Toan1 - Chuong 6

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Ch÷ìng 6: H€M SÈ V€ GIÎI H„N
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng
Ng y 7 th¡ng 10 n«m 2010
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H€M SÈ V€ GIÎI H„N

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Nëi dung ch½nh
H m sè mët bi¸n sè

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Nëi dung ch½nh
Giîi h¤n d¢y sè

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Nëi dung ch½nh
Giîi h¤n d¢y sè
Giîi h¤n h m sè

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Nëi dung ch½nh
Giîi h¤n d¢y sè
Giîi h¤n h m sè
ành ngh¾a, c¡c t½nh ch§t
L÷ñng væ còng b², L÷ñng væ còng lîn
H m sè li¶n töc, gi¡n o¤n

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien so
Do thi cua ham so
Ham so nguoc va do thi cua ham so nguoc
Cac ham so cap
ành ngh¾a
ành ngh¾a
Cho tªp hñp sè thüc R. Mët ¡nh x¤ f tø R v o R ÷ñc gåi l mët
h m sè thüc cõa mët bi¸n sè thüc, hay h m sè cõa mët bi¸n sè.

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
ành ngh¾a
ành ngh¾a
C¡c chó þ

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
ành ngh¾a
ành ngh¾a
C¡c chó þ
Ph¦n tû x ÷ñc gåi l bi¸n sè ëc lªp. Ph¦n tû y t÷ìng
ùng vîi x ÷ñc gåi l gi¡ trà cõa h m sè t¤i x, kþ hi»u
y = f (x)

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
ành ngh¾a
ành ngh¾a
C¡c chó þ
y = f (x)
Mi·n x¡c ành: D = fx 2 Rj 9 f (x) g

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
ành ngh¾a
ành ngh¾a
C¡c chó þ
y = f (x)
Mi·n x¡c ành: D = fx 2 Rj 9 f (x) g
Mi·n gi¡ trà: Y = ff (x)j x 2 D g

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
V½ dö
Cho h m sè
y =
p
9 x2
Mi·n x¡c ành?

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
V½ dö
Cho h m sè
y =
p
9 x2
Mi·n x¡c ành?D = [3; 3]

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
V½ dö
Cho h m sè
y =
p
9 x2
Mi·n x¡c ành?D = [3; 3]
Mi·n gi¡ trà?

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
V½ dö
Cho h m sè
y =
p
9 x2
Mi·n x¡c ành?D = [3; 3]
Mi·n gi¡ trà?Y = [0; 3]

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
ç thà cõa h m sè
ành ngh¾a
Cho h m sè y = f (x) câ mi·n gi¡ trà D. Tªp t§t c£ c¡c iºm tr¶n
m°t ph¯ng Oxy: G = fM (x; y)j x 2 D; y = f (x)g ÷ñc gåi l ç
thà cõa h m sè.

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
ç thà cõa h m sè
ành ngh¾a
Cho h m sè y = f (x) câ mi·n gi¡ trà D. Tªp t§t c£ c¡c iºm tr¶n
m°t ph¯ng Oxy: G = fM (x; y)j x 2 D; y = f (x)g ÷ñc gåi l ç
thà cõa h m sè.
V½ dö: Biºu di¹n ç thà cõa h m sè f : D ! R x¡c ành bði
f (x) = x3 + 2x + 1 trong hai tr÷íng hñp
1 D = f1; 0; 1g
2 D = R

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
H m 1-1
ành ngh¾a h m 1-1
H m y = f (x) ÷ñc gåi l h m 1-1 n¸u 8x16= x2 2 D th¼
f (x1)6= f (x2)

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
H m 1-1
ành ngh¾a h m 1-1
f (x1)6= f (x2)
Chó þ: H m y = f (x) l h m 1-1 khi v ch¿ khi khæng tçn t¤i
÷íng th¯ng n¬m ngang ct ç thà nhi·u hìn mët iºm.

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
H m 1-1
ành ngh¾a h m 1-1
f (x1)6= f (x2)
Chó þ: H m y = f (x) l h m 1-1 khi v ch¿ khi khæng tçn t¤i
÷íng th¯ng n¬m ngang ct ç thà nhi·u hìn mët iºm.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nhHT¼÷nðhng: H mCh÷1ì-n1g 6: H€M SÈ V€ GIÎI H„N

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
H m ng÷ñc
ành ngh¾a h m ng÷ñc
Cho y = f (x) l h m 1-1 vîi mi·n x¡c ành D v mi·n gi¡ trà Y .
H m ng÷ñc cõa h m y = f (x) l h m tø Y v o D, kþ hi»u
x = f 1 (y), x¡c ành bði x = f 1 (y) , y = f (x)

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
H m ng÷ñc
ành ngh¾a h m ng÷ñc
Cho y = f (x) l h m 1-1 vîi mi·n x¡c ành D v mi·n gi¡ trà Y .
H m ng÷ñc cõa h m y = f (x) l h m tø Y v o D, kþ hi»u
x = f 1 (y), x¡c ành bði x = f 1 (y) , y = f (x)
H¼nh: H m ng÷ñc

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
ç thà cõa h m sè ng÷ñc
Nhªn x²t
V¼ a = f 1 (b) , b = f (a) n¶n (a; b) thuëc ç thà h m sè
y = f (x) khi v ch¿ khi (b; a) thuëc ç thà cõa f 1

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
K¸t luªn
ç thà y = f (x) v ç thà cõa f 1 èi xùng vîi nhau qua ÷íng
th¯ng y = x

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
K¸t luªn
th¯ng y = x
V½ dö V³ ç thà cõa h m y =
p
x 1 v ç thà cõa h m sè
ng÷ñc

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
K¸t luªn
th¯ng y = x
V½ dö V³ ç thà cõa h m y =
p
x 1 v ç thà cõa h m sè
ng÷ñc
m Thanh PHh÷¼ìnnhg,:NTgæ½nMh¤nchhT§÷ðtngcõa Cçh÷tìnhgà 6h: Hm€MnSgÈ÷Vñ€cGIÎI H„N

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
C¡c h m sì c§p
ành ngh¾a
C¡c h m sau ¥y ÷ñc gåi l c¡c h m sì c§p cì b£n:

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
C¡c h m sì c§p
ành ngh¾a
1 H m h¬ng

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
C¡c h m sì c§p
ành ngh¾a
1 H m h¬ng
2 H m lôy thøa y = x

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
C¡c h m sì c§p
ành ngh¾a
1 H m h¬ng
3 H m mô y = ax ; a 0; a6= 1

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
C¡c h m sì c§p
ành ngh¾a
1 H m h¬ng
3 H m mô y = ax ; a 0; a6= 1
4 H m logarit y = logax; (a 0; a6= 1)

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
C¡c h m sì c§p
ành ngh¾a
1 H m h¬ng
3 H m mô y = ax ; a 0; a6= 1
5 H m l÷ñng gi¡c

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
C¡c h m sì c§p
ành ngh¾a
1 H m h¬ng
3 H m mô y = ax ; a 0; a6= 1
5 H m l÷ñng gi¡c
6 H m l÷ñng gi¡c ng÷ñc

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
C¡c h m sì c§p
ành ngh¾a
1 H m h¬ng
3 H m mô y = ax ; a 0; a6= 1
5 H m l÷ñng gi¡c
6 H m l÷ñng gi¡c ng÷ñc
7 H m hypebolic

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
C¡c h m sì c§p
ành ngh¾a
H m sì c§p l h m thu ÷ñc tø c¡c h m sì c§p cì b£n b¬ng c¡ch
sû döng húu h¤n c¡c ph²p to¡n: Cëng, trø, nh¥n, chia, khai c«n v
ph²p hñp.

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
C¡c h m sì c§p
ành ngh¾a
H m sì c§p l h m thu ÷ñc tø c¡c h m sì c§p cì b£n b¬ng c¡ch
sû döng húu h¤n c¡c ph²p to¡n: Cëng, trø, nh¥n, chia, khai c«n v
ph²p hñp.
-Y¶u c¦u sinh vi¶n æn l¤i t½nh ch§t cõa h m a thùc, h m ph¥n
thùc, h m mô, h m logarit, h m l÷ñng gi¡c.

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
C¡c h m l÷ñng gi¡c ng÷ñc
X²t h m l÷ñng gi¡c y = sin x. Tr¶n o¤n

2 ;
2

, y = sin x l
h m 1-1. Do â tçn t¤i h m ng÷ñc, kþ hi»u y = arcsin x.

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap

2 ;
2

, y = sin x l
H¼nh: ç thà h m sin v h m arcsin

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap

2 ;
2

, y = sin x l
H¼nh: ç thà h m sin v h m arcsin
Nhªn x²t v· mi·n x¡c ành v mi·n gi¡ trà?

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
X²t h m l÷ñng gi¡c y = cos x. Tr¶n o¤n [0; ], y = cos x l h m
1-1. Do â tçn t¤i h m ng÷ñc, kþ hi»u y = arccos x.

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
H¼nh: ç thà h m cos v h m arccos

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
H m arcsinx

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
H m arcsinx
Mi·n x¡c ành:[1; 1];

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
H m arcsinx
Mi·n x¡c ành:
[1; 1];
Mi·n gi¡ trà

2 ;
2


Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
H m arcsinx
Mi·n x¡c ành:
[1; 1];
Mi·n gi¡ trà

2 ;
2

H m luæn luæn t«ng.
H m arccosx

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
H m arcsinx
Mi·n x¡c ành:
[1; 1];
Mi·n gi¡ trà

2 ;
2

H m arccosx

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
H m arcsinx
Mi·n x¡c ành:
[1; 1];
Mi·n gi¡ trà

2 ;
2

H m arccosx
Mi·n gi¡ trà [0; ]

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
H m arcsinx
Mi·n x¡c ành:
[1; 1];
Mi·n gi¡ trà

2 ;
2

H m arccosx
Mi·n gi¡ trà [0; ]
H m luæn luæn gi£m.

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
X²t h m l÷ñng gi¡c y = tan x. Tr¶n kho£ng

2 ;
2

, y = tan x l
h m 1-1. Do â tçn t¤i h m ng÷ñc, kþ hi»u y = arctan x.

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap

2 ;
2

, y = tan x l
H¼nh: ç thà h m tan v h m arctan

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
X²t h m l÷ñng gi¡c y = cot x. Tr¶n kho£ng (0; ), y = cot x l
h m 1-1. Do â tçn t¤i h m ng÷ñc, kþ hi»u y = arccotx.

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
X²t h m l÷ñng gi¡c y = cot x. Tr¶n kho£ng (0; ), y = cot x l
h m 1-1. Do â tçn t¤i h m ng÷ñc, kþ hi»u y = arccotx.
H¼nh: ç thà h m cot v h m arccot

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
H m arctanx

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
H m arctanx
Mi·n x¡c ành:R;

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
H m arctanx
Mi·n x¡c ành:
R;
Mi·n gi¡ trà

2
;

2


Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
H m arctanx
Mi·n x¡c ành:
R;
Mi·n gi¡ trà

2
;

2

H m arccotx

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
H m arctanx
Mi·n x¡c ành:
R;
Mi·n gi¡ trà

2
;

2

H m arccotx
Mi·n x¡c ành:R;

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
H m arctanx
Mi·n x¡c ành:
R;
Mi·n gi¡ trà

2
;

2

H m arccotx
Mi·n x¡c ành:R;
Mi·n gi¡ trà (0; )

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
H m arctanx
Mi·n x¡c ành:
R;
Mi·n gi¡ trà

2
;

2

H m arccotx
Mi·n x¡c ành:R;
Mi·n gi¡ trà (0; )
H m luæn luæn gi£m.

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
H m Hyperbolic
ành ngh¾a
Sin Hyperbolic: sinh x =
ex ex
2
Cos Hyperbolic: cosh x =
ex + ex
2
Tan Hyperbolic: tanh x =
sinh x
cosh x
Cotan Hyperbolic: coth x =
cosh x
sinh x

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
H m Hyperbolic
H¼nh: ç thà h m sinh v h m cosh

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
H m Hyperbolic
H¼nh: ç thà h m tanh v h m coth

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
H m Hyperbolic
C¡c cæng thùc
cosh2a sinh2a = 1
sinh 2a = 2 sinh a cosh a; cosh 2a = cosh2a + sinh2a
cosh (a + b) = cosh a cosh b + sinh a sinh b
cosh (a b) = cosh a cosh b sinh a sinh b
sinh (a + b) = sinh a cosh b + sinh b cosh a
sinh (a b) = sinh a cosh b sinh b cosh a

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
H m Hyperbolic
C¡c cæng thùc
cosh2a sinh2a = 1
sinh 2a = 2 sinh a cosh a; cosh 2a = cosh2a + sinh2a
cosh (a + b) = cosh a cosh b + sinh a sinh b
cosh (a b) = cosh a cosh b sinh a sinh b
sinh (a + b) = sinh a cosh b + sinh b cosh a
sinh (a b) = sinh a cosh b sinh b cosh a
v c¡c cæng thùc kh¡c. º thu ÷ñc cæng thùc l÷ñng gi¡c
Hyperbolic tø cæng thùc l÷ñng gi¡c quen thuëc, ta thay cos bði
cosh v sin bði isinh.

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
H m cho bði ph÷ìng tr¼nh tham sè
Cho hai h m x = x(t); y = y(t) x¡c ành trong mët l¥n cªn V n o
â cõa iºm t0.
Gi£ sû tçn t¤i h m ng÷ñc cõa x = x(t) l t = t(x).
Khi â tçn t¤i h m y = y(t(x)) v h m n y ÷ñc gåi l h m cho
bði ph÷ìng tr¼nh tham sè x = x(t) v y = y(t).

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Do thi cua ham so
Cac ham so cap
H m cho bði ph÷ìng tr¼nh tham sè
Cho hai h m x = x(t); y = y(t) x¡c ành trong mët l¥n cªn V n o
â cõa iºm t0.
Gi£ sû tçn t¤i h m ng÷ñc cõa x = x(t) l t = t(x).
Khi â tçn t¤i h m y = y(t(x)) v h m n y ÷ñc gåi l h m cho
bði ph÷ìng tr¼nh tham sè x = x(t) v y = y(t).
V½ dö: H m y = y(x) cho bði ph÷ìng tr¼nh tham sè:

x = 2 cos t
y = 3 sin t
ch½nh l ph÷ìng tr¼nh ellipse:
x2
4
+
y2
9
= 1

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia day so
Gioi han cua day so
ành ngh¾a d¢y sè
ành ngh¾a
Mët h m f : N ! N x¡c ành trong tªp hñp c¡c sè tü nhi¶n N
÷ñc gåi l mët d¢y sè.
°t u1 = f (1) ; u2 = f (2) ; :::; un = f (n) :::. Sè un ÷ñc gåi l sè
h¤ng têng qu¡t cõa d¢y sè. Kþ hi»u d¢y sè l fung

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia day so
Gioi han cua day so
ành ngh¾a d¢y sè
ành ngh¾a
Mët h m f : N ! N x¡c ành trong tªp hñp c¡c sè tü nhi¶n N
÷ñc gåi l mët d¢y sè.
°t u1 = f (1) ; u2 = f (2) ; :::; un = f (n) :::. Sè un ÷ñc gåi l sè
h¤ng têng qu¡t cõa d¢y sè. Kþ hi»u d¢y sè l fung
C¡ch x¡c ành mët d¢y sè
Câ thº x¡c ành d¢y sè b¬ng c¡ch:
Cho cæng thùc têng qu¡t: un = f (n)
Cho cæng thùc truy chùng (truy hçi):
u1 = a; u2 = b; un = f (un1; un2)

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia day so
Gioi han cua day so
ành ngh¾a
ành ngh¾a
Sè a ÷ñc gåi l giîi h¤n cõa d¢y sè fung n¸u
8 0; 9n0 (n n0 ) jun aj )
Kþ hi»u lim un
n!+1
= a

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia day so
Gioi han cua day so
ành ngh¾a
ành ngh¾a
Sè a ÷ñc gåi l giîi h¤n cõa d¢y sè fung n¸u
8 0; 9n0 (n n0 ) jun aj )
Kþ hi»u lim un
n!+1
= a
N¸u giîi h¤n cõa d¢y l húu h¤n th¼ d¢y ÷ñc gåi l d¢y hëi tö.
Ng÷ñc l¤i d¢y ÷ñc gåi l d¢y ph¥n ký.

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia day so
Gioi han cua day so
V½ dö
v½ dö
Dòng ành ngh¾a chùng tä lim
n!+1
n
n + 1
= 1

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia day so
Gioi han cua day so
V½ dö
v½ dö
Dòng ành ngh¾a chùng tä lim
n!+1
n
n + 1
= 1
0;

,
1
n + 1
, n
1
e
1
Chån sè tü nhi¶n n0
1

1
Khi â 8n n0 : jun 1j =

=
1
n + 1

1
n0 + 1

Vªy theo ành ngh¾a ta câ: lim
n!+1
n
n + 1
= 1

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia day so
Gioi han cua day so
C¡c ph²p t½nh v· d¢y hëi tö
ành lþ
N¸u d¢y fung hëi tö ¸n a, d¢y fvng hëi tö ¸n b th¼

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia day so
Gioi han cua day so
ành lþ
1 D¢y têng fun + vng hëi tö tîi a + b

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia day so
Gioi han cua day so
ành lþ
2 D¢y t½ch fun:vng hëi tö tîi a:b

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia day so
Gioi han cua day so
ành lþ
3 D¢y nghàch £o

1
vn

hëi tö tîi
1
b
vîi i·u ki»n b6= 0

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia day so
Gioi han cua day so
ành lþ
3 D¢y nghàch £o

1
vn

hëi tö tîi
1
b
4 D¢y th÷ìng
un
vn
hëi tö tîi
a
b

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia day so
Gioi han cua day so
ành lþ
3 D¢y nghàch £o

1
vn

hëi tö tîi
1
b
4 D¢y th÷ìng
un
vn
hëi tö tîi
a
b
5 lim
n!1
junj = jaj

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia day so
Gioi han cua day so
Hai ti¶u chu©n õ º d¢y hëi tö
Ti¶u chu©n 1 - ành lþ kµp
Cho 3 d¢y fung ; fvng ; fwng sao cho
9n0; 8n n0 ) vn un wn v fvng ; fwng còng hëi tö ¸n a.
Khi â d¢y fung công hëi tö tîi a.

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia day so
Gioi han cua day so
Ti¶u chu©n 1 - ành lþ kµp
Cho 3 d¢y fung ; fvng ; fwng sao cho
9n0; 8n n0 ) vn un wn v fvng ; fwng còng hëi tö ¸n a.
Khi â d¢y fung công hëi tö tîi a.
Chùng minh
Cho 0. V¼ fvng ; fwng còng hëi tö ¸n a n¶n 9n1; n2 2 N:

8n n1 ) jvnj a
8n n2 ) jwnj a
. °t n0 = max fn1; n2g. Khi â 8n n0 ta câ
jvn aj
jwn aj
) vn a un a wn a

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia day so
Gioi han cua day so
Suy ra 8n n0; jun aj , hay lim
n!1
un = a (dpcm).

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia day so
Gioi han cua day so
Suy ra 8n n0; jun aj , hay lim
n!1
un = a (dpcm).
H¼nh: Giîi h¤n kµp

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia day so
Gioi han cua day so
V½ dö
T½nh lim
n!1
5n
nn
Gi£i:
Ta câ 8n 6; 0
5n
nn
5n
6n , m°t kh¡c lim
n!1
5n
6n = lim
n!1

5
6
n
= 0.
Vªy lim
n!1
5n
nn = 0

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia day so
Gioi han cua day so
Ti¶u chu©n 2 - ành lþ Weierstrass
Måi d¢y t«ng v bà ch°n tr¶n th¼ hëi tö. Måi d¢y gi£m v bà ch°n
d÷îi th¼ hëi tö.

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia day so
Gioi han cua day so
trong â, c¡c kh¡i ni»m t«ng, bà ch°n ÷ñc gi£i th½ch nh÷ sau:
D¢y fung ÷ñc gåi l ìn i»u t«ng n¸u 8n 2 N; un+1 un

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia day so
Gioi han cua day so
D¢y fung ÷ñc gåi l ìn i»u gi£m n¸u 8n 2 N; un+1 un

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia day so
Gioi han cua day so
D¢y fung ÷ñc gåi l bà ch°n tr¶n n¸u
9A 2 R : 8n 2 N; un A

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia day so
Gioi han cua day so
D¢y fung ÷ñc gåi l bà ch°n tr¶n n¸u
9A 2 R : 8n 2 N; un A
D¢y fung ÷ñc gåi l bà ch°n d÷îi n¸u
9B 2 R : 8n 2 N; un B

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia day so
Gioi han cua day so
V½ dö - Sè e

lim
1 +
n!1
1
n
n
= e

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia day so
Gioi han cua day so
V½ dö - Sè e

lim
1 +
n!1
1
n
n
= e
Sû döng nhà thù newton:
1 +
1
n
n
= ::: = 1 + 1 +
1
2!

1
1
n

+
1
3!

1
1
n

1
2
n

+
::: +
1
n!

1
1
n

1
2
n

:::

1
n 1
n


Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia day so
Gioi han cua day so
V½ dö - Sè e

lim
1 +
n!1
1
n
n
= e
Sû döng nhà thù newton:
1 +
1
n
n
= ::: = 1 + 1 +
1
2!

1
1
n

+
1
3!

1
1
n

1
2
n

+
::: +
1
n!

1
1
n

1
2
n

:::

1
n 1
n

V¼ 1
s
n
1
s
n + 1
n¶n un un+1. Vªy d¢y t«ng.

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia day so
Gioi han cua day so
V½ dö - Sè e
Ta câ 1
s
n
1 v
1
n!

1
2n1 8n = 1; 2; 3:::
) un 2+
1
2!
+
1
3!
+:::+
1
n!
2+
1
2
+
1
22+:::+
1
2n1 2+1
1
2n1 3
Vªy d¢y bà ch°n v t«ng n¶n d¢y hëi tö.

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia day so
Gioi han cua day so
V½ dö - Sè e
Ta câ 1
s
n
1 v
1
n!

1
2n1 8n = 1; 2; 3:::
) un 2+
1
2!
+
1
3!
+:::+
1
n!
2+
1
2
+
1
22+:::+
1
2n1 2+1
1
2n1 3
Vªy d¢y bà ch°n v t«ng n¶n d¢y hëi tö.
Giîi h¤n cõa d¢y n y ÷ñc kþ hi»u l sè e, v ng÷íi ta chùng minh
÷ñc e l sè væ t. e 2:718281828
lim
n!1

1 +
1
n
n
= e

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia day so
Gioi han cua day so
Giîi h¤n væ còng cõa d¢y
ành ngh¾a
Ta nâi fung câ giîi h¤n +1 n¸u
8A 0; 9n0 2 N (n n0 ) un A)

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia day so
Gioi han cua day so
ành ngh¾a
8A 0; 9n0 2 N (n n0 ) un A)
Ta nâi fung câ giîi h¤n 1 n¸u
8B 0; 9n0 2 N (n n0 ) un B)

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia day so
Gioi han cua day so
ành ngh¾a
8A 0; 9n0 2 N (n n0 ) un A)
8B 0; 9n0 2 N (n n0 ) un B)
Ta câ:
un ! +1; vn ! +1 ) un + vn ! +1; unvn ! +1

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia day so
Gioi han cua day so
ành ngh¾a
8A 0; 9n0 2 N (n n0 ) un A)
8B 0; 9n0 2 N (n n0 ) un B)
Ta câ:
un ! +1; vn ! +1 ) un + vn ! +1; unvn ! +1
un ! 1; vn ! 1 ) un + vn ! 1; unvn ! +1

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia day so
Gioi han cua day so
ành ngh¾a
8A 0; 9n0 2 N (n n0 ) un A)
8B 0; 9n0 2 N (n n0 ) un B)
Ta câ:
un ! +1; vn ! +1 ) un + vn ! +1; unvn ! +1
un ! 1; vn ! 1 ) un + vn ! 1; unvn ! +1
un ! +1; vn ! 1 ) unvn ! 1

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia day so
Gioi han cua day so
ành ngh¾a
8A 0; 9n0 2 N (n n0 ) un A)
8B 0; 9n0 2 N (n n0 ) un B)
Ta câ:
un ! +1; vn ! +1 ) un + vn ! +1; unvn ! +1
un ! 1; vn ! 1 ) un + vn ! 1; unvn ! +1
un ! +1; vn ! 1 ) unvn ! 1
un ! a 0; vn ! +1 ) unvn ! +1

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Cac tinh chat cua gioi han
Luong Vo cung be, luong vo cung lon
Ham so lien tuc
ành ngh¾a
ành ngh¾a
H m f (x) câ giîi h¤n l h khi x ! a n¸u
8 0; 9 0 : 8x 2 D; jx aj ) jf (x) hj
Kþ hi»u lim
x!a
f (x) = h

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
ành ngh¾a
ành ngh¾a
8 0; 9 0 : 8x 2 D; jx aj ) jf (x) hj
Kþ hi»u lim
x!a
f (x) = h
Chó þ
Trong ành ngh¾a khæng ái häi l f (x) ph£i x¡c ành t¤i x = a.

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
ành ngh¾a
ành ngh¾a
8 0; 9 0 : 8x 2 D; jx aj ) jf (x) hj
Kþ hi»u lim
x!a
f (x) = h
Chó þ
Trong ành ngh¾a khæng ái häi l f (x) ph£i x¡c ành t¤i x = a.
V½ dö:
lim
x!1
2

x2 1

x 1
= 4
m°c dò f (x) khæng x¡c ành t¤i x = 1

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
ành ngh¾a giîi h¤n ð væ còng
ành ngh¾a
lim
x!+1
= a , 8 0; 9N 0 : 8x N; jf (x) aj

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
ành ngh¾a
lim
x!+1
= a , 8 0; 9N 0 : 8x N; jf (x) aj
ành ngh¾a
lim
x!1
= a , 8 0; 9N 0 : 8x N; jf (x) aj

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
H¼nh: Giîi h¤n ð væ còng

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
ành ngh¾a giîi h¤n væ còng
ành ngh¾a
lim
x!x0
f (x) = +1 , 8M 0; 9 0 : 8x 2 Df ; jx x0j )
f (x) M:

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
ành ngh¾a giîi h¤n væ còng
ành ngh¾a
lim
x!x0
f (x) = +1 , 8M 0; 9 0 : 8x 2 Df ; jx x0j )
f (x) M:
ành ngh¾a
lim
x!x0
f (x) = 1 , 8N 0; 9 0 : 8x 2 Df ; jx x0j )
f (x) N:

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
C¡c t½nh ch§t cõa giîi h¤n
ành lþ 1
N¸u f (x) 0 trong mët l¥n cªn cõa iºm a v lim
x!a
f (x) = h th¼
h 0.

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
ành lþ 1
x!a
f (x) = h th¼
h 0.
ành lþ 2
Gi£ sû lim
x!a
f (x) = h; lim
x!a
g (x) = k. Khi â ta câ:
1 lim
x!a
(f (x) + g (x)) = h + k

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
ành lþ 1
x!a
f (x) = h th¼
h 0.
ành lþ 2
Gi£ sû lim
x!a
f (x) = h; lim
x!a
1 lim
x!a
(f (x) + g (x)) = h + k
2 lim
x!a
mf (x) = mh (m l h¬ng sè)

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
ành lþ 1
x!a
f (x) = h th¼
h 0.
ành lþ 2
Gi£ sû lim
x!a
f (x) = h; lim
x!a
1 lim
x!a
(f (x) + g (x)) = h + k
2 lim
x!a
3 lim
x!a
f (x) g (x) = hk

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
ành lþ 1
x!a
f (x) = h th¼
h 0.
ành lþ 2
Gi£ sû lim
x!a
f (x) = h; lim
x!a
1 lim
x!a
(f (x) + g (x)) = h + k
2 lim
x!a
3 lim
x!a
f (x) g (x) = hk
4 lim
x!a
f (x)
g (x)
=
h
k
, k6= 0

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
M»nh ·
8
:
lim
x!x0
u(x) = a 0
lim
v(x) = b
x!x0
) lim
x!x0
(u(x))v(x) = ab

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
M»nh ·
8
:
lim
x!x0
u(x) = a 0
lim
v(x) = b
x!x0
) lim
x!x0
(u(x))v(x) = ab
Chùng minh:

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
M»nh ·
8
:
lim
x!x0
u(x) = a 0
lim
v(x) = b
x!x0
) lim
x!x0
(u(x))v(x) = ab
Chùng minh:
lim
x!x0
(u(x))v(x) = lim
x!x0
ev(x) ln(u(x)) =
= e
lim
x!x0
v(x) ln(u(x))
= eb ln a = ab:

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
C¡c giîi h¤n cì b£n th÷íng g°p khi x ! 0

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
C¡c giîi h¤n cì b£n th÷íng g°p khi x ! 1

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
C¡c d¤ng væ ành

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
L÷ñng VCB
ành ngh¾a
lim
x!a
f (x) = 0 ) f (x) ÷ñc gåi l VCB ð l¥n cªn cõa a

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
L÷ñng VCB
ành ngh¾a
lim
x!a
V½ dö
lim
x!0
ln (1 + 3x) = 0 n¶n f (x) = ln (1 + 3x) l VCB ð l¥n cªn cõa 0.

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
L÷ñng VCB
ành ngh¾a
lim
x!a
V½ dö
lim
x!0
ln (1 + 3x) = 0 n¶n f (x) = ln (1 + 3x) l VCB ð l¥n cªn cõa 0.
lim
x!0
sin 5x = 0 n¶n f (x) = sin 5x l VCB ð l¥n cªn cõa 0.

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
T½nh ch§t cõa VCB
1 Têng húu h¤n c¡c VCB l mët VCB

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
2 T½ch cõa hai VCB l mët VCB

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
3 T½ch cõa mët VCB v mët h m bà ch°n l mët VCB

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
3 T½ch cõa mët VCB v mët h m bà ch°n l mët VCB
4 Th÷ìng cõa hai VCB câ thº khæng l VCB

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
So s¡nh c¡c VCB
So s¡nh c¡c VCB
f (x); g(x) l c¡c VCB khi x ! a.

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
So s¡nh c¡c VCB
So s¡nh c¡c VCB
N¸u lim
x!a
f (x)
g (x)
= 0 th¼ f l VCB c§p cao hìn g.

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
So s¡nh c¡c VCB
So s¡nh c¡c VCB
N¸u lim
x!a
f (x)
g (x)
N¸u lim
x!a
f (x)
g (x)
= k6= 0 th¼ f v g l hai VCB còng c§p.

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
So s¡nh c¡c VCB
So s¡nh c¡c VCB
N¸u lim
x!a
f (x)
g (x)
N¸u lim
x!a
f (x)
g (x)
°c bi»t, n¸u k = 1 th¼ f v g l hai VCB t÷ìng ÷ìng, kþ hi»u
f g.

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
So s¡nh c¡c VCB
So s¡nh c¡c VCB
N¸u lim
x!a
f (x)
g (x)
N¸u lim
x!a
f (x)
g (x)
f g.
V½ dö
lim
x!0
1 cos 2x
x
= lim
x!0
2sin2x
x
= 0 ) 1 cos 2x l VCB c§p cao
hìn x khi x ! 0

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
So s¡nh c¡c VCB
So s¡nh c¡c VCB
N¸u lim
x!a
f (x)
g (x)
N¸u lim
x!a
f (x)
g (x)
f g.
V½ dö
lim
x!0
1 cos 2x
x
= lim
x!0
2sin2x
x
= 0 ) 1 cos 2x l VCB c§p cao
hìn x khi x ! 0
lim
x!1
x3 1
x 1
= 3 ) x3 1 l VCB còng bªc vîi x 1 khi x ! 1

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
C¡c væ còng b² t÷ìng ÷ìng th÷íng g°p

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
Ùng döng t½nh giîi h¤n
Quy tc 1
Gi£ sû f1 (x) ; f2 (x) ; g1 (x) ; g2 (x) l c¡c VCB khi x ! a(1), Khi
â n¸u f1 (x) f2 (x) ; g1 (x) g2 (x) th¼
lim
x!a
f1 (x)
g1 (x)
= lim
x!a
f2 (x)
g2 (x)

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
Quy tc 1
Gi£ sû f1 (x) ; f2 (x) ; g1 (x) ; g2 (x) l c¡c VCB khi x ! a(1), Khi
â n¸u f1 (x) f2 (x) ; g1 (x) g2 (x) th¼
lim
x!a
f1 (x)
g1 (x)
= lim
x!a
f2 (x)
g2 (x)
Quy tc 2
lim
x!a
TonghuuhancacVCBcuatu
TonghuuhancacVCBcuamau
= lim
x!a
VCBbacthapnhatcuatu
VCBbacthapnhatcuamau

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
V½ dö
T½nh giîi h¤n I = lim
x!0
ln(1 + x tan x)
x2 + sin3x
J = lim
x!0
ln(cos x)
ln(1 + x2)

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
V½ dö
x!0
ln(1 + x tan x)
x2 + sin3x
J = lim
x!0
ln(cos x)
ln(1 + x2)
ln(1 + x tan x) x tan x x2; x2 + sin3x x2
) I = lim
x!0
ln(1 + x tan x)
x2 + sin3x
= lim
x!0
x2
x2 = 1

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
V½ dö
x!0
ln(1 + x tan x)
x2 + sin3x
J = lim
x!0
ln(cos x)
ln(1 + x2)
ln(1 + x tan x) x tan x x2; x2 + sin3x x2
) I = lim
x!0
ln(1 + x tan x)
x2 + sin3x
= lim
x!0
x2
x2 = 1
J = lim
x!0
ln(1 + cos x 1)
ln(1 + x2)
= lim
x!0
cos x 1
x2 = lim
x!0
x2=2
x2 =
1
2

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
V½ dö
T½nh c¡c giîi h¤n K = lim
x!0
ex2
cos x
sin2x
L = lim
x!0
esin 5x esin x
ln(1 + 2x)
; M = lim
x!1
sin

ex1 1

ln x
N = lim
x!0
esinh 3x esinh x
tan x
; P = lim
x!0
(ex 1) (cos x 1)
sin3x + 2x4
Q = lim
x!+1
x2
e1=x2
cos(1=x)
arctan x

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
Chó þ

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
Væ còng lîn
ành ngh¾a
H m sè y=f(x) ÷ñc gåi l mët Væ còng lîn (VCL) khi x ! x0
n¸u lim
x!x0
jf (x)j = +1.

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
Væ còng lîn
ành ngh¾a
H m sè y=f(x) ÷ñc gåi l mët Væ còng lîn (VCL) khi x ! x0
n¸u lim
x!x0
jf (x)j = +1.
V½ dö:
f (x) = 2x2 + 3 cos x l mët VCL khi x ! 1 v¼
lim
x!1

= +1:

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
So s¡nh hai Væ còng lîn
Cho f(x) v g(x) l hai VCL khi x ! x0. Gi£ sû lim
x!x0
f (x)
g(x)
= k

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
x!x0
f (x)
g(x)
= k
1 N¸u k = 1 th¼ f(x) gåi l VCL bªc cao hìn g(x).
f (x) = O(g(x))

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
x!x0
f (x)
g(x)
= k
f (x) = O(g(x))
2 N¸u k húu h¤n, kh¡c khæng th¼ ta nâi f(x) v g(x) l hai VCL
còng c§p.

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
x!x0
f (x)
g(x)
= k
f (x) = O(g(x))
2 N¸u k húu h¤n, kh¡c khæng th¼ ta nâi f(x) v g(x) l hai VCL
còng c§p.
3 N¸u k = 1 th¼ f(x) v g(x) l hai VCL t÷ìng ÷ìng.
f (x) g(x)

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
Quy tc ngt bä VCL
lim
x!x0
TonghuuhancacVCL
TonghuuhancacVCL
= lim
x!x0
VCLbaccaonhatcuatu
VCLbaccaonhatcuamau

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
Quy tc ngt bä VCL
lim
x!x0
TonghuuhancacVCL
TonghuuhancacVCL
= lim
x!x0
VCLbaccaonhatcuatu
VCLbaccaonhatcuamau
V½ dö
I = lim
x!+1
p
x2 + 4 + 2x + 3
p
x
p
x2 4 + x
Tû l têng cõa ba VCL:
p
x2 + 4 + 2x + 3
p
x
x!+1
3x
M¨u l têng cõa hai VCL:
p
x2 4 + x
x!+1
2x
I = lim
x!+1
3x
2x
=
3
2

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
ành ngh¾a
H m li¶n töc t¤i mët iºm
H m y = f (x) ÷ñc gåi l li¶n töc t¤i x0 n¸u x¡c ành t¤i iºm n y
v lim
x!x0
f (x) = f (x0):

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
ành ngh¾a
v lim
x!x0
f (x) = f (x0):
H m gi¡n o¤n t¤i mët iºm
N¸u h m y = f (x) khæng li¶n töc t¤i iºm x0 ta nâi h m gi¡n
o¤n t¤i iºm x0

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
ành ngh¾a
v lim
x!x0
f (x) = f (x0):
H m gi¡n o¤n t¤i mët iºm
N¸u h m y = f (x) khæng li¶n töc t¤i iºm x0 ta nâi h m gi¡n
o¤n t¤i iºm x0
H m li¶n töc tr¶n o¤n k½n
Ta nâi y = f (x) li¶n töc tr¶n [a; b] n¸u f (x) li¶n töc t¤i måi iºm
x 2 (a; b) v li¶n töc ph£i t¤i a ( lim
x!a+
f (x) = f (a)), li¶n töc tr¡i
t¤i b ( lim
x!b
f (x) = f (b))

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
H¼nh minh håa

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
Ph¥n lo¤i iºm gi¡n o¤n
Cho x0 l iºm gi¡n o¤n cõa h m sè y = f (x).
iºm gi¡n o¤n lo¤i 1 x0 l iºm gi¡n o¤n lo¤i 1 n¸u giîi h¤n tr¡i
(f (x0
)) v giîi h¤n ph£i (f (x0
+)) tçn t¤i húu h¤n.

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
(f (x0
x0 l iºm khû ÷ñc n¸u f (x0
) = f (x0
+)

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
(f (x0
) = f (x0
+)
x0 l iºm nh£y n¸u f (x0
)6= f (x0
+)

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
(f (x0
) = f (x0
+)
x0 l iºm nh£y n¸u f (x0
)6= f (x0
+)
iºm gi¡n o¤n lo¤i 2 N¸u mët trong hai giîi h¤n mët ph½a khæng
tçn t¤i ho°c b¬ng væ còng

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
T½nh ch§t cõa h m li¶n töc
cho f (x) ; g (x) l hai h m li¶n töc t¤i x0. Khi â:
1 f (x); f (x) + g(x); f (x) g(x) li¶n töc t¤i x0
2 N¸u g(x)6= 0 th¼
f (x)
g (x)
li¶n töc t¤i x0

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
cho f (x) ; g (x) l hai h m li¶n töc t¤i x0. Khi â:
1 f (x); f (x) + g(x); f (x) g(x) li¶n töc t¤i x0
2 N¸u g(x)6= 0 th¼
f (x)
g (x)
li¶n töc t¤i x0
ành lþ
N¸u h m f (x) li¶n töc t¤i x0 v f (x0) 0 th¼ tçn t¤i mët l¥n cªn
cõa x0, sao cho f (x) 0 vîi måi x thuëc l¥n cªn n y

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
ành lþ Bozano - cosi
N¸u f (x) li¶n töc tr¶n [a; b] v f (x) = A; f (b) = B th¼ 8C 2 [a; b]
tçn t¤i x0 2 [a; b] sao cho f (x0) = C

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
H» qu£
N¸u f (x) li¶n töc tr¶n [a; b] v f (a):f (b) 0 th¼ tçn t¤i x0 2 [a; b]
sao cho f (x0) = 0

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
H» qu£
N¸u f (x) li¶n töc tr¶n [a; b] v f (a):f (b) 0 th¼ tçn t¤i x0 2 [a; b]
sao cho f (x0) = 0
H m sì c§p li¶n töc tr¶n tªp x¡c ành cõa nâ

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
V½ dö
Kh£o s¡t t½nh li¶n töc
f (x) =
( sin x
x
; x6= 0
1; x = 0

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
V½ dö
f (x) =
( sin x
x
; x6= 0
1; x = 0
8x6= 0; f (x) =
sin x
x
l h m sì c§p n¶n li¶n töc tr¶n MXD.
T¤i x = 0 : lim
x!0+
sin x
x
= 1 = lim
x!0
sin x
x
= f (0)
H m li¶n töc t¤i x = 0. Vªy h m li¶n töc tr¶n R

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
V½ dö
f (x) =
8
:
sin x
jxj
; x6= 0
1; x = 0

Ham so mot bien so
Gioi han cua day so
Gioi han cua ham so
Dinh nghia
Ham so lien tuc
V½ dö
f (x) =
8
:
sin x
jxj
; x6= 0
1; x = 0
8x6= 0; f (x) =
sin x
jxj
l h m sì c§p n¶n li¶n töc tr¶n MXD.
T¤i x = 0 : lim
x!0+
sin x
x
= 1; lim
x!0
sin x
jxj
= 1
x = 0 l iºm nh£y.
B÷îc nh£y: h = f (0+) f (0) = 1 (1) = 2:

Toan1 - Chuong 6

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Toan1 - Chuong 6

Similar to Toan1 - Chuong 6 (15)

More from ICTU

More from ICTU (14)

Recently uploaded

Recently uploaded (18)

Toan1 - Chuong 6