Penman-Monteith equation derivation. The concept of Potential evapotranspiration.

1. L’evapotraspirazione
Penman-Monteith
P.Sutton,Tree,1958-TateModern
Riccardo Rigon

2. L’Evapotraspirazione
Riccardo Rigon
2
Sommario
Metodi di stima di ET alternativi al metodo basato sulla caratterizzazione
del trasferimento turbolento visto sinora.

3. L’Evapotraspirazione
Riccardo Rigon
3
Il bilancio di energia
Rn = ET + H + G + PS
Il bilancio di massa
dS
dt
= P ET R RG RS

4. L’Evapotraspirazione
Riccardo Rigon
4
La Legge di Dalton
(già vista!)
E = Ke Va(e (Ts) e(Ta))
La legge di Dalton, da sola non permette di determinare l’evapotraspirazione.
In vontemporanea, infatti dovrebbero essere risolte le equazioni di
conservazione dell’energia e del bilancio di massa:

5. L’Evapotraspirazione
Riccardo Rigon
5
ET
L’evapotraspirazione deve soddisfare contemporaneamente le tre
equazioni. La prima equazione la limita in accordo all’energia
disponibile nell’ambiente. La seconda la limita in rapporto alla massa
d’acqua presente nell’ambiente. La terza rappresenta ad un tempo la
conservazione della quantità di moto (del vento) e la
massimizzazione dell’entropia (che causa il miscelamento del vapore
nell’aria).

6. L’Evapotraspirazione
Riccardo Rigon
ET
• L’applicazione della legge di conservazione della massa si applica, nei
modelli più semplici con funzioni modulanti, dipendenti dal contenuto
d’acqua del suolo.
• Richiede misure di velocità del vento, contenuto di vapore in superficie
e nell’aria, quantità che normalemente non sono misurate.
• Altrimenti le stesse quantità devono essere modellate. Ma questo è
un’altra storia
6

7. L’Evapotraspirazione
Riccardo Rigon
ET: alla ricerca di soluzioni semplificate
• Penman - Monteith (basata sul bilancio di energia)
• Priestley-Taylor (basata sul bilancio di radiazione)
• Thornthwaite (basata sulla temperatura)
• Hamon, Malstrom (basata sulla temperatura e sulla tensione di vapore)
7

8. L’Evapotraspirazione
Riccardo Rigon
8

9. L’Evapotraspirazione
Riccardo Rigon
9
ET =
1
ra + rg
(q (Ta) + [
dq
dT
]T =Ta (Ts Ta) qa)
Penman - Monteith
Il primo passaggio per ottenere l’equazione di Penman -Monteith è quella di
approssimare l’umidità satura del suolo con l’umidità satura dell’aria, usando un
espansione di Taylor nella temperatura
Da cui:
q ⇥ (Ts) = q ⇥ (Ta) + (Ts Ta) + O((Ts Ta)2
)

10. L’Evapotraspirazione
Riccardo Rigon
10
ET =
1
ra + rg
(q (Ta) + [
dq
dT
]T =Ta (Ts Ta) qa)
dq
dT
=
p
=
de
dT
Penman - Monteith
La derivata dell’umidità specifica a saturazione è una relazione di
Clausius-Clapeyron
=
25083
(T + 273.3)2
e
17.3 T
T +273.3
mb ⇥
C 1

11. L’Evapotraspirazione
Riccardo Rigon
11
ET =
1
ra + rg
(q (Ta) + [
dq
dT
]T =Ta (Ts Ta) qa)
H = cp
1
ra
(Ts Ta)
Penman - Monteith
Per eliminare l temperatura del suolo, a questo punto viene usata la legge di
trasporto del calore sensibile, che ha una forma simile a quella di trasporto del
calore latente:

12. L’Evapotraspirazione
Riccardo Rigon
12
ET =
1
ra + rg
(q (Ta) + [
dq
dT
]T =Ta (Ts Ta) qa)
H = cp
1
ra
(Ts Ta)
H = Rn G ET
Per eliminare la temperatura del suolo, a questo punto viene usata la legge di
trasporto del calore sensibile, che ha una forma simile a quella di trasporto
del calore latente:
Penman - Monteith

13. L’Evapotraspirazione
Riccardo Rigon
13
ET =
1
ra + rg
(q (Ta) + [
dq
dT
]T =Ta (Ts Ta) qa)
H = cp
1
ra
(Ts Ta)
H = Rn G ET
Anzichè esprimere ET in funzione del calore latente si preferisce esprimerlo
in funzione delle forzante radiativa, utilizzando il bilancio (stazionario
dell’energia):
Penman - Monteith

14. L’Evapotraspirazione
Riccardo Rigon
14
p cp
⇥⇤
qa ⇥ q (Ta) qa
Definiamo anche la costante psicrometrica:
E il deficit di umidità:
Penman - Monteith

15. L’Evapotraspirazione
Riccardo Rigon
15
ET = ⌅
1
ra + rg
⇥qa +
1
⇤⌅
ra(Rn G ⇤ ET)
⇥
ET(1 +
ra
ra + rg
) = ⌅
1
ra + rg
⇥qa +
1
⇤⌅
ra(Rn G) qa
⇥
Si ottiene:
Poi:
Penman - Monteith

16. L’Evapotraspirazione
Riccardo Rigon
16
⇥ ET =
(Rn G) + ⇤⇥
ra
qa
(1 + +
rg
ra
)
Infine:
Penman - Monteith

17. L’Evapotraspirazione
Riccardo Rigon
17
⇥ ET =
(Rn G)
(1 + +
rg
ra
)
+
⇤⇥
ra
qa
(1 + +
rg
ra
)
Questo termine
dipende dalla
disponibilità di
energia.
Penman - Monteith
Questo termine
d i p e n d e d a l
d e f i c i t d i
saturazione

18. L’Evapotraspirazione
Riccardo Rigon
18
Penman - Monteith: che cosa serve per usarla ?
⇥ ET =
(Rn G)
(1 + +
rg
ra
)
+
⇤⇥
ra
qa
(1 + +
rg
ra
)
la derivata della legge di Clausius Clapeiron: Nota se `e nota la temper-
atura dell’aria
: nota dalle propriet`a dell’acqua e se `e nota la pressione atmosferica
qa: nota se sono note la temperatura dell’aria (per l’umidit`a specifica a
saturazione) e l’umidit`a dell’aria

19. L’Evapotraspirazione
Riccardo Rigon
19
Penman - Monteith: che cosa serve per usarla ?
⇥ ET =
(Rn G)
(1 + +
rg
ra
)
+
⇤⇥
ra
qa
(1 + +
rg
ra
)
rg la resistenza all’evaporazione indotta dai suoli: stimabile se `e conosciuto
il contenuto idrico del suolo
ra la resistenza aerodinamica, nota se sono note la velocit`a del vento e le
scabrezze equivalente delle superfici (funzione dell’altezza della vegetazione o
degli edifici)
rv la resistenza alla traspirazione opposta dalla vegetazione. Funzione, in
prima approssimazione, del contenuto idrico del suolo o di pi`u complesse for-
mulazioni legate alla fisiologia delle piante e della densit`a dell’apparato foliare

20. L’Evapotraspirazione
Riccardo Rigon
20
⇥ ET =
(Rn G)
(1 + +
rg
ra
)
+
⇤⇥
ra
qa
(1 + +
rg
ra
)
Rn la radiazione netta sulla superficie, richiede calcoli astronomici, la val-
utazione dell’ombreggiamento e dell’angolo di vista, la stima dell’attenuazione
della radiazione extra-atmosferica da parte dell’atmosfera.
G, il flusso di calore verso il centro della Terra, proporzionale ad Rn e spesso
posto uguale a 0 su scala giornaliera.
Penman - Monteith: che cosa serve per usarla ?

21. L’Evapotraspirazione
Riccardo Rigon
21
⇥ ET =
(Rn G)
(1 + +
rg
ra
)
+
⇤⇥
ra
qa
(1 + +
rg
ra
)
Allen et al. (1998), FAO Irrigation and drainage Paper pp. 300, è una
rassegna molto puntuale di come ottenere una ragionevole stima di tutte le
quantità citate, almeno nel caso di coltivazioni agricole. Si noti che, volendo
valutare le quantità richieste, è necessario estendere spazialmente il
valore delle misure, in genere ottenute per singoli punti.
Penman - Monteith: che cosa serve per usarla ?

22. L’Evapotraspirazione
Riccardo Rigon
22
Penman - Monteith
Se il suolo è ben irrigato o la vegetazione non offre alcuna resistenza alla
traspirazione rc = rg = 0 e l’evapotraspirazione è potenziale.
Risulta:
⇥ PET =
(Rn G)
(1 + )
+
⇤⇥
ra
qa
(1 + )

23. L’Evapotraspirazione
Riccardo Rigon
23
Penman - Monteith
Il rapporto tra evaporazione potenziale ed evaporazione effettiva (efficienza
della superficie evaporante o traspirante ) è allora
=
⇥E
⇥Ep
=
1 +
1 + + r
ra

24. L’Evapotraspirazione
Riccardo Rigon
24
Bowen ratio
Il rapporto tra calore sensibile ecalore latente è chiamato rapporto di Bowen.
La sua espressione è:
B =
Ts Ta
es ea

25. L’Evapotraspirazione
Riccardo Rigon
25
ET = c
⇤
+
Rn +
+
Wf (qs q)
⌅
Wf = 0.27 1 +
u2
100
⇥
Penman - FAO semplificata
E’ una formulazione semplificata dell’equazione di Penman che ha
avuto grande diffusione. Contrariamente all’equazione di PM utilizza
dati medi giornalieri.
DoreenbosePruitt,1977

26. L’Evapotraspirazione
Riccardo Rigon
26
Priestley- Taylor (1972)
E’ una formulazione semi-empirica che si può che trascura il deficit di
umidità specifica, e le resistenze, aggiungendo però un fattore di
proporzionalità nell’espressione:
⇥ ET =
(Rn G)
(1 + )

27. L’Evapotraspirazione
Riccardo Rigon
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Priestley- Taylor (1972)
⇥ ET =
(Rn G)
(1 + )
Per la stima non richiede, evidentemente la stima dell’umidità specifica.
Tuttavia introduce un parametro che, si suggerisce poter essere 1.2-1.3, ma
che tuttavia diviene spessoun parametro di calibrazione quando è usato in
modelli di bilancio idrologico

28. L’Evapotraspirazione
Riccardo Rigon
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http://geoframe.blogspot.it/2016/04/et-component-documentation.html