của môn hình học, đại số... Tuy nhiên, giữa các môn học có nhiều mối
liên hệ biện chứng với nhau cho nên một tình huống toán học có thể giải thích theo
các công cụ khác nhau, có những bài toán đang được thể hiện ở ngôn ngữ này
nhưng chuyển sang ngôn ngữ khác thì có thể dễ giải thích, phân tích và phát hiện
cách giải hơn. Do đó để rèn luyện cho HS các hoạt động liên tưởng liên môn, GV
cần khai thác các bài toán có nội dung môn học này nhưng lại thể hiện dưới dạng
hình thức của môn học khác nhằm thiết kế các hoạt động, tập luyện cho HS liên
tưởng và huy động tri thức, phát hiện và giải quyết vấn đề đặt ra.
Ví dụ 3.4. GV yêu cầu HS giải bài toán sau:
Cho đường tròn đường kính . Qua A và B kẻ hai tiếp tuyến của
đường tròn đó. Gọi M là một điểm trên đường tròn. Các đường thẳng BM và AM
cắt các tiếp tuyến trên lần lượt tại A’ và B’.
a. Chứng minh rằng .

51. 48
b. Tính theo độ dài các đoạn thẳng và biết tổng độ dài hai đoạn
thẳng và bằng .
Đối với bài toán này, sau khi vận dụng kiến thức hình học làm xong câu (a),
để làm câu (b), nếu HS có ý định tính độ dài các đoạn thẳng theo cách thông thường
thì sẽ khó thực hiện được. Tuy nhiên nếu GV khéo léo đưa ra các câu hỏi giúp các
em liên tưởng liên môn, liên tưởng đến đại số, coi hai cạnh và là hai
nghiệm của phương trình bậc hai thì có thể dùng hệ thức Viet để tìm ra độ dài của
hai cạnh này. Các câu hỏi có thể như sau: Những dữ kiện nào liên quan đến và
? Những dữ kiện đó liên quan đến kiến thức quen thuộc gì trong đại số?
Sau khi HS phát hiện được hệ thức liên quan là định lý Viet và dự đoán sẽ sử
dụng phương trình bậc hai để tìm độ dài hai đoạn thẳng thì có thể đưa ra lời giải
như sau:
Hình 3.1
Ta có:
{
Do đó, và là hai nghiệm
của phương trình:
[
{
{
Ngoài ra, GV nên thường xuyên cho HS giải những bài toán trong có vẻ rất
phức tạp nhưng nếu HS biết liên tưởng đến các công cụ đã học thì vấn đề được giải
quyết dễ dàng, nhằm làm cho khả năng liên tưởng và huy động kiến thức của HS
thêm phong phú, phát hiện và giải quyết vấn đề thêm linh hoạt.
M
O
B'
A'
A B

52. 49
Ví dụ 3.5. GV yêu cầu HS lớp 9 giải bài toán:
Cho các số với . Chứng minh rằng
√ ( ) √ ( ) √
Hình 3.2
Đây là một bài toán khó, GV có thể ra cho HS khá giỏi. Đối với bài toán này
nếu các em chỉ thực hiện các kỹ thuật biến đổi đơn thuần thì rất khó khăn. Tuy
nhiên, phân tích từ các thông tin đã cho của bài toán GV có thể hướng dẫn giúp HS
phát hiện và liên tưởng đến công thức tính diện tích tam giác. GV có thể dẫn dắt cho
HS cách giải quyết bài toán bằng cách gợi ý qua hệ thống các câu hỏi. Các số
giúp các em liên tưởng tới điều gì?
Sau khi HS phát hiện ra các giá trị là các số dương và dự đoán sẽ gắn
các giá trị √ √ √ lần lượt là độ dài hai cạnh và đường cao thì GV
tiếp tục hướng dẫn cho HS phát hiện và so sánh diện tích của hình bình hành với
hình chữ nhật có độ dài các cạnh bằng nhau. Từ đó HS có thể biến đổi và giải bài
toán như sau:
Ta có:
{ {
Đặt: √ √ √
Khi đó: √ √
Mặt khác: √
( ) √