definición de conjuntos, conjuntos reales propiedades de los conjuntos, desigualdades, propiedades de las desigualdades, valor absoluto, propiedades del valor absoluto y valor absolito con desigualdades.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
UNIVERSITARIA CIENCIA Y TECNOLOGÍA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL DEL ESTADO
LARA ANDRÉS ELOY BLANCO
QUIBOR; ESTADO LARA
Estudiantes:
Yerelis Liscano
Profesora: Franleidys
Carrera: Administración
Sección:0403

2. Un conjunto es una colección de elementos con características
similares considerada en sí misma como un objeto.
Conjunto de los Números
Naturales
Son aquellos que sirven para
designar el numero de elementos de
un conjunto finito .
ℕ= 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, … 𝒏 … .
el cero indica que el conjunto es
vacío.
Conjunto de los Números Enteros
Resulta de la necesidad de que
algunas veces es necesarios
expresar con números algunas
cantidades opuestas a otra . De esta
forma aparece un aplicación del
conjunto de los números naturales ,
llamada conjunto de los Números
Enteros ℤ= … −
Conjunto de los Números Racionales
Un conjunto mas amplio que el anterior
es el conjunto de los Números Racionales
se define por:
ℝ =
𝑝
𝑞
: 𝑝, 𝑞 𝜖 ℤ 𝑦 𝑞 ≠ 0
Conjunto de los Números Irracionales l
Diversos problemas relacionados con la
geometría dieron origen a nuevos
números que no admiten representación
racional a este conjunto de números se
llaman Irracionales 𝕀, conjuntamente con
los números Racionales constituyen el
conjunto de los números ℝ esto es ℝ =
ℚ ∪ 𝕀

3. Conjunto de Números Reales
Definición
• El conjunto de números reales se obtiene de la unión del conjunto de los números
racionales y los números irracionales y se denota con ℝ, simbólicamente escribimos : ℝ =
ℚ ∪ 𝕀
Notaciones
• Si A es cualquiera de los conjuntos de números que hemos definido, ℕ, ℤ, ℚ, 𝕀 𝑜 ℝ y
queremos expresar que a es un elemento de dicho conjunto, escribimos 𝑎 𝜖 𝐴.
• Si A es como antes y deseamos expresar que b no es un elemento de A, escribimos b ∉ 𝐴.
• Si A y B es cualquiera de los conjuntos de números que hemos definido, ℕ, ℤ, ℚ, 𝕀 𝑜 ℝ y
deseamos expresar que todo elemento de A esta en B se indica por A ⊆ 𝐵

4. Propiedad Conmutativa
𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂 𝒚 𝒂. 𝒃 = 𝒃. 𝒂
Propiedad Asociativa
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝒚 𝒂 . 𝒃. 𝒄 = 𝒂. 𝒃 . 𝒄
Propiedad Distributiva
𝒂. 𝒃 + 𝒄 = 𝒂. 𝒃 + 𝒂. 𝒄
Inverso Aditivo
Para cada 𝑎 𝜖 ℝ existe −𝒂 𝝐 ℝ 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒂 + −𝒂 = 𝟎
Inverso Multiplicativo
Para cada número real a ≠ 0 existe un numero real 𝑎−1
tal que 𝑎. 𝑎−1
= 1
Elemento Neutro
Existen dos números reales distintos, que se indican por 0 y 1 tales que para cada real a se tiene:
0 + 𝑎 = 𝑎 + 0 = 𝑎 𝑦 1. 𝑎 = 𝑎. 1 = 𝑎

5. La Unión de A y B es el conjunto
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑥 𝜖 𝑈 𝑥 𝜖 𝐴 ∨ 𝑥 𝜖 𝐵
La Intersección de A y B es el
conjunto
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥 𝜖 𝑈 ∕ 𝑥 𝜖 𝐴 ∧ 𝑥 𝜖 𝐵
La Diferencia entre A y B es el
conjunto
𝑨 − 𝑩 = 𝒙 𝝐 𝑨 ∕ 𝒙 ∉ 𝑩
Si B ⊂ A, el Complemento de B con respecto a
A es el conjunto ∁𝐴𝐵=𝐴 −𝐵
El Complemento de B, ∁𝑩, es el complemento de
B respecto a U, esto es,
∁ 𝐵 = ∁𝑈𝐵
La Diferencia Simétrica de los
conjuntos A y B es el conjunto
𝑨 △ 𝑩 = 𝑨 − 𝑩 ∪ (𝑩 − 𝑨)

7. Una desigualdad entre dos expresiones algebraicas donde al menos una de ellas involucra
variable, reciben el nombre de INECUACIÓN. Los siguientes ejemplos de inecuaciones:
a) 𝑥 + 2 ≥ 5
b)
𝑥+𝑦
𝑥−𝑦
> 1
c) 5𝑥 − 2 ≤ 4
En una Inecuación las
variables reciben el
nombre de incógnitas.
Consideremos 𝒂 𝝐 ℝ, note que:
Cualquier numero real mayor que 𝔞 satisfacer la desigualdad x> 𝑎 en cuyo caso el conjunto
solución de esta desigualdad es
𝒙 𝝐 ℝ ∶ 𝒙 > 𝒂 = 𝒂, + ∞ ;
Cualquier numero real mayor o igual que 𝖆 satisfacer la desigualdad x≥ 𝒂 en cuyo caso el
conjunto solución de esta desigualdad es
𝒙 𝝐 ℝ ∶ 𝒙 ≥ 𝒂 = 𝒂, + ∞ ;
Cualquier numero real menor que 𝖆 satisfacer la desigualdad x< 𝒂 en cuyo caso el conjunto
solución de esta desigualdad es
𝒙 𝝐 ℝ ∶ 𝒙 < 𝒂 = − ∞, 𝒂 ;
Cualquier numero real menor o igual que 𝖆 satisfacer la desigualdad x ≤ 𝒂 en cuyo caso el
conjunto solución de esta desigualdad es
𝒙 𝝐 ℝ ∶ 𝒙 ≤ 𝒂 = −∞, 𝒂 ;

8. Tricotomía: garantiza que si a y b son
dos números reales solo se satisface una de
las siguientes condiciones:
i. 𝑎 < 𝑏
ii. 𝑎 = 𝑏
iii. 𝑎 > 𝑏
Permutación de miembros: se puede
cambiar los miembros de una inecuación de
acuerdo con las propiedades siguientes:
i. 𝑎 < 𝑏 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑏 > 𝑎
ii. 𝑎 ≤ 𝑛 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑏 ≥ 𝑎
iii. 𝑎 > 𝑏 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑏 < 𝑎
iv. 𝑎 ≥ 𝑏 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑏 ≤ 𝑎
Sumar constante: se puede sumar una
constante k a ambos miembros de una
inecuacion de acuerdo con lo siguiente:
i. 𝑎 < 𝑏 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑎 + 𝑘 < 𝑏 + 𝑘
ii. 𝑎 ≤ 𝑏 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑎 + 𝑘 ≤ 𝑏 + 𝑘
iii. 𝑎 > 𝑏 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑎 + 𝑘 > 𝑏 + 𝑘
iv. 𝑎 ≥ 𝑏 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑎 + 𝑘 ≥ 𝑏 + 𝑘
Multiplicar por una constante
positiva: podemos multiplicar cada miembro
de la desigualdad por una constante k
positiva 𝑘 > 0 de acuerdo a los siguiente:
i. 𝑎 < 𝑏 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑘. 𝑎 < 𝑘. 𝑏
ii. 𝑎 ≤ 𝑏 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑘. 𝑎 ≤ 𝑘. 𝑏
iii. 𝑎 > 𝑏 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑘. 𝑎 > 𝑘. 𝑏
iv. 𝑎 ≥ 𝑏 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑘. 𝑎 ≥ 𝑘. 𝑏
Multiplicar por una constante
negativa: podemos multiplicar cada miembro
de la desigualdad por una constante k
negativa 𝑘 < 0 de acuerdo a los siguiente:
i. 𝑎 < 𝑏 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑘. 𝑎 < 𝑘. 𝑏
ii. 𝑎 ≤ 𝑏 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑘. 𝑎 ≤ 𝑘. 𝑏
iii. 𝑎 > 𝑏 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑘. 𝑎 > 𝑘. 𝑏
iv. 𝑎 ≥ 𝑏 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑘. 𝑎 ≥ 𝑘. 𝑏

9. ///////////////////////////)
Determina el conjunto de todos los
números reales tales que:
3𝑥 + 8 ≤ 7

10. El valor absoluto de un numero real x, denotado por 𝑥 , esta
definido por:
Ejemplo :
i. 5 = 5
ii. −1 = − −1 = 1
iii. 0 = 0
iv. 2 − 1 = 2 − 1
v. 2 − 2 = − 2 − 2 = − 2 + 2

11. 1. Si 𝒙 𝝐 ℝ 𝒚 𝒙 entonces 𝒙 = 𝟎
2. 𝒂 = −𝒂
3. 𝒂 = 𝒃 𝒔𝒊 𝒚 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊 𝒃 ≤ 𝒂 ≤ −𝒃
4. 𝒂𝒃 = 𝒂 𝒃
5.
𝒂
𝒃
=
𝒂
𝒃
6. → 𝒂 ≤ 𝒃 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒃 > 𝟎 𝒔𝒊 𝒚 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊 − 𝒃 ≤ 𝒂 ≤ 𝒃
→ 𝒂 < 𝒃 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒃 > 𝟎 𝒔𝒊 𝒚 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊 − 𝒃 < 𝒂 < 𝒃
7. → 𝒂 ≥ 𝒃 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒃 > 𝟎 𝒔𝒊 𝒚 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊 𝒂 ≥ 𝒃 𝒐 𝒂 ≤ − 𝒃
→ 𝒂 > 𝒃 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒃 > 𝟎 𝒔𝒊 𝒚 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊 𝒂 > 𝒃 𝒐 𝒂 < − 𝒃
8. Para todo 𝒙 𝝐 ℝ se tiene que − 𝒙 ≤ 𝒙 ≤ 𝒙
9. 𝒂𝒏
= 𝒂 𝒏
, 𝒂 + 𝒃 ≤ 𝒂 + 𝒃
10. 𝒂 − 𝒃 ≥ 𝒂 − 𝒃

12. 𝟏
𝟐
𝒙 −
𝟏
𝟒
= 𝟏
Es decir, los valores de x que satisfacen la igualdad
𝟏
𝟐
𝒙 −
𝟏
𝟒
= 𝟏 son
−𝟑
𝟐
𝒚
𝟓
𝟐
. En este caso , se dice que el conjunto solución de la
ecuación es
−𝟑
𝟐
,
𝟓
𝟐

13. Hasta ahora solo se puede resolver inecuaciones que involucran valor
absoluto de expresiones de la forma 𝑎𝑥 + 𝑏, sonde a y b son constante con
𝑎 ≠ 0 y x es una variable real.
Para resolver inecuaciones que involucren valor absoluto
utilizaremos la definición de valor absoluto así como las
propiedades de este y de las desigualdades.
Resolver la siguiente desigualdad
𝑥 + 2 ≥ 2
𝑥 + 2 ≤ −2 o 𝑥 + 2 ≥ 2
𝑥 ≤ −4 o 𝑥 ≥ 0
𝑠1 = −∞, −4 𝑠2 = [0, +∞)
−∞ +∞
0
-1
-2 2
-3
-4 3 4
///////) (//////////////////////
1
Resuelve la
Desigualdad
𝒙 − 𝟑 < 𝟏