Toan 1 - Chuong1

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
B i gi£ng: TON CAO C‡P 1
Ch÷ìng I: TŠP HÑP - NH X„
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng
Ng y 12 th¡ng 10 n«m 2010
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng I: TŠP HÑP - NH X„

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Möc ti¶u cõa mæn håc
V· nhªn thùc: Trang bà nhúng ki¸n thùc cì b£n nh§t công nh÷
ph÷ìng ph¡p luªn cõa mæn To¡n cao c§p º sinh vi¶n câ thº vªn
döng ki¸n thùc v c¡ch lªp luªn â º ti¸p thu c¡c mæn håc kh¡c
trong ch÷ìng tr¼nh công nh÷ ¡p döng º gi£i quy¸t c¡c b i to¡n
trong l¾nh vüc chuy¶n mæn cõa m¼nh.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Möc ti¶u cõa mæn håc
V· nhªn thùc: Trang bà nhúng ki¸n thùc cì b£n nh§t công nh÷
ph÷ìng ph¡p luªn cõa mæn To¡n cao c§p º sinh vi¶n câ thº vªn
döng ki¸n thùc v c¡ch lªp luªn â º ti¸p thu c¡c mæn håc kh¡c
trong ch÷ìng tr¼nh công nh÷ ¡p döng º gi£i quy¸t c¡c b i to¡n
trong l¾nh vüc chuy¶n mæn cõa m¼nh.
V· kÿ n«ng: R±n luy»n cho sinh vi¶n n«ng lüc gi£i b i tªp º
hiºu s¥u lþ thuy¸t v s¡ng t¤o trong c¡ch lªp luªn công nh÷ t½nh
to¡n th nh th¤o èi vîi nhúng y¶u c¦u thüc h nh.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Tâm tt nëi dung
Mæn To¡n cao c§p 1 gçm hai ph¦n ch½nh: ¤i sè tuy¸n t½nh v Gi£i
t½ch, vîi c¡c ch÷ìng:
Ch÷ìng I. Tªp hñp - ¡nh x¤
Ch÷ìng II. Ma trªn v ành thùc cõa ma trªn
Ch÷ìng III. H» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh
Ch÷ìng IV. Khæng gian v²c tì
Ch÷ìng V. nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch÷ìng VI. H m sè v giîi h¤n h m sè
Ch÷ìng VII. Ph²p t½nh vi ph¥n h m mët bi¸n sè
Ch÷ìng VIII. Ph²p t½nh nguy¶n h m h m mët bi¸n sè
Ch÷ìng IX. T½ch ph¥n x¡c ành, t½ch ph¥n suy rëng

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Y¶u c¦u cõa mæn håc
Y¶u c¦u sinh vi¶n tham gia ¦y õ c¡c ti¸t lþ thuy¸t, b i tªp. åc
t i li»u v chu©n bà b i tªp tr÷îc khi ¸n lîp. Câ õ c¡c b i kiºm tra
th÷íng xuy¶n, giúa ký.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Y¶u c¦u cõa mæn håc
Y¶u c¦u sinh vi¶n tham gia ¦y õ c¡c ti¸t lþ thuy¸t, b i tªp. åc
t i li»u v chu©n bà b i tªp tr÷îc khi ¸n lîp. Câ õ c¡c b i kiºm tra
th÷íng xuy¶n, giúa ký.
¡nh gi¡ mæn håc
- Thang iºm ¡nh gi¡ mæn håc: thang iºm 10/10.
- iºm c¡c b i kiºm tra th÷íng xuy¶n, giúa ký: 30%
- iºm b i thi håc ph¦n: 70%

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
T i li»u tham kh£o
Bë mæn Khoa håc Cì B£n, Gi¡o tr¼nh To¡n håc cao c§p 1.
Nguy¹n ¼nh Tr½ v c¡c t¡c gi£ (1998), To¡n cao c§p, B i tªp to¡n
cao c§p, tªp I, II, III, NXB GD.
Tr¦n Trång Hu» (2001), ¤i sè tuy¸n t½nh v h¼nh gi£i t½ch, NXB
¤i håc Quèc gia H Nëi.
Tr¦n ùc Long v c¡c t¡c gi£ kh¡c (2002), Gi¡o tr¼nh gi£i t½ch, tªp
I, II, III. NXB ¤i håc Quèc gia H Nëi.
Nguy¹n Thøa Hñp (2002), Gi£i t½ch, tªp I, II, III, NXB HQG H
Nëi.
Tèng ¼nh Quý, Nguy¹n C£nh L÷ìng, Gióp æn tªp tèt To¡n cao c§p
- ¤i sè tuy¸n t½nh, NXB Gi¡o döc.
Nguy¹n Xu¥n Li¶m, Gi£i t½ch, tªp I, II. NXB Gi¡o döc.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Ch÷ìng I: Kh¡i ni»m v· tªp hñp v ¡nh x¤
1.1 Tªp hñp.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
1.1 Tªp hñp.
1.2 nh x¤.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
1.1 Tªp hñp.
1.2 nh x¤.
1.3 C§u tróc tr÷íng.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
1.1 Tªp hñp.
1.2 nh x¤.
1.4 Tªp sè thüc.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
1.1 Tªp hñp.
1.2 nh x¤.
1.4 Tªp sè thüc.
1.5 Sè phùc.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Tªp hñp
Tªp hñp con, hai tªp hñp b¬ng nhau
C¡c ph²p to¡n tr¶n tªp hñp
C¡c c¡ch cho mët tªp hñp
C¡c kh¡i ni»m cì b£n
Tªp hñp l mët kh¡i ni»m nguy¶n thu công gièng nh÷ kh¡i ni»m
iºm, ÷íng th¯ng, m°t ph¯ng trong h¼nh håc.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Tªp hñp
- C¡c èi t÷ñng lªp n¶n tªp hñp ÷ñc gåi l c¡c ph¦n tû cõa tªp hñp.
- N¸u a l mët ph¦n tû cõa tªp hñp A th¼ ta kþ hi»u: a 2 A. N¸u a khæng
ph£i l mët ph¦n tû cõa tªp hñp A th¼ ta kþ hi»u: a =2 A.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Tªp hñp
- C¡c èi t÷ñng lªp n¶n tªp hñp ÷ñc gåi l c¡c ph¦n tû cõa tªp hñp.
- N¸u a l mët ph¦n tû cõa tªp hñp A th¼ ta kþ hi»u: a 2 A. N¸u a khæng
ph£i l mët ph¦n tû cõa tªp hñp A th¼ ta kþ hi»u: a =2 A.
V½ dö. A l mët tªp hñp c¡c sè nguy¶n ch®n, khi â 2 2 A, nh÷ng 21 =2 A.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Tªp hñp
Mët tªp hñp ÷ñc gåi l húu h¤n n¸u nâ câ húu h¤n ph¦n tû.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Tªp hñp
Tªp hñp gçm væ sè ph¦n tû gåi l tªp hñp væ h¤n.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Tªp hñp
Câ 2 lo¤i tªp hñp væ h¤n:
Tªp hñp væ h¤n ¸m ÷ñc l tªp hñp tuy sè l÷ñng ph¦n tû l væ
h¤n song ta câ thº ¡nh sè thù tü c¡c ph¦n tû cõa nâ (tùc l câ thº
bi¸t ÷ñc ph¦n tû ùng li·n tr÷îc v ùng li·n sau cõa mët ph¦n tû
b§t ký).
Tªp hñp væ h¤n khæng ¸m ÷ñc l tªp hñp câ væ sè ph¦n tû v
khæng câ c¡ch n o ¡nh sè thù tü c¡c ph¦n tû cõa nâ.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Tªp hñp
b§t ký).
Tªp hñp khæng chùa mët ph¦n tû n o v gåi nâ l tªp hñp réng, kþ
hi»u l ;.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Tªp hñp
b§t ký).
Tªp hñp khæng chùa mët ph¦n tû n o v gåi nâ l tªp hñp réng, kþ
hi»u l ;.
V½ dö: Tªp hñp c¡c sinh vi¶n cõa mët lîp håc l húu h¤n, sè ph¦n tû ð
¥y l sè sinh vi¶n cõa lîp â.
Tªp hñp c¡c nghi»m thüc cõa ph÷ìng tr¼nh x2 + 1 = 0 l réng.
Tªp hñp c¡c iºm tr¶n o¤n [0; 1] l tªp væ h¤n.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Tªp hñp
Tªp hñp con
Cho hai tªp hñp A v B. N¸u b§t ký
ph¦n tû n o cõa tªp hñp A công l ph¦n
tû cõa tªp hñp B th¼ ta nâi A l tªp hñp
con cõa B v kþ hi»u A B .

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Tªp hñp
Tªp hñp con
Vªy A B , x 2 A ) x 2 B. H¼nh: A B

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Tªp hñp
Tªp hñp con
V½ dö: Gåi A l tªp hñp c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh x2 3x + 2 = 0 ,
B l tªp hñp c¡c sè nguy¶n d÷ìng th¼ A B.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Tªp hñp
Tªp hñp con
Tªp hñp b¬ng nhau
N¸u A B çng thíi B A th¼ ta nâi hai tªp hñp A; B l b¬ng nhau.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Tªp hñp
Tªp hñp con
Tªp hñp b¬ng nhau
N¸u A B çng thíi B A th¼ ta nâi hai tªp hñp A; B l b¬ng nhau.
Vªy A = B , A B v B A.
Quy ÷îc tªp ; l tªp hñp con cõa måi tªp hñp.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Tªp hñp
Ph²p hñp
Hñp cõa hai tªp hñp A v B l mët tªp
hñp chùa c¡c ph¦n tû thuëc ½t nh§t mët
trong hai tªp hñp A ho°c B.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Tªp hñp
Ph²p hñp
Ta công nâi hñp cõa A; B l tªp hñp
chùa c¡c ph¦n tû ho°c thuëc A ho°c
thuëc B, kþ hi»u l A [ B. Vªy
x 2 A [ B ,

x 2 A
x 2 B
H¼nh: A [ B

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Tªp hñp
Ph²p hñp
Ta công nâi hñp cõa A; B l tªp hñp
chùa c¡c ph¦n tû ho°c thuëc A ho°c
thuëc B, kþ hi»u l A [ B. Vªy
x 2 A [ B ,

x 2 A
x 2 B
H¼nh: A [ B
V½ dö: N¸u A l tªp hñp c¡c sè thüc nhä hìn 1, B l tªp hñp c¡c sè thüc
lîn hìn 2 th¼ tªp hñp c¡c nghi»m thüc cõa b§t ph÷ìng tr¼nh
x2 3x + 2 0 l A [ B.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Tªp hñp
Ph²p giao
Giao cõa hai tªp hñp A v B l mët tªp
hñp chùa c¡c ph¦n tû thuëc c£ A v B.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Tªp hñp
Ph²p giao
Kþ hi»u l A B. Vªy
x 2 A B ,
(
x 2 A
x 2 B H¼nh: A B

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Tªp hñp
Ph²p giao
Kþ hi»u l A B. Vªy
x 2 A B ,
(
x 2 A
x 2 B H¼nh: A B
V½ dö: N¸u A l tªp hñp c¡c sè thüc nhä hìn 2, B l tªp hñp c¡c sè thüc
lîn hìn 1 th¼ tªp hñp c¡c nghi»m thüc cõa b§t ph÷ìng tr¼nh
x2 3x + 2 0 l A B.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Tªp hñp
Ph²p trø
Hi»u cõa hai tªp hñp A v B l mët tªp
hñp chùa c¡c ph¦n tû thuëc A m
khæng thuëc B.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Tªp hñp
Ph²p trø
khæng thuëc B.
Kþ hi»u l AnB. Vªy
x 2 AnB ,
(
x 2 A
x =2 B
H¼nh: AnB

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Tªp hñp
Ph²p trø
khæng thuëc B.
x 2 AnB ,
(
x 2 A
x =2 B
H¼nh: AnB
°c bi»t, n¸u A E th¼ EnA ÷ñc gåi l ph¦n bò cõa A trong E v
kþ hi»u l CEA hay A.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Tªp hñp
Ph²p trø
khæng thuëc B.
x 2 AnB ,
(
x 2 A
x =2 B
H¼nh: AnB
°c bi»t, n¸u A E th¼ EnA ÷ñc gåi l ph¦n bò cõa A trong E v
kþ hi»u l CEA hay A.
V½ dö: R l tªp hñp sè thüc, A l tªp hñp gçm hai sè thüc 1; 2. Khi â
1 + x
tªp x¡c ành cõa ph¥n thùc
x2 3x + 2
l RnA.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Tªp hñp
T½nh ch§t
Gi£ sû A; B; C l c¡c tªp con cõa tªp hñp E. Khi â ta câ c¡c t½nh
ch§t sau:
1; A = A
2; A [ A = A A A = A
3; A [ A = E A A = ;
4; A [ E = E A E = A
5; A [ ; = A A ; = ;
6; A [ B = B [ A A B = B A
7; (A [ B) [ C = A [ (B [ C) (A B) C = A (B C)
8; (A B) [ C = (B [ C) (A [ C) (A [ B) C = (B C) [ (A C)
9; A [ B = A B A B = A [ B
T½nh ch§t (9) ÷ñc gåi l quy tc De Morgan.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Tªp hñp
Chùng minh c¡c t½nh ch§t
Ta chùng minh t½nh ch§t 7.1 (A [ B) [ C = A [ (B [ C), c¡c t½ch
ch§t kh¡c chùng minh t÷ìng tü
+ 8x 2 (A [ B) [ C )

x 2 A [ B
x 2 C
)
2
64
x 2 A
x 2 B
x 2 C
)

x 2 A
x 2 B [ C
) x 2 A [ (B [ C) ) (A [ B) [ C A [ (B [ C) (1)
+ 8y 2 A [ (B [ C) )

y 2 A
y 2 B [ C
)
2
64
y 2 A
y 2 B
y 2 C
)

y 2 A [ B
y 2 C
) y 2 (A [ B) [ C ) A [ (B [ C) (A [ B) [ C (2)
Tø (1); (2) ta câ i·u ph£i chùng minh.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Tªp hñp
Li»t k¶ c¡c ph¦n tû cõa nâ.
V½ dö: B£ng danh s¡ch c¡c th½ sinh tróng tuyºn v o mët tr÷íng ¤i
håc.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Tªp hñp
Li»t k¶ c¡c ph¦n tû cõa nâ.
V½ dö: B£ng danh s¡ch c¡c th½ sinh tróng tuyºn v o mët tr÷íng ¤i
håc.
Cho quy tc º nhªn bi¸t c¡c ph¦n tû cõa nâ.
Ta vi¸t: A = fx : P (x)g v hiºu: A l tªp hñp gçm c¡c ph¦n tû x
sao cho t½nh
ch§t P óng vîi x.

V½ dö: A =
x : x2 3x + 2 = 0
hiºu: A l tªp hñp c¡c sè thüc x
l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh x2 3x + 2 = 0, tùc l A = f1; 2g.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
ành ngh¾a
Ph¥n lo¤i ¡nh x¤
nh x¤ ng÷ñc
nh x¤ hñp
ành ngh¾a
nh x¤ f tø tªp hñp A v o tªp hñp B
(kþ hi»u f : A ! B) l quy tc cho
t÷ìng ùng méi ph¦n tû thuëc x 2 A vîi
duy nh§t mët ph¦n tû y 2 B, y ÷ñc gåi
l £nh cõa x qua f , kþ hi»u y = f (x).

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
ành ngh¾a
nh x¤ ng÷ñc
nh x¤ hñp
ành ngh¾a
Tªp A ÷ñc gåi l tªp nguçn, B l tªp
½ch.
H¼nh: f : A ! B

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
ành ngh¾a
nh x¤ ng÷ñc
nh x¤ hñp
ành ngh¾a
½ch.
H¼nh: f : A ! B
N¸u vîi b§t ký ph¦n tû x n o cõa A, £nh f (x) cõa nâ ÷ñc x¡c ành
th¼ A cán ÷ñc gåi l tªp x¡c ành cõa ¡nh x¤ f v £nh cõa tªp A qua f
l f (A) = fy 2 B : 9x 2 A; f (x) = yg.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
ành ngh¾a
nh x¤ ng÷ñc
nh x¤ hñp
ành ngh¾a
½ch.
H¼nh: f : A ! B
N¸u vîi b§t ký ph¦n tû x n o cõa A, £nh f (x) cõa nâ ÷ñc x¡c ành
th¼ A cán ÷ñc gåi l tªp x¡c ành cõa ¡nh x¤ f v £nh cõa tªp A qua f
l f (A) = fy 2 B : 9x 2 A; f (x) = yg.
V½ dö: X²t ¡nh x¤ f tø tªp hñp sè thüc R v o ch½nh nâ x¡c ành bði
f (x) =
1
x2 th¼ tªp x¡c ành cõa nâ l Rn f0g cán tªp hñp £nh cõa nâ l
tªp hñp måi sè thüc d÷ìng R+.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
ành ngh¾a
nh x¤ ng÷ñc
nh x¤ hñp
nh x¤ b¬ng nhau
Cho ¡nh x¤ f : A ! B v f : A
0
! B
0
. N¸u A = A0 v vîi måi x 2 A ta
câ f (x) = g(x) th¼ ta nâi hai ¡nh x¤ f v g l b¬ng nhau, ta vi¸t f = g.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
ành ngh¾a
nh x¤ ng÷ñc
nh x¤ hñp
nh x¤ b¬ng nhau
0
! B
0
Cho ¡nh x¤ f : A ! B
nh x¤ f ÷ñc gåi l ìn ¡nh n¸u 8x1; x2 2 A; f (x1) = f (x2) th¼
x1 = x2 hay 8x1; x2 2 A; x16= x2 th¼ f (x1)6= f (x2).

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
ành ngh¾a
nh x¤ ng÷ñc
nh x¤ hñp
nh x¤ b¬ng nhau
0
! B
0
nh x¤ f ÷ñc gåi l to n ¡nh n¸u f (A) = B hay vîi b§t ký y 2 B
tçn t¤i ½t nh§t mët ph¦n tû x 2 A sao cho f (x) = y.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
ành ngh¾a
nh x¤ ng÷ñc
nh x¤ hñp
nh x¤ b¬ng nhau
0
! B
0
nh x¤ f ÷ñc gåi l to n ¡nh n¸u f (A) = B hay vîi b§t ký y 2 B
tçn t¤i ½t nh§t mët ph¦n tû x 2 A sao cho f (x) = y.
nh x¤ f ÷ñc gåi l song ¡nh n¸u nâ vøa l ìn ¡nh, vøa l to n
¡nh. Song ¡nh cán ÷ñc gåi l ¡nh x¤ 1 1.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
ành ngh¾a
nh x¤ ng÷ñc
nh x¤ hñp
H¼nh: ìn ¡nh

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
ành ngh¾a
nh x¤ ng÷ñc
nh x¤ hñp
H¼nh: ìn ¡nh H¼nh: To n ¡nh

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
ành ngh¾a
nh x¤ ng÷ñc
nh x¤ hñp
H¼nh: ìn ¡nh H¼nh: To n ¡nh H¼nh: Song ¡nh

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
ành ngh¾a
nh x¤ ng÷ñc
nh x¤ hñp
N¸u f l song ¡nh tø A l¶n B th¼ do
t½nh ch§t to n ¡nh n¶n vîi méi y 2 B câ
t÷ìng ùng mët x 2 A º f (x) = y, v
do t½nh ch§t ìn ¡nh n¶n ph¦n tû x â
ph£i duy nh§t.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
ành ngh¾a
nh x¤ ng÷ñc
nh x¤ hñp
ph£i duy nh§t.
ành ngh¾a
Gi£ sû f : A ! B l song ¡nh. Khi â
tçn t¤i mët ¡nh x¤ B ! A, ¡nh x¤ n y
÷ñc gåi l ¡nh x¤ ng÷ñc cõa ¡nh x¤ f ,
kþ hi»u l f 1.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
ành ngh¾a
nh x¤ ng÷ñc
nh x¤ hñp
ph£i duy nh§t.
ành ngh¾a
kþ hi»u l f 1.
H¼nh: f 1 : B ! A

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
ành ngh¾a
nh x¤ ng÷ñc
nh x¤ hñp
ph£i duy nh§t.
ành ngh¾a
kþ hi»u l f 1.
H¼nh: f 1 : B ! A
Ta câ f 1 : B ! A ÷ñc x¡c ành bði x = f 1(y) công l song ¡nh.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
ành ngh¾a
nh x¤ ng÷ñc
nh x¤ hñp
V½ dö
nh x¤ f : R ! R x¡c ành bði f (x) = ax ; a 0; a6= 1 l ìn ¡nh.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
ành ngh¾a
nh x¤ ng÷ñc
nh x¤ hñp
V½ dö
nh x¤ f : R ! [1; 1] x¡c ành bði f (x) = sinx l to n ¡nh.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
ành ngh¾a
nh x¤ ng÷ñc
nh x¤ hñp
V½ dö
nh x¤ f : R ! R x¡c ành bði f (x) = x3 l song ¡nh.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
ành ngh¾a
nh x¤ ng÷ñc
nh x¤ hñp
V½ dö
Chó þ. º x¡c ành ¡nh x¤ f : A ! B câ l ìn ¡nh, to n ¡nh, song ¡nh
ta câ thº x²t ph÷ìng tr¼nh f (x) = y; y 2 B

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
ành ngh¾a
nh x¤ ng÷ñc
nh x¤ hñp
V½ dö
N¸u ph÷ìng tr¼nh câ khæng qu¡ mët nghi»m vîi måi y 2 B th¼ f l
ìn ¡nh.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
ành ngh¾a
nh x¤ ng÷ñc
nh x¤ hñp
V½ dö
ìn ¡nh.
N¸u ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m vîi måi y 2 B th¼ f l to n ¡nh.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
ành ngh¾a
nh x¤ ng÷ñc
nh x¤ hñp
V½ dö
ìn ¡nh.
N¸u ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m vîi måi y 2 B th¼ f l to n ¡nh.
N¸u ph÷ìng luæn câ duy nh§t mët nghi»m th¼ f l song ¡nh.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
ành ngh¾a
nh x¤ ng÷ñc
nh x¤ hñp
nh x¤ hñp
Gi£ sû f : A ! B v g : B ! C l hai ¡nh x¤ sao cho tªp x¡c ành
cõa g tròng vîi tªp hñp £nh cõa f . Khi â ta câ thº x¡c ành mët ¡nh x¤
mîi h : A ! C bði h(x) = g[f (x)], trong â f (x) 2 B l £nh cõa x 2 A
bði ¡nh x¤ f ; g[f (x)] 2 C l £nh cõa f (x) 2 B bði ¡nh x¤ g. nh x¤ h
÷ñc gåi l ¡nh x¤ hñp cõa ¡nh x¤ f v ¡nh x¤ g, kþ hi»u l g f . Vªy
h(x) = (g f )(x) = g[f (x)].

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
ành ngh¾a
nh x¤ ng÷ñc
nh x¤ hñp
nh x¤ hñp
Gi£ sû f : A ! B v g : B ! C l hai ¡nh x¤ sao cho tªp x¡c ành
cõa g tròng vîi tªp hñp £nh cõa f . Khi â ta câ thº x¡c ành mët ¡nh x¤
mîi h : A ! C bði h(x) = g[f (x)], trong â f (x) 2 B l £nh cõa x 2 A
bði ¡nh x¤ f ; g[f (x)] 2 C l £nh cõa f (x) 2 B bði ¡nh x¤ g. nh x¤ h
÷ñc gåi l ¡nh x¤ hñp cõa ¡nh x¤ f v ¡nh x¤ g, kþ hi»u l g f . Vªy
h(x) = (g f )(x) = g[f (x)].
V½ dö. Cho f : R ! R v g : R ! R ÷ñc x¡c ành bði f (x) = 2x + 1,
g(x) = x2.
Khi â
h(x) = (g f )(x) = g[f (x)] = [f (x)]2 = (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
ành ngh¾a tr÷íng
C¡c t½nh ch§t cõa tr÷íng sè thüc
Gi¡ trà tuy»t èi cõa mët sè thüc
Tªp sè thüc suy rëng
Ph²p to¡n hai ngæi
Cho mët tªp hñp E. Ta nâi r¬ng tr¶n E x¡c ành mët ph²p to¡n hai
ngæi hay mët luªt hñp th nh n¸u vîi méi c°p ph¦n tû (a; b) cõa E ta cho
t÷ìng ùng vîi mët ph¦n tû c 2 E. Kþ hi»u ph²p to¡n â bði d§u () v
ta vi¸t a b = c vîi a; b; c 2 E.
N¸u ph²p to¡n l ph²p cëng ta dòng d§u (+) nh÷ th÷íng l», n¸u l
ph²p nh¥n ta dòng d§u (x) hay d§u ()

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Tªp E ÷ñc gåi l mët tr÷íng hay câ c§u tróc tr÷íng n¸u tr¶n E x¡c
ành hai ph²p to¡n cëng (+) v nh¥n () tho£ m¢n c¡c t½nh ch§t:

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
1 Ph²p (+) v ph²p () câ c¡c t½nh ch§t giao ho¡n; 8a; b 2 E ta câ
a + b = b + a
a:b = b:a

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
a + b = b + a
a:b = b:a
2 Ph²p (+) v ph²p () câ c¡c t½nh ch§t k¸t hñp; 8a; b; c 2 E ta câ
(a + b) + c = a + (b + c)
(a:b):c = a:(b:c)

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
a + b = b + a
a:b = b:a
(a + b) + c = a + (b + c)
(a:b):c = a:(b:c)
3 Ph²p () ph¥n phèi vîi ph²p (+); 8a; b; c 2 E ta câ
(a + b):c = a:c + b:c
c:(a + b) = c:a + c:b

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
a + b = b + a
a:b = b:a
(a + b) + c = a + (b + c)
(a:b):c = a:(b:c)
(a + b):c = a:c + b:c
c:(a + b) = c:a + c:b
4 Ph²p (+) câ ph¦n tû trung ho kþ hi»u l 0; a + 0 = a; 8a 2 E
Ph²p () câ ph¦n tû ìn và kþ hi»u l 1; a:1 = a; 8a 2 E

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
a + b = b + a
a:b = b:a
(a + b) + c = a + (b + c)
(a:b):c = a:(b:c)
(a + b):c = a:c + b:c
c:(a + b) = c:a + c:b
4 Ph²p (+) câ ph¦n tû trung ho kþ hi»u l 0; a + 0 = a; 8a 2 E
Ph²p () câ ph¦n tû ìn và kþ hi»u l 1; a:1 = a; 8a 2 E
5 Måi ph¦n tû a 2 E ·u câ ph¦n tû èi, kþ hi»u l a: a + (a) = 0.
Måi ph¦n tû a 2 E; a6= 0 ·u câ ph¦n tû nghàch £o, kþ hi»u l a1
hay
1
a
: a:a1 = 1.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
V½ dö
Tªp hñp c¡c sè húu t Q, tùc l tªp c¡c sè câ d¤ng
m
n
sao cho
(m; n) = 1, l mët tr÷íng sè húu t (v¼ tho£ m¢n c¡c t½nh ch§t
tr¶n).

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
V½ dö
m
n
sao cho
tr¶n).
Tªp hñp c¡c sè nguy¶n Z khæng l mët tr÷íng (v¼ nghàch £o cõa
mët sè nguy¶n kh¡c khæng khæng ph£i l mët sè nguy¶n).

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
V½ dö
m
n
sao cho
tr¶n).
Tªp hñp c¡c sè nguy¶n Z khæng l mët tr÷íng (v¼ nghàch £o cõa
mët sè nguy¶n kh¡c khæng khæng ph£i l mët sè nguy¶n).
Tªp hñp sè thüc R vîi hai ph²p to¡n cëng (+) v nh¥n () thäa
m¢n c¡c t½nh ch§t tr¶n l mët tr÷íng sè thüc.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
T½nh ch§t
Vîi R+ l tªp hñp c¡c sè thüc d÷ìng, R l tªp hñp c¡c sè thüc
¥m. Khi â ta câ
R+ [ R [ f0g = R
R+ R = ;
Vîi hai sè thüc a; b b§t ký ta luæn câ a b (ho°c b a) hay
tr÷íng sè thüc R l mët tr÷íng sp thù tü to n ph¦n.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
T½nh ch§t
Vîi R+ l tªp hñp c¡c sè thüc d÷ìng, R l tªp hñp c¡c sè thüc
¥m. Khi â ta câ
R+ [ R [ f0g = R
R+ R = ;
Vîi hai sè thüc a; b b§t ký ta luæn câ a b (ho°c b a) hay
tr÷íng sè thüc R l mët tr÷íng sp thù tü to n ph¦n.
Tr÷íng sè thüc R l tr÷íng câ thù tü Acsimet; Vîi hai sè thüc
a; b; a 0 tuý þ bao gií công t¼m ÷ñc mët sè tü nhi¶n n sao cho
na b . Nâi c¡ch kh¡c, dò sè thüc d÷ìng a câ nhä i bao nhi¶u
ch«ng núa v dò sè thüc b câ lîn i bao nhi¶u ch«ng núa th¼ têng
cõa mët sè õ lîn a s³ v÷ñt qu¡ b.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Vîi måi x 2 R ta ành ngh¾a trà tuy»t èi cõa mët sè thüc

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Vîi måi x 2 R ta ành ngh¾a trà tuy»t èi cõa mët sè thüc
jxj =
(
x n¸u x 0
x n¸u x 0
Trà tuy»t èi cõa mët sè thüc câ c¡c t½nh ch§t sau:
1; jxj = 0 , x = 0
2; jxj = jxj
3; jx:yj = jxj jyj
4; jx + yj 6 jxj + jyj
5; jx yj jxj jyj

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Th¶m v o tªp sè thüc R hai ph¦n tû kh¡c nhau +1 v 1 (d÷ìng væ
còng v ¥m væ còng), khæng thuëc R v vîi måi sè thüc x 2 R °t:
1 x +1
x + (+1) = (+1) + x = +1
x + (1) = (1) + x = 1
Vîi x 0:
x: (+1) = (+1) :x = +1; x: (1) = (1) :x = 1
(+1) + (+1) = +1; (1) + (1) = 1
(+1) : (+1) = +1; (1) : (1) = +1
Tªp hñp sè thüc R còng vîi hai ph¦n tû +1;1 câ c¡c t½nh ch§t
tr¶n gåi l tªp hñp sè thüc suy rëng.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
ành ngh¾a v c¡c ph²p to¡n
D¤ng l÷ñng gi¡c cõa sè phùc
Lôy thøa sè phùc
Khai c«n sè phùc
B i tªp
Ta ¢ bi¸t r¬ng n¸u ch¿ h¤n ch¸ trong tr÷íng sè thüc th¼ câ nhúng
ph÷ìng tr¼nh væ nghi»m, ch¯ng h¤n ph÷ìng tr¼nh bªc hai x2 + 1 = 0.
V o th¸ k 17, ng÷íi ta ¢ ÷a ra ành ngh¾a sè £o: B¼nh ph÷ìng cõa sè
£o l mët sè ¥m v kþ hi»u l i , i 2 = 1.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Khai c«n sè phùc
B i tªp
ành ngh¾a sè phùc
+ Sè i sao cho i 2 = 1 ÷ñc gåi l ìn và £o .

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Khai c«n sè phùc
B i tªp
+ Cho a v b l hai sè thüc v i l ìn và £o, khi â z = a + bi hay
z = (a; b) ÷ñc gåi l sè phùc.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Khai c«n sè phùc
B i tªp
Sè thüc a ÷ñc gåi l ph¦n thüc,kþ hi»u l Re(z) v sè thüc b ÷ñc
gåi l ph¦n £o cõa sè phùc z, kþ hi»u l Im(z).

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Khai c«n sè phùc
B i tªp
Tªp hñp c¡c sè phùc kþ hi»u l C = f(a; b) : a 2 R; b 2 Rg. Vªy tªp
c¡c sè thüc R l tªp con cõa tªp sè phùc C.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Khai c«n sè phùc
B i tªp
Tªp hñp c¡c sè phùc kþ hi»u l C = f(a; b) : a 2 R; b 2 Rg. Vªy tªp
c¡c sè thüc R l tªp con cõa tªp sè phùc C.
Sè phùc câ d¤ng 0 + bi vîi b6= 0 ÷ñc gåi l sè thu¦n £o. Sè phùc
z = a + bi hay z = (a; b) ÷ñc gåi l d¤ng ¤i sè cõa sè phùc z.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Khai c«n sè phùc
B i tªp
C¡c ph²p to¡n
Hai sè phùc ÷ñc gåi l b¬ng nhau n¸u chóng câ ph¦n thüc v ph¦n
£o t÷ìng ùng b¬ng nhau. Nâi c¡ch kh¡c, hai sè phùc z1 = a1 + ib1
v z2 = a2 + ib2 b¬ng nhau khi v ch¿ khi a1 = a2 v b1 = b2.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Khai c«n sè phùc
B i tªp
C¡c ph²p to¡n
Sè phùc z = a bi ÷ñc gåi l sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc
z = a + bi .

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Khai c«n sè phùc
B i tªp
C¡c ph²p to¡n
Sè phùc z = a bi ÷ñc gåi l sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc
z = a + bi .
Cho hai sè phùc z1 = a1 + b1i ; z2 = a2 + b2i
Ph²p cëng: z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i
Ph²p trø: z1 z2 = (a1 a2) + (b1 b2)i
Ph²p nh¥n:
z1:z2 = (a1 + b1i ):(a2 + b2i ) = (a1:a2 b1:b2) + (a1:b2 + a2:b1)i
Ph²p chia:
z1
z2
=
a1 + b1i
a2 + b2i
=
(a1 + b1i ) (a2 b2i )
(a2 + b2i ) (a2 b2i )
=
a1a2 + b1b2 (a1b2 a2b1) i
a2
2 + b2
2
(vîi z26= 0).

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Khai c«n sè phùc
B i tªp
C¡c ph²p to¡n
Khi cëng (trø ) hai sè phùc, ta cëng (trø ) ph¦n thüc v ph¦n £o
t÷ìng ùng.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Khai c«n sè phùc
B i tªp
C¡c ph²p to¡n
t÷ìng ùng.
Nh¥n hai sè phùc, ta thüc hi»n gièng nh÷ nh¥n hai biºu thùc ¤i sè
vîi chó þ i 2 = 1.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Khai c«n sè phùc
B i tªp
C¡c ph²p to¡n
t÷ìng ùng.
Muèn chia sè phùc z1 cho z2 (gi£ sû z26= 0), ta nh¥n tû v m¨u
cho sè phùc li¶n hñp cõa m¨u.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Khai c«n sè phùc
B i tªp
C¡c ph²p to¡n
t÷ìng ùng.
Muèn chia sè phùc z1 cho z2 (gi£ sû z26= 0), ta nh¥n tû v m¨u
cho sè phùc li¶n hñp cõa m¨u.
Câ thº kiºm chùng r¬ng c¡c ph²p to¡n cëng v nh¥n tr¶n câ c¡c
t½nh ch§t giao ho¡n, k¸t hñp, ph²p nh¥n câ t½nh ch§t ph¥n phèi èi
vîi ph²p cëng, ph¦n tû trung ho cõa ph²p cëng l sè phùc (0; 0),
cõa ph²p nh¥n l sè phùc (1; 0); ph¦n tû èi cõa sè phùc z = (a; b)
l (
a;b), ph¦n tû nghà
ch £o (i·u ki»n z6= 0) l sè phùc
1
a
b
=
;
. Vªy, tªp hñp sè phùc câ c§u tróc
z
a2 + b2 a2 + b2
tr÷íng v gåi l tr÷íng sè phùc.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Khai c«n sè phùc
B i tªp
V½ dö
T½nh (3 + 5i )(4 i );
3 i
4 + 5i
;
(1 + 2i )2 (1 i )3
(3 + 2i )3 (2 + i )2 ?

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Khai c«n sè phùc
B i tªp
V½ dö
T½nh (3 + 5i )(4 i );
3 i
4 + 5i
;
(1 + 2i )2 (1 i )3
(3 + 2i )3 (2 + i )2 ?
T¼m c¡c sè thüc x; y sao cho:
(1 2i ) x + (4i 3) y = 1 3i ; (2 3i ) x + (1 + 3i ) y = x + 5yi

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Khai c«n sè phùc
B i tªp
V½ dö
T½nh (3 + 5i )(4 i );
3 i
4 + 5i
;
(1 + 2i )2 (1 i )3
(3 + 2i )3 (2 + i )2 ?
T¼m c¡c sè thüc x; y sao cho:
(1 2i ) x + (4i 3) y = 1 3i ; (2 3i ) x + (1 + 3i ) y = x + 5yi
Gi£i ph÷ìng tr¼nh x2 2x + 4 = 0

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Khai c«n sè phùc
B i tªp
Måi sè phùc z = a + bi ·u câ
thº biºu di¹n tr¶n m°t ph¯ng Oxy
d÷îi d¤ng iºm M(a; b) vîi
ho nh ë a, tung ë b v ng÷ñc
l¤i måi iºm M(a; b) cõa m°t
ph¯ng Oxy ·u câ thº xem nh÷
£nh cõa sè phùc a + bi . V²c tì
!
OM l biºu di¹n h¼nh håc cõa sè
phùc z = a + bi .

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Khai c«n sè phùc
B i tªp
Måi sè phùc z = a + bi ·u câ
thº biºu di¹n tr¶n m°t ph¯ng Oxy
d÷îi d¤ng iºm M(a; b) vîi
ho nh ë a, tung ë b v ng÷ñc
l¤i måi iºm M(a; b) cõa m°t
ph¯ng Oxy ·u câ thº xem nh÷
£nh cõa sè phùc a + bi . V²c tì
!
OM l biºu di¹n h¼nh håc cõa sè
phùc z = a + bi .
ë d i cõa v²ctì
!
OM ÷ñc gåi l moun cõa sè phùc z, kþ hi»u l
r =

= jzj =
p
a2 + b2

= jzj =
p
a2 + b2
Gâc ' l gâc giúa v²ctì
!
OM vîi tröc Ox ÷ñc gåi l argumen cõa sè
phùc z, kþ hi»u l ' = Argz

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Khai c«n sè phùc
B i tªp
C¡ch t½nh argumen: 8
:
cos ' =
a
r
=
a
p
a2 + b2
sin ' =
b
r
=
b
p
a2 + b2
ho°c tg' =
b
a
Khi â ta câ thº vi¸t sè phùc z = a + bi d÷îi d¤ng l÷ñng gi¡c:
z = r (cos' + isin')

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Khai c«n sè phùc
B i tªp
:
cos ' =
a
r
=
a
p
a2 + b2
sin ' =
b
r
=
b
p
a2 + b2
ho°c tg' =
b
a
V½ dö. Vi¸t c¡c sè phùc (1; 0); i ; 1 + i d÷îi d¤ng l÷ñng gi¡c.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Khai c«n sè phùc
B i tªp
:
cos ' =
a
r
=
a
p
a2 + b2
sin ' =
b
r
=
b
p
a2 + b2
ho°c tg' =
b
a
Sè phùc (1; 0), ta câ a = 1; b = 0 ) r = 1; tg' = 0 ) ' = 0
Vªy (1; 0) = cos0 + isin0.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Khai c«n sè phùc
B i tªp
:
cos ' =
a
r
=
a
p
a2 + b2
sin ' =
b
r
=
b
p
a2 + b2
ho°c tg' =
b
a
Vªy (1; 0) = cos0 + isin0.
Sè phùc i , ta câ a = 0; b = 1 ) r = 1; tg' = 1 ) ' =

2
Vªy i = cos

2
+ isin

2
.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Khai c«n sè phùc
B i tªp
:
cos ' =
a
r
=
a
p
a2 + b2
sin ' =
b
r
=
b
p
a2 + b2
ho°c tg' =
b
a
Vªy (1; 0) = cos0 + isin0.
Sè phùc i , ta câ a = 0; b = 1 ) r = 1; tg' = 1 ) ' =

2
Vªy i = cos

2
+ isin

2
.
Sè phùc 1 + i , ta câ a = 1; b = 1 ) r =
p
2; tg' = 1 ) ' =

4
Vªy 1 + i =
p
2(cos

4
+ isin

4
).

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Khai c«n sè phùc
B i tªp
Lôy thøa cõa sè phùc
Cho c¡c sè phùc z1 = r1(cos'1 + isin'1); z2 = r2(cos'2 + isin'2).
Khi â ta câ.

Mð ¦u
Tªp hñp
nh x¤
Tªp hñp sè thüc
Sè phùc
Khai c«n sè phùc
B i tªp
Lôy thøa cõa sè phùc
Cho c¡c sè phùc z1 = r1(cos'1 + isin'1); z2 = r2(cos'2 + isin'2).
Khi â ta câ.
1; z1z2 = r1r2 (cos('1 + '2) + isin('1 + '2))

Toan 1 - Chuong1

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (7)

Similar to Toan 1 - Chuong1

Similar to Toan 1 - Chuong1 (20)

More from ICTU

More from ICTU (16)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Toan 1 - Chuong1