This is an alternative (the old one) approach to show that travel times correspond to IUH

1. Riccardo Rigon
L’idrogramma Istantaneo Unitario
Preliminari (un’alternativa)
TheGreatWaveoffKanagawa,Hokusai1823

2. Riccardo Rigon
2
Lo IUH(t) può essere interpretato come una distribuzione di tempi di residenza
Rodriguez-Iturbe e Valdes, 1979; Gupta e Waymire, 1980
Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale
- IUH -> GIUH
IUH: tempi di residenza

3. Riccardo Rigon
3
Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale
- IUH -> GIUH
t1
Lo IUH(t) può essere interpretato come una distribuzione di tempi di residenza
Rodriguez-Iturbe e Valdes, 1979; Gupta e Waymire, 1980
IUH: tempi di residenza

4. Riccardo Rigon
4
Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale
- IUH -> GIUH
t2
Lo IUH(t) può essere interpretato come una distribuzione di tempi di residenza
Rodriguez-Iturbe e Valdes, 1979; Gupta e Waymire, 1980
IUH: tempi di residenza

5. Riccardo Rigon
5
Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale
- IUH -> GIUH
t3
Lo IUH(t) può essere interpretato come una distribuzione di tempi di residenza
Rodriguez-Iturbe e Valdes, 1979; Gupta e Waymire, 1980
IUH: tempi di residenza

6. Riccardo Rigon
6
Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale
- IUH -> GIUH
t4
Lo IUH(t) può essere interpretato come una distribuzione di tempi di residenza
Rodriguez-Iturbe e Valdes, 1979; Gupta e Waymire, 1980
IUH: tempi di residenza

7. Riccardo Rigon
7
Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale
- IUH -> GIUH
t5
Lo IUH(t) può essere interpretato come una distribuzione di tempi di residenza
Rodriguez-Iturbe e Valdes, 1979; Gupta e Waymire, 1980
IUH: tempi di residenza

8. Riccardo Rigon
Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale
- IUH -> GIUH
8
t1
t2
t3
t4
t5
IUH: tempi di residenza

9. Riccardo Rigon
9
Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale
- IUH -> GIUH
v(t) =
k
vkIk(t)
Lo IUH(t) può essere interpretato come una distribuzione di tempi di residenza
Rodriguez-Iturbe e Valdes, 1979; Gupta e Waymire, 1980
IUH: tempi di residenza

10. Riccardo Rigon
10
Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale
- IUH -> GIUH
v(t) =
k
vkIk(t)
Il volume v(t) rappresenta inoltre un rapporto tra casi favorevoli (volumi
presenti all'interno del bacino) e casi totali (il numero totale di eventi
possibili), cioè il numero totale di volumi , ed è pertanto, nel limite di un
numero di volumi infinito la probabilità che i volumi siano interni al bacino.
Piu’ precisamente, v(t) è numericamente uguale alla probabilità, P[T >t], che il
tempo di residenza dell'acqua all'interno del bacino sia superiore al tempo
corrente, t.
IUH: tempi di residenza

11. Riccardo Rigon
11
Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale
- IUH -> GIUH
Allora il bilancio di massa all’interno del bacino considerato risulta essere:
dv
dt
=
dP[T > t]
dt
= (t) IUH (t)
La variazione di volume d’acqua nel tempo eguaglia la
probabilità di superamento del tempo di residenza
IUH: tempi di residenza

12. Riccardo Rigon
12
Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale
- IUH -> GIUH
Allora il bilancio di massa all’interno del bacino considerato risulta essere:
dv
dt
=
dP[T > t]
dt
= (t) IUH (t)
IUH: tempi di residenza

13. Riccardo Rigon
13
Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale
- IUH -> GIUH
Allora il bilancio di massa all’interno del bacino considerato risulta essere:
dv
dt
=
dP[T > t]
dt
= (t) IUH (t)
Variazione di volume (nel tempo) all’interno del
bacino
Ciò che entra - ciò che esce
IUH: tempi di residenza

14. Riccardo Rigon
14
Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale
- IUH -> GIUH
Allora il bilancio di massa all’interno del bacino considerato risulta essere:
dv
dt
=
dP[T > t]
dt
= (t) IUH (t)
Precipitazione
efficace istantanea ed unitaria
Portata in uscita corrispondente
ad una precipitazione in entrata
istantanea ed unitaria
IUH: tempi di residenza

15. Riccardo Rigon
15
Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale
- IUH -> GIUH
Integrando risulta allora
P[T > t] =
t
0
(t)dt
t
0
IUH (t)dt
Ovvero
P[T < t] =
t
0
IUH (t)dt
dalle definizioni segue allora che lo S hydrograph è una probabilità (il che ne
spiega compiutamente la forma).
IUH: tempi di residenza

16. Riccardo Rigon
16
Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale
- IUH -> GIUH
Integrando risulta allora
P[T > t] =
t
0
(t)dt
t
0
IUH (t)dt
Ovvero
P[T < t] =
t
0
IUH (t)dt
dalle definizioni segue allora che lo S hydrograph è una probabilità (il che ne
spiega compiutamente la forma).
Questo vale 1 per
definizione
IUH: tempi di residenza

17. Riccardo Rigon
17
Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale
- IUH -> GIUH
Derivando ambo i membri dell’equazione risulta allora
pdf(t) = IUH(t)
che è quanto volevamo dimostrare
IUH: tempi di residenza