Makalah ini membahas tentang fungsi trasenden, teknik pengintegralan, dan integral tak wajar. Terdapat empat bab yang membahas tentang latar belakang, rumusan masalah, pembahasan teknik pengintegralan dan fungsi trasenden, serta kesimpulan.

1. MAKALAH MATEMATIKA
FUNGSI TRASENDEN, TEKNIK PENGINTEGRALAN, DAN
INTEGRAL TAK WAJAR
Disusun Oleh:
Nama : Sahrul Romdoni
Kelas : XII IPS 4
SMAN 20 KAB TANGERANG

2. KATA PENGANTAR
Segala puji dan syukur kami panjatkan kepada Allah SWT, karena atas berkat dan
limpahan rahmatnyalah maka kami bisa menyelesaikan sebuah karya tulis dengan tepat waktu.
Berikut ini penulis mempersembahkan sebuah makalah dengan judul “Fungsi trasenden,
Teknik Pengintegralan, dan Integral tak Wajar”, yang menurut kami dapat memberikan manfaat
yang besar bagi kita untuk mempelajari matematika.
Melalui kata pengantar ini penulis lebih dahulu meninta maaf dan memohon pemakluman
bila mana isi makalah ini ada kekurangan dan ada tulisan yang kami buat kurang tepat atau
menyinggung perasaan pembaca.
Dengan ini kami mempersembahkan makalah ini dengan penuh rasa terima kasih dan
semoga Allah SWT memberkahi makalah ini sehingga dapat memberikan manfaat.
Pakuhaji, 09 agustus 2017
Penulis

3. DAFTAR ISI
Kata Pengantar........................................................................................................................2
Daftar Isi.................................................................................................................................3
Bab I Pendahuluan..................................................................................................................4
A. Latar Belakang............................................................................................................4
B. Rumusan Masalah.......................................................................................................5
C. Tujuan Penelitian.........................................................................................................6
Bab II Pembahasan..................................................................................................................7
A. Menyelesaikan Integral dengan Teknik Subtitusi, Parsial, DAN Fungsi Rasional.....8
B. Cara Lain menyelesaikan Soal Integral.......................................................................11
C. Bentuk Integral Tak Wajar.........................................................................................12
D. Fungsi Trasenden........................................................................................................20
Bab III Penutup.......................................................................................................................22
A. Kesimpulan..................................................................................................................22
B. Saran...........................................................................................................................22
Daftar Pustaka ........................................................................................................................23

4. BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Fungsi trasenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar. Beberapa fungsi trasenden antara lain:
a. Fungsi eksponensial, contohnya : f(x) = 𝑎 𝑥
; dimana a ≠ 0,1
b. Fungsi logaritma, contohnya : f (x) = xloga
; dimana a0,1
c. Fungsi trigonometri, contohnya : f (x) = sin x
d. Fungsi siklometri, merupakan invers dari fungsi trigonometri, contohnya : f (x) = arc sin
x.
e. Fungsi hiperbolik, contohnya : f (x) = sin h x
Integral tak wajaR adalah limit dari integral tentu dengan batas pengintegralan mendekati
bilangan riil tertentu, atau ∞ −∞ atau, pada beberapa kasus, keduanya.
Dengan kata lain, integral tak wajar adalah limit dalam bentuk
atau dalam bentuk
dengan limit diambil pada salah satu batas atau keduanya. (Apostol 1967, §10.23). Integral
takwajar juga dapat terjadi pada titik dalam domain pengintegralan, atau pada beberapa titik
seperti itu.
Integral takwajar sering perlu digunakan untuk menghitung nilai integral yang tidak ada dalam
arti konvensional (misalnya sebagai integral Riemann), karena adanya singularitas pada fungsi
yang hendak diintegralkan, atau salah satu batas adalah tak hingga.
Teknik pengintegralan terdiri dari pegintegralan dengan subtitusi, pengintegralan parsial, dan
pengintegralan fungsi rasional.
Untuk dapat menggunakan metode subtitusi dengan hasil yang memuaskan, kita harus
mengetahui integral-integral sebanyak mungkin.

5. Andaikan Anda menghadapi suatu integral tak tentu. Apabila ini bentuk baku, segera dapatlah
ditulis hasilnya. Apabila tidak, carilah sebuah subtitusi yang akan mengubahnya menjadi sutu
bentuk baku. Apabila pada subtitusi yang pertama, kita tidak berhasil memperoleh bentuk baku,
kita mencoba dengan cara lain. Apabila kita berlatih cukup lama, kita akan dapat menemukan
penggantian yang tepat. Metode subtitusi ini didasarkan pada:
∫ f (x) dx = ∫ h (u) du = H (u) + C = H (g(x)) + C
Apabila pengintegralan dengan metode subtitusi tidak berhasil, dengan menerapkan metode
penggunaan ganda, yang lebih dikenal dengan pengintegralan parsial dapat memberikan hasil.
Metode ini didasarkan pada pengintegralan rumus turunan hasilkali du afungsi. Andaikan u= u
(x) dan v = v (x). Maka
𝐷 𝑥 [u(x)v(x)] = u(x)v’(x) + v (x)u’(x)
Menurut definisi, suatu fungsi rasional adalah hasilbagi dua fungsi suku banyak (polinom).
Misalnya:
f(x) =
2
(𝑥+1)3 g(x) =
2𝑥+2
𝑥2−4𝑥+8
h(x) =
𝑥5+2𝑥3−𝑥+1
𝑥3+5𝑥
Fungsi f dan g dinamakan fungsi rasional sejati oleh karena itu derajat pembilang kurang dari
derajat penyebut. Fungsi rasional tidak sejati selalu dapat ditulis sebagai jumlah fungsi suku
banyak dan fungsi rasional sejati.
B. Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalahnya yaitu:
a. Bagaimana cara menyelesaikan soal integral dengan teknik subtitusi, parsial, dan fungsi
rasional?
b. Apakah ada teknik pengintegralan yang lain yang dapat digunakan?
c. Bagaimana bentuk integral tak wajar?
d. Penjelasan mengenai fungsi trasenden.
C. Tujuan Penelitian
Tujuan penelitiannya yaitu:
1. Mengetahui teknik-teknik pengintegralan dalam kalkulus.
2. Mengetahui dan memahami teknik substitusi dalam perhitungan integral tak tentu dan integral
tentu.
3. Mengetahui dan memahami teknik pengintegralan parsial dalam menyelesaikan bentuk-
bentuk integral.

6. BAB II
PEMBAHASAN
A. MenyelesaikanSoal Integral dengan Teknik Subtitusi, Parsial, dan Fungsi Rasional
a. Subtitusi Dalam Integral Tak Tentu
Teorema :
Misal g fungsi yang terdiferensialkan dan F suatu anti turunan dari f, jika u = g(x) maka
 f(g(x))g’(x) dx =  f(u) du = F(u) + c = F(g(x)) + c
Contoh :
Hitunglah dx
x
x

sin
.
Jawab : Misalkan u = x = x1/2 sehingga du =
2/1
2
1 
x dx maka
dx
x
x

sin
= 2 dxxx 




 

2/1
2
1
sin = 2  udusin = 2cosu + c = 2cos x + c
b. Subtitusi Dalam Integral Tentu.
Teorema :
Misal g mempunyai turunan kontinu pada [a,b] dan f kontinu pada daerah nilai g, maka
duufdxxgxgf
bg
ag
b
a
 
)(
)(
)()('))((
Contoh :
Hitung 

1
0
2
)62(
1
dx
xx
x
Jawab :

7. Misal u = x2+2x+6 sehingga du = 2x+2 dx = 2(x+1)dx perhatikan u = 6 jika x = 0 dan u =
jika x = 1, jadi


1
0
2
)62(
1
dx
xx
x
= 

1
0
2
)62(
)1(2
2
1
dx
xx
x
=   )6ln9(ln
2
1
ln
2
1
2
1 9
6
9
6
 u
u
du
= 





2
3
ln
2
1
Pengintegralan parsial (sebagian) dapat dilakukan jika pengintegralan dengan teknik
subtitusi tidak memberikan hasil, dan dengan catatan bagian sisa pengintegralan lebih sederhana
dari integral mula-mula.
  vduuvudv
Contoh :
1.  dxxe x
Misalkan u = x, dv = ex dx maka du = dx , v = ex
 dxxe x
= dxexe xx
 = xex –ex + c
Fungsi Rasional merupakan fungsi hasil bagi dua fungsi Polinom yang ditulis :
)(
)(
)(
xQ
xP
xF  , P(x) dan Q(x) fungsi –fungsi Polinom dengan Q(x) ≠ 0
Fungsi Rasional dibedakan atas :
a. Fungsi Rasional Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada pembilang
lebih kecil dari pada derajat fungsi polinom pada penyebut.
b. Fungsi Rasional Tak Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada
pembilang lebih besar dari atau sama dengan derajat fungsi polinom pada penyebut.
Fungsi Rasional Tak Sejati dapat ditulis sebagai penjumlahan fungsi polinom dengan
Fungsi Rasional Sejati dengan jalan membagi fungsi pembilang dengan fungsi penyebut.
Permasalahan mengintegralkan fungsi rasional terletak pada bagaimana mengintegralkan fungsi
rasional sejati. Suatu fakta, bahwa fungsi rasional sejati dapat ditulis sebagai jumlah dari fungsi
rasional sejati yang lebih sederhana
Contoh :
1
3
1
2
1
15
2 





xxx
x

8. a. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berbeda
Contoh :
Tentukan 


dx
xxx
x
32
35
23
Jawab :
31)3)(1(
35
32
35
23 








x
C
x
B
x
A
xxx
x
xxx
x
maka 5x + 3 = A(x+1)(x-3) + Bx(x-3) + Cx(x+1)
dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan maka diperoleh
: A = -1 , B = 2
1 , dan C = 2
3 sehingga



dx
xxx
x
32
35
23 =    





dx
x
dx
xx
dx
3
2
3
1
2
1
= - ln cxxx  3ln
2
3
1ln
2
1
b. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berulang
Contoh :
Tentukan 

dx
x
x
2
)3(
Jawab :
22
)3(3)3( 



 x
B
x
A
x
x
maka x = A(x-3) + B
dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan
diperoleh : A = 1 dan B = 3 sehingga
c
x
xdx
x
dx
x
dx
x
x








 3
3
3ln
)3(
3
3
1
)3( 22
Yang perlu diperhatikan untuk tiap faktor k
bax )(  dalam penyebut, maka ada sebanyak k
suku penjabarannya, yaitu :

9. k
k
bax
A
bax
A
bax
A
)(
...
)( 2
21





c. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Kuadrat yang Berbeda
Contoh :
Tentukan 


dx
xx
xx
)1)(14(
136
2
2
Jawab :
114)1)(14(
136
22
2







x
CBx
x
A
xx
xx
Selanjutnya tentukan A, B dan C seperti cara diatas dan kemudian hitung integral setiap
sukunya.
B. Cara Lain Menyelesaikan Soal Integral
a. Fungsi Integral yang memuat bentuk n bax 
Penyelesaian dengan menggunakan subtitusi : u = n bax 
Contoh : Hitung   dxxx3 4
Jawab : Misalkan u =   dxxx3 4 maka 3
u = x – 4 dan 3 2
u du = dx
Shg   dxxx3 4 =   cxxduuuu 3
4
7
3
23
)4()4(
7
3
3.)4(
b. Integral yang memuat bentuk 222222
,, axxaxa 
Gunakan berturut-turut subtitusi : x = a sin t, x = a tg t dan x = a sec t.
Contoh :
1. Tentukan 

dx
x
x
2
2
4
Jawab :
Jawab :
Misalkan x = 2 sin t maka dx = 2 cos t dt dan 2
4 x = 2 cos t , shg 

dx
x
x
2
2
4
=
  tdtctgdtt
t
t 2
2
)cos2(
sin4
cos2
= - ctg t – t + c

10. = c
x
x
x







 
2
sin
4 1
2
C. Bentuk Integral tak Wajar
Bentuk 
b
a
dxxf )( disebut INTEGRAL TIDAK WAJAR jika:
a. Integran f(x) mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu (diskontinu) di
[a,b], sehingga mengakibatkan f(x) tidak terdefinisi di titik tersebut.
Pada kasus ini teorema dasar kalkulus 
b
a
dxxf )( = F(b) – F(a) tidak berlaku lagi.
Contoh
1)  
4
0
4 x
dx
, f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4 atau f(x) kontinu di [0,4)
2)  
2
1 1x
dx
, f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x) kontinu di (1,2]
3) 

4
0 3
2
)2( x
dx
, f(x) tidak kontinu di x = 2 [0,4] atau f(x) kontinu di [0,2)  (2,4]
b. Batas integrasinya paling sedikit memuat satu tanda tak hingga
1) 

0
2
4x
dx
, integran f(x) memuat batas atas di x = 
2) 
0
2
dxe x
, integran f(x) memuat batas bawah di x = - 

11. 3) 


 2
41 x
dx
, integran f(x) memuat batas atas di x =  dan batasa bawah di
x = - 
Pada contoh a (1,2,3) adalah integral tak wajar dengan integran f(x) tidak kontinu dalam
batas-batas pengintegralan, sedangkan pada contoh b (1, 2, 3) adalah integral tak wajar integran
f(x) mempunyai batas di tak hingga ( ).
Integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi Integral tak wajar dengan integran
tidak kontinu Integral tak wajar dengan batas integrasi di tak hingga.
Integral tak wajar dengan integran diskontinu
a. f(x) kontinu di [a,b) dan tidak kontinu di x = b
Karena f(x) tidak kontinu di x = b, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu
integran harus ditunjukkan kontinu di x = b -  (  
0 ), sehingga
 


b
a
dxxf
0
lim)(
 
b
a
dxxf )(
Karena batas atas x = b -  ( x  b 
), maka
maka  


b
a bt
dxxf lim)( 
t
a
dxxf )(
Perhatikan beberapa contoh di bawah ini.
1. 

 

 


4
0
0
4
0 4
lim
4 x
dx
x
dx
, f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4, sehingga
=



 


 
4
0
0
42lim x

12. = -2 
0
lim

 )04()4(4  
= -2 ( 4lim
0




)
= -2(0-2)
= 4
Cara lain
 

 

t
t x
dx
x
dx
0
4
4
0 4
lim
4
=  t
t
x 0
4
42lim 

=  04242lim
4


t
t
= -2(0)+2(2)
= 4
2.  
2
2
2
4 x
dx
, f(x) = 2
4
1
x
fungsi genap tidak kontinu di x = 2 dan x = -2, maka



2
2
2
4 x
dx
2  
2
0
2
4 x
dx
= 2  
2
0
2
4 x
dx
= 2



 




2
0
0 2
arcsin
x
Lim
= 2 ( )0
2


= 

13. 3. 


4
0 2
3
)4( x
dx

0
Lim 


4
0
4
2
x
, f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4 sehingga diperoleh



4
0 2
3
)4( x
dx

0
lim
 









 04
2
)4(4
2

= tidak berarti, karena mempunyai bentuk
0
2
b. f(x) kontinu di (a,b] dan tidak kontinu di x = a
Karena f(x) tidak kontinu di x = a, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu
integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = a +  (  
0 ), sehingga
 


b
a
dxxf
0
lim)(
 
b
a
dxxf

)(
Karena batas bawah x = a +  ( x  a 
) maka dapat dinyatakan dalam bentuk lain:
 


b
a at
dxxf lim)( 
b
t
dxxf )(
Perhatikan beberapa contoh dibawah ini.
1. 

4
3 3
3
x
dx
 

4
3 3
3
lim
t
t x
dx
=  4
3
3)2(3lim t
t
x 

=  36346lim
3


t
t
= 6(1) – 6(0)

14. = 6
1.  
 

1
0
1
0
0
lim

 x
dx
x
dx
,f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 0 sehingga diperoleh:
 
1
0
1
0
0
2lim



 
 x
x
dx
=  



0212lim
0
= 2 – 0
= 2
2.  1
0
0
1
0
lnlimln




  xxxxdx , f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 0
=  )0()0ln()0()11ln1(lim
0




= (1.0-1) –(0-0)
= -1
c. f(x) kontinu di [a,c)  (c,b] dan tidak kontinu di x = c
Karena f(x) tidak terdefinisi di x = c, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu
integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = c +  dan x = c -  (  
0 ), sehingga
  
b
a
c
a
b
c
dxxfdxxfdxxf )()()(
= 
0
lim


c
a
dxxf )( + 
 
b
c
xfLim


)(
0

15. Dapat juga dinyatakan dengan
 


b
a bt
dxxf lim)( 
t
a
dxxf )( + 
at
lim 
b
t
dxxf )(
Perhatikan beberapa contoh dibawah ini.
1.  
4
0
3
1x
dx
, f(x) tidak kontinu di x = 1, sehingga diperoleh
  


1
0
4
1
33
11 x
dx
dx
x
dx
, berdasarkan contoh sebelumnya didapat:
 


 

 
4
1
30
1
0
30 1
lim
1
lim



 x
dx
x
dx
=
4
1
3
2
0
1
0
3
2
0
)1(
2
3
lim)1(
2
3
lim




















 
xx
=
2
3
)10()1)1(lim
2
3 3
2
3
2
0


















3
2
3
2
0
)1)1(()14(lim 

= )91(
2
3 3

2. 

8
1
3
1
,dxx f(x) tidak kontinu di x = 0, sehingga diperoleh
dxxdxx 




8
0
3
10
1
3
1
= dxxdxx  





 

8
0
3
1
0
0
1
3
1
0
limlim





16. =
8
0
3
2
0
0
1
3
2
0 2
3
lim
2
3
lim






















xx
= - 6
2
3

=
2
9
3. 
1
1
4
x
dx
, f(x) diskontinu di x = 0, sehingga diperoleh:

1
1
4
x
dx
= 
0
1
4
x
dx
+ 
1
0
4
x
dx
=  




1
0
4
0
1
4
0
limlim


 x
dx
x
dx
=
8
0
3
0
0
1
3
0 3
1
lim
3
1
lim








 


 



 

xx
= tidak berarti karena memuat bentuk
0
1
D. Fungsi Trasenden
Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan merupakan fungsi aljabar. Yang termasuk fungsi
transenden adalah fungsi eksponen, fungsi logaritma, trigonometri, fungsi siklometri (fungsi
invers trigonomerti), dan fungsi hiperbolik.
a. Fungsi eksponen
Fungsi eksponen adalah fungsi yang variabel bebasnya menjadi pangkat dari suatu bilangan.
Fungi eksponen dinyatan dalam bentuk umumy = f(x) = ax dengan a≠ 0dan a R sebagai
ilustrasi fungsi y ≡ f(x)=2x,g(x)=10xdan sebagainya.
b. Fungsi logaritme.

17. Fungsi logaritme dengan bilangan dasar a0 dan a ≠ 1 adalah invers dari fungsi eksponen dari
bilangan dasar a. fungsi eksponen y = g(x) ax dengan ax, inversnya adalah fungsi
logaritmenya y = f(x) = 2log x. g(x) =log x, dan sebagainya.
c. Fungsi trigonometri.
Fungsi trigonometri antara lain meliputi fungsi-fungsiy = sin x, y = cosx,y = tan x,dan
sebagainya, dengan x menyatakan besar suatu sudut (rdian atau derajat) dan ymenyatakan nilai
fungsi.
d. Fungsi siklometri
Fungsai siklometri adalah invers dari fungsi trigonometri, seperti y = arc sin x, y=arc cos x,
y = arc tan x, dan sebagainya.
Catatan:
dapat ditulis = arc sin
e. Fungsi hiperbolik
Fungsi hiperbolik antara lain meliputi y =sinh Dan sebagainya.
Catatan:
e= 2,71828
Contoh soal:
Tentukan 𝐷 𝑥 ln √ 𝑥 .
Jawab:
Andaikan u = √ 𝑥 = 𝑥1/2
. Maka:
𝐷 𝑥 ln √ 𝑥=
1
𝑥1/2.
1
2
𝑥−1/2
=
1
2𝑥

18. BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Fungsi trasenden, teknik pengintegralan, dan integral memiliki keterkaitan antar satu sama lain.
Hal ini karena terdapat suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan
ketergantungan (hubungan fungsional). Dengan menggunakan teknik pengintegralan, kita dapat
menemukan jawaban soal-soal integral tak wajar.
B. Saran
Untuk memahami ketiga materi matematika tersebut, diperlukan dasar-dasar matematika yang
kuat. Karena turunan dan integral yang terdapat dalam materi-materi ini termasuk ke dalam
kalkulus.

19. DAFTAR PUSTAKA
http://aguskarmana.blogspot.com
Purcell, Edwin J. dan Dale Varberg.1994.Kalkulus dan Geometri Analitis.Jakarta: Erlangga