Determinazione dei parametri della curva di Gumbel con im metodo della massima verosimiglianza.

1. Le precipitazioni estreme
Gumbel- Massima Verosimiglianza
Riccardo Rigon
Kandinski-CompositionVI(Ildiluvio)-1913

2. R. Rigon
!2
Il metodo della massima verosimiglianza
(maximum likelihood)
relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale
In effetti, utilizzando il teorema di Bayes, questa è proporzionale alla probabilità
dei parametri, condizionata alle misure:
Stima dei parametri

3. R. Rigon
!3
Il metodo della massima verosimiglianza
(maximum likelihood)
relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale
In effetti, utilizzando il teorema di Bayes, questa è proporzionale alla probabilità
dei parametri, condizionata alle misure:
Questo è un numero
( a s s e g n a t e l e
misure), l’evidenza
Questa è la “prior”,
la distribuzione a
priori dei parametri
Stima dei parametri

4. R. Rigon
Il metodo della massima verosimiglianza
(maximum likelihood)
relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale
(in figura una sezione della distribuzione per un assegnato valore di b)
4
Stima dei parametri

5. R. Rigon
Il metodo della massima verosimiglianza assume che i parametri più affidabili
siano i più probabili, quelli corrispondenti ai massimi, alla moda, della
distribuzione
Il metodo della massima verosimiglianza
(maximum likelihood)
relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale
Nel caso della figura, a*.
5
Stima dei parametri

6. R. Rigon
Il metodo della massima verosimiglianza
(maximum likelihood)
relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale
I massimi della distribuzione si ottengono derivando la
rispetto ai parametri. Se si assume che
con dominio sufficientemente più esteso rispetto al domino di
6
Stima dei parametri

7. R. Rigon
Il metodo della massima verosimiglianza
(maximum likelihood)
relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale
Allora calcolare i massimi di
Concide con il calcolare i massimi della verosimiglianza:
7
Stima dei parametri

8. R. Rigon
Per semplificare i calcoli dei massimi si definisce anche la funzione detta
di log-verosimiglianza:
!8
Il metodo della massima verosimiglianza
(maximum likelihood)
relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale
log(P[{h1, · · ·, hN }; a, b]) =
N
i=1
log(P[hi; a, b])
Stima dei parametri

9. R. Rigon
!9
Il metodo della massima verosimiglianza
(maximum likelihood)
relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale
⇥ log(P [{h1,···,hN };a,b])
⇥a = 0
⇥ log(P [{h1,···,hN };a,b])
⇥b = 0
Che produce un sistema di due equazioni non-lineari in due incognite.
Allora, i parametri della curva, che ne descrive la popolazione si possono ottenere
da:
Stima dei parametri

10. R. Rigon
!10
Stima dei parametri