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2015年度先端GPGPUシミュレーション工学特論　第9回　偏微分方程式の差分計算 （移流方程式）

長岡技術科学大学 2015年度先端GPGPUシミュレーション工学特論（全15回，大学院生対象講義） 第9回偏微分方程式の差分計算 （移流方程式） 2015年度先端GPGPUシミュレーション工学特論 ・第1回　先端シミュレーションおよび産業界におけるGPUの役割 http://www.slideshare.net/ssuserf87701/2015gpgpu1-59180313 ・第1回補足　GROUSEの利用方法 http://www.slideshare.net/ssuserf87701/2015gpgpu1-59180326 ・第2回　GPUによる並列計算の概念とメモリアクセス http://www.slideshare.net/ssuserf87701/2015gpgpu2-59180382 ・第3回　GPUプログラム構造の詳細（threadとwarp） http://www.slideshare.net/ssuserf87701/2015gpgpu3-59180483 ・第4回　GPUのメモリ階層の詳細（共有メモリ） http://www.slideshare.net/ssuserf87701/2015gpgpu4-59180572 ・第5回　GPUのメモリ階層の詳細（様々なメモリの利用） http://www.slideshare.net/ssuserf87701/2015gpgpu5-59180652 ・第6回　プログラムの性能評価指針（Flop/Byte，計算律速，メモリ律速） http://www.slideshare.net/ssuserf87701/2015gpgpu6-59180736 ・第7回　総和計算（Atomic演算） http://www.slideshare.net/ssuserf87701/2015gpgpu7-59180844 ・第8回　偏微分方程式の差分計算（拡散方程式） http://www.slideshare.net/ssuserf87701/2015gpgpu8-59180918 ・第9回　偏微分方程式の差分計算（移流方程式） http://www.slideshare.net/ssuserf87701/2015gpgpu9-59180982 ・第10回　Poisson方程式の求解（線形連立一次方程式） http://www.slideshare.net/ssuserf87701/2015gpgpu10-59181031 ・第11回　数値流体力学への応用（支配方程式，CPUプログラム） http://www.slideshare.net/ssuserf87701/2015gpgpu11-59181134 ・第12回　数値流体力学への応用（GPUへの移植） http://www.slideshare.net/ssuserf87701/2015gpgpu12-59181230 ・第13回　数値流体力学への応用（高度な最適化） http://www.slideshare.net/ssuserf87701/2015gpgpu13-59181316 ・第14回　複数GPUの利用 http://www.slideshare.net/ssuserf87701/2015gpgpu14-59181367 ・第15回　CPUとGPUの協調 http://www.slideshare.net/ssuserf87701/2015gpgpu15-59181450 2015年度GPGPU実践基礎工学 ・第1回　学際的分野における先端シミュレーション技術の歴史 http://www.slideshare.net/ssuserf87701/2015gpgpu1 2015年度GPGPU実践プログラミング ・第1回　GPGPUの歴史と応用例 http://www.slideshare.net/ssuserf87701/2015gpgpu1-59179080 講義には長岡技術科学大学のGPGPUシステム（GROUSE）を利用しています。 開発環境 CPU　Intel Xeon X5670 × 32 GPU　NVIDIA Tesla M2050（Fermi世代） × 64 CUDA 4.0（諸般の事情によりバージョンアップされていません） PGI Fortran 11.3

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第9回 偏微分方程式の差分計算 （移流方程式） 長岡技術科学大学 電気電子情報工学専攻 出川智啓
今日の内容  差分法  1次関数の差分  共有メモリの利用  2次元移流方程式  gnuplotによる結果の表示  ダブルバッファリング 先端GPGPUシミュレーション工学特論2 2015/06/11
数値計算  計算機を利用して数学・物理学的問題の解を計算  微積分を計算機で扱える形に変換  処理自体はあまり複雑ではない  精度を上げるために計算量が増加 先端GPGPUシミュレーション工学特論3 2015/06/11
現象を支配する方程式（支配方程式）  現象は微分方程式によって記述  微分と積分が計算できれば現象を明らかにできる  支配方程式  場所や時間によって方程式は変わらない  流体の支配方程式 0      i i x u t  j ij ij iji xx p x uu t u             i i i iji i i i i x q x u x pu x Eu t E                （質量保存式） （エネルギ保存式） （運動量保存式） 先端GPGPUシミュレーション工学特論4 2015/06/11
移流方程式  流体中の物質の移動を表す方程式  流れている水の中に落ちたインクの移動等  時刻t=0におけるfの分布（初期値）が既知  時間進行に伴い，fがどのように変化するかを計算  時間積分しながらfの分布を求める 0 ),(),(       x txf u t txf 先端GPGPUシミュレーション工学特論5 2015/06/11 0 ),,(),,(),,(          y tyxf v x tyxf u t tyxf u : x方向速度 v : y方向速度
差分法 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論6  計算機で微分を計算する方法の一つ  微分の定義  xの関数fについて，xだけ離れた2点間の傾きを計算し， 2点の間隔を無限小に近づけたときの極限  差分近似  関数をある間隔でサンプリング  その間隔xがfの変化に対して十分小さいと仮定 Δx xfΔxxf dx df Δx )()( lim 0    Δx xfΔxxf dx df )()(  
差分法（理論的なお話） 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論7  差分の誤差  limを排除したことでどの程度の誤差が入るのか  関数fのテイラー展開を利用 Δx xfΔxxf Δx xfΔxxf dx df Δx )()()()( lim 0       3 33 2 22 !3!2 )()( dx fdΔx dx fdΔx dx df ΔxxfΔxxf            3 33 2 22 !3!2 1)()( dx fdΔx dx fdΔx ΔxΔx xfΔxxf dx df
差分法（理論的なお話）  空間打ち切り誤差  定義とテイラー展開の比較  テイラー展開を有限項で打ち切ったことによる誤差            3 33 2 22 !3!2 1)()( dx fdΔx dx fdΔx ΔxΔx xfΔxxf dx df Δx xfΔxxf Δx xfΔxxf dx df Δx )()()()( lim 0      誤差          3 32 2 2 !3!2 dx fdΔx dx fdΔx 先端GPGPUシミュレーション工学特論8 2015/06/11
差分法（理論的なお話） 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論9  誤差の主要項  空間打ち切り誤差の中で最も大きい誤差は第1項  xは小さい→xの高次項はさらに小さく，無視できる  直感的に導いた微分の数値計算法の誤差はO(x)  xを1/10にすれば誤差も1/10になる )( !3!2 3 32 2 2 ΔxO dx fdΔx dx fdΔx           
差分法（理論的なお話） 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論10  差分の取り方  テイラー展開で整理 Δx ΔxxfΔxxf Δx ΔxxfΔxxf dx df Δx 2 )()( 2 )()( lim 0                Δx Δxxfxf Δx xfΔxxf )()()()( 2 1            3 33 !3 2 2 1 2 )()( dx fdΔx ΔxΔx ΔxxfΔxxf dx df
差分法の概念図 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論11 f(x) x x=0 ･･･ x−x x x+x x Δx xfΔxxf )()(  Δx Δxxfxf )()(  Δx ΔxxfΔxxf 2 )()(  中心差分 前進差分 後退差分
差分法の概念図 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論12 f(x) x i=0 ･･･ i−1 i i+1 x=0 ･･･ (i−1)x ix (i+1)x x サンプリングされた関数値 を配列f[]で保持
差分法の概念図 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論13 f[i] i i=0 ･･･ i−1 i i+1 dx サンプリングされた関数値 を配列f[]で保持 f[i] f[i‐1] f[i+1] 中心差分 (f[i+1]‐f[i‐1])/(2*dx)
差分法の実装  1階微分の中心差分近似 dfdx[i] f[i] ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論14 Δx ff Δx ΔxxfΔxxf dx df ii x 22 )()( 11      Δx2 1
差分法の実装  計算領域内部  dfdx[i]=(f[i+1]‐f[i‐1])/(2.0*dx); dfdx[i] f[i] ＋ ＋ ＋ ＋ 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論15 Δx2 1 ×−1
差分法の実装  境界条件(関数値が無いため処理を変更)  dfdx[0  ]=(‐3*f[0  ]+4*f[0+1]‐f[0+2])/(2*dx);  dfdx[N‐1]=( 3*f[N‐1]‐4*f[N‐2]+f[N‐3])/(2*dx);  2階微分値が一定と仮定して関数を補外した事に相当 dfdx[i] f[i] ＋ 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論16 Δx2 1 ×−3 ×4 ×−1
差分法の実装  境界条件(関数値が無いため処理を変更)  dfdx[0  ]=(‐3*f[0  ]+4*f[0+1]‐f[0+2])/(2*dx);  dfdx[N‐1]=( 3*f[N‐1]‐4*f[N‐2]+f[N‐3])/(2*dx);  2階微分値が一定と仮定して関数を補外した事に相当 dfdx[i] f[i] ＋ 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論17 Δx2 1 ×−4 ×3
差分法の実装  境界条件(境界で微分値が0と規定)  dfdx[0  ]=0.0;  dfdx[N‐1]=0.0;  そのまま値を代入すればよい 0.0 0.0dfdx[i] f[i] ＋ 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論18 Δx2 1 ×−4 ×3 ＋ Δx2 1 ×−3 ×4 ×−1
#include<stdlib.h> #include<math.h>/*‐lmオプションが必要*/ #define Lx (2.0*M_PI) #define Nx (256) #define dx (Lx/(Nx‐1)) #define Nbytes (Nx*sizeof(double)) void init(double *f){ int i; for(i=0; i<Nx; i++){ f[i] = sin(i*dx); } } void differentiate(double *f, double *dfdx){ int i; dfdx[0] = (‐3*f[0] +4*f[1] ‐ f[2])/(2*dx); for(i=1; i<Nx‐1; i++) dfdx[i] = ( f[i+1] ‐f[i‐1])/(2*dx); dfdx[Nx‐1]=(   f[Nx‐3] ‐4*f[Nx‐2] +3*f[Nx‐1])/(2*dx); } int main(void){ double *f,*dfdx; f    = (double *)malloc(Nbytes); dfdx = (double *)malloc(Nbytes); init(f); differentiate(f,dfdx); return 0; } CPUプログラム 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論19 differentiate.c
関数の離散化 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論20  計算領域の長さと離散点の数，離散点の間隔の関係 f(x) x x 0 2 Lx 0からLxの間に設けられた点の数Nx=Lx/x + 1
実行結果 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論21   x f,df/dx
GPUへの移植  計算領域内部を計算するスレッド  dfdx[i]=(f[i+1]‐f[i‐1])/(2.0*dx);  境界を計算するスレッド  dfdx[0  ]=(‐3*f[0  ]+4*f[0+1]‐f[0+2])/(2*dx);  dfdx[N‐1]=( 3*f[N‐1]‐4*f[N‐2]+f[N‐3])/(2*dx); dfdx[i] f[i] ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論22 Δx2 1
#include<stdlib.h> #include<math.h>/*‐lmオプションが必要*/ #define Lx (2.0*M_PI) #define Nx (1024*1024) #define dx (Lx/(Nx‐1)) #define Nbytes (Nx*sizeof(double)) #define NT (256) #define NB (Nx/NT) void init(double *f){ int i; for(i=0; i<Nx; i++){ f[i] = sin(i*dx); } } __global__ void differentiate (double *f, double *dfdx){ int i = blockIdx.x*blockDim.x + threadIdx.x; if(i==0) dfdx[i]=(‐3.0*f[i ] +4.0*f[i+1] ‐ f[i+2])/(2.0*dx); if(0<i && i<Nx‐1) dfdx[i] = ( f[i+1] ‐f[i‐1])/(2.0*dx); if(i==Nx‐1) dfdx[i]=(     f[i‐2] ‐4.0*f[i‐1] +3.0*f[i ])/(2.0*dx); } GPUプログラム 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論23 differentiate.cu 2階微分からの変更箇所
int main(void){ double *host_f,*host_dfdx; double *f,*dfdx; host_f =(double *)malloc(Nbytes); host_dfdx=(double *)malloc(Nbytes); cudaMalloc((void **)&f,Nbytes); cudaMalloc((void **)&dfdx,Nbytes); init(host_f); cudaMemcpy(f, host_f, Nbytes, cudaMemcpyHostToDevice); differentiate<<<NB, NT>>>(f,dfdx); cudaMemcpy(host_dfdx, dfdx, Nbytes, cudaMemcpyDeviceToHost); free(host_f); free(host_dfdx); cudaFree(f); cudaFree(dfdx); return 0; } GPUプログラム 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論24 differentiate.cu
共有メモリの典型的な使い方 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論25  差分法  あるスレッドが中心差分を計算するために配列の要素i‐1,  i, i+1を参照  配列要素は複数回参照される  Fermi世代以降はキャッシュが利用可能 1 1 2 2 1 1 dfdx[i] f[i] ＋ ＋ ＋ ＋ Δx2 1 参照される回数
共有メモリの典型的な使い方  境界で異なる処理を行うためにif分岐が必要  キャッシュを搭載していてもグローバルメモリへのアクセス を伴うif分岐は高負荷  データの再利用とif文の排除に共有メモリを利用 2 2 3 3 2 2 dfdx[i] f[i] ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論26 Δx2 1 参照される回数
共有メモリによる明示的なキャッシュ 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論27  グローバルメモリから共有メモリにデータをキャッシュ  共有メモリ上で境界条件を処理  中心差分の計算からifを排除 dfdx[i] f[i] 共有メモリ blockIdx.x=0 blockIdx.x=1 計算のために必要になる余分な領域（袖領域）
共有メモリによる明示的なキャッシュ 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論28  グローバルメモリから共有メモリにデータをキャッシュ  共有メモリ上で境界条件を処理  中心差分の計算からifを排除 dfdx[i] f[i] 共有メモリ blockIdx.x=0 blockIdx.x=1 何らかの方法で 境界条件を反映 何らかの方法で 境界条件を反映
共有メモリによる明示的なキャッシュ 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論29  グローバルメモリから共有メモリにデータをキャッシュ  共有メモリ上で境界条件を処理  中心差分の計算からifを排除 dfdx[i] f[i] 共有メモリ ＋＋ ＋ ＋ ＋ ＋ blockIdx.x=0 blockIdx.x=1 全スレッドが同じ式 で中心差分を計算
__global__ void differentiate(double *f, double *dfdx){ int i = blockIdx.x*blockDim.x + threadIdx.x; __shared__ double sf[1+NT+1]; int tx = threadIdx.x+1; sf[tx] = f[i]; __syncthreads(); if(blockIdx.x> 0           && threadIdx.x==0           ) sf[tx‐1] = f[i‐1]; if(blockIdx.x< gridDim.x‐1 && threadIdx.x==blockDim.x‐1) sf[tx+1] = f[i+1]; if(blockIdx.x==0           && threadIdx.x==0           ) sf[tx‐1] = 3.0*sf[tx]‐3.0*sf[tx+1]+sf[tx+2]; //sf[tx‐1] = sf[tx+1]; if(blockIdx.x==gridDim.x‐1 && threadIdx.x==blockDim.x‐1) sf[tx+1] = 3.0*sf[tx]‐3.0*sf[tx‐1]+sf[tx‐2]; //sf[tx+1] = sf[tx‐1]; __syncthreads(); dfdx[i] = ( sf[tx+1]‐sf[tx‐1])/(2.0*dx); } 共有メモリを用いた書き換え 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論30 differentiate_shared.cu
共有メモリの宣言と代入 int i = blockIdx.x*blockDim.x + threadIdx.x; __shared__ double sf[1+NT+1]; //右と左の袖領域を追加して宣言 int tx = threadIdx.x+1; sf[tx] = f[i]; __syncthreads(); 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論31 f[i] sf[NT+2] i=   0    1    2            3    4    5 threadIdx.x= 0    1    2          0    1    2 tx=   0    1    2    3   4       0    1    2    3    4 NT=3NT=3 f[0] f[1] f[2]             f[3] f[4] f[5]
袖領域の処理 if(blockIdx.x> 0           && threadIdx.x==0           ) sf[tx‐1] = f[i‐1]; if(blockIdx.x< gridDim.x‐1 && threadIdx.x==blockDim.x‐1) sf[tx+1] = f[i+1]; 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論32 f[i] sf[NT+2] i=   0    1    2            3    4    5 0    1    2=threadIdx.x tx=   0    1    2    3   4       0    1    2    3    4 blockIdx.x=0 blockIdx.x=1 f[0] f[1] f[2]         f[3] f[4] f[5]
袖領域の処理 if(blockIdx.x> 0           && threadIdx.x==0           ) sf[tx‐1] = f[i‐1]; if(blockIdx.x< gridDim.x‐1 && threadIdx.x==blockDim.x‐1) sf[tx+1] = f[i+1]; 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論33 f[i] sf[NT+2] i=   0    1    2            3    4    5 0=threadIdx.x tx=   0    1    2    3   4       0    1    2    3    4 blockIdx.x=0 blockIdx.x=1 f[0] f[1] f[2]        f[2] f[3] f[4] f[5]
袖領域の処理 if(blockIdx.x> 0           && threadIdx.x==0           ) sf[tx‐1] = f[i‐1]; if(blockIdx.x< gridDim.x‐1 && threadIdx.x==blockDim.x‐1) sf[tx+1] = f[i+1]; 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論34 f[i] sf[NT+2] i=   0    1    2            3    4    5 tx=   0    1    2    3   4       0    1    2    3    4 blockIdx.x=0 blockIdx.x=1 f[0] f[1] f[2] f[2] f[3] f[4] f[5] threadIdx.x= 0    1    2
袖領域の処理 if(blockIdx.x> 0           && threadIdx.x==0           ) sf[tx‐1] = f[i‐1]; if(blockIdx.x< gridDim.x‐1 && threadIdx.x==blockDim.x‐1) sf[tx+1] = f[i+1]; 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論35 f[i] sf[NT+2] i=   0    1    2            3    4    5 tx=   0    1    2    3   4       0    1    2    3    4 blockIdx.x=0 blockIdx.x=1 f[0] f[1] f[2] f[3] f[2] f[3] f[4] f[5] threadIdx.x=2
境界条件の処理（差分式で計算） if(blockIdx.x==0           && threadIdx.x==0           ) sf[tx‐1] = 3.0*sf[tx]‐3.0*sf[tx+1]+sf[tx+2]; if(blockIdx.x==gridDim.x‐1 && threadIdx.x==blockDim.x‐1) sf[tx+1] = 3.0*sf[tx]‐3.0*sf[tx‐1]+sf[tx‐2]; 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論36 sf[NT+2] tx=   0    1    2    3   4       0    1    2    3    4 blockIdx.x=0 blockIdx.x=1 f[0] f[1] f[2] f[3] f[2] f[3] f[4] f[5] 2101 33 ffff  Δx ff Δx fff dx df i 22 43 11210 0       境界での差分式と中心差分式が一致するようにf−1を決定 f[‐1]
境界条件の処理（差分式で計算） if(blockIdx.x==0           && threadIdx.x==0           ) sf[tx‐1] = 3.0*sf[tx]‐3.0*sf[tx+1]+sf[tx+2]; if(blockIdx.x==gridDim.x‐1 && threadIdx.x==blockDim.x‐1) sf[tx+1] = 3.0*sf[tx]‐3.0*sf[tx‐1]+sf[tx‐2]; 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論37 sf[NT+2] tx=   0    1    2    3   4       0    1    2    3    4 blockIdx.x=0 blockIdx.x=1 f[0] f[1] f[2] f[3] f[2] f[3] f[4] f[5] 321 33   NNNN ffff Δx ff Δx fff dx df NNNNN Ni 22 43 2321 1       境界での差分式と中心差分式が一致するようにfNを決定 f[‐1] f[6]
境界条件の処理（勾配が0） if(blockIdx.x==0           && threadIdx.x==0           )sf[tx‐1] = sf[tx+1]; if(blockIdx.x==gridDim.x‐1 && threadIdx.x==blockDim.x‐1)sf[tx+1] = sf[tx‐1]; 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論38 sf[NT+2] tx=   0    1    2    3   4       0    1    2    3    4 blockIdx.x=0 blockIdx.x=1 f[0] f[1] f[2] f[3] f[2] f[3] f[4] f[5] 11 ff  0 2 11 0      Δx ff dx df i 境界での中心差分式が0となるようにf−1を決定 f[‐1]
境界条件の処理（勾配が0） if(blockIdx.x==0           && threadIdx.x==0           )sf[tx‐1] = sf[tx+1]; if(blockIdx.x==gridDim.x‐1 && threadIdx.x==blockDim.x‐1)sf[tx+1] = sf[tx‐1]; 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論39 sf[NT+2] tx=   0    1    2    3   4       0    1    2    3    4 blockIdx.x=0 blockIdx.x=1 f[0] f[1] f[2] f[3] f[2] f[3] f[4] f[5] 2 NN ff 0 2 2 1      Δx ff dx df NN Ni 境界での中心差分式が0となるようにfNを決定 f[‐1] f[6]
中心差分の計算 __syncthreads(); dfdx[i] = ( sf[tx+1]‐sf[tx‐1])/(2.0*dx); 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論40 sf[NT+2] tx=   0    1    2    3   4       0    1    2    3    4 blockIdx.x=0 blockIdx.x=1 f[0] f[1] f[2] f[3] f[2] f[3] f[4] f[5] dfdx[i] ＋＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 全スレッドが同じ式 で中心差分を計算Δx2 1 f[‐1] f[6]
2次元への拡張  x方向1階偏微分  y方向を固定してx方向に偏微分  y方向１階偏微分  x方向を固定してy方向に偏微分 Δx yΔxxfyΔxxf x f 2 ),(),(     Δy ΔyyxfΔyyxf y f 2 ),(),(     先端GPGPUシミュレーション工学特論41 2015/06/11
時間積分  時間微分項の離散化  時間微分項を前進差分で離散化  右辺のt+tの項を移行 Δt tyxfΔttyxf t f ),,(),,(     先端GPGPUシミュレーション工学特論42 2015/06/11               y f v x f u t f t f ΔttyxfΔttyxf    ),,(),,( 移流方程式を代入             y tyxf v x tyxf uΔttyxfΔttyxf ),,(),,( ),,(),,(
離散化された方程式の記述  簡略化した表現  配列との対応をとるため下付き添字i, jを利用  時間は，上付き添字nを利用 jifyxf ,),(  jifyΔxxf ,1),(  1,),(  jifΔyyxf n jiftyxf ,),,(  1 ,),,(   n jifΔttyxf 先端GPGPUシミュレーション工学特論43 2015/06/11
離散化された移流方程式  連続系  離散系  t秒後の値 0 ),,( ),,( ),,( ),,( ),,(          y tyxf tyxv x tyxf tyxu t tyxf 0 22 1,1, , ,1,1 , , 1 ,         Δy ff v Δx ff u Δt ff n ji n jin ji n ji n jin ji n ji n ji              Δy ff v Δx ff uΔtff n ji n jin ji n ji n jin ji n ji n ji 22 1,1, , ,1,1 ,, 1 , 先端GPGPUシミュレーション工学特論44 2015/06/11
移流方程式 x y i i+1i−1 j j+1 j−1 x y x y x y t t+t 先端GPGPUシミュレーション工学特論45 2015/06/11 i i+1i−1 j j+1 j−1              Δy ff v Δx ff uΔtff n ji n jin ji n ji n jin ji n ji n ji 22 1,1, , ,1,1 ,, 1 ,
移流方程式の安定性 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論46  プログラムを正しく作成しても正常な計算結果が得 られない場合がある  安定条件  二つの条件を満たすことが必要（結果が正しいかは別）  CFL条件(Courant‐Friedrichs‐Lewy条件) 1 Δx Δt u 1 Δy Δt v              Δy ff v Δx ff uΔtff n ji n jin ji n ji n jin ji n ji n ji 22 1,1, , ,1,1 ,, 1 ,
計算手順 1. 計算条件の決定  計算領域の大きさLx, Ly  計算領域の分割数（離散点の個数）Nx, Ny  離散点同士の間隔（格子間隔）x, y  計算時間間隔t 2. 初期値の決定  fの初期分布の決定  速度u, vの分布の決定 3. 差分値の計算  fの分布からx, y方向の1階微分値を計算  境界条件に基づいて境界の値を決定  t秒後のfを計算 先端GPGPUシミュレーション工学特論47 2015/06/11
CPUプログラム  計算条件の決定  計算領域の大きさLx, Ly  計算領域の分割数 （離散点の個数）Nx, Ny  離散点同士の間隔 （格子間隔）x, y  計算時間間隔t （CFL条件から逆算） #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<math.h> #define Lx 2.0 #define Ly 2.0 #define Nx 64 #define Ny Nx #define dx (Lx/(Nx‐1)) #define dy (Ly/(Ny‐1)) #define CFL 0.01 #define CONV (2.0*M_PI) #define Lt 1.0 #define dt (CFL*dx/CONV) #define Nt ((int)(Lt/(dt))) 先端GPGPUシミュレーション工学特論48 2015/06/11
CPUプログラム  初期条件  Rotating Cone問題  境界条件 先端GPGPUシミュレーション工学特論49 2015/06/11            2 1 0 2 1 12cos 2 1 r rr f  2 2 xv yu   2 2    22 5.0 yxr x y r f 10 0f 正確ではないが計算を安定させるために便宜上f=0とする
CPUプログラム  初期条件  Rotating Cone問題  境界条件 先端GPGPUシミュレーション工学特論50 2015/06/11 2 2 x y 0f  22 5.0 yxr            2 1 0 2 1 12cos 2 1 r rr f  正確ではないが計算を安定させるために便宜上f=0とする xv yu   2 2  
#include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<math.h> #define Lx 2.0 #define Ly Lx #define Nx 128 #define Ny Nx #define dx (Lx/(Nx‐1)) #define dy dx #define CFL 0.01 #define CONV (2.0*M_PI) #define Lt 1.0 #define dt (CFL*dx/CONV) #define Nt ((int)(Lt/(dt))) void init(double *f,double *d_f_dx, double *d_f_dy, double *u, double *v); void differentiate(double *f,double *d_f_dx, double *d_f_dy); void integrate(double *f,double *d_f_dx, double *d_f_dy, double *u, double *v,double *fnew); void update(double *f,double *fnew); int main(void){ double *f, *d_f_dx, *d_f_dy,*fnew; double *u,*v; int n; f = (double *)malloc(Nx*Ny*sizeof(double)); d_f_dx = (double *)malloc(Nx*Ny*sizeof(double)); d_f_dy = (double *)malloc(Nx*Ny*sizeof(double)); u = (double *)malloc(Nx*Ny*sizeof(double)); v = (double *)malloc(Nx*Ny*sizeof(double)); fnew = (double *)malloc(Nx*Ny*sizeof(double)); init(f,d_f_dx,d_f_dy,u,v); for(n=1;n<=Nt;n++){ printf("%d/%d¥n",n,Nt); differentiate(f,d_f_dx,d_f_dy); integrate(f,d_f_dx,d_f_dy, u, v,fnew); update(f,fnew); } return 0; } CPUプログラム 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論51 rotating_cone.c
void init(double *f,double *d_f_dx,double *d_f_dy,  double *u, double *v){ int i,j; double x,y,r; for(i=0;i<Nx;i++){ for(j=0;j<Ny;j++){ x = (double)i*dx ‐ 1.0; y = (double)j*dy ‐ 1.0; r = sqrt(x*x + (y‐0.5)*(y‐0.5)); f[i+Nx*j] = 0.0; if(r<0.5) f[i+Nx*j] = 0.5*(cos(2.0*M_PI*r)+1.0); d_f_dx[i+Nx*j] = 0.0; d_f_dy[i+Nx*j] = 0.0; u[i+Nx*j] = ‐(2.0*M_PI*y); v[i+Nx*j] =  (2.0*M_PI*x); } } } void differentiate(double *f,double *d_f_dx, double *d_f_dy){ int i,j; for(i=1;i<Nx‐1;i++){ for(j=1;j<Ny‐1;j++){ d_f_dx[i+Nx*j] = (f[(i+1)+Nx*j]‐f[(i‐1)+Nx*j])/(2.0*dx); } } for(i=1;i<Nx‐1;i++){ for(j=1;j<Ny‐1;j++){ d_f_dy[i+Nx*j] = (f[i+Nx*(j+1)]‐f[i+Nx*(j‐1)])/(2.0*dy); } } } CPUプログラム 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論52 rotating_cone.c
void integrate(double *f,double *d_f_dx, double *d_f_dy, double *u, double *v,double *fnew){ int i,j; for(i=0;i<Nx;i++){ for(j=0;j<Ny;j++){ fnew[i+Nx*j] = f[i+Nx*j] ‐ dt*(  u[i+Nx*j]*d_f_dx[i+Nx*j] + v[i+Nx*j]*d_f_dy[i+Nx*j]); } } } void update(double *f,double *fnew){ int i,j; for(i=0;i<Nx;i++){ for(j=0;j<Ny;j++){ f[i+Nx*j] = fnew[i+Nx*j]; } } } CPUプログラム 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論53 rotating_cone.c
CPUプログラム  差分計算  x方向，y方向偏微分を個別に計算 先端GPGPUシミュレーション工学特論54 2015/06/11 void differentiate(double *f, double *d_f_dx, double *d_f_dy){ int i,j; for(i=1;i<Nx‐1;i++){ for(j=1;j<Ny‐1;j++){ d_f_dx[i+Nx*j] = (f[(i+1)+Nx*j]‐f[(i‐1)+Nx*j])/(2.0*dx); } } for(i=1;i<Nx‐1;i++){ for(j=1;j<Ny‐1;j++){ d_f_dy[i+Nx*j] = (f[i+Nx*(j+1)]‐f[i+Nx*(j‐1)])/(2.0*dy); } } }
差分計算のメモリ参照  ある1点i,jのx方向差分を計算するためにx(i)方 向に2点のfを参照 先端GPGPUシミュレーション工学特論55 2015/06/11 f[] d_f_dx[] i−1 i i+1
差分計算のメモリ参照  ある1点i,jのx方向差分を計算するためにx(i)方 向に2点のfを参照 先端GPGPUシミュレーション工学特論56 2015/06/11 f[] d_f_dx[] i−1 i i+1
差分計算のメモリ参照  ある1点i,jのx方向差分を計算するためにx(i)方 向に2点のfを参照 先端GPGPUシミュレーション工学特論57 2015/06/11 f[] d_f_dx[] i−1 i i+1
差分計算のメモリ参照  ある1点i,jのy方向差分を計算するためにy(j)方 向に2点のfを参照 先端GPGPUシミュレーション工学特論58 2015/06/11 j−1jj+1 f[] d_f_dy[]
差分計算のメモリ参照  ある1点i,jのy方向差分を計算するためにy(j)方 向に2点のfを参照 先端GPGPUシミュレーション工学特論59 2015/06/11 f[] d_f_dy[] j−1jj+1
差分計算のメモリ参照  ある1点i,jのy方向差分を計算するためにy(j)方 向に2点のfを参照 先端GPGPUシミュレーション工学特論60 2015/06/11 f[] d_f_dy[] j−1jj+1
差分計算のメモリ参照  ある1点i,jのy方向差分を計算するためにy(j)方 向に2点のfを参照 先端GPGPUシミュレーション工学特論61 2015/06/11 f[] d_f_dy[] j−1jj+1
CPUプログラム  境界条件  fのx, y方向差分  いずれの時刻においても0  境界でf=0を満たすためには差分 が0でなければならない 先端GPGPUシミュレーション工学特論62 2015/06/11 f,d_f_dx,d_f_dy             y f v x f uΔtff nn 1
CPUプログラム  fの積分 先端GPGPUシミュレーション工学特論63 2015/06/11              Δy ff v Δx ff uΔtff n ji n jin ji n ji n jin ji n ji n ji 22 1,1, , ,1,1 ,, 1 , void integrate(double *f,double *d_f_dx,double *d_f_dy, double *u, double *v,double *f_new){ int i,j,ij; for(i=0;i<Nx;i++){ for(j=0;j<Ny;j++){ ij = i+Nx*j; f_new[ij]=f[ij] ‐ dt*(u[ij]*d_f_dx[ij]+v[ij]*d_f_dy[ij]); } } }
CPUプログラム  fの更新  fnからfn+1を計算  fn+1からfn+2を計算  今の時刻から次の時刻を求める  求められた次の時刻を今の時刻と見なし，次の時刻を求める 先端GPGPUシミュレーション工学特論64 2015/06/11 同じアルゴリズム void update(double *f,double *f_new){ int i,j,ij; for(i=0;i<Nx;i++){ for(j=0;j<Ny;j++){ ij =  i+Nx*j; f[ij] = f_new[ij]; } } }
#include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<math.h> #define Lx 2.0 #define Ly Lx #define Nx 64 #define Ny Nx #define dx (Lx/(Nx‐1)) #define dy dx #define Nbytes (Nx*Ny*sizeof(double)) #define CFL 0.01 #define CONV (2.0*M_PI) #define Lt 1.0 #define dt (CFL*dx/CONV) #define Nt ((int)(Lt/(dt))) #include "conv1.cu" int main(void){ double *dev_f,*dev_fnew; double *dev_d_f_dx, *dev_d_f_dy; double *dev_u,*dev_v; dim3 Thread, Block; int n; cudaMalloc( (void **)&dev_f , Nbytes ); cudaMalloc( (void **)&dev_d_f_dx, Nbytes ); cudaMalloc( (void **)&dev_d_f_dy, Nbytes ); cudaMalloc( (void **)&dev_u , Nbytes ); cudaMalloc( (void **)&dev_v , Nbytes ); cudaMalloc( (void **)&dev_fnew , Nbytes ); Thread = dim3(THREADX,THREADY,1); Block  = dim3(BLOCKX ,BLOCKY, 1); init<<<Block, Thread>>>(dev_f, dev_d_f_dx,dev_d_f_dy,dev_u,dev_v); GPUプログラム（CPU処理用共通部分） 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論65 rotating_cone.c
for(n=1;n<=Nt;n++){ printf("%d/%d¥n",n,Nt); differentiate<<<Block,Thread>>> (dev_f,dev_d_f_dx,dev_d_f_dy); integrate<<<Block,Thread>>> (dev_f,dev_d_f_dx,dev_d_f_dy, dev_u, dev_v, dev_fnew); update<<<Block,Thread>>> (dev_f,dev_fnew); } cudaFree(dev_f); cudaFree(dev_d_f_dx); cudaFree(dev_d_f_dy); cudaFree(dev_u); cudaFree(dev_v); cudaFree(dev_fnew); return 0; } GPUプログラム（CPU処理用共通部分） 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論66 rotating_cone.c
#define THREADX 16 #define THREADY 16 #define BLOCKX  (Nx/THREADX) #define BLOCKY  (Ny/THREADY) __global__ void init(double *f,double *d_f_dx, double *d_f_dy, double *u, double *v){ int i,j,ij; double x,y,r; i = blockIdx.x*blockDim.x + threadIdx.x; j = blockIdx.y*blockDim.y + threadIdx.y; ij = i+Nx*j; x = (double)i*dx ‐ 1.0; y = (double)j*dy ‐ 1.0; r = sqrt(x*x + (y‐0.5)*(y‐0.5)); f[ij] = 0.0; if(r<0.5) f[ij] = 0.5*(cos(2.0*M_PI*r)+1.0); d_f_dx[ij] = 0.0; d_f_dy[ij] = 0.0; u[ij] = ‐(2.0*M_PI*y); v[ij] =  (2.0*M_PI*x); } __global__ void differentiate(double *f, double *d_f_dx,double *d_f_dy){ int i,j,ij,ip1,im1,jp1,jm1; i = blockIdx.x*blockDim.x + threadIdx.x; j = blockIdx.y*blockDim.y + threadIdx.y; if( (0<i && i<Nx‐1) && (0<j && j<Ny‐1) ){ ij =  i +Nx* j; ip1 = (i+1)+Nx* j; im1 = (i‐1)+Nx* j; jp1 =  i +Nx*(j+1); jm1 =  i +Nx*(j‐1); d_f_dx[ij] = (f[ip1]‐f[im1])/(2.0*dx); d_f_dy[ij] = (f[jp1]‐f[jm1])/(2.0*dy); } } GPUプログラム（1スレッドが1点を計算） 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論67 conv1.cu
__global__ void integrate(double *f,double *d_f_dx, double *d_f_dy, double *u, double *v,double *fnew){ int i,j,ij; i = blockIdx.x*blockDim.x + threadIdx.x; j = blockIdx.y*blockDim.y + threadIdx.y; ij = i+Nx*j; fnew[ij] = f[ij] ‐ dt* (u[ij]*d_f_dx[ij] + v[ij]*d_f_dy[ij]); } __global__ void update(double *f, double *fnew){ int i,j,ij; i = blockIdx.x*blockDim.x + threadIdx.x; j = blockIdx.y*blockDim.y + threadIdx.y; ij =  i+Nx*j; f[ij] = fnew[ij]; } GPUプログラム（1スレッドが1点を計算） 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論68 conv1.cu
gnuplotによる結果の表示 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論69  2次元，3次元データをプロットするアプリケーション  コマンドラインで命令を実行してグラフを描画  関数の描画，ファイルから読み込んだデータの表示が可能  tesla??では正しく動作しないため，grouseで実行 すること
gnuplotによる結果の表示 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論70  表示可能なファイルフォーマット  データはスペース区切り  3次元表示では列（または行）の区切りとして空白行が必要 ‐1.000000 ‐1.000000 0.000000 ‐1.000000 ‐0.968254 0.000000 ... ‐1.000000 0.968254 0.000000 ‐1.000000 1.000000 0.000000 ‐0.968254 ‐1.000000 0.000000 ‐0.968254 ‐0.968254 0.000000 ... ‐0.968254 0.968254 0.000000 ‐0.968254 1.000000 0.000000 ‐0.936508 ‐1.000000 0.000000 ‐0.936508 ‐0.968254 0.000000
gnuplotによる結果の表示 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論71  スクリプトの実行  gnuplotのコマンドを記述したファイルを実行  load 'スクリプトファイル名'  anim.gpl  結果を単色の等値面で3次元表示  anim_color.gpl  結果をカラーの等値面で3次元表示  anim_2d.gpl  結果をカラーの等高線で2次元表示
gnuplotによる結果の表示 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論72  スクリプトanim.gplの内容 set xrange [‐1:1] x軸の表示範囲を‐1~1に固定 set yrange [‐1:1] y軸の表示範囲を‐1~1に固定 set zrange [‐0.2:1.2] z軸の表示範囲を‐0.2~1.2に固定 set ticslevel 0 xy平面とz軸の最小値表示位置の差 set hidden3d 隠線消去をする set view 45,30 視点をx方向45°,y方向30°に設定 set size 1,0.75 グラフの縦横比を1:0.75 unset contour 2次元等高線は表示しない set surface 3次元で等値面を表示 unset pm3d カラー表示はしない 以下でファイルを読み込み，3次元表示 splot 'f0.00.txt' using 1:2:3 with line title "t=0.00s"   ... splot 'f1.00.txt' using 1:2:3 with line title "t=1.00s"  
gnuplotによる結果の表示 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論73  スクリプトanim.gplによる表示結果
gnuplotによる結果の表示 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論74  スクリプトanim_color.gplの内容 set xrange [‐1:1] x軸の表示範囲を‐1~1に固定 set yrange [‐1:1] y軸の表示範囲を‐1~1に固定 set zrange [‐0.2:1.2] z軸の表示範囲を‐0.2~1.2に固定 set ticslevel 0 xy平面とz軸の最小値表示位置の差 set hidden3d 隠線消去をする set view 45,30 視点をx方向45°,y方向30°に設定 set size 1,0.75 グラフの縦横比を1:0.75 unset contour 2次元等高線は表示しない set surface 3次元で等値面を表示 set pm3d カラー表示する 以下でファイルを読み込み，3次元表示 splot 'f0.00.txt' using 1:2:3 with line title "t=0.00s"   ... splot 'f1.00.txt' using 1:2:3 with line title "t=1.00s"  
gnuplotによる結果の表示 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論75  スクリプトanim_color.gplによる表示結果
gnuplotによる結果の表示 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論76  スクリプトanim_2d.gplの内容 set xrange [‐1:1] x軸の表示範囲を‐1~1に固定 set yrange [‐1:1] y軸の表示範囲を‐1~1に固定 set zrange [‐0.2:1.2] z軸の表示範囲を‐0.2~1.2に固定 set view 0,0 真上から見下ろす set size 1,1 グラフの縦横比を1:1 set contour 2次元等高線を表示 unset surface 3次元で等値面を表示しない unset pm3d カラー表示しない set cntrparam levels incremental 0,0.1,1 等高線を0から1まで0.1刻みに設定 以下でファイルを読み込み，3次元表示 splot 'f0.00.txt' using 1:2:3 with line title "t=0.00s"   ... splot 'f1.00.txt' using 1:2:3 with line title "t=1.00s"  
gnuplotによる結果の表示 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論77  スクリプトanim_2d.gplによる表示結果
ダブルバッファリングによる値の更新 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論78  ダブルバッファリング  ゲーム等で画面のチラつきを抑える技法とは異なる  値の更新を，二つの配列を用いて簡単に実行する方法  移流方程式（拡散方程式）の時間積分  時刻nのデータからn+1のデータを計算  時刻n+1のデータを時刻nのデータに上書き  メモリコピーが発生  ポインタを利用  アドレスを格納する配列を宣言し，配列添字を切替
int a,b; int *ptr[2]; int curr, next; curr = 0; next = 1; ptr[curr]=&a; prt[next]=&b; アドレスを格納する配列を用いる方法 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論79  時刻n，時刻n+1の変数を用意せず，ポインタ変数を 取り扱う配列を利用  時刻n用とするか時刻n+1用途するかを配列添字で区別  int型変数curr(currentの略), nextを利用  配列添字にcurrを用いると時刻n用  配列添字にnextを用いると時刻n+1用 a 1 2 b ptr[curr] aのア ドレス bのア ドレス ptr[next] 結合 ポインタ変数が矢印先端 の変数のアドレスを保持 しており，間接参照演算 子*を利用してその変数 の値にアクセスできる 値 アド レス 変数 ポインタ 変数
‐‐‐ ptr[curr]はaのアドレスを参照 ptr[next]はbのアドレスを参照 ‐‐‐ curr=next;   //currは1 next=1‐curr; //nextは1‐1=0 ptr[curr]はbのアドレスを参照 ptr[next]はaのアドレスを参照 ‐‐‐ curr=next;   //currは0 next=1‐curr; //nextは1‐0=1 アドレスを格納する配列を用いる方法 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論80  以下の2式で配列添字curr, nextの値を切替  curr = next;  next = 1‐curr; a 1 2 b ptr[next(=0)]aのア ドレス bのア ドレス ptr[curr(=1)]
アドレスを格納する配列を用いる方法 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論81  無駄がない  時刻n+1の値をnとすることを表現（curr=next） double *f[2]; int curr=0,next=1; f[curr(=0)] = (double *)malloc(...); f[next(=1)] = (double *)malloc(...); differentiate(f[curr(=0)]); integrate(f[curr(=0)],f[next(=1)]); //添字を変更 curr = next; next = 1‐curr; //時刻nと時刻n+1を交換して関数を実行 differentiate(f[curr(=1)]); integrate(f[curr(=1)],f[next(=0)]);
アドレスを格納する配列を用いる方法 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論82  関数integrateの実行  実行後，時刻nの値は不要 f[0] 時刻n f[1] 時刻n+1 integrate(f[curr(=0)],...,f[next(=1)]);
アドレスを格納する配列を用いる方法 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論83  関数integrateの実行  実行後，時刻nの値は不要 f[0] 時刻n+1 f[1] 時刻n integrate(f[curr(=1)],...,f[next(=0)]);
#include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<math.h> #define Lx 2.0 #define Ly Lx #define Nx 64 #define Ny Nx #define dx (Lx/(Nx‐1)) #define dy dx #define Nbytes (Nx*Ny*sizeof(double)) #define CFL 0.01 #define CONV (2.0*M_PI) #define Lt 1.0 #define dt (CFL*dx/CONV) #define Nt ((int)(Lt/(dt))) #include "conv1.cu" int main(void){ double *dev_d_f_dx, *dev_d_f_dy; double *dev_u,*dev_v; dim3 Thread, Block; int n; double *dev_f[2]; int curr=0,next=1; cudaMalloc( (void **)&dev_d_f_dx, Nbytes ); cudaMalloc( (void **)&dev_d_f_dy, Nbytes ); cudaMalloc( (void **)&dev_u , Nbytes ); cudaMalloc( (void **)&dev_v , Nbytes ); cudaMalloc( (void **)&dev_f[curr], Nbytes ); cudaMalloc( (void **)&dev_f[next], Nbytes ); Thread = dim3(THREADX,THREADY,1); Block  = dim3(BLOCKX ,BLOCKY, 1); init<<<Block, Thread>>>(dev_f[curr], dev_d_f_dx,dev_d_f_dy,dev_u,dev_v); GPUプログラム（CPU処理用共通部分） 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論84 rotating_cone2.cu
for(n=1;n<=Nt;n++){ printf("%d/%d¥n",n,Nt); differentiate<<<Block,Thread>>> (dev_f[curr],dev_d_f_dx,dev_d_f_dy); integrate<<<Block,Thread>>> (dev_f[curr],dev_d_f_dx,dev_d_f_dy,  dev_u, dev_v, dev_f[next]); curr = next; next = 1‐curr; } cudaFree(dev_f[curr]); cudaFree(dev_f[next]); cudaFree(dev_d_f_dx); cudaFree(dev_d_f_dy); cudaFree(dev_u); cudaFree(dev_v); return 0; } GPUプログラム（CPU処理用共通部分） 2015/06/11先端GPGPUシミュレーション工学特論85 rotating_cone2.cu

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