Chuong4

Không gian véc tơ
Sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
Hạng của một hệ véc tơ
Cơ sở, số chiều của không gian véc tơ
Không gian con

Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1
Chương IV: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng

Ngày 12 tháng 10 năm 2010

Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IV: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Không gian con


4.1 Không gian véctơ.


Không gian con



4.2 Sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của một hệ
véc tơ.


Không gian con



véc tơ.

4.3 Hạng của một hệ véc tơ.


Không gian con



véc tơ.


4.4 Cơ sở, số chiều của không gian véc tơ.


Không gian con



véc tơ.


4.4 Cơ sở, số chiều của không gian véc tơ.

4.5 Không gian con.


Định nghĩa
Ví dụ
Không gian con

Định nghĩa
Cho V là tập hợp khác rỗng. V được gọi là không gian véc tơ trên
trường số thực R nếu trên V xác định hai phép toán:


Định nghĩa
Ví dụ
Không gian con

Định nghĩa
a, Phép toán cộng u + v ∈ V , ∀u, v ∈ V


Định nghĩa
Ví dụ
Không gian con

Định nghĩa
b, Phép toán nhân αu ∈ V , ∀α ∈ R, ∀u ∈ V


Định nghĩa
Ví dụ
Không gian con

Định nghĩa
thỏa mãn 8 tiên đề sau:


Định nghĩa
Ví dụ
Không gian con

Định nghĩa
1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ V


Định nghĩa
Ví dụ
Không gian con

Định nghĩa
1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ V
2 (x + y ) + z = x + (y + z), ∀x, y , z ∈ V


Định nghĩa
Ví dụ
Không gian con

Định nghĩa
1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ V
2 (x + y ) + z = x + (y + z), ∀x, y , z ∈ V
3 Tồn tại phần tử 0 ∈ V sao cho x + 0 = x, ∀x ∈ V


Định nghĩa
Ví dụ
Không gian con

Định nghĩa
1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ V
2 (x + y ) + z = x + (y + z), ∀x, y , z ∈ V
4 ∀x ∈ V tồn tại phần tử đối −x ∈ V sao cho x + (−x) = 0, ∀x ∈ V


Định nghĩa
Ví dụ
Không gian con

Định nghĩa
1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ V
2 (x + y ) + z = x + (y + z), ∀x, y , z ∈ V
5 ∀α, β ∈ R, ∀x ∈ V , ta có (α + β)x = αx + βx


Định nghĩa
Ví dụ
Không gian con

Định nghĩa
1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ V
2 (x + y ) + z = x + (y + z), ∀x, y , z ∈ V
6 ∀α ∈ R, ∀x, y ∈ V , ta có α(x + y ) = αx + αy


Định nghĩa
Ví dụ
Không gian con

Định nghĩa
1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ V
2 (x + y ) + z = x + (y + z), ∀x, y , z ∈ V
7 ∀α, β ∈ R, ∀x ∈ V , ta có (αβ)x = α(βx)


Định nghĩa
Ví dụ
Không gian con

Định nghĩa
1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ V
2 (x + y ) + z = x + (y + z), ∀x, y , z ∈ V
7 ∀α, β ∈ R, ∀x ∈ V , ta có (αβ)x = α(βx)
8 1 ∈ R, ∀x ∈ V , 1.x = x


Định nghĩa
Ví dụ
Không gian con

Ví dụ
1 Tập hợp các véc tơ trong hình học là một không gian véc tơ, với
phép toán cộng 2 véc tơ theo quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc
ta giác và phép nhân véc tơ với một số, là một không gian véc tơ
trên trường số thực R


Định nghĩa
Ví dụ
Không gian con

Ví dụ
2 Tập hợp Rn = {(x1 , x2 , ..., xn ) : x1 , x2 , ..., xn ∈ R} là một không gian
véc tơ trên trường số thực R.


Định nghĩa
Ví dụ
Không gian con

Ví dụ
3 Tập hợp Pn [x] = {a0 + a1 x + · · · + an x n : a0 , a1 , ..., an ∈ R} các đa
thức có bậc không vượt quá n với hệ số thực, là một không gian véc
tơ trên trường số thực R.


Định nghĩa
Ví dụ
Không gian con

Ví dụ
4 Tập hợp số phức C = {a + bi : a, b ∈ R} là một không gian véc tơ
trên trường số thực R.


Định nghĩa
Ví dụ
Không gian con

Ví dụ
5 Tập hợp Mmxn [R] các ma trận cùng cấp m.n hệ số thực, với phép
toán cộng hai ma trận, nhân ma trận với một số, là một không gian


Định nghĩa
Ví dụ
Không gian con

Ví dụ
5 Tập hợp Mmxn [R] các ma trận cùng cấp m.n hệ số thực, với phép
toán cộng hai ma trận, nhân ma trận với một số, là một không gian
6 Tập hợp F = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 |x1 + x2 − 2x3 = 1 không là
không gian véc tơ trên trường số thực R.

Sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa
Hạng của một hệ véc tơ Ví dụ
Cơ sở, số chiều của không gian véc tơ Chú ý
Không gian con

Định nghĩa
Trong không gian véc tơ V trên trường số thực R, cho hệ véc tơ
E = {e1 , e2 , ..., en }.


Không gian con

Định nghĩa
E = {e1 , e2 , ..., en }.
Hệ thức α1 e1 + α2 e2 + ... + αn en được gọi là tổ hợp tuyến tính của
hệ véc tơ E , trong đó αi (1 i n) là các số thực.


Không gian con

Định nghĩa
E = {e1 , e2 , ..., en }.
Nếu α1 e1 + α2 e2 + ... + αn en = 0 ⇒ α1 = α2 = ... = αn = 0 thì hệ
véc tơ E được gọi là độc lập tuyến tính.


Không gian con

Định nghĩa
E = {e1 , e2 , ..., en }.
Nếu tồn tại α1 , α2 , ..., αn không đồng thời bằng 0 thì hệ véc tơ E
được gọi là phụ thuộc tuyến tính.


Không gian con

Định nghĩa
E = {e1 , e2 , ..., en }.
Nếu tồn tại α1 , α2 , ..., αn không đồng thời bằng 0 thì hệ véc tơ E
được gọi là phụ thuộc tuyến tính.
Véc tơ x ∈ V được gọi là tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ E nếu
∃α1 , α2 , ..., αn ∈ R sao cho x = α1 e1 + α2 e2 + ... + αn en


Không gian con

Ví dụ 1
Ví dụ 1. Trong không gian R3 cho hệ véc tơ
M = {(1, 1, 1); (2, 1, 3), (1, 2, 0)}. Hỏi M độc lập tuyến tính hay phụ
thuộc tuyến tính. Véc tơ x = (2, −1, 3) có là tổ hợp tuyến tính của họ M
không?


Không gian con

Ví dụ 1
Ví dụ 1. Trong không gian R3 cho hệ véc tơ
M = {(1, 1, 1); (2, 1, 3), (1, 2, 0)}. Hỏi M độc lập tuyến tính hay phụ
thuộc tuyến tính. Véc tơ x = (2, −1, 3) có là tổ hợp tuyến tính của họ M
không?
Giải: Xét tổ hợp tuyến tính α (1, 1, 1) + β (2, 1, 3) + γ (1, 2, 0) = 0

 α + 2β + γ = 0

⇔ (α + 2β + γ, α + β + 2γ, α + 3β) = (0, 0, 0) ⇔ α + β + 2γ = 0

α + 3β = 0


α = −3β
⇒ nên hệ M phụ thuộc tuyến tính.
γ=β
Mặt khác ta có α (1, 1, 1) + β (2, 1, 3) + γ (1, 2, 0) = x

 α + 2β + γ = 2

⇔ α + β + 2γ = −1 hệ vô nghiệm.

α + 3β = 3

Vậy x không là tổ hợp tuyến tính của M.

Không gian con

Ví dụ 2

Ví dụ 2. Trong không gian véc tơ P2 [x] (không gian các đa thức có
bậc không vượt quá 2) cho hệ véc tơ M = x 2 + 2x + 1, x 2 + 1, x + 1 .
Hỏi M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.


Không gian con

Ví dụ 2

Ví dụ 2. Trong không gian véc tơ P2 [x] (không gian các đa thức có
bậc không vượt quá 2) cho hệ véc tơ M = x 2 + 2x + 1, x 2 + 1, x + 1 .
Hỏi M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.
Giải. Xét tổ hợp tuyến tính α x 2 + 2x + 1 + β x 2 + 1 + γ (x + 1) = 0

α + β = 0

2
⇔ (α + β) x + (2α + γ) x + (α + β + γ) = 0 ⇔ 2α + γ = 0

α+β+γ =0


⇒ α = β = γ = 0. Vậy M độc lập tuyến tính.


Không gian con

Chú ý

1 Nếu hệ véc tơ M chứa véc tơ 0 thì M phụ thuộc tuyến tính.


Không gian con

Chú ý

2 M = {x1 , x2 , · · · , xn } phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại xi
là tổ hợp của các véc tơ còn lại trong M.


Không gian con

Chú ý

3 Thêm một số véc tơ vào họ phụ thuộc tuyến tính ta thu được một
họ phụ thuộc tuyến tính.


Không gian con

Chú ý

3 Thêm một số véc tơ vào họ phụ thuộc tuyến tính ta thu được một
họ phụ thuộc tuyến tính.
4 Bỏ đi một số véc tơ của họ độc lập tuyến tính ta thu được họ độc
lập tuyến tính.


Hạng của một hệ véc tơ Nhận xét
Cơ sở, số chiều của không gian véc tơ Ví dụ
Không gian con

Định nghĩa
Cho không gian véc tơ V và hệ véc tơ M = {x1 , x2 , · · · , xn , · · · } ⊂ V .
Hạng của M là một số k nếu tồn tại k véc tơ độc lập tuyến tính của M
và mọi tập con của M chứa nhiều hơn k véc tơ đều phụ thuộc tuyến tính.


Không gian con

Định nghĩa
Cho không gian véc tơ V và hệ véc tơ M = {x1 , x2 , · · · , xn , · · · } ⊂ V .
Hạng của M là một số k nếu tồn tại k véc tơ độc lập tuyến tính của M
và mọi tập con của M chứa nhiều hơn k véc tơ đều phụ thuộc tuyến tính.

Vậy hạng của hệ véc tơ M là số véc tơ độc lập tuyến tối đại của M.


Không gian con

Nhận xét

Cho hệ véc tơ M có n véc tơ


Không gian con

Nhận xét

Nếu hạng của M bằng n (số véc tơ của M) thì M độc lập tuyến tính.


Không gian con

Nhận xét

Nếu hạng của M nhỏ hơn n (số véc tơ của M) thì M phụ thuộc
tuyến tính.


Không gian con

Nhận xét

tuyến tính.
Nếu hạng của M với hạng của M thêm véc tơ x thì x là tổ hợp
tuyến tính của M.


Không gian con

Nhận xét

tuyến tính.
Cách tìm hạng của hệ véc tơ x1 , x2 , · · · , xn


Không gian con

Nhận xét

tuyến tính.
1 Lập ma trận A có các hàng là tọa độ của các véc tơ x1 , x2 , · · · , xn .


Không gian con

Nhận xét

tuyến tính.
2 Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng, đưa ma trận A về dạng
bậc thang.


Không gian con

Nhận xét

tuyến tính.
2 Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng, đưa ma trận A về dạng
bậc thang.
3 Hạng của ma trận A cũng là hạng của hệ véc tơ x1 , x2 , · · · , xn .


Không gian con

Ví dụ 1

Ví dụ 1. Hãy xác định tập hợp các véc tơ sau độc lập tuyến tính hay
phụ thuộc tuyến tính

M1 = {(1, 1, 1); (2, 1, 3), (1, 2, 0)}


Không gian con

Ví dụ 1


M1 = {(1, 1, 1); (2, 1, 3), (1, 2, 0)}

Giải. Ta có
     
1 1 1 1 1 1 1 1 1
h −2h1
A =  2 1 3  −2 − →  0
−− −1 1 −−  0
−→ −1 1 
h3 −h1 h3 +h2
1 2 0 0 1 −1 0 0 0

⇒ r (A) = 2 ⇒ r (M1 ) = 2
Vậy M1 phụ thuộc tuyến tính.


Không gian con

Ví dụ 2


M2 = {x 2 + x + 1, 2x 2 + 3x + 2, 2x + 1}

Giải. Ta có

     
1 1 1 1 1 1 1 1 1
h −2h1
A= 2 3 2  −2 − →  0
−− 1 0 −−→ 0
−− 1 0 
h3 −2h2
0 2 1 0 2 1 0 0 1
⇒ r (A) = 3 ⇒ r (M2 ) = 3

Vậy M2 độc lập tuyến tính.


Không gian con

Ví dụ 3

1 1 2 1 3 4 1 3
M3 = ; ; ;
1 0 1 −1 0 1 −1 2


Không gian con

Ví dụ 3

1 1 2 1 3 4 1 3
M3 = ; ; ;
1 0 1 −1 0 1 −1 2

Giải. Ta có
   
1 1 1 0 1 1 1 0
 2 1 1 −1  h2 −2h1  0 −1 −1 −1 
−−→
A= −− 
 3 4 0 1  h3 −3h1  0 1 −3 1 
h4 −h1
1 3 −1 2 0 2 −2 2
 
1 1 1 0
 0 −1 −1 −1 
−−→
−−   ⇒ r (A) = 3 ⇒ r (M3 ) = 3
h3 +h2 0 0 −4 0 
h4 +2h2
0 0 −4 0

Vậy M3 phụ thuộc tuyến tính.

Hệ sinh
Cơ sở
Số chiều
Tọa độ của véc tơ trong cơ sở
Không gian con

Định nghĩa hệ sinh
Hệ véc tơ M = {v1 , v2 , ..., vn } được gọi là hệ sinh của không gian véc
tơ V nếu mọi véc tơ x ∈ V đều biểu thị tuyến qua hệ véc tơ
{v1 , v2 , ..., vn }.


Hệ sinh
Cơ sở
Số chiều
Không gian con

{v1 , v2 , ..., vn }.

Ví dụ.(Bạn đọc tự giải)
1 Cho M = {(1, 1, 1); (1, 2, 1); (2, 3, 1)}. M có là hệ sinh của R3
không?


Hệ sinh
Cơ sở
Số chiều
Không gian con

{v1 , v2 , ..., vn }.

không?
2 Cho M = {(1, 1, −1); (2, 3, 1); (3, 4, 0)}. M có là hệ sinh của R3
không?


Hệ sinh
Cơ sở
Số chiều
Không gian con

{v1 , v2 , ..., vn }.

không?
2 Cho M = {(1, 1, −1); (2, 3, 1); (3, 4, 0)}. M có là hệ sinh của R3
không?
3 Cho M = {x 2 + x + 1; 2x 2 + 3x + 1; x 2 + 2x}. M có là hệ sinh của
P2 [x] không?


Hệ sinh
Cơ sở
Số chiều
Không gian con

Định nghĩa cơ sở
Hệ véc tơ M = {v1 , v2 , ..., vn } được gọi là cơ sở của không gian véc
tơ V nếu nó là hệ sinh của V và là hệ độc lập tuyến tính.


Hệ sinh
Cơ sở
Số chiều
Không gian con


Từ định nghĩa ta có, hệ véc tơ Hệ véc tơ M = {v1 , v2 , ..., vn } là cơ sở cả
không gian véc tơ V nếu
1 M = {v1 , v2 , ..., vn } độc lập tuyến tính.


Hệ sinh
Cơ sở
Số chiều
Không gian con


Từ định nghĩa ta có, hệ véc tơ Hệ véc tơ M = {v1 , v2 , ..., vn } là cơ sở cả
không gian véc tơ V nếu
1 M = {v1 , v2 , ..., vn } độc lập tuyến tính.
2 Mọi véc tơ x ∈ V đều biểu thị tuyến qua hệ véc tơ
M = {v1 , v2 , ..., vn }.


Hệ sinh
Cơ sở
Số chiều
Không gian con

Ví dụ

1 Dễ thấy hệ véc tơ
E = {(1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, 0, 0, ..., 1)} là cơ sở của Rn
và được gọi là cơ sở chính tắc


Hệ sinh
Cơ sở
Số chiều
Không gian con

Ví dụ

E = {(1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, 0, 0, ..., 1)} là cơ sở của Rn
2 Tương tự ta có thể kiểm tra được hệ véc tơ E = { x n , x n−1 , ..., x, 1}
là cơ sở của Pn [x] và được gọi là cơ sở chính tắc.


Hệ sinh
Cơ sở
Số chiều
Không gian con

Ví dụ

E = {(1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, 0, 0, ..., 1)} là cơ sở của Rn
2 Tương tự ta có thể kiểm tra được hệ véc tơ E = { x n , x n−1 , ..., x, 1}
là cơ sở của Pn [x] và được gọi là cơ sở chính tắc.
3 Dễ kiểm tra hệ véc  E =
 tơ    
 1 0 ... 0 0 1 ... 0 0 0 ... 0 
 0 0 ... 0  ,  0 0 ... 0  , ...,  0 0 ... 0 
0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 1
 
là cơ sở của Mn [R] và được gọi là cơ sở chính tắc.


Hệ sinh
Cơ sở
Số chiều
Không gian con

Định lý 4.4.1
Trong không gian véc tơ V cho hệ véc tơ M = {v1 , v2 , ..., vn } độc
lập tuyến và mỗi véc tơ của M là tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ
E = {u1 , u2 , ..., um }. Khi đó n ≤ m


Hệ sinh
Cơ sở
Số chiều
Không gian con

Định lý 4.4.1
Trong không gian véc tơ V cho hệ véc tơ M = {v1 , v2 , ..., vn } độc
lập tuyến và mỗi véc tơ của M là tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ
E = {u1 , u2 , ..., um }. Khi đó n ≤ m

Định lý 4.4.2
Nếu không gian véc tơ V có một cơ sở hữu hạn gồm n véc tơ thì
mọi cơ sở khác của V cũng có n véc tơ (trong một không gian véc tơ
mọi cơ sở đều có số véc tơ bằng nhau)


Hệ sinh
Cơ sở
Số chiều
Không gian con

Định nghĩa số chiều
Số chiều của không gian véc tơ V là số véc tơ trong một cơ sở của
V , kí hiệu dim V


Hệ sinh
Cơ sở
Số chiều
Không gian con


Nếu số chiều của không gian véc tơ V là hữu hạn thì V được gọi là
không gian hữu hạn chiều.


Hệ sinh
Cơ sở
Số chiều
Không gian con


Nếu số chiều của không gian véc tơ V là vô hạn thì V được gọi là
không gian vô hạn chiều.


Hệ sinh
Cơ sở
Số chiều
Không gian con


Nếu dim V = n khi đó
1 Mọi hệ có số véc tơ lớn hơn n đều phụ thuộc tuyến tính.


Hệ sinh
Cơ sở
Số chiều
Không gian con


2 Mọi hệ độc lập tuyến tính có n véc tơ đều là cơ sở của V .


Hệ sinh
Cơ sở
Số chiều
Không gian con


3 Mọi hệ hệ sinh của V có n véc tơ đều là cơ sở của V .


Hệ sinh
Cơ sở
Số chiều
Không gian con


3 Mọi hệ hệ sinh của V có n véc tơ đều là cơ sở của V .
4 Mọi hệ độc lập tuyến tính có k véc tơ đều có thể bổ sung thêm
n − k véc tơ để được cơ sở của V .


Hệ sinh
Cơ sở
Số chiều
Không gian con

Chú ý

Từ nhận xét ta có; Trong không gian véc tơ n chiều để chứng minh
một hệ gồm n véc tơ là cơ sở ta chỉ cần chỉ ra chúng thỏa mãn một
trong hai điều kiện hoặc hệ độc lập tuyến tính hoặc hệ là hệ sinh của
không gian véc tơ đó.
Ví dụ.
1 Kiểm tra hệ véc tơ M = {(1, 1, 1); (2, 3, 1); (3, 1, 0)} có là cơ sở của
R3 không?
1 2 3
Ta có 1 3 1 = 2 + 3 − 9 − 1 = −5 = 0, suy ra M độc lập
1 1 0
tuyến tính.
Mặt khác dim R3 = 3. Vậy M là cơ sở của R3


Hệ sinh
Cơ sở
Số chiều
Không gian con

Chú ý

Từ nhận xét ta có; Trong không gian véc tơ n chiều để chứng minh
một hệ gồm n véc tơ là cơ sở ta chỉ cần chỉ ra chúng thỏa mãn một
trong hai điều kiện hoặc hệ độc lập tuyến tính hoặc hệ là hệ sinh của
không gian véc tơ đó.
Ví dụ.
1 Kiểm tra hệ véc tơ M = {(1, 1, 1); (2, 3, 1); (3, 1, 0)} có là cơ sở của
R3 không?
1 2 3
Ta có 1 3 1 = 2 + 3 − 9 − 1 = −5 = 0, suy ra M độc lập
1 1 0
tuyến tính.
2 Tương tự ta có thể kiểm tra hệ véc tơ
M = {x 2 + x + 1; 2x 2 + x + 1; x 2 + 2x + 2} có là cơ sở của P2 [x]
không?


Hệ sinh
Cơ sở
Số chiều
Không gian con

Định nghĩa
Cho V là không gian véc tơ n chiều có cơ sở là E = {e1 , e2 , ..., en }.
Với x ∈ V , khi đó x viết được duy nhất dưới dạng

x = a1 e1 + a2 e2 + · · · + an en , ai ∈ R

Bộ số (a1 , a2 , ..., an ) được gọi là tọa độ của x trong cơ sở E , ký hiệu

a1
 
 a2 
 
(x)E = (a1 , a2 , ..., an ) hoặc [x]E =  . 
. 
. 
an


Hệ sinh
Cơ sở
Số chiều
Không gian con

Ví dụ

1 Ta có hệ E = {(1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, 0, 0, ..., 1)} là
chính tắc của Rn có n véctơ, suy ra dim Rn = n.


Hệ sinh
Cơ sở
Số chiều
Không gian con

Ví dụ

1 Ta có hệ E = {(1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, 0, 0, ..., 1)} là
2 Hệ véc tơ E = { x n , x n−1 , ..., x, 1} là cơ sở của Pn [x] có n + 1 véc
tơ, suy ra dim(Pn [x]) = n + 1


Hệ sinh
Cơ sở
Số chiều
Không gian con

Ví dụ

1 Ta có hệ E = {(1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, 0, 0, ..., 1)} là
2 Hệ véc tơ E = { x n , x n−1 , ..., x, 1} là cơ sở của Pn [x] có n + 1 véc
tơ, suy ra dim(Pn [x]) = n + 1
3 Hệ véc tơ E =
     
 1 0 ... 0 0 1 ... 0 0 0 ... 0 
 0 0 ... 0  ,  0 0 ... 0  , ...,  0 0 ... 0 
0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 1
 
là cơ sở của Mn [R] có n2 véc tơ, suy ra dim(Mn [R]) = n2 .


Hệ sinh
Cơ sở
Số chiều
Không gian con

Ví dụ

1 Chứng minh E = {(1, 1, 1); (1, 0, 1); (1, 1, 0)} là một cơ sở của R3 .
Tìm tọa độ của véc tơ x = (3, 1, −2) trong cơ sở E .
1 1 1
Ta có 1 0 1 = 1 + 1 − 1 = 1 = 0 suy ra M độc lập tuyến tính.
1 1 0
Xét tổ hợp tuyến tính x = α (1, 1, 1) + β (1, 0, 1) + γ (1, 1, 0) ⇔
(3,  −2) = (α + β + γ, + γ, α + β)
1, α  

 α+β+γ =3  α = −4
 −4
⇔ α+γ =1 ⇔ β = 2 ⇒ [x]E =  2 
 
 
α + β = −2 γ=5 5
 
2 Chứng minh E = {x 2 + x + 1; x 2 + 2x + 1; x 2 + x + 2} là cơ sở của
 
3
P2 [x]. Tìm p(x), biết [p(x)]E =  −5  (Bạn đọc tự giải)
2


Chuong4

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (6)

More from tuongnm

More from tuongnm (20)

Chuong4