Bài giảng toán 1 - Chương 3

1. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
B i gi£ng: TON CAO C‡P 1
Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N TNH
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng
Ng y 12 th¡ng 10 n«m 2010
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

2. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
Ch÷ìng III: H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
3.1 ành ngh¾a .
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

3. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
Ch÷ìng III: H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
3.1 ành ngh¾a .
3.2 H» Crame .
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

4. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
Ch÷ìng III: H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
3.1 ành ngh¾a .
3.2 H» Crame .
3.3 H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t .
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

5. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
Ch÷ìng III: H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
3.1 ành ngh¾a .
3.2 H» Crame .
3.3 H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t .
3.2 H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

6. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành ngh¾a
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh l h» m ph÷ìng tr¼nh n ©n câ d¤ng
8
:
a11x1 + a12x2 + ::: + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ::: + a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + ::: + amnxn = bn
(1)
trong â c¡c sè thüc ai :j ; i = 1; :::;m; j = 1; :::; n l c¡c h» sè cõa n
©n xi ; i = 1; :::; n, c¡c sè bi ; i = 1; :::; n l c¡c sè h¤ng tü do.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

7. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành ngh¾a
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh l h» m ph÷ìng tr¼nh n ©n câ d¤ng
8
:
a11x1 + a12x2 + ::: + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ::: + a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + ::: + amnxn = bn
(1)
trong â c¡c sè thüc ai :j ; i = 1; :::;m; j = 1; :::; n l c¡c h» sè cõa n
©n xi ; i = 1; :::; n, c¡c sè bi ; i = 1; :::; n l c¡c sè h¤ng tü do.
Nghi»m cõa h» (1) l mët bë n sè thüc (x1; x2; :::; xn) tho£ m¢n
måi ph÷ìng tr¼nh cõa h».
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

8. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành ngh¾a
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh l h» m ph÷ìng tr¼nh n ©n câ d¤ng
8
:
a11x1 + a12x2 + ::: + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ::: + a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + ::: + amnxn = bn
(1)
trong â c¡c sè thüc ai :j ; i = 1; :::;m; j = 1; :::; n l c¡c h» sè cõa n
©n xi ; i = 1; :::; n, c¡c sè bi ; i = 1; :::; n l c¡c sè h¤ng tü do.
Nghi»m cõa h» (1) l mët bë n sè thüc (x1; x2; :::; xn) tho£ m¢n
måi ph÷ìng tr¼nh cõa h».
H» (1) ÷ñc gåi l t÷ìng th½ch n¸u nâ câ ½t nh§t mët nghi»m.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

9. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
Mët sè kh¡i ni»m
H» (1) câ thº vi¸t d÷îi d¤ng ma trªn AX = B trong â
A =
0
BBB@
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
...
.... . .
...
am1 am2 amn
1
CCCA
; X =
0
BBBB@
x1
x2
...
xn
1
CCCCA
; B =
0
BBBB@
b1
b2
...
bn
1
CCCCA
A ÷ñc gåi l ma trªn c¡c h» sè cõa h» ph÷ìng tr¼nh, h¤ng cõa ma
trªn A (r (A)) ÷ñc gåi l h¤ng cõa h» ph÷ìng tr¼nh (1).
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

10. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành ngh¾a
Quy t­c Cramer
ành ngh¾a
X²t mët h» n ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh n ©n:
8
:
a11x1 + a12x2 + ::: + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ::: + a2nxn = b2
...
an1x1 + an2x2 + ::: + annx = bn
(2)
Trong â c¡c sè thüc ai :j ; i ; j = 1; :::; n l c¡c h» sè cõa n ©n
xi ; i = 1; :::; n, c¡c sè bi ; i = 1; :::; n l c¡c sè h¤ng tü do.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

11. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành ngh¾a
Quy t­c Cramer
ành ngh¾a
X²t mët h» n ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh n ©n:
8
:
a11x1 + a12x2 + ::: + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ::: + a2nxn = b2
...
an1x1 + an2x2 + ::: + annx = bn
(2)
Trong â c¡c sè thüc ai :j ; i ; j = 1; :::; n l c¡c h» sè cõa n ©n
xi ; i = 1; :::; n, c¡c sè bi ; i = 1; :::; n l c¡c sè h¤ng tü do.
H» (2) ÷ñc gåi l h» Cramer n¸u ành thùc c¡c h» sè cõa ©n kh¡c
khæng;
D = det (A) =

19. a11 a12 ::: a1n
a21 a22 ::: a2n
::: ::: ::: :::
an1 an2 ::: ann

27. 6= 0
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

28. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành ngh¾a
Quy t­c Cramer
ành lþ
H» ph÷ìng tr¼nh (2) câ nghi»m duy nh§t (x1; x2; :::; xn) ÷ñc x¡c ành
nh÷ sau:
xj =
Dj
D
; j = 1; 2; :::; n
trong â D l ành thùc cõa ma trªn c¡c h» sè cõa ©n v Dj l ành thùc
nhªn ÷ñc tø D b¬ng c¡ch thay cët thù j b¬ng cët h» sè tü do; tùc l
thay cët Aj bði cët B;
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

29. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành ngh¾a
Quy t­c Cramer
ành lþ
H» ph÷ìng tr¼nh (2) câ nghi»m duy nh§t (x1; x2; :::; xn) ÷ñc x¡c ành
nh÷ sau:
xj =
Dj
D
; j = 1; 2; :::; n
trong â D l ành thùc cõa ma trªn c¡c h» sè cõa ©n v Dj l ành thùc
nhªn ÷ñc tø D b¬ng c¡ch thay cët thù j b¬ng cët h» sè tü do; tùc l
thay cët Aj bði cët B;
Dj =

38. a11 a1j1 b1 a1j+1 a1n
a21 a2j1 b2 a2j+1 a2n
...
...
...
...
. . .
...
an1 anj1 bn anj+1 ann

47. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

48. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành ngh¾a
Quy t­c Cramer
Chùng minh ành lþ (Quy t­c Cramer) I
Vi¸t ph÷ìng tr¼nh (2) d÷îi d¤ng ma trªn AX = B. Do detA6= 0 n¶n
A câ ma trªn nghàch £o A1. Nh¥n A1 v o hai v¸ cõa ph÷ìng tr¼nh
tr¶n ta ÷ñc X = A1B. Vªy h» câ nghi»m duy nh§t l (x1; x2; :::; xn) .
Thay bi = ai1x1 + ai2x2 + ::: + ainxn ta ֖c
Dj =

57. a11 a1j1 a11x1 + a12x2 + ::: + a1nxn a1j+1 a1n
a21 a2j1 a21x1 + a22x2 + ::: + a2nxn a2j+1 a2n
...
...
...
...
. . .
...
an1 anj1 an1x1 + an2x2 + ::: + annxn anj+1 ann

66. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

67. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành ngh¾a
Quy t­c Cramer
Chùng minh ành lþ (Quy t­c Cramer) II
Do t½nh ch§t cõa ành thùc n¶n ta câ
Dj = x1

76. a11 a1j1 a11 a1j+1 a1n
a21 a2j1 a21 a2j+1 a2n
...
...
...
...
. . .
...
an1 anj1 an1 anj+1 ann

85. +
+::: + xj

94. a11 a1j1 a1j a1j+1 a1n
a21 a2j1 a2j a2j+1 a2n
...
...
...
...
. . .
...
an1 anj1 anj anj+1 ann

103. +::: + xn

112. a11 a1j1 a1n a1j+1 a1n
a21 a2j1 a2n a2j+1 a2n
...
...
...
...
. . .
...
an1 anj1 ann anj+1 ann

121. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

122. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành ngh¾a
Quy t­c Cramer
Chùng minh ành lþ (Quy t­c Cramer) III
ành thùc thù j ð v¸ ph£i b¬ng D cán c¡c ành thùc kh¡c b¬ng 0 n¶n ta
câ Dj = xjD. Vªy xj =
Dj
D
; j = 1; 2; :::; n
Chó þ. èi vîi h» Cramer câ hai c¡ch gi£i:
C¡ch 1: Sû döng ma trªn nghàch £o.
C¡ch 2: Sû döng cæng thùc Cramer.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

123. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành ngh¾a
Quy t­c Cramer
V½ dö
Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh
8
:
x1 + x2 + x3 = 6
2x1 x2 + x3 = 3
x1 x2 + 2x3 = 5
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

124. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành ngh¾a
Quy t­c Cramer
V½ dö
Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh
8
:
x1 + x2 + x3 = 6
2x1 x2 + x3 = 3
x1 x2 + 2x3 = 5
Ta câ D =

130. 1 1 1
2 1 1
1 1 2

136. = 56= 0 do â h» ph÷ìng tr¼nh l h»
Cramer.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

137. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành ngh¾a
Quy t­c Cramer
V½ dö
Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh
8
:
x1 + x2 + x3 = 6
2x1 x2 + x3 = 3
x1 x2 + 2x3 = 5
Ta câ D =

143. 1 1 1
2 1 1
1 1 2

149. = 56= 0 do â h» ph÷ìng tr¼nh l h»
Cramer.
p döng quy t­c Cramer ta ÷ñc
D1 =

155. 6 1 1
3 1 1
5 1 2

161. = 5;D2 =

167. 1 6 1
2 3 1
1 5 2

173. = 10;D3 =

179. 1 1 6
2 1 3
1 1 5

185. = 15
Vªy h» câ nghi»m duy nh§t x1 =
D1
D
= 1; x2 =
D2
D
= 2; x3 =
D3
D
= 3
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

186. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành lþ Kronecker-Capelli (i·u ki»n câ nghi»m (t÷ìng th½ch))
Ph÷ìng ph¡p Gauss (khû d¦n ©n sè)
V½ dö.
ành lþ Kronecker-Capelli
H» (1) l câ nghi»m (hay t÷ìng th½ch) khi v ch¿ khi h¤ng cõa ma trªn
r (A) b¬ng h¤ng cõa ma trªn mð rëng A ,
trong â A =
0
BB@
a11 a12 ::: a1n b1
a21 a22 ::: a2n b2
::: ::: ::: ::: :::
am1 am2 ::: amn bm
1
CCA
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

187. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành lþ Kronecker-Capelli (i·u ki»n câ nghi»m (t÷ìng th½ch))
Ph÷ìng ph¡p Gauss (khû d¦n ©n sè)
V½ dö.
ành lþ Kronecker-Capelli
H» (1) l câ nghi»m (hay t÷ìng th½ch) khi v ch¿ khi h¤ng cõa ma trªn
r (A) b¬ng h¤ng cõa ma trªn mð rëng A ,
trong â A =
0
BB@
a11 a12 ::: a1n b1
a21 a22 ::: a2n b2
::: ::: ::: ::: :::
am1 am2 ::: amn bm
1
CCA
Thªt vªy, gi£ sû h» (1) l t÷ìng th½ch, tùc l tçn t¤i nghi»m
(x1; x2; :::; xn) º B = x1A1 + x2A2 + ::: + xnAn
Ta th§y r¬ng cët cuèi còng cõa ma trªn A khi â l tê hñp tuy¸n
t½nh cõa c¡c cët cán l¤i, do â khi bä cët â i th¼ h¤ng cõa ma trªn
khæng thay êi, nh÷ng khi â ma trªn cán lai ch½nh l ma trªn A, vªy
h¤ng cõa A b¬ng h¤ng cõa A.
£o l¤i, n¸u r (A) = r
A
= r th¼ trong A s³ chùa ½t nh§t mët ành
thùc c§p r kh¡c khæng. B¬ng c¡ch êi ché c¡c h ng v c¡c cët cõa A
(khæng l m thay êi h¤ng cõa nâ) ta câ thº gi£ thi¸t r¬ng ành thùc kh¡c
khæng â n¬m ð và tr½ r h ng ¦u v r cët ¦u. Khi â r v²c tì cët
A1; A2; :::; Ar l ëc lªp tuy¸n t½nh v ta coi chóng l c¡c v²c tì cì sð.
V¼ r (A) = r n¶n c¡c v²c tì cët B l tê hñp tuy¸n t½nh cõa A1; A2; :::; A m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

188. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành lþ Kronecker-Capelli (i·u ki»n câ nghi»m (t÷ìng th½ch))
Ph÷ìng ph¡p Gauss (khû d¦n ©n sè)
V½ dö.
Chó þ.
Tø ành lþ Kronecker-Capelli ta câ c¡c k¸t qu£ sau:
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

189. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành lþ Kronecker-Capelli (i·u ki»n câ nghi»m (t÷ìng th½ch))
Ph÷ìng ph¡p Gauss (khû d¦n ©n sè)
V½ dö.
Chó þ.
Tø ành lþ Kronecker-Capelli ta câ c¡c k¸t qu£ sau:
+ N¸u r (A) r
A
th¼ h» væ nghi»m.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

190. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành lþ Kronecker-Capelli (i·u ki»n câ nghi»m (t÷ìng th½ch))
Ph÷ìng ph¡p Gauss (khû d¦n ©n sè)
V½ dö.
Chó þ.
Tø ành lþ Kronecker-Capelli ta câ c¡c k¸t qu£ sau:
+ N¸u r (A) r
A
th¼ h» væ nghi»m.
+ N¸u r (A) = r
A
= n (sè ©n) th¼ h» câ nghi»m duy nh§t.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

191. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành lþ Kronecker-Capelli (i·u ki»n câ nghi»m (t÷ìng th½ch))
Ph÷ìng ph¡p Gauss (khû d¦n ©n sè)
V½ dö.
Chó þ.
Tø ành lþ Kronecker-Capelli ta câ c¡c k¸t qu£ sau:
+ N¸u r (A) r
A
th¼ h» væ nghi»m.
+ N¸u r (A) = r
A
= n (sè ©n) th¼ h» câ nghi»m duy nh§t.
+ N¸u r (A) = r
A
= r n th¼ h» væ sè nghi»m (phö thuëc v
n r tham sè).
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

192. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành lþ Kronecker-Capelli (i·u ki»n câ nghi»m (t÷ìng th½ch))
Ph÷ìng ph¡p Gauss (khû d¦n ©n sè)
V½ dö.
Ph÷ìng ph¡p Gauss
Thüc hi»n c¡c ph²p bi¸n êi sì c§p sau l¶n ph÷ìng tr¼nh cõa h» ta ÷ñc
mët h» mîi t÷ìng ÷ìng:
êi ché hai ph÷ìng tr¼nh.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

193. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành lþ Kronecker-Capelli (i·u ki»n câ nghi»m (t÷ìng th½ch))
Ph÷ìng ph¡p Gauss (khû d¦n ©n sè)
V½ dö.
Ph÷ìng ph¡p Gauss
Thüc hi»n c¡c ph²p bi¸n êi sì c§p sau l¶n ph÷ìng tr¼nh cõa h» ta ÷ñc
mët h» mîi t÷ìng ÷ìng:
êi ché hai ph÷ìng tr¼nh.
Nh¥n, chia mët sè kh¡c 0 v o 2 v¸ cõa mët ph÷ìng tr¼nh.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

194. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành lþ Kronecker-Capelli (i·u ki»n câ nghi»m (t÷ìng th½ch))
Ph÷ìng ph¡p Gauss (khû d¦n ©n sè)
V½ dö.
Ph÷ìng ph¡p Gauss
Thüc hi»n c¡c ph²p bi¸n êi sì c§p sau l¶n ph÷ìng tr¼nh cõa h» ta ÷ñc
mët h» mîi t÷ìng ÷ìng:
êi ché hai ph÷ìng tr¼nh.
Nh¥n, chia mët sè kh¡c 0 v o 2 v¸ cõa mët ph÷ìng tr¼nh.
Cëng v o mët ph÷ìng tr¼nh tê hñp tuy¸n t½nh cõa mët ph÷ìng tr¼nh
kh¡c.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

195. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành lþ Kronecker-Capelli (i·u ki»n câ nghi»m (t÷ìng th½ch))
Ph÷ìng ph¡p Gauss (khû d¦n ©n sè)
V½ dö.
C¡c ph²p bi¸n êi t÷ìng ÷ìng tr¶n ch½nh l c¡c ph²p bi¸n êi sì
c§p theo h ng, bi¸n êi ma trªn mð rëng A cõa h» ph÷ìng tr¼nh (1)
th nh ma trªn bªc thang
0
BBBBBBBBBBBB@
a0
11 a0
12 a01
n
0 a0
22 an
. . . .
. .
02
...
...
...
0 a0
rr a0
rn
...
0 0
...
. . .
...
0 0 0 0

213. b01
b02
...
b0
r
b0
r+1
...
b0m
1
CCCCCCCCCCA
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

214. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành lþ Kronecker-Capelli (i·u ki»n câ nghi»m (t÷ìng th½ch))
Ph÷ìng ph¡p Gauss (khû d¦n ©n sè)
V½ dö.
C¡c ph²p bi¸n êi t÷ìng ÷ìng tr¶n ch½nh l c¡c ph²p bi¸n êi sì
c§p theo h ng, bi¸n êi ma trªn mð rëng A cõa h» ph÷ìng tr¼nh (1)
th nh ma trªn bªc thang
0
BBBBBBBBBBBB@
a0
11 a0
12 a01
n
0 a0
22 an
. . . .
. .
02
...
...
...
0 a0
rr a0
rn
...
0 0
...
. . .
...
0 0 0 0

232. b01
b02
...
b0
r
b0
r+1
...
b0m
1
CCCCCCCCCCA
N¸u 9i r º b0
i6= 0 th¼ h» væ nghi»m. N¸u b0
i = 0; 8i r , tø r
dáng ¦u ti¶n cõa ma trªn tr¶n ta luæn ÷ñc mët ành con d¤ng
ch²o c§p r kh¡c 0. Khæng m§t t½nh têng qu¡t ta gi£ sû
a11; 0
:::; arr6= 0
0 th¼ h» (1) t÷ìng ÷ìng vîi h» sau:
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

233. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành lþ Kronecker-Capelli (i·u ki»n câ nghi»m (t÷ìng th½ch))
Ph÷ìng ph¡p Gauss (khû d¦n ©n sè)
V½ dö.
8
:
a0
11x1 + a0
12x2 + ::: + a01
r xr + ::: + a01
nxn = b01
a0
22x2 + ::: + a02
r xr + ::: + a02
nxn = b02
. . .
a0
rr xr + ::: + a0
rnxn = b0
r
º gi£i h» n y ta chuyºn ta chuyºn c¡c sè h¤ng chùa c¡c xi vîi i r
qua v¸ ph£i (c¡c ©n n y ÷ñc gåi l c¡c ©n tü do). Tø ph÷ìng tr¼nh cuèi,
t½nh ÷ñc xr (qua c¡c ©n tü do). Thay xr v o ph÷ìng tr¼nh thù r 1 ta
t½nh ÷ñc xr1. Ti¸p töc qu¡ tr¼nh â ta t½nh ÷ñc xr2; :::; x2; x1.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

234. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành lþ Kronecker-Capelli (i·u ki»n câ nghi»m (t÷ìng th½ch))
Ph÷ìng ph¡p Gauss (khû d¦n ©n sè)
V½ dö.
Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh sau:
8
:
x1 x2 x3 3x4 + x5 = 1
x1 + x2 5x3 x4 + 7x5 = 2
x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 + x5 = 0
2x1 + 5x2 4x3 + 9x4 + 7x5 = a
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

235. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành lþ Kronecker-Capelli (i·u ki»n câ nghi»m (t÷ìng th½ch))
Ph÷ìng ph¡p Gauss (khû d¦n ©n sè)
V½ dö.
Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh sau:
8
:
x1 x2 x3 3x4 + x5 = 1
x1 + x2 5x3 x4 + 7x5 = 2
x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 + x5 = 0
2x1 + 5x2 4x3 + 9x4 + 7x5 = a
Ta câ ma trªn mð rëng cõa h» ph÷ìng tr¼nh l
0
BB@
1 1 1 3 1
1 1 5 1 7
1 2 2 2 1
2 5 4 9 7

243. 1
2
0
a
1
CCA
!
h2h1
h3+h1
h4+2h1
0
BB@
1 1 1 3 1
0 2 4 2 6
0 1 1 1 2
0 3 6 3 9

251. 1
1
1
a + 2
1
CCA
Ti¸p töc bi¸n êi 2h3 h2; 1
3h4 h3 ta ֖c
0
BB@
1 1 1 3 1
0 2 4 2 6
0 0 6 4 2
0 0 3 2 1

259. 1
1
1
a
3 1
3
1
CCA
!
0
BB@
1 1 1 3 1
0 2 4 2 6
0 0 6 4 2
0 0 0 0 0

267. 1
1
1
2a
3 + 1
3
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

268. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành lþ Kronecker-Capelli (i·u ki»n câ nghi»m (t÷ìng th½ch))
Ph÷ìng ph¡p Gauss (khû d¦n ©n sè)
V½ dö.
Vªy ta câ
+ N¸u a6= 1
2 th¼ h» ph÷ìng tr¼nh væ nghi»m
+ N¸u a = 1
2 ta câ h»
8
:
x1 x2 x3 3x4 + x5 = 1
x2 2x3 + x4 + 3x5 = 1
2
3x3 2x4 x5 = 1
2
Suy ra 8
:
x3 =
1
6
+
2
3
x4 +
1
3
x5
x2 =
5
6
+
1
3
x4
7
3
x5
x1 = 2 + 4x4 3x5
x4; x5 tòy þ.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

269. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành ngh¾a
i·u ki»n º h» câ nghi»m kh¡c nghi»m t¦m th÷íng
V½ dö
B i tªp
ành ngh¾a
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t l h» ph÷ìng tr¼nh câ d¤ng
(1), trong â c¡c h» sè tü do b1 = b2 = ::: = bn = 0 hay câ d¤ng
Xn
i=1
aij xj = 0; i = 1; 2; :::;m (3)
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

270. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành ngh¾a
i·u ki»n º h» câ nghi»m kh¡c nghi»m t¦m th÷íng
V½ dö
B i tªp
ành ngh¾a
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t l h» ph÷ìng tr¼nh câ d¤ng
(1), trong â c¡c h» sè tü do b1 = b2 = ::: = bn = 0 hay câ d¤ng
Xn
i=1
aij xj = 0; i = 1; 2; :::;m (3)
Do ma trªn mð rëng chùa mët cët gçm to n ph¦n tû khæng n¶n
h¤ng cõa nâ luæn b¬ng h¤ng cõa ma trªn A. Vªy h» (3) l t÷ìng th½ch.
Ta th§y h» (3) luæn câ mët nghi»m l x1 = 0; x2 = 0; :::; xn = 0 v ÷ñc
gåi l nghi»m t¦m th÷íng.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

271. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành ngh¾a
i·u ki»n º h» câ nghi»m kh¡c nghi»m t¦m th÷íng
V½ dö
B i tªp
i·u ki»n º h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n thu¦n nh§t câ nghi»m kh¡c nghi»m
t¦m th÷íng
X²t h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t câ sè ph÷ìng tr¼nh b¬ng
sè ©n tùc l n = m. Khi â, n¸u detA6= 0, nâ l h» Cramer. Nghi»m duy
nh§t cõa nâ l nghi»m t¦m th÷íng.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

272. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành ngh¾a
i·u ki»n º h» câ nghi»m kh¡c nghi»m t¦m th÷íng
V½ dö
B i tªp
i·u ki»n º h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n thu¦n nh§t câ nghi»m kh¡c nghi»m
t¦m th÷íng
X²t h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t câ sè ph÷ìng tr¼nh b¬ng
sè ©n tùc l n = m. Khi â, n¸u detA6= 0, nâ l h» Cramer. Nghi»m duy
nh§t cõa nâ l nghi»m t¦m th÷íng.
Nh÷ vªy, º h» thu¦n nh§t câ nghi»m kh¡c nghi»m t¦m th÷íng th¼
ành thùc c¡c h» sè cõa ©n ph£i b¬ng khæng: detA = 0.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

273. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành ngh¾a
i·u ki»n º h» câ nghi»m kh¡c nghi»m t¦m th÷íng
V½ dö
B i tªp
i·u ki»n º h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n thu¦n nh§t câ nghi»m kh¡c nghi»m
t¦m th÷íng
X²t h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t câ sè ph÷ìng tr¼nh b¬ng
sè ©n tùc l n = m. Khi â, n¸u detA6= 0, nâ l h» Cramer. Nghi»m duy
nh§t cõa nâ l nghi»m t¦m th÷íng.
Nh÷ vªy, º h» thu¦n nh§t câ nghi»m kh¡c nghi»m t¦m th÷íng th¼
ành thùc c¡c h» sè cõa ©n ph£i b¬ng khæng: detA = 0.
Khi â h¤ng cõa ma trªn r (A) = r n v gi£i h» vîi r ©n.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

274. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành ngh¾a
i·u ki»n º h» câ nghi»m kh¡c nghi»m t¦m th÷íng
V½ dö
B i tªp
T¼m nghi»m kh¡c khæng cõa h» ph÷ìng tr¼nh
8
:
2x + y z = 0
x + 2y + z = 0
3x + y 2z = 0
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

275. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành ngh¾a
i·u ki»n º h» câ nghi»m kh¡c nghi»m t¦m th÷íng
V½ dö
B i tªp
T¼m nghi»m kh¡c khæng cõa h» ph÷ìng tr¼nh
8
:
2x + y z = 0
x + 2y + z = 0
3x + y 2z = 0
Ta câ det(A) = 0 v

279. 2 1
1 2

283. = 3 n¶n h» câ h¤ng 2. Ta chån x v y l m
©n cì sð v cho z = tuý þ ta ÷ñc: x = ; y = ; z = vîi tòy þ.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

284. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành ngh¾a
i·u ki»n º h» câ nghi»m kh¡c nghi»m t¦m th÷íng
V½ dö
B i tªp
B i tªp I
B i 1: Gi£i c¡c h» ph÷ìng tr¼nh sau:
a,
8
:
3x + 2y + 4z = 1
2x y + z = 0
x + 2y + 3z = 1
b,
8 :
2x y z t = 1
x 2y + z + t = 2
x + y 2z + t = 4
x + y + z 2t = 8
c,
8
:
2x y + 3z = 1
4x + 2y + z = 3
2x + y + 4z = 4
10x 5y 6z = 10
, d,
8
:
2x1 x2 + 2x4 6x5 = 0
x2 + x3 3x4 + 2x5 = 0
6x1 3x2 + 7x4 10x5 = 0
2x1 + x3 + x4 + 12x5 = 0
e,
8
:
x2 + x3 3x4 + 2x5 = 6
2x1 x2 + 2x4 6x5 = 4
6x1 3x2 + 7x4 10x5 = 8
2x1 + x3 + x4 + 12x5 = 15
B i 2: Gi£i v bi»n luªn c¡c h» ph÷ìng tr¼nh sau
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

285. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành ngh¾a
i·u ki»n º h» câ nghi»m kh¡c nghi»m t¦m th÷íng
V½ dö
B i tªp
B i tªp II
a,
8
:
2x1 + x2 + x3 + x4 = 1
x1 + 2x2 x3 + 4x4 = 2
x1 + 7x2 4x3 + 11x4 = m
4x1 + 8x2 4x3 + 16x4 = m + 1
b,
8
:
2x1 x2 + x3 2x4 + 3x5 = 3
x1 + x2 x3 x4 + x5 = 1
3x1 + x2 + x3 3x4 + 4x5 = 6
5x1 + 2x3 5x4 + 7x5 = 9 m
c,
8
:
mx1 + x2 + x3 = 1
x1 + mx2 + x3 = 1
x1 + x2 + mx3 = 1
d,
8
:
mx1 + x2 + x3 + x4 = 1
x1 + mx2 + x3 + x4 = 1
x1 + x2 + mx3 + x4 = 1
e,
8
:
x1 + x2 + x3 + mx4 = 1
x1 + x2 + mx3 + x4 = 1
x1 + mx2 + x3 + x4 = 1
mx1 + x2 + x3 + x4 = 1
f,
x + y + (1 m)z = m + 2
(1 + m)x y + 2z = 0
2x my + 3z = m + 2
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T

286. ành ngh¾a
C¡ch gi£i h» Cramer
Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
ành ngh¾a
i·u ki»n º h» câ nghi»m kh¡c nghi»m t¦m th÷íng
V½ dö
B i tªp
B i tªp III
B i 3: Cho ph÷ìng tr¼nh
0
@
1 1
2 1
3 1 2
1
AX =
0
B@
1
1
2
0
CA
a, Gi£i ph÷ìng tr¼nh khi = 1.
b, T¼m º ph÷ìng tr¼nh væ nghi»m
B i 4: T¼m º tçn t¤i X sao cho
0
BB@
2 1 3
1 0 5
3 2 1
0 1 3
1
CCA
X =
0
BB@
6
6
2
1
CCA
T¼m X vîi vøa t¼m ÷ñc.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng III: H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N T