google company's culture is one of the best company culture in the world. we can how they can build a great and smart company and why are their employees're always satisfy with their work!
This document introduces Apple Inc. It states that Apple is headquartered in Cupertino, California and has over 80,000 employees. It designs and sells products like the iPhone, iPad, Mac computers and operates retail stores and online stores. Apple also offers various services like iTunes and iCloud. The document discusses Apple's subsidiaries in low-tax countries and provides an overview of its corporate structure and history. It notes Apple's current executives and describes its marketing philosophy and advertising campaigns. The document gives Apple's revenue, profit, target markets and projected future profits. It also briefly discusses the company's rivalry with Samsung and whether its stock price is too high.
Apple Inc. is a global technology company headquartered in Cupertino, California that designs, develops, and sells consumer electronics, computer software, and online services. It was founded in 1976 by Steve Jobs, Steve Wozniak and Ronald Wayne. Tim Cook currently serves as CEO. Apple is known for its emphasis on simplicity, innovative product design and attention to detail. It has a non-hierarchical organizational structure where decision making power is decentralized.
Apple Inc. is a multinational technology company founded in 1976. The document provides an analysis of Apple's management functions, including planning, organizing, leading, and controlling. It summarizes Apple's current strategies, past strategies, organizational structure, culture, leaders and leadership approaches, and control mechanisms. Apple differentiates itself through innovation while also pursuing low costs. Its unique organizational structure is hierarchical and emphasizes excellence, creativity, innovation, and secrecy in its culture.
Apple was founded in 1976 by Steve Jobs and Steve Wozniak. It started in Jobs' garage and has since grown to be a global technology leader. Apple introduced many innovative products over the years like the Mac, iPod, iPhone and iPad that transformed entire industries. Under Jobs' leadership, Apple focused on innovative hardware, software and services with a simple and elegant user experience. It has a strong brand image and large customer base. However, Apple faces competition from other technology companies and depends on continued innovation.
Apple was founded in 1976 by Steve Jobs, Steve Wozniak, and Ronald Wayne. It introduced the Apple I and Apple II computers, igniting the personal computer revolution. Over the decades, Apple launched many innovative products including the Macintosh, iPod, iPhone, and iPad. It also operates retail stores and online services like the App Store. While facing competitors in personal computing and mobile devices, Apple remains a leader in innovation through its hardware, software, and ability to anticipate technology trends.
Apple inc. Strategic Case Analysis PresentationMahy Helal
Apple Inc. is an American technology company headquartered in California. The document provides an overview of Apple, including its history, products, competitors, financial analysis, key success factors, and SWOT analysis. Recommendations for Apple include focusing on differentiated branding, expanding Apple stores internationally, and emphasizing its integrated product ecosystem in marketing. An action plan should prioritize tasks and monitor progress to efficiently implement strategies.
Full strategic case analysis for Apple incorporation including industry , competitor's and firm's self analysis. It covers all the strategic issues facing the industry and Apple inc. as well as the recommended solutions for these issues on business and corporate levels.
The study shows the development on the Apple Inc. mission& vision and the strategic objectives over time.
google company's culture is one of the best company culture in the world. we can how they can build a great and smart company and why are their employees're always satisfy with their work!
This document introduces Apple Inc. It states that Apple is headquartered in Cupertino, California and has over 80,000 employees. It designs and sells products like the iPhone, iPad, Mac computers and operates retail stores and online stores. Apple also offers various services like iTunes and iCloud. The document discusses Apple's subsidiaries in low-tax countries and provides an overview of its corporate structure and history. It notes Apple's current executives and describes its marketing philosophy and advertising campaigns. The document gives Apple's revenue, profit, target markets and projected future profits. It also briefly discusses the company's rivalry with Samsung and whether its stock price is too high.
Apple Inc. is a global technology company headquartered in Cupertino, California that designs, develops, and sells consumer electronics, computer software, and online services. It was founded in 1976 by Steve Jobs, Steve Wozniak and Ronald Wayne. Tim Cook currently serves as CEO. Apple is known for its emphasis on simplicity, innovative product design and attention to detail. It has a non-hierarchical organizational structure where decision making power is decentralized.
Apple Inc. is a multinational technology company founded in 1976. The document provides an analysis of Apple's management functions, including planning, organizing, leading, and controlling. It summarizes Apple's current strategies, past strategies, organizational structure, culture, leaders and leadership approaches, and control mechanisms. Apple differentiates itself through innovation while also pursuing low costs. Its unique organizational structure is hierarchical and emphasizes excellence, creativity, innovation, and secrecy in its culture.
Apple was founded in 1976 by Steve Jobs and Steve Wozniak. It started in Jobs' garage and has since grown to be a global technology leader. Apple introduced many innovative products over the years like the Mac, iPod, iPhone and iPad that transformed entire industries. Under Jobs' leadership, Apple focused on innovative hardware, software and services with a simple and elegant user experience. It has a strong brand image and large customer base. However, Apple faces competition from other technology companies and depends on continued innovation.
Apple was founded in 1976 by Steve Jobs, Steve Wozniak, and Ronald Wayne. It introduced the Apple I and Apple II computers, igniting the personal computer revolution. Over the decades, Apple launched many innovative products including the Macintosh, iPod, iPhone, and iPad. It also operates retail stores and online services like the App Store. While facing competitors in personal computing and mobile devices, Apple remains a leader in innovation through its hardware, software, and ability to anticipate technology trends.
Apple inc. Strategic Case Analysis PresentationMahy Helal
Apple Inc. is an American technology company headquartered in California. The document provides an overview of Apple, including its history, products, competitors, financial analysis, key success factors, and SWOT analysis. Recommendations for Apple include focusing on differentiated branding, expanding Apple stores internationally, and emphasizing its integrated product ecosystem in marketing. An action plan should prioritize tasks and monitor progress to efficiently implement strategies.
Full strategic case analysis for Apple incorporation including industry , competitor's and firm's self analysis. It covers all the strategic issues facing the industry and Apple inc. as well as the recommended solutions for these issues on business and corporate levels.
The study shows the development on the Apple Inc. mission& vision and the strategic objectives over time.
www.mientayvn.com Tải thêm các tài liệu sinh học khác tại địa chỉ:
https://drive.google.com/folderview?id=0Bw5sTGnTS7NhUk01a3RYQV9TUjJ4blJDUDcyekp6UQ&usp=sharing
To be a good teacher, one should:
1) Be relaxed yet professional, as students respond best to confident teachers who maintain appropriate conduct.
2) Have strong subject knowledge and a passion that inspires students, staying up-to-date on the topic through continued learning.
3) Recognize that students learn in different ways and allow them to develop understanding through various methods like reading, listening, and making mistakes without pressure or bullying.
Smartbiz_He thong MES nganh may mac_2024juneSmartBiz
Cách Hệ thống MES giúp tối ưu Quản lý Sản xuất trong ngành May mặc như thế nào?
Ngành may mặc, với đặc thù luôn thay đổi theo xu hướng thị trường và đòi hỏi cao về chất lượng, đang ngày càng cần những giải pháp công nghệ tiên tiến để duy trì sự cạnh tranh. Bạn đã bao giờ tự hỏi làm thế nào mà những thương hiệu hàng đầu có thể sản xuất hàng triệu sản phẩm với độ chính xác gần như tuyệt đối và thời gian giao hàng nhanh chóng? Bí mật nằm ở hệ thống Quản lý Sản xuất (MES - Manufacturing Execution System).
Hãy cùng khám phá cách hệ thống MES đang cách mạng hóa ngành may mặc và mang lại những lợi ích vượt trội như thế nào.
6. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
ành ngh¾a
Cho E v F l hai khæng gian v²c tì tr¶n còng mët tr÷íng K. nh
x¤ f : E ! F ÷ñc gåi l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh n¸u nâ tho£ m¢n hai i·u
ki»n sau:
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
7. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
ành ngh¾a
Cho E v F l hai khæng gian v²c tì tr¶n còng mët tr÷íng K. nh
x¤ f : E ! F ÷ñc gåi l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh n¸u nâ tho£ m¢n hai i·u
ki»n sau:
a, f (u + v) = f (u) + f (v); 8u; v 2 E
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
8. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
ành ngh¾a
Cho E v F l hai khæng gian v²c tì tr¶n còng mët tr÷íng K. nh
x¤ f : E ! F ÷ñc gåi l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh n¸u nâ tho£ m¢n hai i·u
ki»n sau:
a, f (u + v) = f (u) + f (v); 8u; v 2 E
b, f (u) = f (u); 8 2 K; 8u 2 E
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
9. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
ành ngh¾a
Cho E v F l hai khæng gian v²c tì tr¶n còng mët tr÷íng K. nh
x¤ f : E ! F ÷ñc gåi l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh n¸u nâ tho£ m¢n hai i·u
ki»n sau:
a, f (u + v) = f (u) + f (v); 8u; v 2 E
b, f (u) = f (u); 8 2 K; 8u 2 E
i·u ki»n (a) trong ành ngh¾a l t½nh b£o to n ph²p cëng, cán i·u
ki»n (b) l t½nh b£o to n ph²p nh¥n. Ta câ thº gëp 2 i·u ki»n tr¶n b¬ng
mët i·u ki»n sau:
ành lþ
nh x¤ f : E ! F ÷ñc gåi l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh khi v ch¿ khi
f (1v1 + 2v2) = 1f (v1) + 2f (v2); 8v1; v2 2 E; 81; 2 2 K
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
10. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
V½ dö
Cho ¡nh x¤ f : R2 ! R2 x¡c ành bði
f (x; y) = (3x 2y; x); 8(x; y) 2 R2. Chùng tä r¬ng ¡nh x¤ f l tuy¸n
t½nh.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
11. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
V½ dö
Cho ¡nh x¤ f : R2 ! R2 x¡c ành bði
f (x; y) = (3x 2y; x); 8(x; y) 2 R2. Chùng tä r¬ng ¡nh x¤ f l tuy¸n
t½nh.
Gi£i. Ta câ 8x; y 2 R2; x = (x1; x2) ; y = (y1; y2) ; 8;
20. f (y)
Vªy f l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
21. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
V½ dö
nh x¤ n o sau ¥y l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh ?
1 f : R2 ! R2; f (x1; x2) = (2x1 + 3x2; x1)
2 f : R2 ! R2; f (x1; x2) = (x1 + 2x2; 0)
3 f : R2 ! R2; f (x1; x2) = (2x1 x2; x1 + 1)
sinh vi¶n tü kiºm tra
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
22. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
ành ngh¾a: Nh¥n cõa ¡nh x¤
tuy¸n t½nh
Cho E v F l hai khæng gian v²c
tì tr¶n mët tr÷íng K, f : E ! F
l mët ¡nh x¤ tuy¸n. Nh¥n cõa
¡nh x¤ f l tªp hñp c¡c v²c tì u
cõa E sao cho f (u) = 0 v kþ
hi»u ker f .
ker f = fu 2 E : f (u) = 0g
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
23. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
ành ngh¾a: Nh¥n cõa ¡nh x¤
tuy¸n t½nh
Cho E v F l hai khæng gian v²c
tì tr¶n mët tr÷íng K, f : E ! F
l mët ¡nh x¤ tuy¸n. Nh¥n cõa
¡nh x¤ f l tªp hñp c¡c v²c tì u
cõa E sao cho f (u) = 0 v kþ
hi»u ker f .
ker f = fu 2 E : f (u) = 0g
H¼nh: Nh¥n cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
24. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
ành ngh¾a: Nh¥n cõa ¡nh x¤
tuy¸n t½nh
Cho E v F l hai khæng gian v²c
tì tr¶n mët tr÷íng K, f : E ! F
l mët ¡nh x¤ tuy¸n. Nh¥n cõa
¡nh x¤ f l tªp hñp c¡c v²c tì u
cõa E sao cho f (u) = 0 v kþ
hi»u ker f .
ker f = fu 2 E : f (u) = 0g
H¼nh: Nh¥n cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
V½ dö. X²t khæng gian V c¡c v²c tì h¼nh håc. Cho tr÷îc mët v²c tì u,
vîi méi mët v²c tì v 2 V ta x²t ¡nh x¤ f : V ! R x¡c ành bði
f (v) = uv (t½ch væ h÷îng cõa hai v²c tì u v v). Chùng tä r¬ng f l ¡nh
x¤ tuy¸n t½nh v t¼m ker f .
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
25. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
ành ngh¾a: ƒnh cõa ¡nh x¤
tuy¸n t½nh
Cho E v F l hai khæng gian v²c
tì tr¶n mët tr÷íng K, f : E ! F
l mët ¡nh x¤ tuy¸n. ƒnh cõa ¡nh
x¤ f l tªp hñp c¡c v²c tì v cõa
F sao cho tçn t¤i v²c tì x 2 E º
f (x) = v v kþ hi»u Im f .
Im f = fv 2 F : 9x 2 E; f (x) = vg
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
26. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
ành ngh¾a: ƒnh cõa ¡nh x¤
tuy¸n t½nh
Cho E v F l hai khæng gian v²c
tì tr¶n mët tr÷íng K, f : E ! F
l mët ¡nh x¤ tuy¸n. ƒnh cõa ¡nh
x¤ f l tªp hñp c¡c v²c tì v cõa
F sao cho tçn t¤i v²c tì x 2 E º
f (x) = v v kþ hi»u Im f .
Im f = fv 2 F : 9x 2 E; f (x) = vg
H¼nh: ƒnh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
27. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
ành ngh¾a: ƒnh cõa ¡nh x¤
tuy¸n t½nh
Cho E v F l hai khæng gian v²c
tì tr¶n mët tr÷íng K, f : E ! F
l mët ¡nh x¤ tuy¸n. ƒnh cõa ¡nh
x¤ f l tªp hñp c¡c v²c tì v cõa
F sao cho tçn t¤i v²c tì x 2 E º
f (x) = v v kþ hi»u Im f .
Im f = fv 2 F : 9x 2 E; f (x) = vg
H¼nh: ƒnh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
28. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
ành lþ
€nh x¤ tuy¸n t½nh f : E ! F l ìn ¡nh , ker f = f0g
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
29. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
ành lþ
€nh x¤ tuy¸n t½nh f : E ! F l ìn ¡nh , ker f = f0g
Chùng minh. nh x¤ f l ìn ¡nh n¸u x6= y n¸u f (x)6= f (y).
Do â vîi v6= 0 ta câ f (v)6= f (0) nh÷ng f (0) = 0 tùc l vîi måi
ph¦n tû v6= 0 ta câ f (v)6= 0, suy ra v =2 ker f , ker f ch¿ chùa ph¦n tû
khæng.
£o l¤i, gi£ sû ker f = f0g. Gåi u v v l c¡c ph¦n tû cõa E sao cho
f (u) = f (v). Ta chùng minh u = v. Thªt vªy, do ¡nh x¤ f l tuy¸n t½nh
n¶n f (u v) = f (u)f (v) = 0 suy ra u v 2 ker f . Do ker f = f0g n¶n
u v = 0 ) u = v. Vªy f l ìn ¡nh.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
30. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
ành lþ
Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : E ! F v ker f = f0g. Khi â h» v²c tì
v1; v2; :::; vn ëc lªp tuy¸n t½nh trong E , h» v²c tì
f (v1); f (v2); :::; f (vn) ëc lªp tuy¸n t½nh trong F.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
31. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
ành lþ
Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : E ! F v ker f = f0g. Khi â h» v²c tì
v1; v2; :::; vn ëc lªp tuy¸n t½nh trong E , h» v²c tì
f (v1); f (v2); :::; f (vn) ëc lªp tuy¸n t½nh trong F.
Chùng minh. ()) Gi£ sû 1; 2; :::; n l c¡c sè sao cho:
1f (v1) + 2f (v2) + ::: + nf (vn) = 0. Ta ph£i chùng minh
1 = 2 = ::: = n = 0.
Tø 1f (v1) + 2f (v2) + ::: + nf (vn) = 0 do f l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh n¶n
ta câ f (1v1 + ::: + nvn) = 0 ) 1v1 + ::: + nvn 2 ker f m
ker f = f0g ) 1v1 + ::: + nvn = 0 ) 1 = 2 = ::: = n = 0 (do
v1; v2; :::; vn ëc lªp tuy¸n t½nh trong E). Vªy h» v²c tì
f (v1); f (v2); :::; f (vn) ëc lªp tuy¸n t½nh trong F.
(() Gi£ sû 1v1 + ::: + nvn = 0 ) f (1v1 + ::: + nvn) = 0 )
1f (v1) + 2f (v2) + ::: + nf (vn) = 0 (do f l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh) m
f (v1); f (v2); :::; f (vn) ëc lªp tuy¸n t½nh trong F, suy ra
1 = 2 = ::: = n = 0. Vªy h» v²c tì v1; v2; :::; vn ëc lªp tuy¸n t½nh
trong E.
(Chó þ. i·u ng÷ñc l¤i khæng c¦n i·u ki»n ker f = f0g l ìn ¡nh)
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
32. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
ành lþ
Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : E ! F
1 Nh¥n cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f l khæng gian con cõa E.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
33. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
ành lþ
Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : E ! F
1 Nh¥n cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f l khæng gian con cõa E.
2 ƒnh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f l khæng gian con cõa F.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
34. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
ành lþ
Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : E ! F
1 Nh¥n cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f l khæng gian con cõa E.
2 ƒnh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f l khæng gian con cõa F.
3 dim(ker f ) + dim(Im f ) = dimE
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
35. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
ành lþ
Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : E ! F
1 Nh¥n cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f l khæng gian con cõa E.
2 ƒnh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f l khæng gian con cõa F.
3 dim(ker f ) + dim(Im f ) = dimE
M»nh ·
ƒnh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh l khæng gian con sinh ra bði £nh cõa mët h»
sinh cõa E.
Chùng minh xem gi¡o tr¼nh
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
36. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Chó þ
º t¼m ker f ta sû döng ành ngh¾a. T¼m Im f ta câ thº l m theo
c¡ch sau:
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
37. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Chó þ
º t¼m ker f ta sû döng ành ngh¾a. T¼m Im f ta câ thº l m theo
c¡ch sau:
1. Chån mët cì sð S = fe1; e2;:::; eng cõa E.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
38. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Chó þ
º t¼m ker f ta sû döng ành ngh¾a. T¼m Im f ta câ thº l m theo
c¡ch sau:
1. Chån mët cì sð S = fe1; e2;:::; eng cõa E.
2. T¼m f (e1) ; f (e2;) :::; f (en)
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
39. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Chó þ
º t¼m ker f ta sû döng ành ngh¾a. T¼m Im f ta câ thº l m theo
c¡ch sau:
1. Chån mët cì sð S = fe1; e2;:::; eng cõa E.
2. T¼m f (e1) ; f (e2;) :::; f (en)
3. Im f = hf (e1) ; f (e2;) :::; f (en)i
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
40. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
V½ dö
Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : R3 ! R3; 8x = (x1; x2; x3) 2 R3; f (x) =
f (x1; x2; x3) = (x1 + x2 x3; 2x1 + 3x2 x3; 3x1 + 5x2 x3).
1, T¼m cì sð v sè chi·u cõa ker f .
2, T¼m cì sð v sè chi·u cõa Im f .
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
41. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
V½ dö
Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : R3 ! R3; 8x = (x1; x2; x3) 2 R3; f (x) =
f (x1; x2; x3) = (x1 + x2 x3; 2x1 + 3x2 x3; 3x1 + 5x2 x3).
1, T¼m cì sð v sè chi·u cõa ker f .
2, T¼m cì sð v sè chi·u cõa Im f .
Gi£i.
8x = (x1; x2; x3) 2 ker f , f (x) = 0
, (x1 + x2 x3; 2x1 + 3x2 x3; 3x1 + 5x2 x3) = 0
,
8
:
x1 + x2 x3 = 0
2x1 + 3x2 x3 = 0
3x1 + 5x2 x3 = 0
,
8
:
x1 = 2
x2 =
x3 =
) x = (2;; ) = (2;1; 1)
Vªy f(2;1; 1)g l h» sinh v công l cì sð cõa ker f ) dim(ker f ) = 1
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
42. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
T¼m cì sð cõa Im f . Chån cì sð ch½nh tc cõa R3 l
f(1; 0; 0) ; (0; 1; 0) ; (0; 0; 1)g. Theo m»nh · suy ra
Im f = hf (1; 0; 0) ; f (0; 1; 0) ; f (0; 0; 1)i. Ta câ
Im f = hf (1; 0; 0) ; f (0; 1; 0) ; f (0; 0; 1)i = h(1; 2; 3) ; (1; 3; 5) ; (1;1;1)i
Lªp ma trªn, dòng ph²p bi¸n êi theo h ng ta câ
0
@
1 2 3
1 3 5
1 1 1
1
A !
0
@
1 2 3
0 1 2
0 1 2
1
A !
0
@
1 2 3
0 1 2
0 0 0
1
A
Vªy cì sð cõa Im f l f(1; 2; 3) ; (0; 1; 2)g ) dim (Im f ) = 2
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
43. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
V½ dö 2
Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : R3 ! R3, bi¸t
f (1; 1; 1) = (1; 2; 1) ; f (1; 1; 2) = (2; 1;1) ; f (1; 2; 1) = (5; 4;1).
1, T¼m cì sð v sè chi·u cõa ker f .
2, T¼m cì sð v sè chi·u cõa Im f .
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
44. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
V½ dö 2
Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : R3 ! R3, bi¸t
f (1; 1; 1) = (1; 2; 1) ; f (1; 1; 2) = (2; 1;1) ; f (1; 2; 1) = (5; 4;1).
1, T¼m cì sð v sè chi·u cõa ker f .
2, T¼m cì sð v sè chi·u cõa Im f .
Gi£i.C¡ch 1 (th÷íng dòng).
8x = (x1; x2; x3) 2 R3 ) x = (1; 1; 1) +
50. f (1; 1; 2) +
f (1; 2; 3) =
= (4x1 + 4x2 + x3; x1 + 2x2 x3; 5x1 2x2 2x3)
8x = (x1; x2; x3) 2 ker f , f (x) = 0 ,
8
:
4x1 + 4x2 + x3 = 0
x1 + 2x2 x3 = 0
5x1 2x2 2x3 = 0
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
51. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
,
8
:
x1 = 2
x2 =
x3 = 4
) x = (2; ; 4) = (2; 1; 4)
Vªy cì sð cõa ker f l f(2; 1; 4)g v dim(ker f ) = 1.
C¡ch 2. Chån cì sð l S = f(1; 1; 1) ; (1; 1; 2) ; (1; 2; 1)g. Ta câ
8x 2 ker f , f (x) = 0. Gi£ sû tåa ë cõa x trong S l
[x]S =
0
B@
x1
x2
x3
1
CA
, x = x1 (1; 1; 1) + x2 (1; 1; 2) + x3 (1; 2; 1)
) f (x) = x1f (1; 1; 1) + x2f (1; 1; 2) + x3f (1; 2; 1) =
= (x1 + 2x2 + 5x3; 2x1 + x2 + 4x3; x1 x2 x3)
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
52. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
ta câ
f (x) = 0 ,
8
:
x1 + 2x2 + 5x3 = 0
2x1 + x2 + 4x3 = 0
x1 x2 x3 = 0
,
8
:
x1 =
x2 = 2
x3 =
[x]S =
0
@
2
1
A , x = (1; 1; 1) 2 (1; 1; 2) + (1; 2; 1)
, x = (2;;4) = (2; 1; 4)
Vªy cì sð cõa ker f l f(2; 1; 4)g v dim(ker f ) = 1.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
53. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
T¼m cì sð cõa Im f . Chån cì sð cõa R3 l l
S = f(1; 1; 1) ; (1; 1; 2) ; (1; 2; 1)g. Theo m»nh · suy ra
Im f = hf (1; 1; 1) ; f (1; 1; 2) ; f (1; 2; 3)i. Ta câ
Im f = hf (1; 1; 1) ; f (1; 1; 2) ; f (1; 2; 3)i = h(1; 2; 1) ; (2; 1;1) ; (5; 4;1)i
Lªp ma trªn, dòng ph²p bi¸n êi theo h ng ta câ
0
@
1 2 1
2 1 1
5 4 1
1
A !
0
@
1 2 1
0 3 3
0 6 6
1
A !
0
@
1 2 1
0 1 1
0 0 0
1
A
Vªy cì sð cõa Im f l f(1; 2; 1) ; (0; 1; 1)g ) dim (Im f ) = 2
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
54. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Biºu thùc tåa ë cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn chuyºn cì sð
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh khi chuyºn cì sð
ành ngh¾a
Cho V v W l hai K khæng gian v²c tì húu h¤n chi·u,
E = fe1; e2; :::; eng ; F = fu1; u2; :::; umg l¦n l÷ñt l c¡c cì sð cõa V v
W, f : V ! W l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh. Gi£ sû
f (e1) = a11u1 + a12u2 + ::: + a1mum
f (e2) = a21u1 + a22u2 + ::: + a2mum
...
f (en) = an1u1 + an2u2 + ::: + anmum
:
Khi â ma trªn
A =
0
BBB@
a11 a21 an1
a12 a22 an2
...
...
. . .
...
a1m a2m anm
1
CCCA
÷ñc goi l ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f trong c°p cì sð E; F, kþ
hi»u AEF .
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
55. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Biºu thùc tåa ë cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn chuyºn cì sð
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh khi chuyºn cì sð
Nhªn x²t
1 AEF l ma trªn câ c¡c cët l tåa ë cõa c¡c v²c tì
f (e1) ; f (e2) ; :::; f (en) trong cì sð F
AEF =
0
@
j j
f (e1) f (en)
j j
1
A
2 °c bi»t n¸u W = V th¼ ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh trong c°p
cì sð E; E kþ hi»u l AE v khi â A l ma trªn vuæng c§p n.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
56. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Biºu thùc tåa ë cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn chuyºn cì sð
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh khi chuyºn cì sð
V½ dö
Cho f : R3 ! R2; f (x1;x2; x3) = (x1 + 2x2 3x3; 2x1 + x3). T¼m ma trªn
cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f trong c°p cì sð
E = f(1; 1; 1) ; (1; 0; 1) ; (1; 1; 0)g ; F = f(1; 1) ; (1; 2)g
Gi£i: Ta câ
8
:
f (1; 1; 1) = (0; 3) = 3 (1; 1) + 3 (1; 2)
f (1; 0; 1) = (2; 3) = 7 (1; 1) + 5 (1; 2)
f (1; 1; 0) = (3; 2) = 4 (1; 1) (1; 2)
) AEF =
3 7 4
3 5 1
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
57. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Biºu thùc tåa ë cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn chuyºn cì sð
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh khi chuyºn cì sð
V½ dö 2
Cho f : R2 ! R3; f (x1;x2) = (x1 + 2x2; x1 x2;x2). T¼m ma trªn cõa
¡nh x¤ tuy¸n t½nh f trong c°p cì sð
E = f(1; 1) ; (1; 0)g ; F = f(1; 1; 1) ; (1; 2; 1) ; (1; 3; 2)g
Gi£i: Ta câ
(
f (1; 1) = (3; 0;1) = 8 (1; 1; 1) 5 (1; 2; 1) + 6 (1; 3; 2)
f (1; 0) = (1; 1; 0) = 4 (1; 1; 1) 2 (1; 2; 1) + 3 (1; 3; 2)
) AEF =
0
@
8 4
5 2
6 3
1
A
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
58. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Biºu thùc tåa ë cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn chuyºn cì sð
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh khi chuyºn cì sð
Biºu thùc tåa ë cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh I
Gi£ sû x 2 V ) x = 1e1 + 2e2 + + nen, suy ra
f (x) = 1f (e1) + 2f (e2) + + nf (en)
M°t kh¡c ta câ
f (e1) = a11u1 + a12u2 + ::: + a1mum
f (e2) = a21u1 + a22u2 + ::: + a2mum
...
f (en) = an1u1 + an2u2 + ::: + anmum
:
khi â f (x) =
1 (a11u1 + a12u2 + ::: + a1mum) + 2 (a21u1 + a22u2 + ::: + a2mum) +
+ n (an1u1 + an2u2 + ::: + anmum) = f (en) =
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
66. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Biºu thùc tåa ë cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn chuyºn cì sð
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh khi chuyºn cì sð
Ma trªn chuyºn cì sð
Trong khæng gian v²c tì V cho hai cì sð E = fe1; e2; :::; eng v
U = fu1; u2; :::; ung. Ta câ
8
:
u1 = a11e1 + a12e2 + a1nen
u2 = a21e1 + a22e2 + a2nen
...
un = an1e1 + an2e2 + annen
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
67. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Biºu thùc tåa ë cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn chuyºn cì sð
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh khi chuyºn cì sð
Ma trªn chuyºn cì sð
Trong khæng gian v²c tì V cho hai cì sð E = fe1; e2; :::; eng v
U = fu1; u2; :::; ung. Ta câ
8
:
u1 = a11e1 + a12e2 + a1nen
u2 = a21e1 + a22e2 + a2nen
...
un = an1e1 + an2e2 + annen
Khi â ma trªn
P =
2
6664
a11 a21 an1
a12 a22 an2
...
. . .
a1n a2n ann
3
7775
÷ñc gåi l ma trªn chuyºn cð sð tø E v o U.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
68. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Biºu thùc tåa ë cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn chuyºn cì sð
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh khi chuyºn cì sð
Ma trªn chuyºn cì sð
Trong khæng gian v²c tì V cho hai cì sð E = fe1; e2; :::; eng v
U = fu1; u2; :::; ung. Ta câ
8
:
u1 = a11e1 + a12e2 + a1nen
u2 = a21e1 + a22e2 + a2nen
...
un = an1e1 + an2e2 + annen
Khi â ma trªn
P =
2
6664
a11 a21 an1
a12 a22 an2
...
. . .
a1n a2n ann
3
7775
÷ñc gåi l ma trªn chuyºn cð sð tø E v o U.
Vîi méi v²c tì x 2 V ta câ [x]E = P[x]U. N¸u P kh£ nghàch th¼ P1
l ma trªn chuyºn tø U v o E.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
69. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Biºu thùc tåa ë cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn chuyºn cì sð
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh khi chuyºn cì sð
Ma trªn chuyºn cì sð
Thªy vªy, ta câ 8x 2 V , x = x1e1 + x2e2 + + xnen v
x = y1u1 + y2u2 + + ynun. M°t kh¡c ta câ
8
:
u1 = a11e1 + a12e2 + a1nen
u2 = a21e1 + a22e2 + a2nen
...
un = an1e1 + an2e2 + annen
Suy ra
x = y1 (a11e1 + a12e2 + + a1nen) + y2 (a21e1 + a22e2 + + a2nen) + +
+yn (an1e1 + an2e2 + + annen) = (a11y1 + a21y2 + + an1yn) e1+
+(a12y1 + a22y2 + + an2yn) e2 + + (a1ny1 + a2ny2 + + annyn) en
do â [x]E = P[x]U.
C§u tróc cõa ma trªn P l
P =
[u1]E [u2]E [un]E
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
70. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Biºu thùc tåa ë cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn chuyºn cì sð
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh khi chuyºn cì sð
V½ dö.
Trong R3 cho 2 cì sð E = f(1; 1; 1) ; (1; 0; 1) ; (1; 1; 0)g v
U = f(1; 1; 2) ; (1; 2; 1) ; (1; 1; 1)g. T¼m ma trªn chuyºn cì sð tø E v o U.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
71. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Biºu thùc tåa ë cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn chuyºn cì sð
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh khi chuyºn cì sð
V½ dö.
Trong R3 cho 2 cì sð E = f(1; 1; 1) ; (1; 0; 1) ; (1; 1; 0)g v
U = f(1; 1; 2) ; (1; 2; 1) ; (1; 1; 1)g. T¼m ma trªn chuyºn cì sð tø E v o U.
Gi£i. T¼m tåa ë cõa c¡c v²c tì
u1 = (1; 1; 2) ; u2 = (1; 2; 1) ; u3 = (1; 1; 1) theo cì sð E.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
72. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Biºu thùc tåa ë cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn chuyºn cì sð
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh khi chuyºn cì sð
V½ dö.
Trong R3 cho 2 cì sð E = f(1; 1; 1) ; (1; 0; 1) ; (1; 1; 0)g v
U = f(1; 1; 2) ; (1; 2; 1) ; (1; 1; 1)g. T¼m ma trªn chuyºn cì sð tø E v o U.
Gi£i. T¼m tåa ë cõa c¡c v²c tì
u1 = (1; 1; 2) ; u2 = (1; 2; 1) ; u3 = (1; 1; 1) theo cì sð E.
Ta câ [u1]E =
0
@
2
0
1
1
A, [u2]E =
0
@
2
1
0
1
A, [u3]E =
0
@
1
0
0
1
A
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
73. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Biºu thùc tåa ë cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn chuyºn cì sð
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh khi chuyºn cì sð
V½ dö.
Trong R3 cho 2 cì sð E = f(1; 1; 1) ; (1; 0; 1) ; (1; 1; 0)g v
U = f(1; 1; 2) ; (1; 2; 1) ; (1; 1; 1)g. T¼m ma trªn chuyºn cì sð tø E v o U.
Gi£i. T¼m tåa ë cõa c¡c v²c tì
u1 = (1; 1; 2) ; u2 = (1; 2; 1) ; u3 = (1; 1; 1) theo cì sð E.
Ta câ [u1]E =
0
@
2
0
1
1
A, [u2]E =
0
@
2
1
0
1
A, [u3]E =
0
@
1
0
0
1
A
Suy ra
P =
0
@
2 2 1
0 1 0
1 0 0
1
A
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
74. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Biºu thùc tåa ë cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn chuyºn cì sð
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh khi chuyºn cì sð
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh khi chuyºn cì sð
Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : V ! W , (V;W l c¡c khæng gian v²c tì).
Gi£ sû trong V câ hai cì sð l E = fe1; e2; :::; eng ; E
0
=
n
e
0
1; e
0
2; :::; e
0
n
o
,
trong W câ hai cì sð l U = fu1; u2; :::; ung ;U
0
=
n
u
0
1; u
0
2; :::; u
0
n
o
v P l ma trªn chuyºn cì sð tø E v o E
0
, Q l ma trªn chuyºn cì sð tø
U v o U
0
, A l ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f trong c°p cì sð E;U.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
75. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Biºu thùc tåa ë cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn chuyºn cì sð
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh khi chuyºn cì sð
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh khi chuyºn cì sð
Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : V ! W , (V;W l c¡c khæng gian v²c tì).
Gi£ sû trong V câ hai cì sð l E = fe1; e2; :::; eng ; E
0
=
n
e
0
1; e
0
2; :::; e
0
n
o
,
trong W câ hai cì sð l U = fu1; u2; :::; ung ;U
0
=
n
u
0
1; u
0
2; :::; u
0
n
o
v P l ma trªn chuyºn cì sð tø E v o E
0
, Q l ma trªn chuyºn cì sð tø
U v o U
0
, A l ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f trong c°p cì sð E;U.
Vîi méi x 2 V ta câ
[f (x)]U = AEU[x]E , Q[f (x)]U0 = AEUP[x]E0 , [f (x)]U0 = Q1AEUP[x]E0
Khi â Q1AEUP l ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f trong c°p cì sð
0
0
E
;U
.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
76. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Biºu thùc tåa ë cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn chuyºn cì sð
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh khi chuyºn cì sð
Sì ç
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
77. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Biºu thùc tåa ë cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn chuyºn cì sð
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh khi chuyºn cì sð
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh khi chuyºn cì sð
°c bi»t n¸u ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : V ! V, trong V câ hai cì sð
E = fe1; e2; :::; eng ; E
0
=
n
e
0
1; e
0
2; :::; e
0
n
o
v P l ma trªn chuyºn cð sð
tø E v o E
0
, A l ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh trong cì sð E. Khi â
P1AP l ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f trong cì sð E
0
.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
78. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Biºu thùc tåa ë cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn chuyºn cì sð
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh khi chuyºn cì sð
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh khi chuyºn cì sð
°c bi»t n¸u ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : V ! V, trong V câ hai cì sð
E = fe1; e2; :::; eng ; E
0
=
n
e
0
1; e
0
2; :::; e
0
n
o
v P l ma trªn chuyºn cð sð
tø E v o E
0
, A l ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh trong cì sð E. Khi â
P1AP l ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f trong cì sð E
0
.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
79. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Biºu thùc tåa ë cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn chuyºn cì sð
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh khi chuyºn cì sð
Ma trªn çng d¤ng
ành ngh¾a.
Cho hai ma trªn A; B vuæng c§p n. A v B ÷ñc gåi l hai ma trªn
çng d¤ng n¸u tçn t¤i ma trªn kh£ nghàch P sao cho P1AP = B.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
80. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Biºu thùc tåa ë cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn chuyºn cì sð
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh khi chuyºn cì sð
Ma trªn çng d¤ng
ành ngh¾a.
Cho hai ma trªn A; B vuæng c§p n. A v B ÷ñc gåi l hai ma trªn
çng d¤ng n¸u tçn t¤i ma trªn kh£ nghàch P sao cho P1AP = B.
H» qu£.
Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : V ! V, trong V câ hai cì sð E; F v A l
ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f trong cì sð E, B l ma trªn cõa ¡nh x¤
tuy¸n t½nh f trong cì sð F. Khi â A v B l hai ma trªn çng d¤ng.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
81. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
a thùc °c tr÷ng
ành ngh¾a
Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : V ! V. V²c tì x 2 V; (x6= 0) ÷ñc gåi l
v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n f n¸u tçn t¤i mët sè (thüc ho°c phùc)
sao cho f (x) = x. Sè ÷ñc gåi l gi¡ trà ri¶ng li¶n k¸t vîi v²c tì ri¶ng
x cõa f .
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
82. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
a thùc °c tr÷ng
ành ngh¾a
Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : V ! V. V²c tì x 2 V; (x6= 0) ÷ñc gåi l
v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n f n¸u tçn t¤i mët sè (thüc ho°c phùc)
sao cho f (x) = x. Sè ÷ñc gåi l gi¡ trà ri¶ng li¶n k¸t vîi v²c tì ri¶ng
x cõa f .
V½ dö. Trong R2, x²t ¡nh x¤ tuy¸n t½nh x¡c ành bði f (x1; x2) = (x2; x1).
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
83. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
a thùc °c tr÷ng
ành ngh¾a
Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : V ! V. V²c tì x 2 V; (x6= 0) ÷ñc gåi l
v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n f n¸u tçn t¤i mët sè (thüc ho°c phùc)
sao cho f (x) = x. Sè ÷ñc gåi l gi¡ trà ri¶ng li¶n k¸t vîi v²c tì ri¶ng
x cõa f .
V½ dö. Trong R2, x²t ¡nh x¤ tuy¸n t½nh x¡c ành bði f (x1; x2) = (x2; x1).
Ta câ f (1; 1) = (1; 1) = 1 (1; 1), khi â sè = 1 l gi¡ trà ri¶ng li¶n k¸t
vîi v²c tì x = (1; 1).
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
84. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
a thùc °c tr÷ng
ành ngh¾a
Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : V ! V. V²c tì x 2 V; (x6= 0) ÷ñc gåi l
v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n f n¸u tçn t¤i mët sè (thüc ho°c phùc)
sao cho f (x) = x. Sè ÷ñc gåi l gi¡ trà ri¶ng li¶n k¸t vîi v²c tì ri¶ng
x cõa f .
V½ dö. Trong R2, x²t ¡nh x¤ tuy¸n t½nh x¡c ành bði f (x1; x2) = (x2; x1).
Ta câ f (1; 1) = (1; 1) = 1 (1; 1), khi â sè = 1 l gi¡ trà ri¶ng li¶n k¸t
vîi v²c tì x = (1; 1).
T÷ìng tü ta câ f (1;1) = (1; 1) = 1 (1;1), khi â sè = 1 l
gi¡ trà ri¶ng li¶n k¸t vîi v²c tì ri¶ng x = (1;1).
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
85. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
a thùc °c tr÷ng
Nhªn x²t.
1 Méi v²c tì ri¶ng câ duy nh§t mët gi¡ trà ri¶ng.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
86. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
a thùc °c tr÷ng
Nhªn x²t.
1 Méi v²c tì ri¶ng câ duy nh§t mët gi¡ trà ri¶ng.
2 Ng÷ñc l¤i, méi gi¡ trà ri¶ng câ thº li¶n k¸t vîi nhi·u v²c tì ri¶ng.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
87. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
a thùc °c tr÷ng
Nhªn x²t.
1 Méi v²c tì ri¶ng câ duy nh§t mët gi¡ trà ri¶ng.
2 Ng÷ñc l¤i, méi gi¡ trà ri¶ng câ thº li¶n k¸t vîi nhi·u v²c tì ri¶ng.
1, Thªt vªy, gi£ sû v²c tì ri¶ng x câ hai gi¡ trà ri¶ng v , ta câ
f (x) = x = x , ( ) x = 0 ) = (do x6= 0).
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
88. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
a thùc °c tr÷ng
Nhªn x²t.
1 Méi v²c tì ri¶ng câ duy nh§t mët gi¡ trà ri¶ng.
2 Ng÷ñc l¤i, méi gi¡ trà ri¶ng câ thº li¶n k¸t vîi nhi·u v²c tì ri¶ng.
1, Thªt vªy, gi£ sû v²c tì ri¶ng x câ hai gi¡ trà ri¶ng v , ta câ
f (x) = x = x , ( ) x = 0 ) = (do x6= 0).
2, Gi£ sû l gi¡ trà ri¶ng li¶n k¸t vîi v²c tì ri¶ng x, v k l mët sè
kh¡c khæng. Do f l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh n¶n ta câ
f (kx) = kf (x) = k (x) = (kx)
Vªy công l gi¡ trà ri¶ng li¶n k¸t vîi v²c tì ri¶ng kx.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
89. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
a thùc °c tr÷ng
a thùc °c tr÷ng
Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : E ! E. Gi£ sû A l ma trªn cõa ph²p bi¸n
êi â theo cì sð e1; e2; :::; en. Ta kþ hi»u v²c tì ri¶ng v 2 E d÷îi d¤ng
ma trªn cët l X th¼ d¤ng ma trªn cõa biºu thùc f (v) = v s³ l :
AX = X hay (A I )X = 0 (1)
Trong â I l ma trªn ìn và còng c§p vîi ma trªn A. Biºu thùc (1) l
mët h» n ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t. Theo quy tc Cramer, n¸u
det(A I )6= 0 th¼ h» câ nghi»m t¦m th÷íng duy nh§t X = 0. Vªy º
h» (1) câ nghi»m kh¡c khæng th¼ i·u ki»n c¦n v õ l :
det(A I ) = 0 (2)
C¡c gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn A hay cõa ¡nh x¤ f l c¡c nghi»m cõa
ph÷ìng tr¼nh (2)
ành ngh¾a:
ành thùc det(A I ) = 0 l mët a thùc bªc n èi vîi v ÷ñc gåi l
a thùc °c tr÷ng hay ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng cõa A (hay cõa ¡nh
x¤ f ).
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
90. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
a thùc °c tr÷ng
C¡c b÷îc t¼m gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng
1 T¼m ma trªn A cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh.
2 Gi£i ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng det(A I ) = 0, t¼m c¡c .
3 Ùng vîi méi gi¡ trà ri¶ng thay v o ph÷ìng tr¼nh (A I )X = 0
t¼m c¡c v²c tì ri¶ng X.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
91. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
a thùc °c tr÷ng
V½ dö I
Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : R2 ! R2 câ ma trªn A =
6 2
2 3
. H¢y
t¼m c¡c gi¡ trà ri¶ng v v²c tì ri¶ng cõa nâ.
Gi£i: + Ta câ ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng:
det(AI ) =
114. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
a thùc °c tr÷ng
V½ dö II
Chån x1 = 1 ) x2 = 1. V²c tì ri¶ng ùng vîi 1;2 = 1 l v1 = (1; 1; 0).
+ Vîi 3 = 3 ta câ
8
:
x1 x2 + x3 = 0
x1 x2 x3 = 0
x3 = 0
,
(
x1 = x2
x3 = 0
Chån x1 = 1 ) x2 = 1. V²c tì ri¶ng ùng vîi 3 = 3 l v2 = (1;1; 0).
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
115. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
a thùc °c tr÷ng
ành lþ I
ành lþ
C¡c v²c tì ri¶ng ùng vîi c¡c gi¡ trà ri¶ng kh¡c nhau th¼ ëc lªp tuy¸n
t½nh.
Chùng minh: Gi£ sû v1; v2; :::; vn l c¡c v²c tì ùng vîi n gi¡ trà ri¶ng
kh¡c nhau 1; 2; :::; n cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f . Gi£ sû h¤ng cõa h» v²c
tì v1; v2; :::; vn l r vîi r n (tùc l sè v²c tì ëc lªp tuy¸n t½nh lîn nh§t
cõa h» l r ). Khæng m§t t½nh têng qu¡t ta câ thº gi£ thi¸t â l r v²c tì
¦u v1; v2; :::; vr . Khi â c¡c v²c tì cán l¤i s³ l tê hñp tuy¸n t½nh cõa r
v²c tì â
vr+1 = 1v1 + 2v2 + ::: + r vr (3)
Do f l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh n¶n
f (vr+1) = 1f (v1) + 2f (v2) + ::: + r f (vr )
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
116. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
a thùc °c tr÷ng
ành lþ II
C¡c vi l c¡c v²c tì ri¶ng n¶n f (vi ) = i vi , ta câ
r+1vr+1 = 11v1 + 22v2 + ::: + rr vr
Thay vr+1 bði (3) ta ÷ñc
r+1(1v1 + 2v2 + ::: + r vr ) = 11v1 + 22v2 + ::: + rr vr
suy ra
1(r+1 1)v1 + 2(r+1 2)v2 + ::: + r (r+1 r )vr = 0
V¼ c¡c v²c tì v1; v2; :::; vr ëc lªp tuy¸n t½nh v c¡c i æi mët kh¡c nhau
n¶n 1 = 2 = ::: = r = 0. Thay v o (3) ta ÷ñc vr+1 = 0, m¥u thu¨n
vîi gi£ thi¸t vr+1 l v²c tì ri¶ng, do â r = n. Vªy v1; v2; :::; vn ëc lªp
tuy¸n t½nh.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
117. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
C¡c ành lþ
V½ dö
B i tªp
ành ngh¾a
ành ngh¾a
Ma trªn vuæng A ÷ñc gåi l ch²o hâa ÷ñc n¸u A çng d¤ng vîi
ma trªn ch²o, tùc l ; tçn t¤i ma trªn kh£ nghàch P còng c§p vîi ma trªn
A sao cho P1AP = D, trong â D l ma trªn ch²o.
Vªy º ch²o hâa ma trªn A ta i t¼m ma trªn kh£ nghàch P v ma trªn
ch²o D, nh÷ng khæng ph£i t§t c£ c¡c ma trªn vuæng ·u ch²o hâa
֖c!
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
118. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
C¡c ành lþ
V½ dö
B i tªp
ành lþ I
ành lþ
Gi£ sû A l ma trªn vuæng c§p n. Khi â A ch²o hâa ÷ñc khi v ch¿
khi A câ n v²c tì ri¶ng ëc lªp tuy¸n t½nh.
Chùng minh: a, Gi£ sû A ch²o hâa ÷ñc, theo ành ngh¾a tçn t¤i ma
trªn kh£ nghàch P
P =
0
BBB@
p11 p12 p1n
p21 p22 p2n
...
. . .
...
pn1 pn2 pnn
1
CCCA
sao cho P1AP = D, trong â
D =
0
BBB@
1 0 0
0 2 0
...
. . .
...
0 n
1
CCCA
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
119. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
C¡c ành lþ
V½ dö
B i tªp
ành lþ II
suy ra AP = PD
Gåi p1; p2; ; pn l c¡c v²c tì cët cõa P,khi â c¡c cët li¶n ti¸p cõa AP
l Ap1; Ap2; ; Apn. M°t kh¡c
PD =
0
BBB@
p11 p12 p1n
p21 p22 p2n
...
. . .
pn1 pn2 pnn
1
CCCA
0
BBB@
1 0 0
0 2 0
...
. . .
0 0 n
1
CCCA
=
=
0
BBB@
1p11 2p12 np1n
1p21 2p22 np2n
.... . .
1pn1 2pn2 npnn
1
CCCA
Do AP = PD n¶n
Ap1 = 1p1; Ap2 = 2p2; ; Apn = npn
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
120. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
C¡c ành lþ
V½ dö
B i tªp
ành lþ III
V¼ P kh£ nghàch n¶n c¡c cët pi6= 0, do â 1; 2; ; n l c¡c gi¡
trà ri¶ng cõa A v p1; p2; ; pn l c¡c v²c tì ri¶ng t÷ìng ùng.
V¼ P kh£ nghàch n¶n det (P)6= 0, suy ra c¡c v²c tì p1; p2; ; pn ëc lªp
tuy¸n t½nh.
Vªy A ch²o hâa ÷ñc th¼ A câ n v²c tì ri¶ng ëc lªp tuy¸n t½nh.
b, Gi£ sû A câ n v²c tì ri¶ng ëc lªp tuy¸n t½nh p1; p2; ; pn vîi c¡c gi¡
trà ri¶ng t÷ìng ùng 1; 2; ; n v
P =
0
BBB@
p11 p12 p1n
p21 p22 p2n
...
. . .
pn1 pn2 pnn
1
CCCA
l ma trªn câ c¡c cët l p1; p2; ; pn.
C¡c cët cõa t½ch AP l Ap1; Ap2; ; Apn. Nh÷ng
Ap1 = 1p1; Ap2 = 2p2; ; Apn = npn
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
121. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
C¡c ành lþ
V½ dö
B i tªp
ành lþ IV
n¶n ta câ
AP =
0
BBB@
1p11 2p12 np1n
1p21 2p22 np2n
...
. . .
1pn1 2pn2 npnn
1
CCCA
=
=
0
BBB@
p11 p12 p1n
p21 p22 p2n
...
. . .
pn1 pn2 pnn
1
CCCA
0
BBB@
1 0 0
0 2 0
...
. . .
0 0 n
1
CCCA
= PD
trong â D l ma trªn ch²o câ nhúng v²c tì ri¶ng tr¶n ÷íng ch²o
ch½nh. V¼ nhúng v²c tì cët cõa P l ëc lªp tuy¸n t½nh n¶n P kh£
nghàch, do â AP = PD , P1AP = D.
Vªy khi A câ n v²c tì ri¶ng ëc lªp tuy¸n t½nh th¼ A ch²o hâa ÷ñc.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
122. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
C¡c ành lþ
V½ dö
B i tªp
ành lþ I
ành lþ
Gi£ sû f l mët ¡nh x¤ tø khæng gian n chi·u E v o ch½nh nâ. N¸u
c¡c trà ri¶ng 1; 2; :::; n cõa f æi mët kh¡c nhau th¼ c¡c v²c tì ri¶ng
v1; v2; :::; vn t÷ìng ùng cõa chóng lªp th nh mët cì sð cõa E.
Chùng minh: Do sè chi·u cõa E l n n¶n ta ch¿ c¦n ph£i chùng minh n
v²c tì v1; v2; :::; vn ëc lªp tuy¸n t½nh.
V¼ v1; v2; :::; vn l c¡c v²c tì ri¶ng ùng vîi n gi¡ trà ri¶ng kh¡c nhau, theo
ành lþ tr¶n suy ra v1; v2; :::; vn ëc lªp tuy¸n t½nh. M°t kh¡c dim E = n,
suy ra v1; v2; :::; vn l mët cì sð cõa E.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
123. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
C¡c ành lþ
V½ dö
B i tªp
H» qu£
H» qu£
N¸u ma trªn vuæng A câ óng n gi¡ trà ri¶ng ph¥n bi»t th¼ A ch²o hâa
֖c.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
124. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
C¡c ành lþ
V½ dö
B i tªp
Chó þ: C¡c b÷îc ch²o hâa ma trªn A vuæng c§p n
1 Gi£i ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng det (A I ) = 0, t¼m c¡c gi¡ trà ri¶ng .
2 Vîi méi gi¡ trà ri¶ng , thay v o ph÷ìng tr¼nh (A I ) X = 0, t¼m
c¡c v²c tì ri¶ng X.
3 K¸t luªn.
N¸u A khæng câ õ n v²c tì ri¶ng ëc lªp tuy¸n t½nh th¼ A khæng
ch²o hâa ÷ñc.
N¸u A câ õ n v²c tì ri¶ng ëc lªp tuy¸n t½nh th¼ A ch²o hâa ÷ñc v
P =
0
@
j j j
X1 X2 Xn
j j j
1
A; P1AP = D =
0
BBB@
1
2
. . .
n
1
CCCA
Trong â ma trªn chuyºn P l ma trªn câ c¡c cët l tåa ë cõa c¡c
v²c tì ri¶ng, D l ma trªn ch²o
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
125. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
C¡c ành lþ
V½ dö
B i tªp
V½ dö I
Ch²o hâa ma trªn A (n¸u ÷ñc), bi¸t
A =
2
4
1 3 3
3 5 3
3 3 1
3
5
Gi£i
B÷îc 1: Gi£i ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng t¼m c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa A
0 = det(A I ) = 3 32 + 4 = ( 1)( + 2)2 ,
= 1
= 2
B÷îc 2: T¼m c¡c v²c tì ri¶ng:
+ Vîi 1 = 1 ta câ h» ph÷ìng tr¼nh
(A 1I )X =
0
@
0 3 3
3 6 3
3 3 0
1
A
0
@
x1
x2
x3
1
A =
0
@
0
0
0
1
A ,
(
x1 = x2
x3 = x2
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
126. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
C¡c ành lþ
V½ dö
B i tªp
V½ dö II
Khi â ta câ v²c tì ri¶ng t÷ìng ùng l v1 =
0
@
1
1
1
1
A
+ Vîi 2 = 2 ta câ h» ph÷ìng tr¼nh
0
@
3 3 3
3 3 3
3 3 3
1
A
0
B@
x1
x2
x3
1
CA
=
0
B@
1
0
0
0
CA
, x1 = x2 x3
Suy ra v²c tì ri¶ng câ d¤ng
v = (x1; x2; x3) = (x2 x3; x2; x3) = (x2; x2; 0) + (x3; 0; x3). Khi â
ta câ 2 v²c tì ri¶ng t÷ìng ùng l v2 =
0
@
1
1
0
1
A; v3 =
0
@
1
0
1
1
A
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
127. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
C¡c ành lþ
V½ dö
B i tªp
V½ dö III
B÷îc 3: Ta câ c¡c v²c tì v1; v2; v3 ëc lªp tuy¸n t½nh n¶n A câ õ 3 v²c
tì ëc lªp tuy¸n t½nh, vªy A ch²o hâa ÷ñc. Ma trªn chuyºn v ma trªn
ch²o l
P =
0
@
1 1 1
1 1 0
1 0 1
1
A;D =
0
@
1 0 0
0 2 0
0 0 2
1
A
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
128. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
C¡c ành lþ
V½ dö
B i tªp
V½ dö I
Ch²o hâa ma trªn A (n¸u ÷ñc), bi¸t
A =
0
@
2 4 3
4 6 3
3 3 1
1
A
Gi£i:
+ Gi£i ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng
0 = det(A I ) = 3 32 + 4 = ( 1)( + 2)2 ,
= 1
= 2
+ Vîi 1 = 1 ta t¼m ÷ñc v²c tì ri¶ng t÷ìng ùng l v1 =
0
@
1
1
1
1
A
+ Vîi Vîi 2 = 2 ta t¼m ÷ñc v²c tì ri¶ng t÷ìng ùng l v2 =
0
@
1
1
0
1
A
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
129. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
C¡c ành lþ
V½ dö
B i tªp
V½ dö II
+ Vªy A ch¿ câ 2 v²c tì ri¶ng n¶n A khæng ch²o hâa ÷ñc.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
130. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
C¡c ành lþ
V½ dö
B i tªp
B i tªp I
1 Trong c¡c ¡nh x¤ f : R3 ! R sau ¥y, ¡nh x¤ n o l tuy¸n t½nh
a) f (x; y; z) = 3x + 2y 5z
b) f (x; y; z) = 5x 3y
c) f (x; y; z) = 10x + 4y 3z + 1
2 Cho ¡nh x¤ f : R3 ! R2 , x¡c ành bði
a, T¼m m º f l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh.
b, T¼m cì sð v sè chi·u cõa Im f ; Ker f vîi m vøa t¼m ÷ñc.
3 Cho ¡nh x¤ f : P2 [x] ! P2 [x] , x¡c ành bði
f (p(x)) = xp
0
(x) + p(x), p
0
(x) l ¤o h m c§p 1 cõa p(x).
a, Chùng minh r¬ng f l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh .
b, T¼m ma trªn cõa f trong c°p cì sð E; F, bi¸t
E =
1; x; x2
; F =
n
1; 1 x; (1 x)2
o
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
131. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
C¡c ành lþ
V½ dö
B i tªp
B i tªp II
4 Cho ¡nh x¤ f : R3 ! R2 x¡c ành bði
f (x; y; z) = (x y z; x + y + z + 3m), m l tham sè.
a. X¡c ành m º f l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh, sau â t¼m cì sð v sè
chi·u cõa Im f ; Ker f vîi m vøa t¼m ÷ñc.
b. Vîi m t¼m ÷ñc, t¼m ma trªn cõa ¡nh x¤ f trong c°p cì sð
cõa R3 l u1 = (1; 1; 0); u2 = (1; 0; 1); u3 = (0; 1; 1) v cì sð cõa
R2 l v1 = (1; 0); v2 = (2; 1)
5 Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : R3 ! R3 x¡c ành bði
f (x; y; z) = (2x y + z;x + 2y z; z)
a, T¼m ma trªn cõa f trong c°p cì sð ch½nh tc.
b, T¼m gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa f .
6 Ch²o hâa ma trªn sau v ÷a ra ma trªn chuyºn (n¸u câ)
A =
0
@
7 2 0
2 6 2
0 2 5
1
A
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH