Program linear adalah metode untuk mencari nilai maksimum atau minimum bentuk linear dalam daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi linear. Contoh penerapan program linear mencakup masalah kehidupan sehari-hari, seperti pemodelan keuntungan dari penjualan roti dengan menggunakan pertidaksamaan linear. Materi ini juga menjelaskan konsep fungsi, komposisi fungsi, invers fungsi, dan rumus terkait segitiga dan integral.

1. PROGRAM LINEAR
Program linear yaitu suatu metode untuk mencari nilai maksimum atau nilai minimum dari
bentuk linear pada daerah yang dibatasi grafik -grafik fungsi linear.
Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua peubah merupakan suatu
himpunan titik-titik (pasangan berurut (x,y)) dalam bidang cartesius yang memenuhi semua
pertidaksamaan linear dalam sistem tersebut. Sehingga daerah himpunan penyelesaiannya
merupakan irisan himpunan-himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan dalam sistem
pertidaksamaan linear dua peubah itu. Untuk lebih mudah dalam memahami daerah
penyelesaian dari sistem pertidak-samaan linear dua peubah, perhatikan contoh berikut.
Contoh:
Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut!
3x + 5y 15
x 0
y 0
Penyelesaian:
Gambar garis 3x + 5y =15, x = 0, dan y =0
Untuk 3x + 5y 15
Pilih titik (0,0), kemudian substitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:
3 × 0 + 5× 0 15
0 15 (benar), artinya dipenuhi
Sehingga daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (0,0)
Untuk x 0, pilih titik (1,1) kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:
1 0 (benar), artinya dipenuhi.
Sehingga daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (1,1)
Untuk y 0, pilih titik (1,1) kemudian substitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:
1 0 (benar), artinya dipenuhi.
Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (1,1).
Selanjutnya arsir daerah yang memenuhi persamaan, seperti gambar dibawah ini.
Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan merupakan irisan dari ketiga himpunan
penyelesaian pertidaksamaan di atas, yaitu seperti terlihat pada gambar berikut ini (daerah
yang diarsir).
Pertidaksamaan Linear juga dapat digunakan untuk memecahkan masalah dalam kehidupan
sehari-hari. Hal ini dapat dilakukan dengan memodelkan masalah menjadi model matematika.
Jadi, Model matematika merupakan suatu cara sederhana untuk menerjemahkan suatu
masalah ke dalam bahasa matematika dengan menggunakan persamaan, pertidaksamaan, atau
fungsi.
Perhatikan contoh berikut :
Pak Adi merupakan seorang pedagang roti. Beliau menjual roti menggunakan gerobak yang
dapat memuat 600 bungkus roti. Roti yang dijualnya yaitu roti manis dan roti tawar dengan
harga masing-masing Rp 5.500,00 untuk roti manis dan Rp 4.500,00 untuk roti tawar per
bungkusnya. Dari penjualan roti tersebut, beliau memperoleh keuntungan Rp 500,00 dari
sebungkus roti manis dan Rp 600,00 dari sebungkus roti tawar. Apabila modal yang dimiliki
oleh Pak Budi adalah Rp 600.000, buatlah model matematika agar beliau dapat memperoleh
keuntungan sebesar-besarnya!
Penyelesaian :
Permasalahan Pak Adi diatas dapat dimodelkan dalam bentuk matematika dengan
menggunakan sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Dengan memisalkan banyaknya roti
manis sebgai x dan roti tawar sebagai y sehingga diperoleh tabel sebagai berikut.

2. Berdasarkan tabel diatas jika kita tuliskan dalam bentuk pertidaksamaan linear menjadi
x + y ≤ 600,
5.500x + 4.500y ≤ 600.000,
Untuk x, y anggota bilangan cacah, x ≥ 0, y ≥ 0
Dua pertidaksamaan terakhir (baris ketiga) menunjukkan syarat dari nilai x dan y. Dikarena x
dan y merupakan pernyataan yang menyatakan banyaknya roti, maka tidak mungkin nilai x
dan y bernilai negatif.
Perhatikan kolom keempat dari tabel di atas yang menyatakan fungsi yang akan ditentukan
nilai maksimumnya (nilai optimum). Fungsi tersebut dapat dituliskan dalam persamaan
matematika sebagai berikut.
f(x,y) = 500x + 600y
untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan diatas kita dapat mengikuti langkah berikut :
1. Ubah masalah tersebut ke dalam model matematika yaitu dengan membuat tabel, fungsi
pembatas dan fungsi tujuan. Tabel di sini untuk mempermudah membaca data. Fungsi
pembatas/kendala yaitu beberapa pertidaksamaan linier yang berhubungan dengan
permasalahan tersebut. Fungsi tujuan/objektif yaitu suatu fungsi yang berhubungan dengan
tujuan yang akan dicapai. Biasanya fungsi tujuan dinyatakan dengan f(x,y) = ax + by atau z =
ax + by
2. Lukislah daerah penyelesaian dari fungsi pembatasnya
3. Tentukan koordinat-koordinat titik ujung daerah penyelesaian. Jika belum ada gunakan
bantuan eliminasi dari perpotongan 2 garis
4. Ujilah masing-masing titik ujung daerah penyelesaian
5. Tentukan nilai terbesar/terkecilnya sesuai dengan tujuan yang akan dicapai
dimana langkah no 1 telah kita dapatkan karena disini rumus matematika menunjukan
bagaimana cara membuat model matematika. Selanjutnya ikuti langkah berikutnya agar kita
memperoleh daerah penyelesaiannya.
Sedikit materi Program linear ini diharapkan dapat memberikan manfaat untuk membantu
sobat semua dalam lebih memahami matematika. Selamat belajar dan semoga sukses.
Fungsi, Komposisi Fungsi, dan Invers Fungsi Matematika - Sobat hitung kali ini kita akan
belajar tentang fungsi komposisi matematik SMA. Rumushitung telah merangkumkan materi
tersebut semoga bisa membantu belajarnya. Let’s check this out!
Apa itu Relasi?
Dalang fungsi matematika dikenal adanya relasi. Misal sobat punya dua himpunan cowok
ganteng dengan himpunan cewek jelek, kemudia sobat kaitkan anggota himpunan cowok
ganteng dengan cewek jelek berdasarkan suatu hubungan tertentu maka bisa dikatakan ada
relasi antera kedua himpunan tersebut. Jika himpunan cowok ganteng kita sebut himpunan A
dan himpunan cewek jelek kita sebut himpunan B, maka relasi A ke B bisa dinyatakan dalam
kalimat matematika
R : A → B
Contoh lain :
A = {1,2,3,4} dan B = [1,2,3,4,5,6} jika sobat kaitkan kedua himpunan dengan hubungan "A
merupakan setengah dari B" maka relasi tersebut dapat digambarkan dalam diagram berikut
Fungsi atau Pemetaan
Apa sebenarnya yang dimakasud dengan fungsi atau pemetaan? suatu relasi dari A ke B yang
memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B disebut dengan fungsi atau

3. pemetaan dari A ke B. Suatu fungsi umumnya dinotasikan dengan huruf ef kecil (f). Misalny
f adalah fungsi yang memtakan dari A ke B, maka fungsi tersebut ditulis
f : A → B
A disebut dengan daerah asal [domain]
B disebut dengan daerah kawan [codomain]
Jikaf memetakan x ∈ A ke y ∈B maka dapat sobat hitung katakan bahwa y adalah peta dari x
dan dapat ditulis f : x → y (f memetakan x ke y) atau y adalah fungsi dari x, y = f(x).
Contoh
Diagaram disamping adalah pemetaan f: A → B dengan
daerah asal A = {a,b,c,d,e}
daerah kawan B = {1,2,3,4,5,6}
f(a) = 1; f(b) = 2; f(c) = 3; f(d) = 4; f(e) = 5, sehingga didapat range (daerah
hasil) H = {1,2,3,4,5}
fungsi yang memetakan daerah asal ke daerah kawan bermacam-macam sobat, bisa fungsi
sederhana, linier, kuadrat, dan sebagainya.
Contoh
Misal f: R → R dengan f(x+2) = x2-x, tentukan berapa nilai f(x) dan f(1)
Kita misalkan y = x + 2, sehingga x = y-2
f(y) = (y-2)2 – (y-2) = y2 – 4y + 4 – y +2 = y2 -5y + 6
sehingga bisa didapat f(x) = x2 -5x + 6
f(1) = 12 -5(1) + 6 = 2
Komposisi Fungsi
Jika sobat hitung menggabungkan dua fungsi secara berurutan akan menghasilkan sebuah
fungsi baru. Apa yang sobat lakukan tersebut disebut dengan mengkomposisikan fungsi dan
hasilnya disebut komposisi fungsi. Coba sobat hitung simak ilustrasi berikut
Pada diagram di atas fungsi f dikomposisikan dengan fungsi g menghasilkan fungsi h. h
dinamakan fungsi komposisi dari fungsi f dan g dinotasikan h = f o g (sobat mungkin sering
sebut fog atau f bundaran g). Jadi jika kira rinci
 g(y) = g(f(x))
 h(x) = g(f(x)) atau h (x) = (g o f) (x) = g(f(x))
Buat lebih jelas kita latihan dengan contoh soal berikut
Jika f(x) = 2x2 + 1 dan g(x) = x+2
tentukan
a. (g o f ) (x)
b. (g o f ) (5)
c. (f o g) (x)
d. (f o g) (3)
Jawab:
mengkomposisikan fungsi sebenarnya sangat sederhana, sobat hanya perlu mentaati asas
ketika memasukkan nilai x.
a. (g o f ) (x) —> kita masukkan fungsi f sebagai x dalam fungsi g
(g o f ) (x) = g(f(x)) = g (2x2+1) = 2x2+1 + 2 = 2x2+3
b. (g o f ) (5) = 2(5)2 + 3 = 53
c. (f o g) (x) –> kita masukkan fungsi g sebagai x dalam fungsi f
(f o g) (x) = f(g(x)) = f (x+2) = 2(x+2)2 +1 = 2 (x2+4x+4) +1 = 2x2 + 8x +8 + 1 = 2x2 + 8x + 9
d. (f o g) (3) = 2(3)2 + 8(3) + 9 = 51
Invers Fungsi

4. Apa itu invers fungsi? Misal sobat punya fungsi f: A → B maka invers fungsi dari f
dinyatakan dengan f-1: B → A
jika y = f(x) maka x = f-1(y).
Hasil invers dari suatu fungsi dapat merupakan fungsi atau bukan fungsi. Kapan invers suatu
fungsi merupakan fungsi juga? Jawabannya ketik fungsi tersebeut berkorespondensi satu-satu.
Ketika suatu fungsi bukan merupkan korespondensi satu-satu maka inversnya bukan
merupakan sebuah fungsi melainkan suatu relasi.
Bagaimana Menentukan Invers Suatu Fungsi?
 Invers suatu fungsi dapat ditentukan dengan terlebih dahulu memisalkan fungsinya
denga y
 Kemudian menyatakan variabel x sebagai fungsi dari y
 Mengganti y dalam fungsi menjadi x
Contoh
Tentukan ivers dari fungsi f(x) = 2x + 6
Pembahasan
f(x) = 2x + 6
misal y = 2x + 6
2x = y – 6
x = ½ y – 3
dengan demikian f-1(y) = ½ y – 3 atau f-1(x) = ½ x – 3
Contoh 2
Tentukan Invers dari fungsi y = 2x + 3/ 4x + 5
jawab :
y = 2x + 3/ 4x + 5
y (4x + 5) = 2x + 3
4yx + 5y = 2x + 3
4yx – 2x = 3 – 5y
x (4y-2) = 3 – 5y
x = 3 – 5y / 4y-2
atau
x = -5y +3 / 4y – 2
jadi dengan dimikian f-1 (y) = 2x + 3/ 4x + 5 = -5y +3 / 4y – 2
atau f-1(x) = -5x +3 / 4x – 2
Penyelesaian contoh soal fungsi komposisi nomor dua bisa sobat kerjakan dengan
menggunakan rumus cepat
Jika f(x) = ax + b/cx + d maka inversnya f-1(x) = -dx + b / cx – a
Rumus Mencari Luas Segitiga
Segitiga merupakan sebuah bangun datar yang dibatasi oleh tiga buah sisi dam
memiliki tiga titik sudut.
Dimana jumlah ketiga titik sudut tersebut adalah 180 derajat yang ditemukan
oleh Matematikawan Euclid. Hal ini memungkinkan untuk kita menghitung
salah satu dusut jika keduanya diketahui.
Berdasarkan panjang sisinya, segitiga dapat diklasifikasikan menjadi 3 yaitu :
1. Segitiga sama sisi, yaitu segitiga yang ketiga sisinya sama panjang, maka
masing-masing sudutnya sama besar yaitu 60 derajat.

5. 2. Segitiga sama kaki, yaitu segitiga yang dua dari tiga sisinya sama
panjang, maka dua sudut dari tiga sudutnya sama besar.
3. Segitiga sembarang, yaitu segitiga yang ketiga sisinya memiliki panjang
yang berbeda, sehingga besar setiap sudutnya berbeda.
Segitiga sama sisi Segitiga sama kaki Segitiga sembarang
Menurut besar sudut terbesarnya, segitiga dapat dibagi menjadi tiga yaitu :
1. Segitiga siku-siku merupakan segitiga yang salah satu besar sudutnya 90º
. Sisi yang berada didepan sudut 90º disebut hipotenusa atau sisi miring.
2. Segitiga lancip merupakan segitiga yang besar semua sudutnya < 90º.
3. Segitiga tumpul merupakan segitiga yang besar salah satu sudutnya
>90º.
Segitiga siku-siku Segitiga tumpul Segitiga lancip
Rumus untuk menghitung luas segitiga yaitu
L = ½.alas.tinggi
Sedangkan rumus keliling lingkaran yaitu :
K = sisi1 + sisi2 + sisi3
Teorema Heron
Teorema ini biasanya digunakan untuk mencari luas segitiga sembarang, misal
a, b dan c adalah sisi-sisinya maka

dimana

Dalam kasus segitiga sama sisi yang bersisikan a maka untuk mencari luas dan
kelilingnya dapat juga menggunakan rumus sebagai berikut :


Dalil Phytagoras

6. Dalil ini hanya berlaku untuk segitiga siku – siku.
Phytagoras menyatakan bahwa c²=a²+b²
Jika terdapat tiga buah bilangan yang memenuhi pernyataan diatas maka ketiga
bilangan tersebut disebut triple phytagoras.
Triple phytagoras dapat dibangun dengan menggunakan rumus diatas dengan
memasukan sebuah nilai n diman n adalah bilangan bulat positif.
Lingkaran dalam dan luar segitiga
Lingkaran dalam segitiga merupakan suatu lingkaran yang berada didalam
segitiga serta menyinggung ketiga sisi segitiga, dimana jari-jarinya dapat dicari
dengan menggunakan rumus sebagai berikut
dimana :
r = jari-jari lingkaran dalamsegitiga
L= luas segitiga
s= setengah keliling segitiga
Lingkaran luar segitiga merupakan suatu lingkaran yang berada diluar segitiga
dan keliling lingkaran tersebut menyinggung perpotongan tiga garis segitiga (
titik sudut ). Jari-jari lingkaran luar segitiga dapat dicari menggunakan rumus
sebagai berikut
dimana :
R = jari-jari lingkatan luar segitiga
a,b,c = sisi segitiga
L = luas segitiga
Demikian Rumus Mencari Luas Segitiga Lengkap telah selesai dipaparkan,
semoga bermanfaat. Rumus untuk bangun datar yang lain dapat anda lihat pada
artikel sebelumnya seperti pada Rumus Persegi Panjang.
Pengertian integral
Jika sebelumnya anda sudah mempelajari tentang materi turunan, maka integral adalah
lawan dari turunan atau diferensial. Atau biasa juga disebut dengan antiturunan.
Lambang integral adalah , yang dalam bentuk fungsi biasanya berbentuk
Jika adalah fungsi yang memenuhi , maka adalah integral atau
antiturunan dari .

7. Contoh Pengertian Integral
Sebagai contoh, jika kita mendiferensialkan , ,
, semuanya akan menghasilkan yang sama, yaitu
Dengan demikian, jika kita mencari antiturunan atau integral dari , sesuai
dengan pengertian integral, maka hasilnya adalah
Nilai muncul karena ketiga fungsi yang kita diferensialkan di atas mempunyai hasil
turunan yang sama, padahal konstantanya beda. Jadi, setelah kita mengintegralkan suatu
fungsi, harus selalu ada di suku terakhir hasil pengintegralannya.
Pengintegralan fungsi terhadap dinotasikan sebagai berikut:
biasa juga dibaca sebagai “terhadap “.
Turunan : Persamaan Garis Singgung Kurva
Dalam materi turunan terdapat sub bab mengenai Persamaan Garis Singgung suatu
Kurva,lho… mari kita kupas materinya beserta latihan soal persamaan garis singgung
kurva,yuks…
Hayooooooo…
Masih ingatkah kalian tentang persamaan garis lurus di tingkat SMP ???!!
Materi itu berkaitan erat dengan materi yang akan kita bahas sekarang ini.
Nah, sebelum menginjak ke inti materi persamaan garis singgung kurva, kita rangkum
kembali yuk ingatan kita tentang cara menentukan gradien dan persamaan garis lurus .
Gradien Garis disimbolkan dengan “m” dimana :
* gradien pada persamaan garis adalah m
* gradien pada persamaan garis adalah
* gradien jika diketahui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2) adalah
Gradien dua garis lurus
* yang saling sejajar maka
* yang saling tegak lurus
Persamaan Garis Lurus
* Jika diketahui satu titik (x1,y1) dan gradien m, maka persamaan garisnya :
* Jika diketahui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2) maka persamaan garisnya :
Nah materi dasarnya di atas jangan sampai terlupa yah, sekarang kita masuk materi yang
sesungguhnya…hehehe…
Perhatikan Gambar Grafik fungsi

8. Kemiringan (gradien) garis singgung kurva y = f(x) di titik A(a, f(a)) adalah
Persamaan garis lurus yang melalui titik (x1, y1) dengan gradien m adalah
, sehingga
Persamaan Garis Singgung di titik (a, f(a)) pada kurva adalah
ayooo langsung kita praktikkan…
1. Tentukan persamaan garis singgung kurva di titik ( -1 , 1) !
Jawab :
* cari m dulu di x = -1
* maka persamaan garris singgung kurva dengan gradien m = -2 di ( -1 , 1) adalah
2. Tentukan persamaan garis singgung kurva di titik yang berabsis (-2) !
Jawab :
* cari m dulu di absis x = -2
* Bandingkan dengan soal no.1, disini kita belum punya y1 sehingga kita cari terlebih
dulu
* maka persamaan garis singgung kurva dengan gradien m = -4 di ( -2 , 4) adalah
3. Tentukan persamaan garis singgung kurva yang sejajar garis y = x !
Jawab :
* cari gradien m dari persamaan garis lurus y = x
ingat
maka m = 1 , diketerangan soal, garis saling sejajar, maka m1 = m2 = 1
* cari titik singgungnya (x1,y1)
ingat maka

9. x1 = 1 maka kita cari y1 dengan mensubtitusi x =1 ke
* maka persamaan garis singgung kurva dengan gradien m = 1 di ( 1 , -1) adalah
4. Tentukan Persamaan garis singgung pada kurva yang terletak
tegak lurus garis x – 2y +13 = 0 !
Jawab :
* cari gradien m dari persamaan garis lurus x – 2y +13 = 0
ingat maka
untuk x – 2y +13 = 0 maka
keterangan soal garis saling tegak lurus, maka m1 . m2 = – 1
* cari titik singgungnya (x1,y1) dengan m = -2
ingat maka
x1 = 2 maka kita cari y1 dengan mensubtitusi x = 2 ke
* maka persamaan garis singgung kurva dengan gradien m = -2 di titik ( 2 , 11) adalah
1. Pengertian Transformasi
Transformasi T dibidang adalah suatu pemetaan titik pada suatu bidang ke himpunan titik
pada bidang yang sama.
Jenis-jenis transformasi yang dapat dilakukan antara lain :
a. Translasi (Pergeseran)
b. Refleksi (Pencerminan)
c. Rotasi (Perputaran)
d. Dilatasi (Perkalian)
2. Translasi dan Operasinya
Translasi (pergeseran) adalah pemindahan suatu objek sepanjang garis lurus dengan arah dan
jarak tertentu.

10. Jika translasi memetakan titik P (x, y) ke titik P’(x’, y’) maka x’ = x + a dan y’ = y
+ b atay P’ (x + a, y + b ) ditulis dalam bentuk :
Contoh : Tentukan koordinat bayangan titik A (-3, 4) oleh translasi
Jawab :
Jawab :
A’ = ( -3 + 3, 4 + 6)
A’ = (0, 10)
3. Refleksi (Pencerminan)
a. Pencerminan terhadap sumbu x
Matriks percerminan :
b. Pencerminan Terhadap sumbu y
Matriks Pencerminan:
c. Pencerminan terhadap garis y = x
Matriks Pencerminan
d. Pencerminan terhadap garis y = -x
Matriks Pencerminan:
e. Pencerminan terhadap garis x = h

11. Matriks Pencerminan:
Sehingga:
f. Pencerminan terhadap garis y=k
Matriks Pencerminan :
Sehingga:
g. Pencerminan terhadap titik asal O (0, 0)
Matriks Pencerminan :
Sehingga:
h. Pencerminan terhadap garis y = mx dimana m = tan 
Contoh :
Tentukan bayangan persamaan garis y = 2x – 5 oleh translasi
Jawab :
Ambil sembarang titik pada garis y = 2x – 5, misalnya (x, y) dan titik bayangan oleh
translasi adalah (x’, y’) sehingga ditulis
Atau
x’ = x + 3 x = x’- 3 ..... (1)

12. y’ = y – 2 y = y’ + 2 ......(2)
Persamaan (1) dan (2) disubtitusikan pada persamaan garis semula, sehingga :
y = 2x – 5
y’ + 2 = 2 (x’- 3) – 5
y’ = 2x’ – 6 – 5 – 2
y’ = 2x’ – 13
Jadi persamaan garis bayangan y = 2x – 5 oleh translasi adalah y = 2x – 13 .
Persamaan lingkaran merupakan suatu persamaan yang membentuk lingkaran pada
koordinat Cartesius.
Persamaan lingkaran yang berpusat di dan berjari-jari adalah
Contoh: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di dan melewati titik .
Jawaban:
Karena lingkarannya berpusat di , maka persamaan di atas dapat digunakan.
Substitusikan (x,y) = (3,4) ke persamaan tersebut untuk mendapatkan , sehingga
Dengan demikian, persamaan lingkarannya adalah
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik dan berjari-jari adalah
Persamaan ini merupakan persamaan standar lingkaran.
Contoh: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik dengan jari-jari 7.
Jawaban:
Sesuai dengan persamaan di atas, maka persamaan lingkarannya adalah
Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Jika kita menjabarkan persamaan akan didapat:
Dengan mensubstitusikan , dan , persamaan tersebut
menjadi:
Ini merupakan bentuk umum persamaan lingkaran yang berpusat di titik dan jari-jari
.
Jari-jari lingkaran tersebut adalah dan pusatnya
Contoh: Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan
.
Jawaban:
Cara 1:
Dari bentuk umum di atas kita dapat dan
Maka pusat lingkarannya adalah
Jari-jarinya adalah
Cara 2:
Ubah bentuk persamaan di atas ke persamaan standar lingkaran, sehingga didapat:
Jadi, pusat lingkarannya adalah dan jari-jarinya
Soal Latihan:
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di melewati titik
2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan lingkaran