Using the linear reservoir model to design pipes and and culverts for a sewage system.

1. Progettare una fognatura pluviale
con l’invaso lineare
Riccardo Rigon
Lezioni Costruzioni Idrauliche 2009
DanubioaBudapest

2. 2
Il problema
Progettare una fognatura pluviale è comunque un problema più
complesso che calcolare la portata massima in un bacino idrografico.
Infatti mentre nel calcolare quest’ultima è nota la geometria della rete
e delle sezioni, nel caso della fognatura si conosce solo la geometria
della rete ma non quella delle sezioni, che anzi costituisce l’incognita
del problema.
R. RigonR. Rigon
Progettare una fognatura bianca con l’invaso lineare

3. 3
Il problema
E’ nota la distribuzione planimetrica della rete, disegnata lungo le
strade, ma non la sua profondità.
R. Rigon
Progettare una fognatura bianca con l’invaso lineare

4. 4
Il problema
La progettazione della fognatura pluviale per altro non utilizza tutto
l’idrogramma ma viene fatta in funzione della portata massima
(ovvero della massima portata di picco) con assegnato tempo di
ritorno delle precipitazioni.
R. Rigon
Progettare una fognatura bianca con l’invaso lineare

5. 5
Se la precipitazione è di intensità costante, p, in un intervallo temporale di
durata tp , allora
R. Rigon
IUH con impulso di precipitazione costante

6. 6
R. Rigon
IUH con impulso di precipitazione costante

7. 7
Se l’impulso è costante, allora
R. Rigon
IUH con impulso di precipitazione costante

8. 8
Se l’impulso è costante, allora
R. Rigon
IUH con impulso di precipitazione costante

9. 9
Se l’impulso è costante, allora
R. Rigon
IUH con impulso di precipitazione costante

10. 10
Infine se
R. Rigon
IUH con impulso di precipitazione costante

11. 11
Il calcolo con il metodo dell’invaso lineare
Avendo assunto dunque che:
• le precipitazioni siano assegnate con intensità costante in accordo alle
LSPP del luogo in esame;
• la portata di piena sia descritta dal metodo dell’invaso lineare
Allora la portata del bacino corrispondente ad una sola area scolante è data da:
che è detto idrogramma di Clark.
R. Rigon
IUH con impulso di precipitazione costante

12. 12
Se
Una nota
è in ha
in mm h-1
lo S-hydrograph è adimensionale, ma la portata risulta in:
ha mm h-1
ovvero [104 m2 ][10-3 m][3600 -1 s] ovvero bisogna moltiplicare il risultato per
10/3.6 per avere la portata in l s -1 considerando che un m3 contiene 1000 l
R. Rigon
Attenzione alle unità di misura

13. 13
Esempio
R. Rigon
Attenzione alle unità di misura

14. 14
Conversione di Unità
Allora la portata del bacino è data da:
dove b e’ il fattore di conversione delle unita’. Nel caso precedente:
R. Rigon
Attenzione alle unità di misura

15. 15
Il modello dell’invaso lineare
Un semplice studio di funzione mostra che la portata di picco si raggiunge
al tempo tp ed è quindi uguale a:
Qp(t; ) = A a(Tr) ⇥ tn 1
p (1 e tp
)
Q(t; ) = A a(Tr) ⇥ tn 1
p
(1 e t
) 0 < t < tp
e t
(1 e tp
) t ⇥ tp
R. Rigon
Portata di picco nell’invaso lineare

16. 16
La portata di picco è una funzione della durata delle pioggia di progetto.
La portata massima ottenibile nel bacino che si considera descritto dal
modello dell’invaso lineare si ottiene derivando l’espressione precedente
rispetto a tp e ponendo la derivata a zero
Il modello dell’invaso lineare
d Qp(tp; )
dtp
= 0
Qp(tp; ) = A a(Tr) ⇥ tn 1
p (1 e tp
)
R. Rigon
Portata massima nell’invaso lineare

17. 17
Dalla derivazione si ottiene:
Il termine fuori dalla parentesi graffa è sempre non nullo. Pertanto la
condizione di massimo di ottiene annullando l’espressione entro la parentesi
graffa.
Il modello dell’invaso lineare
R. Rigon
Portata massima nell’invaso lineare

18. 18
Dalla derivazione si ottiene:
n = 1
r · e r
(1 e r)
=
1
⇥
0
xn
(n+1)!
Dove si è definito:
Il modello dell’invaso lineare
n è l’esponente delle curve di possibilità pluviometrica, ed è sempre inferiore
ad 1.
r := tp
R. Rigon
Portata massima nell’invaso lineare

19. 19
0 2 4 6 8 10
0.00.20.40.60.8
x
peak.linear(x)
n = 1
r · e r
(1 e r)
Il modello dell’invaso lineare
R. Rigon
Portata massima nell’invaso lineare

20. 20
n = 1
r · e r
(1 e r)
Il modello dell’invaso lineare
La soluzione dell’equazione e’ un valore di r, r*, ma non identifica
direttamente la durata della precipitazione critica, ma solo il prodotto
r := tp
La quale sostituita nell’equazione della portata di picco da:
R. Rigon
Portata massima nell’invaso lineare

21. 21
Il modello dell’invaso lineare
La quale sostituita nell’equazione della portata di picco da:
La massima portata di picco è dunque funzione del tempo medio di
residenza (l’inverso del parametro del modello dell’invaso lineare)
Tale parametro potrebbe essere determinato, su base sperimentale,
adattando ad idrogrammi sperimentali gli idrogrammi modellati.
R. Rigon
Portata massima nell’invaso lineare

22. 22
Si definisce il coefficiente udometrico come:
u :=
Qmax
S
è un’eredità del metodo italiano (!)
R. Rigon
Coefficiente udometrico

23. 23
La progettazione di una fognatura
pluviale
La formula precedente viene applicata alla progettazione della fognatura
pluviale considerando la struttura a rete del reticolo fognario che si va
costruendo. Consideriamo, ad esempio, la semplice pianta in figura.
A1 A2
A3
R. Rigon
Calcoliamo

24. 24
La progettazione di una fognatura
pluviale
Per ognuno di questi tre bacini si suppone che la portata sia descritta da un
modello di invaso lineare con i parametri determinati opportunamente.
Consideriamo, per esempio il bacino A1
A1 A2
A3
R. Rigon
Calcoliamo

25. 25
La progettazione di una fognatura
pluviale
La portata usata per la progettazione del tubo è quella
massima, descritta precedentemente.
Assumiamo che tutti i parametri siano stati assegnati e quindi,
di avere questa informazione.
R. Rigon
Calcoliamo

26. 26
La progettazione di una fognatura
pluviale
La portata massima permette il calcolo delle dimensioni del tubo che la deve
trasportare, assumendo che nel tubo ci siano condizioni moto uniforme.
Allora può essere usata l’equazione di Gauckler-Strickler per la portata
massima:
Q = i · V = i · ks · R
2
3
H · i
1
2
f
dove i rappresenta l’area bagnata della tubazione e V la velocit`a dell’acqua
all’interno della stessa, ksla scabrezza, if la pendenza, RHil raggio idraulico.
R. Rigon
Condizioni di moto uniforme

27. 27
La progettazione di una fognatura
pluviale
Assumendo che il tubo sia di sezione circolare, allora il grado di riempimento
del tubo è definito come:
D
Y
R. Rigon
Geometria delle condotte

28. 28
La progettazione di una fognatura
pluviale
L’area bagnata è:
Il perimetro bagnato:
P =
· D
2
=
D2
4
·
sen
2
D
Y
R. Rigon
Geometria delle condotte

29. 29
La progettazione di una fognatura
pluviale
Il raggio idraulico è:
RH =
P
=
D
4 · ( sen
2 )
·D
2
=
D
4
· (1
sen
)
R. Rigon
Geometria delle condotte

30. 30
La progettazione di una fognatura
pluviale
Nelle formule precedenti compaiono due variabili che possono, anzi devono,
essere fissate apriori:
•Il grado di riempimento, G
•La pendenza della tubazione i
R. Rigon
Geometria delle condotte

31. 31
La progettazione di una fognatura
pluviale
Il dimensionamento della tubazione prosegue allora imponendo
•Il grado di riempimento, G
Questo viene fissato pari a G ~ 0.7-0.8 per consentire il deflusso a gravità
R. Rigon
Geometria delle condotte

32. 32
La progettazione di una fognatura
pluviale
•La pendenza del tubo, i
viene fissata in modo da consentire l’autopulizia della condotta in condizioni
di progetto, ovvero che l’acqua nel suo movimento comunichi uno sforzo
tangenziale al fondo superiore a 2 Pa.
R. Rigon
Pendenza delle condotte

33. 33
La progettazione di una fognatura
pluviale
•La pendenza del tubo, i
Poichè:
⇥ = RH i
Allora
i
2
RH
R. Rigon
Pendenza delle condotte

34. 34
La progettazione di una fognatura
pluviale
Dalla formula di Gauckler-Strickler per la portata massima, si ottiene, dopo
aver fatto le opportune sostituzioni:
dove u(1) è nota dall’analisi idrologica, derivandola dalla portata massima.
R. Rigon
Il calcolo dei diametri

35. 35
La progettazione di una fognatura
pluviale
L’incognita del problema è infatti il diametro del tubo. Ovvero:
che è una stima di primo tentativo del diametro della tubazione
R. Rigon
Il calcolo dei diametri

36. 36
Unità di misura
Il denominatore e’ adimensionale. Basta allora considerare le dimensioni del
fattore:
Tutto il resto è adimensionale
R. Rigon
Il calcolo dei diametri

37. 37
Il fattore di conversione per ottenere il diametro in [m] è allora:
Per ottenere il diametro in cm basta ovviamente moltiplicare il tutto per 100
Unità di misura
R. Rigon
Il calcolo dei diametri

38. 38
La progettazione di una fognatura
pluviale
Naturalmente, il valore cosi’ ottenuto del diametro non corrisponde ad un
diametro commerciale. Quindi si userà un tubo del diametro commerciale
immediatamente superiore a quello determinato dalla procedura.
Questo comportera’ che per le portata di progetto il grado di riempimento
sarà leggermente inferiore a quello preventivato.
Inoltre anche lo sforzo tangenziale al fondo dovuto all’acqua sarà inferiore a
quello preventivato.
R. Rigon
Diametri commerciali

39. 39
La progettazione di una fognatura
pluviale
Le condizioni di autopulizia impongono che tale sia inferiore ai 2 Pa. Se
questa condizione non è verificata, è necessario aumentare la pendenza di
progetto, e ripetere il procedimento di calcolo presentato nelle slides
precedenti.
R. Rigon
Diametri commerciali

40. 40
La progettazione di una fognatura
pluviale
In modo del tutto analogo si calcola il diametro del secondo tubo.
A1 A2
A3
R. Rigon
Altro tubo … altro calcolo

41. 41
La progettazione di una fognatura
pluviale
A1 A2
A3
Anche per il terzo tubo si procede in modo analogo. In questo caso, s
considerare l’area complessiva: e una costante
globale.
R. Rigon
Altro tubo … altro calcolo

42. 42
Per si può condsiderare, tra le altre, la formula di
Ciaponi e Papiri (1992)
dove A è l’area del bacino scolante; d la densità di drenaggio (rapporto tra la
lunghezza totale della rete e l’area A); s la pendenza media del collettore principale;
Im il rapporto tra area impermeabile ed area del bacino; sr la pendenza media
percentuale della rete di drenaggio
1
= 0.5
A0.351
d0.358
I0.163s0.29
r
R. Rigon
Parametri
Formule empiriche

43. 43
Desbordes (1975)
1
= 4.19
A0.3
I0.45(100 s)0.38
con A, area del bacino, s pendenza del collettore principale, I rapporto fra l’area
impermeabile e l’area totale del bacino
R. Rigon
Parametri
Formule empiriche

44. 44
GRAZIE PER L’ATTENZIONE!