Bai giang toan kinh te 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MÔN KHOA HỌC TỰ NHIÊN
——————————————–
ĐÀM THANH PHƯƠNG, NGÔ MẠNH TƯỞNG
BÀI GIẢNG
TOÁN KINH TẾ
Thái Nguyên, năm 2015

Danh sách hình vẽ
1.1 Đồ thị của hàm cung và hàm cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Đường pha 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Đường pha 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Quỹ đạo thời gian có trạng thái cân bằng ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Quỹ đạo thời gian có trạng thái cân bằng không ổn định . . . . . . . . . . . . 33
2.5 Điểm trạng thái tĩnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6 Đồ thị pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1 Quỹ đạo thời gian của giá thị trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1

Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chương 1. Một số ứng dụng mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1. Một số mô hình hàm số trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1. Hàm cung và hàm cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2. Hàm sản xuất ngắn hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3. Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4. Hàm tiêu dùng và hàm tiết kiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Một số mô hình tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1. Mô hình cân bằng thị trường. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Ứng dụng của cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1. Nhắc lại kiến thức về cấp số nhân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2. Tính giá trị hiện tại và giá trị tương lai của tiền tệ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3. Kỳ khoản và giá trị của các luồng vốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4. Sử dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1. Đạo hàm và giá trị cận biên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.2. Hệ số co dãn của cung và cầu theo giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.3. Quan hệ giữa hàm bình quân và hàm cận biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Chương 2. Phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1. Đại cương về phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1. Định nghĩa.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2. Cấp của phương trình vi phân.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.3. Nghiệm của phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.4. Phương trình vi phân cấp một. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1. Định nghĩa.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2. Cách giải.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3. Một số phương trình vi phân phi tuyến cấp 1.. . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1. Phương trình biến số phân ly.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2. Phương trình đẳng cấp (hay phương trình thuần nhất). . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.3. Phương trình Becnuly. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.4. Phương trình vi phân toàn phần. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2

Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Toán kinh tế
2.4. Một số mô hình phương trình vi phân cấp 1 trong phân tích kinh
tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.1. Phân tích định tính quỹ đạo thời gian của một số biến số kinh tế bằng phương
pháp đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.2. Mô hình tăng trưởng Domar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.3. Mô hình tăng trưởng Solow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.4. Mô hình điều chỉnh giá thị trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5. Phương trình vi phân cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5.1. Khái quát chung về phương trình vi phân thường cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5.2. Một số phương trình vi phân giải được bằng phương pháp hạ cấp . . . . . . 41
2.5.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6. Một số mô hình phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 trong phân
tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6.1. Điều kiện ổn định động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6.2. Mô hình thị trường với kỳ vọng giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6.3. Mô hình điều chỉnh giá có tính đến hàng hoá tồn đọng . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7. BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1. Khái niệm sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.1. Thời gian rời rạc và khái niệm sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.2. Phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2. Phương trình sai phân cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.1. Phương trình ôtônôm tuyến tính cấp 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.2. Một số mô hình phương trình ôtônôm tuyến tính trong kinh tế học . . . . 57
3.2.3. Phương trình tuyến tính cấp 1 tổng quát. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3. Phương trình sai phân cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.2. Phương trình ôtônôm tuyến tính cấp 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.3. Phương trình phi ôtônôm tuyến tính cấp 2 với hệ số không đổi . . . . . . . . . 68
3.3.4. Một số mô hình phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 trong kinh tế. . 70
3.4. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 3

Lời nói đầu
Tập bài giảng này được viết cho môn học Toán kinh tế. Trên cơ sở đề nghị của Khoa
chuyên môn quản lý chuyên ngành, tài liệu tham khảo chính của môn học là cuốn "Toán
cao cấp cho các nhà kinh tế" của tác giả Lê Đình Thúy, NXB Đại học Kinh tế quốc dân,
2007 (hai phần Đại số và Giải tích toán học). Tuy nhiên, với thời lượng 02 tín chỉ đề
cương môn học chỉ đề cập một số phần chính. Vì vậy bài giảng ngắn gọn này sẽ giúp các
em sinh viên tiếp cận nhanh đến môn học. Nội dung bài giảng bám sát đề cương, gồm 3
chương:
Chương 1: Một số ứng dụng mở đầu. Chương này giới thiệu các ứng dụng đơn giản
từ việc sử dụng mô hình toán học để mô tả, phân tích kinh tế đến những khái niệm ban
đầu. Sinh viên sẽ làm quen với ứng dụng của hàm số, cấp số nhân, đạo hàm, hệ phương
trình tuyến tính.v.v để giải một số bài toán kinh tế đơn giản.
Chương 2: Phương trình vi phân. Chương này có hai mục đích chính. Một là giúp
sinh viên học các phương pháp tìm nghiệm giải tích của một số dạng phương trình vi
phân cụ thể. Tuy nhiên, trong thực tế số phương trình vi phân tìm được nghiệm giải tích
là rất ít, nhất là các phương trình vi phân thể hiện các hệ động lực nói chung và các mô
hình kinh tế nói riêng. Hơn nữa, người ta cũng không quá quan tâm chi tiết đến nghiệm
cụ thể mà quan tâm đến mặt định tính, nghĩa là các tính chất của nghiệm. Vì vậy mục
đích thứ hai của chương là giúp sinh viên hiểu được các tính chất định tính của nghiệm
như quỹ đạo pha, trường hướng, điểm cân bằng, tính ổn định (bất ổn định) của điểm cân
bằng, tính tuần hoàn v.v. thông qua các mô hình kinh tế cụ thể.
Chương 3: Phương trình sai phân. Mô hình toán học để thể hiện các hệ động lực
nói chung và mô hình kinh tế nói riêng nhìn chung có hai cách tuỳ thuộc vào việc sử dụng
biến độc lập (thời gian) t. Cách thứ nhất nếu biến thời gian là liên tục chúng ta sử dụng
phương trình vi phân (đạo hàm riêng). Cách thứ hai, nếu sử dụng thời gian rời rạc (tuỳ
thuộc vào việc lấy mẫu, chẳng hạn một mô hình kinh tế cần tính lãi theo tháng, quý,
năm, v.v..) thì chúng ta sử dụng phương trình sai phân. Vì vậy, cũng tương tự như cách
tiếp cận của chương 2, chúng ta cũng sẽ được học cách giải một số phương trình sai phân
cụ thể (rất ít so với thực tế) và tiếp cận cách phân tích định tính nghiệm thông qua một
4

số mô hình kinh tế.
Sau mỗi chương chúng tôi đưa ra một số bài tập để các em có thể luyện tập củng cố
kiến thức đã học.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng chắc chắn tập bài giảng còn mắc nhiều loại lỗi, từ chính
tả đến nội dung. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của sinh viên,
của đồng nghiệp để chúng tôi nhận ra và chỉnh sửa những sai sót. Thêm nữa, phải nhấn
mạnh lại rằng tập bài giảng này được soạn trên cơ sở tài liệu tham khảo chính của môn
học đã nêu ở trên để phục vụ giảng dạy; Chúng tôi không giữ bản quyền, việc nhân bản,
sử dụng vì mục đích học tập không phải xin phép. Trân trọng cảm ơn.
Thái nguyên, ngày 1/2/2015
Thay mặt nhóm tác giả
Th.S Đàm Thanh Phương.

Chương 1
Một số ứng dụng mở đầu
1.1. Một số mô hình hàm số trong phân tích kinh tế
1.1.1. Hàm cung và hàm cầu
Định nghĩa 1. Hàm cung và hàm cầu là các hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của lượng
cung và lượng cầu đối với một loại hàng hóa vào giá của hàng hóa đó.
Ký hiệu:
Lượng cung là Qs - quantity supplied - là lượng hàng hóa mà người bán bằng lòng bán ở
mỗi mức giá;
Lượng cầu là Qd - quantity demanded - là lượng hàng hóa mà người mua bằng lòng mua
ở mỗi mức giá;
Giá hàng hóa là p
Vậy hàm cung và hàm cầu lần lượt có dạng:
Qs = S(p) (1.1)
Qd = D(p) (1.2)
Chú ý :
- Hàm cung là hàm đơn điệu tăng, hàm cầu là hàm đơn điệu giảm: Nếu các yếu tố khác
giữ nguyên, khi giá hàng hóa tăng lên thì người bán sẽ muốn bán nhiều hơn và người mua
sẽ mua ít đi.
- Đồ thị của hàm cung và hàm cầu được gọi là đường cung và đường cầu.
- Điểm cân bằng thị trường: Là giao điểm của đường cung và đường cầu. Để tìm mức giá
cân bằng ¯p và lượng cân bằng Qs = Qd = ¯Q ta lập phương trình hoành độ điểm chung
S(p) = D(p).
- Ý nghĩa kinh tế của điểm cân bằng thị trường: Tại mức giá cân bằng ¯p, người bán sẽ
bán hết và người mua mua đủ, không có hiện tượng dư thừa hoặc khan hiếm hàng hóa.

Khi p > ¯p thị trường có hiện tượng dư thừa hàng hóa, cung vượt cầu Qs > Qd. Ngược lại
Khi p < ¯p thị trường có hiện tượng khan hiếm hàng hóa, Qs < Qd
- Khi vẽ đường cung và đường cầu, người ta thường dùng trục hoành để biểu diễn lượng
Q và trục tung biểu diễn giá p. Vì vậy, thực chất ta vẽ hàm ngược của hàm cung và hàm
cầu: p = S−1
(Qs), p = D−1
(Qd)
Hình dáng đồ thị:
Hình 1.1: Đồ thị của hàm cung và hàm cầu
1.1.2. Hàm sản xuất ngắn hạn
Hàm sản xuất mô tả sự phụ thuộc của sản lượng hàng hóa của một nhà sản xuất vào
các yếu tố đầu vào của sản xuất. Hai yếu tố đầu vào được quan tâm nhất là vốn và lao
động lần lượt được ký hiệu là K(Capital) và L(Labor). Trong ngắn hạn người ta giả sử K
không đổi, do đó:
Định nghĩa 2. Hàm sản xuất ngắn hạn mô tả sự phụ thuộc của sản lượng hàng hoá của
nhà sản xuất vào yếu tố lao động
Q = f(L) (1.3)
1.1.3. Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận
Tổng doanh thu ký hiệu TR(Total Revenue); Tổng chi phí ký hiệu TC(Total Cost);
Tổng lợi nhuận ký hiệu là π. Các đại lượng này phụ thuộc vào sản lượng hàng hóa Q theo
quy luật hàm số.
Định nghĩa 3. Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận là hàm số mô tả sự phụ
thuộc của doanh thu, chi phí, lợi nhuận vào sản lượng hàng hoá. Ta có:
Hàm doanh thu:
TR = TR(Q) (1.4)
Hàm chi phí
TC = TC(Q) (1.5)

Hàm lợi nhuận
π = π(Q) (1.6)
Hàm lợi nhuận có thể được xác định thông qua hàm doanh thu và hàm chi phí:
π = TR(Q) − TC(Q)
1.1.4. Hàm tiêu dùng và hàm tiết kiệm
Định nghĩa 4. Hàm tiêu dùng biểu diễn sự phụ thuộc của biến tiêu dùng C(Consumption)
vào biến thu nhập Y (Income):
C = f(Y ) (1.7)
Theo quy luật chung, khi thu nhập tăng người ta có xu hướng tiêu dùng nhiều hơn
nên hàm tiêu dùng là hàm đồng biến.
Định nghĩa 5. Hàm tiết kiệm biểu diễn sự phụ thuộc của biến tiết kiệm S(Saving) vào
biến thu nhập Y
S = S(Y ) (1.8)
Hàm tiết kiệm cũng là hàm đồng biến.
1.2. Một số mô hình tuyến tính
Phần này trình bày một số mô hình kinh tế có thể giải quyết bằng việc đưa về hệ
phương trình đại số tuyến tính A.X = B đã biết.
1.2.1. Mô hình cân bằng thị trường
a. Thị trường một loại hàng hóa.
Dạng tuyến tính của hàm cung và hàm cầu:
Qs = −a0 + a1p
Qd = b0 − b1p
trong đó a0, a1, b0, b1 là các hằng số dương.
Như trên đã nói, điểm cân bằng thị trường là điểm gặp nhau giữa đường cung và đường
câu. Vì vậy mô hình cân bằng thị trường có dạng:



Qs = −a0 + a1p
Qd = b0 − b1p
Qs = Qd
⇔



Qs = −a0 + a1p
Qd = b0 − b1p
−a0 + a1p = b0 − b1p
(1.9)
Giải hệ phương trình này ta được:
Giá cân bằng: ¯p =
a0 + b0
a1 + b1

Lượng cân bằng: ¯Qs = ¯Qd =
a1b0 − a0b1
a1 + b1
b. Thị trường nhiều loại hàng hóa. Trong thị trường nhiều hàng hóa liên quan giá
của hàng hóa này có thể ảnh hưởng đến lượng cung và lượng cầu của các hàng hóa khác.
Để xét mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa liên quan ta ký hiệu biến số như sau:
Qsi: Lượng cung hàng hóa thứ i.
Qdi: Lượng cầu hàng hóa thứ i.
pi: Giá hàng hóa thứ i
Với giả thiết các yếu tố khác không thay đổi, hàm cung và hàm cầu tuyến tính có dạng
như sau:
Hàm cung của hàng hóa i: Qsi = ai0 + ai1p1 + ... + ainpn(i = 1, 2, ..., n)
Hàm cầu đối với hàng hóa i: Qdi = bi0 + bi1p1 + ... + binpn(i = 1, 2, ..., n)
Mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa có dạng như sau:



Qsi = ai0 + ai1p1 + ... + ainpn
Qdi = bi0 + bi1p1 + ... + binpn
Qsi = Qdi, i = 1, 2, ..., n
(1.10)
Giải hệ phương trình này ta xác định được giá cân bằng của tất cả n hàng hóa, sau đó
thay vào hàm cung (hoặc hàm cầu) ta xác định được lượng cân bằng.
Ví dụ:
Giả sử thị trường gồm hai loại hàng hóa, hàng hóa 1 và hàng hóa 2 với hàm cung và hàm
cầu như sau:
Hàng hóa 1:Qs1 = −2 + 3p1; Qd1 = 10 − 2p1 + p2
Hàng hóa 2: Qs2 = −1 + 2p2; Qd2 = 15 + p1 − p2
Hệ phương trình xác định giá cân bằng:
−2 + 3p1 = 10 − 2p1 + p2
−1 + 2p2 = 15 + p1 − p2
⇔
5p1 − p2 = 12
−p1 + 3p2 = 16
Giải hệ phương trình này ta tìm được giá cân bằng của mỗi loại hàng hóa:
¯p1 =
26
7
; ¯p2 =
46
7
Thay giá cân bằng vào các biểu thức của hàm cung ta xác định được lượng cân bằng:
¯Q1 =
64
7
; ¯Q2 =
85
7
1.2.2. Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô
Ký hiệu:
Y: Tổng thu nhập quốc dân;
E: Tổng chi tiêu kế hoạch;

Trong một nền kinh tế đóng, tổng chi tiêu kế hoạch của nền kinh tế gồm các thành phần
sau:
C: Tiêu dùng;
G: Chi tiêu của chính phủ;
I: Chi tiêu cho đầu tư của các nhà sản xuất
Ta giả sử rằng đầu tư theo kế hoạch là cố định: I = I0 và chính sách tài khóa của chính
phủ cố định: G = G0 còn tiêu dùng phụ thuộc vào thu nhập dưới dạng hàm bậc nhất:
C = aY + b, (0 < a < 1, b > 0)
Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô có dạng hệ phương trình tuyến tính:



Y = E
E = C + I0 + G0
C = aY + b
⇔
Y = C + I0 + G0
C = aY + b
⇔
Y − C = I0 + G0
−aY + C = b
(1.11)
Giải hệ phương trình này ta thu được mức thu nhập cân bằng và mức tiêu dùng cân bằng
của nền kinh tế:
¯Y =
b + I0 + G0
1 − a
; ¯C =
b + a (I0 + G0)
1 − a
Ví dụ:
Nếu C = 200 + 0.75Y ; I0 = 300; G0 = 400 thì ta tính được mức thu nhập cân bằng và
mức tiêu dùng cân bằng là:
¯Y =
200 + 300 + 400
1 − 0.75
= 3600
¯C =
200 + 0.75 (300 + 400)
1 − 0.75
= 2900
1.3. Ứng dụng của cấp số nhân
1.3.1. Nhắc lại kiến thức về cấp số nhân
- Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số {xn} thỏa mãn điều kiện:
x0, x1 = x0q, ....xn = xn−1q = x0qn
Tức là mỗi số hạng của nó bằng số hạng đứng kề trước số hạng đó nhân với một hằng số
q không đổi. Hằng số q được gọi là công bội của cấp số nhân. Nếu cho trước công bội q
và số hạng ban đầu x0 thì ta sẽ xác định được mọi số hạng của cấp số nhân.
- Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được tính theo công thức:
Sn = x0 + x1 + ... + xn = x0 1 + q + q2
+ ... + qn
= x0
(1 − qn+1
)
1 − q

- Một cấp số nhân có công bội thỏa mãn |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Khi đó tổng của tất cả các số hạng của cấp số nhân lùi vô hạn có công thức: Sn =
x0 + x1 + ... + xn + ... =
x0
1 − q
1.3.2. Tính giá trị hiện tại và giá trị tương lai của tiền tệ
Giả sử có A đồng gửi vào một ngân hàng nào đó với một mức lãi suất cố định r phần trăm
một năm thì sau một khoảng thời gian sẽ nhận được số tiền lớn hơn là: B = A+(tiền lãi).
Định nghĩa 6. Người ta gọi khoản B đồng đó là giá trị tương lai của khoản A đồng hôm
nay và ngược lại, A là giá trị hiện tại của khoản B đồng sẽ có được trong tương lai.
Trong thị trường tiền tệ, lãi suất được xem như giá của những khoản tiền cho vay.
Có nhiều hình thức tổ chức trung gian tài chính thực hiện chức năng vay tiền của những
người có tiền để nhàn rỗi nhưng không biết làm cho tiền sinh lời và cho người khác vay,
trong đó ngân hàng là một hình thức tổ chức trung gian tài chính phổ biến. Lãi suất được
quy định rất khác nhau. Trong kinh tế học, khi phân tích hoạt động tài chính người ta
giả thiết rằng có một mức lãi suất chung là r% (lãi suất liên ngân hàng), biểu diễn dưới
dạng thập phân.
Số tiền nhận được cả gốc và lãi sau một năm là: B1 = A + rA = A(1 + r). Sau năm thứ
hai là B2 = B1 + B1r = A(1 + r)2
....
Như vậy nếu tính gộp cả tiền lãi vào tiền gốc thì cứ sau mỗi năm số tiền sẽ được nhân
thêm bội số q = (1 + r). Gọi Bt là số tiền có được sau t năm, ta có cấp số nhân với giá
trị ban đầu A và công bội q = (1 + r): Bt = A(1 + r)t
. Vậy công thức tính giá trị tương
lai của A sau t năm là:
B = A(1 + r)t
(1.12)
Ngược lại, để nhận được B sau t, giá trị cần gửi vào ngân hàng hiện tại là:
A = B(1 + r)−t
(1.13)
Ví dụ: Một dự án đầu tư đòi hỏi chi phí hiện tại 100 triệu đồng và sẽ đem lại 150 triệu
đồng sau 3 năm. Với lãi suất thịnh hành 8% một năm, đánh giá xem có nên thực hiện dự
án không?
Giải:
Giá trị hiện tại của 150 triệu đồng sẽ thu về sau 3 năm: A = 150(1 + 0.08)−3
= 119
triệu đồng. Như vậy, theo giá trị hiện tại, việc thực hiện dự án sẽ đem lại khoản lợi:
119 − 100 = 19 triệu đồng. Nên thực hiện dự án.
Một cách khác để đánh giá dự án là tính giá trị tương lai của 100 triệu nếu không thực

hiện dự án (gửi ngân hàng): B = 100(1 + 0.08)3
= 126 triệu đồng. Con số này nhỏ hơn
150 triệu đồng do dự án mang lại tức là việc tiến hành dự án có lợi hơn cho vay.
Một phương pháp khác để đánh giá là tính giá trị hiện tại ròng: Giá trị hiện tại ròng của
một dự án đầu tư là hiệu số của giá trị hiện tại của khoản tiền sẽ thu về trong tương lai
và chi phí hiện tại của dự án. Gọi C là khoản chi phí hiện tại, B là khoản dự án mang
lại sau t năm. Ký hiệu giá trị hiện tại ròng là NPV (Net Present Value). Ta có:
NPV = B(1 + r)−t
− C (1.14)
Một tiêu chuẩn cơ bản để chấp nhận dự án là NPV > 0, ngoài ra việc so sánh NPV giữa
các dự án cũng cho phép chúng ta lựa chọn dự án tốt nhất.
Ví dụ:
Một nhà đầu tư có thể bỏ tiền để thực hiện một trong 3 dự án:
Dự án 1: Chi phí hiện tại 2000$ và đem lại 3000$ sau 4 năm;
Dự án 2: Chi phí hiện tại 2000$ và đem lại 4000$ sau 6 năm;
Dự án 3: Chi phí hiện tại 3000$ và đem lại 4800$ sau 5 năm
Với lãi suất thịnh hành 10% một năm thì nên chọn dự án nào?
Giải:
Ta có NPV1 = 3000(1 + 0.1)−4
− 2000 = 49; NPV2 = 4000(1 + 0.1)−6
− 2000 = 258;
NPV3 = 4800(1 + 0.1)−5
= −20. Vậy nên chọn dự án 2.
1.3.3. Kỳ khoản và giá trị của các luồng vốn
Kỳ khoản là số tiền tích cóp đều đặn theo định kỳ (hàng tháng, hàng quý, hàng năm...).
Kỳ khoản định kỳ hàng năm được gọi là niên khoản.
Sử dụng công thức tính giá trị hiện tại và tương lai của tiền tệ và công thức tính tổng
các số hạng của một cấp số nhân ta có thể tính được giá trị hiện tại và giá trị tương lai
của một luồng kỳ khoản.
Ví dụ 1:
Một dự án đầu tư sau một năm sẽ đem lại đều đặn 5000$ mỗi năm, liên tiếp 10 năm sau
đó. Hỏi rằng với lượng vốn đầu tư ban đầu là bao nhiêu thì có thể chấp nhận dự án đó
với điều kiện lãi suất 10% một năm.
Giải:
Để đánh giá dự án, ta tính giá trị hiện tại của luồng thu nhập, ký hiệu là PV(Present
Value),

PV = 5000(1 + 0.1)−1
+ 5000(1 + 0.1)−2
+ ... + 5000(1 + 0.1)−10
=
= 5000
1
1.1
+
1
1.12 + ... +
1
1.110 = 5000
1
1.1
1 −
1
1.1
10
1 −
1
1.1
= 30723
Vậy chỉ có thể thực hiện dự án nếu đầu tư ban đầu nhỏ hơn 30723$.
Ví dụ 2:
Giả sử người P định mua một chiếc xe máy theo phương thức trả góp. Theo phương thức
này sau một tháng kể từ khi nhận hàng, P phải đều đặn trả mỗi tháng một khoản tiền
nhất định, liên tiếp trong 24 tháng. Giả sử giá xe máy tại thời điểm P mua là 2500$ (Giá
trả ngay) và giả sử lãi suất là 1% một tháng. Hỏi với mức trả hàng tháng là bao nhiêu
thì việc mua trả góp của P là chấp nhận được?
Giải:
Gọi a là khoản tiền phải trả hàng tháng. Giá trị hiện tại của toàn bộ khoản tiền trả góp
tại thời điểm hiện tại là:
PV = a(1 + 0.01)−1
+ a(1 + 0.01)−2
+ ... + a(1 + 0.01)−24
=
= a
1
1.01
1 −
1
1.01
24
1 −
1
1.01
= 21.24a
Việc mua trả góp sẽ tương đương với việc mua trả ngay nếu: PV = 21.24a = 2500, hay
a = 117.7$
Vậy chỉ có thể bằng lòng mua trả góp nếu số tiền định kỳ phải trả hàng tháng không
vượt quá 117.7$, nếu không thì vay ngân hàng để trả ngay 2500$ có lợi hơn.
1.4. Sử dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế
1.4.1. Đạo hàm và giá trị cận biên
Xét mô hình hàm số: y = f(x), trong đó x và y là các biến số kinh tế. Trong kinh tế học
người ta quan tâm đến xu hướng biến thiên của y tại một điểm x0 khi x thay đổi một
lượng nhỏ. Theo định nghĩa đạo hàm ta có:
f (x0) = lim
∆x→0
f (x0 + ∆x) − f (x0)
∆x
Khi ∆x có giá trị tuyệt đối đủ nhỏ, ta có:
f (x0) ≈
f (x0 + ∆x) − f (x0)
∆x
⇒ ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0) ≈ f (x0) ∆x
Khi ∆x = 1 ta có ∆y ≈ f (x0).

Định nghĩa 7. Đạo hàm f (x0) biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi giá trị của y khi x tăng
thêm 1 đơn vị tại điểm x0. Giá trị này được gọi là giá trị y- cận biên của x tại điểm x0.
Đối với một số hàm kinh tế, giá trị cận biên có tên gọi cụ thể như sau:
Mô hình hàm sản xuất ngắn hạn Q = f(L), f (L0) được gọi là sản phẩm hiện vật cận biên
tại điểm L0. Giá trị này được ký hiệu là MPPL (Marginal Physical Product of Labor),
nó cho biết xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi sử dụng thêm một đơn vị lao
động tại điểm L0.
Với mô hình hàm doanh thu TR = TR(Q), TR (Q0) được gọi là doanh thu cận biên tại
điểm Q0, ký hiệu là MR(Marginal Revenue). Giá trị này cho biết xấp xỉ lượng doanh thu
tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm.
Đối với hàm chi phí TC = TC(Q) thì TC (Q0) gọi là chi phí cận biên tại điểm Q0, ký
hiệu là MC(Marginal Cost), MC cho biết xấp xỉ lượng chi phí tăng thêm khi sản xuất
thêm một đơn vị sản phẩm.
Tương tự, hàm tiêu dùng C = C(Y ) thì xu hướng tiêu dùng cận biên là C (Y0), ký hiệu là
MPC (Marginal Propensity Consume); Hàm tiết kiệm S = S(Y ) thì xu hướng tiết kiệm
cận biên là MPS = S (Y0) (Marginal Propensity to Save).
Ví dụ:
Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp là: Q = 5
√
L. ở mức sử dụng L = 100 đơn
vị lao động, mức sản lượng tương ứng là Q = 50 sản phẩm. Sản phẩm hiện vật cận biên
của lao động tại điểm L = 100 là:
MPPL = Q =
5
2
√
L
= 0.25
Điều này có nghĩa là khi tăng mức sử dụng lao động từ 100 lên 101 thì sản lượng tương
ứng sẽ tăng khoản 0.25 đơn vị hiện vật.
1.4.2. Hệ số co dãn của cung và cầu theo giá
Để đánh giá độ nhạy cảm của cung, cầu hàng hóa đối với sự biến động giá cả, các nhà
kinh tế sử dụng khái niệm hệ số co dãn.
Định nghĩa 8. Hệ số co dãn của cung (cầu) theo giá là số đo mức thay đổi phần trăm
của lượng cung (cầu) khi giá tăng 1%.
Giả sử có hàm cầu: Qd = D(p). Tại mức giá p, nếu giá thay đổi một lượng ∆p thì
lượng cầu thay đổi tương ứng một lượng ∆Qd. Mức phần trăm thay đổi của lượng cầu
tính bình quân cho 1% thay đổi giá là:

ε =
∆Qd
Qd
.100
∆p
p
.100
=
∆Qd
∆p
p
Qd
. Chuyển qua giới hạn khi ∆p → 0 ta được công thức tính
hệ số co dãn của cầu theo giá tại điểm p:
ε = D (p).
p
D(p)
(1.15)
Tương tự, với hàm cung Qs = S(p), hệ số co dãn của cung theo giá được tính theo công
thức:
ε = S (p).
p
S(p)
(1.16)
Ví dụ:
Nếu hàm cầu là Q = 1400 − p2
thì hệ số co dãn tại điểm p là
ε = D (p).
p
D(p)
=
(1400 − p2
) p
1400 − p2
=
−2p2
1400 − p2
Tại điểm p = 20 ta có ε = −0.8. Điều này có nghĩa là, tại mức giá p = 20, nếu giá tăng
1% thì cầu sẽ giảm khoảng 0.8%.
1.4.3. Quan hệ giữa hàm bình quân và hàm cận biên
Chúng ta đã biết hàm chi phí TC = TC(Q) biểu diễn tổng chi phí TC ở mỗi mức sản
lượng Q. Khi phân tích sản xuất, người ta còn sử dụng hàm chi phí bình quân và hàm
chi phí cận biên. Ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí bình quân trên một đơn vị sản phẩm
được định nghĩa là;
AC =
TC(Q)
Q
Ta có:
(AC) =
TC
Q
=
TC Q − TC
Q2
=
TC − TC
Q
Q
=
MC − AC
Q
Từ đây ta thấy đạo hàm của hàm chi phí bình quân là tỷ số giữa hiệu chi phí cận biên
và chi phí bình quân với mức sản lượng Q. Do đó:
- Nếu MC > AC thì (AC) > 0, tức là khi chi phí cận biên lớn hơn chi phí bình quân thì
chi phí bình quân tăng.
- Nếu MC < AC thì (AC) < 0, tức là khi chi phí cận biên nhỏ hơn chi phí bình quân
thì chi phí bình quân giảm.
- MC = AC khi và chỉ khi (AC) = 0, tức là chi phí bình quân chỉ có thể đạt cực tiểu tại
điểm mà chi phí cận biên bằng chi phí bình quân
Tương tự, doanh thu bình quân AR = TR(Q)
Q
và doanh thu cận biên MR = TR (Q) liên

hệ với nhau như sau:
- Nếu MR > AR thì AR (Q) > 0, tức là khi doanh thu cận biên lớn hơn doanh thu bình
quân thì doanh thu bình quân tăng.
- Nếu MR < AR thì AR (Q) < 0, tức là khi doanh thu cận biên nhỏ hơn doanh thu bình
quân thì doanh thu bình quân giảm.
- MR = AR khi và chỉ khi AR (Q) = 0, tức là doanh thu bình quân chỉ có thể đạt cực
đại tại điểm mà doanh thu cận biên bằng doanh thu bình quân.
1.5. Bài tập
Bài tập 1: Trình bày các khái niệm hàm cung, hàm cầu, điểm cân bằng thị trường và
nêu các tính chất, ý nghĩa liên quan.
Bài tập 2: Tìm điểm cân bằng thị trường (xác định giá cân bằng, lượng cân bằng) của
mô hình thị trường nhiều loại hàng hoá sau:
1, Hàng hóa 1:Qs1 = −2 + 4p1; Qd1 = 12 − 2p1 + 4p2
Hàng hóa 2: Qs2 = −4 + 6p2; Qd2 = 11 + 2p1 − 4p2
2, Hàng hóa 1:Qs1 = −2 + 6p1; Qd1 = 1 − 2p1 + 3p2
Hàng hóa 2: Qs2 = −1 + 5p2; Qd2 = 3 + 2p1 − 4p2
3, Hàng hóa 1:Qs1 = −2 + 3p1; Qd1 = 10 − 2p1 + p2
Hàng hóa 2: Qs2 = −1 + 2p2; Qd2 = 15 + p1 − p2
4, Hàng hóa 1:Qs1 = −3 + 5p1; Qd1 = 2 − p1 + 4p2
Hàng hóa 2: Qs2 = −1 + 4p2; Qd2 = 3 + 2p1 − p2
5, Hàng hóa 1:Qs1 = −2 + 6p1; Qd1 = 3 − 4p1 + 5p2
Hàng hóa 2: Qs2 = −1 + 4p2; Qd2 = 2 + 3p1 − 4p2
6, Hàng hóa 1:Qs1 = −3 + 7p1; Qd1 = 2 − p1 + 4p2
Hàng hóa 2: Qs2 = −2 + 5p2; Qd2 = 4 + 3p1 − 5p2
7, Hàng hóa 1:Qs1 = −3 + 2p1; Qd1 = 13 − 4p1 + 3p2
Hàng hóa 2: Qs2 = −2 + 5p2; Qd2 = 10 + 3p1 − 4p2
8, Hàng hóa 1:Qs1 = −5 + 7p1; Qd1 = 12 − 3p1 + 4p2
Hàng hóa 2: Qs2 = −4 + 3p2; Qd2 = 16 + 2p1 − 4p2
9, Hàng hóa 1:Qs1 = −5 + 6p1; Qd1 = 23 − 6p1 + 7p2
Hàng hóa 2: Qs2 = −4 + 7p2; Qd2 = 20 + 8p1 − 4p2
10, Hàng hóa 1:Qs1 = −4 + 5p1; Qd1 = 22 − 7p1 + 4p2
Hàng hóa 2: Qs2 = −6 + 8p2; Qd2 = 25 + 5p1 − 3p2
11, Hàng hóa 1:Qs1 = −5 + 7p1; Qd1 = 32 − 9p1 + 4p2

Hàng hóa 2: Qs2 = −9 + 6p2; Qd2 = 24 + 6p1 − 8p2
Bài tập 3: Tìm điểm cân bằng của mô hình kinh tế vĩ mô (tìm tổng thu nhập quốc dân
cân bằng ¯Y và tiêu dùng cân bằng ¯C) cho như sau:
a, C = 300 + 0.75Y , I0 = 300, G0 = 400
b, C = 500 + 0.8Y , I0 = 350, G0 = 400
c, C = 0.85Y + 600, I0 = 400, G0 = 550
Bài tập 4:Một dự án đầu tư đòi hỏi chi phí hiện tại A (triệu đồng) và sẽ đem lại B (triệu
đồng) sau n năm với lãi suất thịnh hành r (phần trăm) một năm. Yêu cầu:
a, Tính giá trị tương lai của khoản A
b, Tính giá trị hiện tại của khoản B
c, Ra quyết định có nên thực hiện dự án hay không? (giải theo hai cách và nêu rõ ý nghĩa)
1, A = 120, B = 220, n = 3, r = 10
2, A = 150, B = 220, n = 3, r = 10
3, A = 170, B = 220, n = 3, r = 10
4, A = 200, B = 220, n = 3, r = 10
5, A = 150, B = 250, n = 4, r = 10
6, A = 150, B = 250, n = 5, r = 10
7, A = 120, B = 220, n = 4, r = 12
8, A = 120, B = 220, n = 4, r = 15
9, A = 120, B = 220, n = 4, r = 20
10, A = 200, B = 800, n = 13, r = 15
Bài tập 5: Một nhà đầu tư có thể bỏ tiền ra để thực hiện một trong 3 dự án:
Dự án 1: Chi phí hiện tại A1 và sẽ đem lại B1 đồng sau thời gian n1 năm
Cho biết lãi suất thịnh hành là r phần trăm một năm. Hãy tính NPV của mỗi dự án và
đánh giá nên thực hiện dự án nào?
1, A1 = 2000, B1 = 3000, n1 = 4
A2 = 2000, B2 = 4000, n2 = 6
A3 = 3000, B3 = 4800, n3 = 5
r = 10
2, A1 = 2475, B1 = 4536, n1 = 3
A2 = 3245, B2 = 5678, n2 = 3
A3 = 3567, B3 = 4532, n3 = 2
r = 11
3, A1 = 1255, B1 = 2750, n1 = 3

A2 = 2775, B2 = 4160, n2 = 2
A3 = 1885, B3 = 3190, n3 = 2
r = 10
4, A1 = 4522, B1 = 5643, n1 = 4
A2 = 3245, B2 = 4578, n2 = 3
A3 = 4423, B3 = 5436, n3 = 4
r = 10
5, A1 = 3500, B1 = 7000, n1 = 3
A2 = 4000, B2 = 8000, n2 = 4
A3 = 3400, B3 = 5000, n3 = 2
r = 10
Bài tập 6: Một nhà đầu tư thực hiện dự án với chi phí hiện tại 3400. Kỳ vọng của nhà
đầu tư là NPV của dự án phải lớn hơn 320. Hỏi giá trị dự án mang lại sau 2 năm phải
đạt tối thiểu bao nhiêu để nhà đầu tư đạt được kỳ vọng. Cho biết lãi suất thịnh hành
r = 10% một năm.
Bài tập 7: Một nhà đầu tư dự định thực hiện dự án với kỳ vọng là NPV của dự án phải
lớn hơn 3263. Giả sử sau 7 năm, dự án mang lại 20000. Hỏi chi phí hiện tại của dự án tối
đa là bao nhiêu? Cho biết lãi suất thịnh hành r = 10% một năm.
Bài tập 8: Một nhà đầu tư thực hiện dự án với chi phí ban đầu 4000. Sau khoảng thời
gian t năm, dự án mang lại 13000. Hãy ước lượng thời gian thực hiện dự án t để dự án
đạt được NPV tối thiểu bằng 4879. Cho biết lãi suất thịnh hành r = 10% một năm.
Bài tập 9: Một người dự định mua ô tô theo phương thức trả góp. Giá xe tại thời điểm
người đó mua là 40 000$ và lãi suất liên ngân hàng là 12% một năm (1% một tháng). Giả
sử người đó đã trả trước 10 000$, số còn lại tính theo phương thức trả góp, nghĩa là mỗi
tháng phải trả cho chủ hàng A$, liên tiếp trong 36 tháng. Hỏi với mức trả hàng tháng là
bao nhiêu thì việc mua trả góp của người đó là chấp nhận được? (không cao hơn việc vay
ngân hàng để trả thẳng).
Bài tập 10
a, Cho hàm sản xuất Q = 20
√
L. Tính giá trị MPPL tại giá trị L = 100 và nêu ý nghĩa?
b, Cho hàm cầu Q = 1400 − p2
. Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá p = 20
và nêu ý nghĩa?

Chương 2
Phương trình vi phân
2.1. Đại cương về phương trình vi phân
Khi nghiên cứu sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các biến số, nhiều khi người ta không thể
thiết lập một cách trực tiếp quy luật phụ thuộc hàm số, trong khi đó lại có thể thiết lập
mối liên hệ hỗn hợp giữa các biến số có quan hệ hàm số, cùng với đạo hàm hoặc vi phân
của hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của một biến vào các biến còn lại. Trong nhiều trường
hợp hệ thức liên hệ được viết dưới dạng phương trình có chứa hàm số phải tìm dưới dấu
đạo hàm hoặc vi phân, phương trình đó được gọi là phương trình vi phân.
Trong các phương trình, nếu không có gì đặc biệt thì biến số độc lập được sử dụng là
x. Trong một số trường hợp có thể sử dụng biến số độc lập t.
2.1.1. Định nghĩa.
Định nghĩa 9. Phương trình mà trong đó chứa các biến số độc lập, hàm phải tìm và các
đạo hàm (hay vi phân) của nó được gọi là một phương trình vi phân.
Ví dụ: Các phương trình sau là phương trình vi phân.
a,
dy
dx
+ 5t sin x = 0
b, y + 5yy = 0
Có hai loại phương trình vi phân:
- Phương trình vi phân thường là phương trình vi phân mà trong đó hàm phải tìm chỉ phụ
thuộc một biến số độc lập. Phương trình vi phân thường có dạng F(x, y, y , ..., y(n)
) = 0,
trong đó x là biến số độc lập, y = y(x) là hàm số phải tìm, y , y , .., y(n)
là các đạo hàm
của hàm số. - Phương trình vi phân đạo hàm riêng là phương trình mà hàm phải tìm phụ
thuộc ít nhất hai biến số.
Ví dụ: Phương trình
∂2
u
∂x2
+
∂u
∂t
= sin x. sin t , u = u(x, t), là phương trình vi phân đạo
hàm riêng.
19

2.1.2. Cấp của phương trình vi phân.
Định nghĩa 10. Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong
phương trình
- Phương trình F(x, y,
dy
dx
) = 0 có chứa đạo hàm cấp 1 là phương trình vi phân cấp 1
(phương trình nhất thiết phải chứa đạo hàm cấp 1).
dy
dx
,
d2
y
dx2
) có chứa đạo hàm cấp 2 là phương trình vi phân cấp 2
(nhất thiết phải chứa đạo hàm cấp 2).
dy
dx
, ...,
dn
y
dxn
) = 0 là phương trình vi phân cấp n, ở đây nhất thiết
phải có mặt
dn
y
dxn
.
Ví dụ:
a, y = y3
+ x là phương trình vi phân cấp 1.
b, xdx − ydy = 0 là phương trình vi phân cấp 1.
c,
d2
y
dx2
= −4y2
+ x là phương trình vi phân cấp 2.
2.1.3. Nghiệm của phương trình vi phân.
Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm số ϕ(x) mà khi thay
y = ϕ(x), y = ϕ (x), ..., y(n)
= ϕ(n)
(x)
vào phương trình đã cho ta được một đồng nhất thức, tức là
F(x, ϕ(x), ϕ (x), ..., ϕ(n)
(x)) = 0
Đối với phương trình vi phân cấp n thông thường ta tìm nghiệm dưới dạng
y = φ(x, C1, C2, ..., Cn)
chứa n hằng số tuỳ ý được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình. Nếu cho C1, C2, ..., Cn
những giá trị cụ thể ta sẽ được nghiệm riêng của phương trình.
2.1.4. Phương trình vi phân cấp một.
+ Phương trình vi phân cấp một có dạng
F (x, y, y ) = 0 hay y = f(x, y)
+ Nghiệm của phương trình vi phân cấp một là một hàm số ϕ(x) thỏa mãn
F(x, ϕ(x), ϕ (x)) = 0

Ví dụ:
a, y = Cex
, C là hằng số, là nghiệm của phương trình vi phân y = y . Vì
(Cex
) = Cex
b, Hàm số y =
1
x
là nghiệm của phương trình xdy + ydx = 0 .Vì
xd
1
x
+
1
x
dx = x −
dx
x2
+
1
x
dt = 0
Định lý 1. (Sự tồn tại và duy nhất nghiệm).
Cho phương trình vi phân cấp một y = f(x, y). Giả sử f(x, y) xác định, liên tục trong
một lân cận V của điểm M0(t0, y0) và tồn tại hằng số L sao cho:
|f(x, y2) − f(x, y1)| ≤ L|y2 − y1|, ∀ (x, y1) , (x, y2) ∈ V
Khi đó, trong một khoảng (x0 − δ, x0 + δ) với δ đủ nhỏ, tồn tại một và chỉ một nghiệm
của phương trình thoả mãn điều kiện y = y0 khi x = x0.
Điều kiện y = y(x) lấy giá trị y0 khi x = x0 được gọi là điều kiện ban đầu và viết
y|x=x0
= y0. Bài toán tìm nghiệm của phương trình y = f(x, y) thỏa mãn điều kiện ban
đầu được gọi là bài toán Cauchy.
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp một y = f(x, y) là một hàm số có
dạng y = ϕ(x, C) trong đó C là hằng số tùy ý thỏa mãn phương trình vi phân với mọi
giá của C. Nghiệm riêng của phương trình y = f(x, y) là hàm số y = ϕ(x, C0) mà ta có
được bằng cách cho C trong nghiệm tổng quát một giá trị C0 xác định . Phương trình
y = f(x, y) có thể có một số nghiệm không nằm trong nghiệm tổng quát, những nghiệm
ấy gọi là nghiệm kì dị.
2.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.
2.2.1. Định nghĩa.
Định nghĩa 11. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một là phương trình vi phân có
dạng
y + p(x)y = q(x) hay
dy
dx
+ p(x)y = q(x)
trong đó p(x), q(x) là các hàm số liên tục.
Đặc biệt nếu q(x) = 0 phương trình được gọi là phương trình vi phân tuyến tính thuần
nhất, nếu q(x) = 0 khi đó phương trình được gọi là phương trình vi phân tuyến tính không
thuần nhất.

2.2.2. Cách giải.
a. Giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
Với q(x) = 0, ta có phương trình y + p(x)y = 0 hay
dy
dx
+ p(x)y = 0 (2.1)
y = 0 chia cả hai vế của phương trình cho y ta có
dy
y
= −p(x)dx. Lấy tích phân hai vế
ta được
ln |y| = − p(x)dx + ln |C|
với C là hằng số tùy ý.
Do đó y = C.e− p(x)dx
là nghiệm tổng quát của phương trình 2.1. Mặt khác y = 0 cũng
là nghiệm riêng của phương trình 2.1ứng với C = 0.
b. Giải phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất (Phương pháp biến
thiên hằng số)
Với q(x) = 0, ta có phương trình y + p(x)y = q(x) hay
dy
dx
+ p(x)y = q(x) (2.2)
+ Giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất 2.1, có nghiệm tổng quát là y =
C.e− p(x)dx
.
+ Coi C là hàm số của x; C = C(x), ta có
y = C (x).e− p(x)dx
+ C(x).(−p(x)).e− p(x)dx
Thay vào phương trình 2.2 ta được
C (x).e− p(x)dx
−C(x).p(x).e− p(x)dx
+C(x).p(x).e− p(x)dx
= q(x) hay C (x) = q(x).e p(x)dx
do đó
C = q(x).e p(x)dx
dx + K
trong đó K là một hằng số tùy ý. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình 2.2 là
y = e− p(x)dx
q(x).e p(x)dx
dx + K.e− p(x)dx
Ví dụ 1: Tìm nghiệm riêng của phương trình (x2
+ 1)y + xy = 1 thỏa mãn điều kiện
y|x=0 = 2.

Giải:
+ Giải phương trình thuần nhất
(x2
+ 1)y + xy = 0 hay (x2
+ 1)
dy
dx
= −xy hay
dy
y
= −
x
x2 + 1
dx
Lấy tích phân hai vế ta được
ln |y| = −
1
2
ln x2
+ 1 + ln |C|
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là y =
C
√
x2 + 1
.
+ Coi C là hàm số của x ta có
y =
C (x2
+ 1) − Cx
(x2 + 1)
√
x2 + 1
thay y và y vào phương trình ban đầu ta được
C (x2
+ 1) − Cx
√
x2 + 1
+
Cx
√
x2 + 1
= 1 hay C =
1
√
x2 + 1
hay C = ln x +
√
x2 + 1 + K
trong đó K là hằng số tùy ý. Do đó nghiệm tổng quát của phương trình là
y =
ln x +
√
t2 + 1 + K
√
x2 + 1
Mặt khác ta có y|x=0 = 2 ⇒ K = 2. Vậy nghiệm riêng của phương trình thỏa mãn điều
kiện y|x=0 = 2 là
y =
ln x +
√
x2 + 1 + 2
√
x2 + 1
Ví dụ 2: Giải phương trình vi phân ey
dx + (xey
− 1)dy = 0.
Giải:
Nếu xem y là hàm số phải tìm với biến số x thì phương trình có dạng (xey
− 1)y + ey
= 0
phương trình này không có dạng phương trình vi phân tuyến tính.
Nếu xem x là hàm số phải tìm với biến số y ta có phương trình x + x =
1
ey
. Phương
trình này là phương trình vi phân tuyến tính.
Xét phương trình x + x = 0 hay
dx
dy
= −x hay
dx
x
= −dy. Lấy tích phân hai vế ta có
ln |x| = −y + ln |C| trong đó C là hằng số tùy ý. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình
thuần nhất là x = C.e−y
.
Coi C là hằng số của y suy ra x = C .e−y
− C.e−y
, thay x và x vào phương trình ban
đầu ta được C .e−y
− C.e−y
+ C.e−y
= e−y
hay C = 1 hay C = y + K trong đó K là hằng
số tùy ý. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là x = (y + K).e−y
.
Ví dụ 3: Giải phương trình vi phân y =
x
cos y
− tany.

Giải:
Ta có phương trình đã cho không phải là phương trình vi phân tuyến tính.
Đặt z(x) = sin y ta có z = y cos y , thay vào phương trình đã cho ta được z + z = x.
Đây là phương trình vi phân tuyến tính.
Xét phương trình z + z = 0 hay
dz
z
= −dx hay ln |z| = −x + ln |C| hay z = C.e−x
trong
đó C là hằng số tùy ý.
Coi C là hàm số của x suy ra z = C .e−x
− C.e−x
, thay z và z vào phương trình trên ta
được C .e−x
− C.e−x
+ C.e−x
= x hay C = x.ex
hay C = x.ex
− ex
+ K trong đó K là
hằng số tùy ý, do đó nghiệm tổng quát của phương trình trên là z = x − 1 + K.e−x
. Vậy
nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là sin y = x − 1 + K.e−x
.
2.3. Một số phương trình vi phân phi tuyến cấp 1.
2.3.1. Phương trình biến số phân ly.
Phương trình biến số phân ly có dạng
f(x)dx = g(y)dy (2.3)
trong đó f(t), g(y) là các hàm số liên tục trên miền D nào đó.
Cách giải: Lấy tích phân hai vế của phương trình ta có f(x)dx = g(y)dy . Vậy nghiệm
tổng quát của phương trình (2.3) là F(x) = G(y)+C trong đó F(x), G(y) là nguyên hàm
của các hàm số f(x), g(y) , C là hằng số tùy ý.
Ví dụ 1: Giải phương trình vi phân (1 + x)ydx + (1 − y)xdy = 0.
Giải: Với x = 0,y = 0 chia cả hai vế của phương trình cho xy ta có
1
x
+ 1 dx +
1
y
− 1 dy = 0
1
x
+ 1 dx +
1
y
− 1 dy = C
hay ln |x|+x+ln |y|−y = C. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là ln |xy|+x−y = C.
Ngoài ra x = 0, y = 0 cũng là nghiệm của phương trình.
Chú ý.
- Nếu phương trình có dạng f1(x).g1(y)dx = f2(x).g2(y)dy (f2(x) = 0, g1(y) = 0) đưa
về dạng phương trình (2.3) bằng cách chia hai vế cho f2(x).g1(y) ta được
x1(x)
f2(x)
dx =
g2(y)
g1(y)
dy

- Nếu phương trình có dạng y = f(ax + by). Đặt z = ax + by và xem z là hàm số của
x ta có z = a + by hay
dz
dx
= a + b
dy
dx
hay
dy
dx
=
1
b
dz
dx
−
a
b
Thay vào phương trình trên ta được
1
b
dz
dx
−
a
b
= f(z)
hay
dz
dx
= b.f(z) + a đây là phương trình biến số phân ly.
Ví dụ 2. Giải phương trình
dy
dx
= 2x + y.
Giải: Đặt z = 2x + y suy ra
dz
dx
= 2 +
dy
dx
hay
dy
dx
=
dz
dx
− 2. Thay vào phương trình
ta có
dz
dx
− 2 = z hay
dz
dx
= z + 2
hay
dz
z + 2
= dx. Lấy tích phân hai vế ta có ln |z + 2| = x + ln |C| hay z + 2 = C.ex
. Vậy
nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là 2x + y = C.ex
− 2.
Ví dụ 3. Tìm hàm cầu Q = D(p) biết hệ số co dãn của cầu theo giá là ε = −
5p + 2p2
Q
và lượng cầu ở mức giá p = 10 là 500.
Giải: Từ công thức xác định hệ số co dãn của cầu theo giá, ta có phương trình vi
phân:
dQ
dp
p
Q
= −
5p + 2p2
Q
⇒
dQ
dp
= −5 − 2p
Ta có nghiệm tổng quát: Q = −p2
− 5p + C. Tìm nghiệm riêng với p = 10 và Q = 500 ta
xác định được hằng số C = 650. Vậy nghiệm cần tìm là Q = 650 − p2
− 5p
2.3.2. Phương trình đẳng cấp (hay phương trình thuần nhất).
Phương trình đẳng cấp có dạng
y = f
y
x
(2.4)
(phương trình này không đổi khi ta thay (x, y) bởi (kx, ky) với k là hằng số).
Cách giải: Đặt u =
y
x
trong đó u là hàm số của x. Ta có y = ux suy ra
y = u x + u = f(u) hay xu = f(u) − u hay x
du
dx
= f(u) − u
Nếu f(u) − u = 0, ta có
dx
x
=
du
f(u) − u

đây là phương trình vi phân với biến số phân ly. Lấy tích phân hai vế ta được
ln |x| =
du
f(u) − u
= φ(u) + ln |C|
trong đó φ(x) là nguyên hàm của hàm số
1
f(u) − u
. Do đó x = C.eφ(x)
. Vậy nghiệm tổng
quát của phương trình 2.4 là x = C.e
φ
y
x .
Nếu f(u) − u = 0 thì phương trình có dạng y =
y
x
. Nghiệm tổng quát của phương
trình 2.4 là y = Cx.
Ví dụ 1. Giải phương trình y =
x + ay
ax − y
.
Giải: Ta có
y =
1 + a
y
x
a −
y
x
Đặt u =
y
x
hay y = ux suy ra y = u x + u . Thay vào phương trình ta được
u + xu =
1 + au
a − u
hay x
du
dx
=
1 + au
a − u
− u hay
dx
x
=
a − u
1 + u2
du
Lấy tích phân hai vế ta có
ln |x| =
a − u
1 + u2
du = a.arctgu −
1
2
ln(1 + u2
) + ln |C|
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
x 1 + y2
x2 = C.ea.arctgu
hay x2 + y2 = C.e
a.arctg
y
x
Chú ý.
Phương trình có dạng y = f
a1x + b1y + c1
a2x + b2y + c2
trong đó a1, a2, b1, b2, c1, c2 là các hằng
số.
+ Nếu
a1
a2
=
b1
b2
= k đặt z (x) = a2x + b2y và đưa phương trình về dạng phương trình
biến số phân ly.
+ Nếu
a1
a2
=
b1
b2
ta biến đổi phương trình về dạng phương trình đẳng cấp bằng cách:
- Giải hệ phương trình
a1x + b1y + c1 = 0
a2x + b2y + c2 = 0
, ta tìm được (x0, y0).
- Đặt
x = t + x0
y = u + y0
⇒
dx = dt
dy = du
⇒
dy
dx
=
du
dt
Thay vào phương trình ta được
du
dt
= f
a1t + b1u
a2t + b2u

hay
u = f


a1 + b1
u
t
a2 + b2
u
t

 = f
u
t
Đây là phương trình đẳng cấp.
Ví dụ 2. Giải phương trình (x + y − 3) dy − (x − y + 1) dx = 0.
Giải: Giải hệ
x + y − 3 = 0
x − y + 1 = 0
có nghiệm duy nhất
x0 = 1
y0 = 2
Đặt
x = t + 1
y = u + 2
⇒
dx = dt
dy = du
thay vào phương trình ta có
(t + 1 + u + 2 − 3) du − (t + 1 − u − 2 + 1) dt = 0
hay
du
dt
=
t − u
t + u
hay u =
1 −
u
t
1 +
u
t
Đặt
u
t
= z hay u = zt ⇒ u = z t + z thay vào phương trình trên ta có
z t + z =
1 − z
1 + z
hay
1 + z
1 − 2z − z2
dz =
dt
t
−
1
2
ln 1 − 2z − z2
= ln |t| + ln |C|
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
1
1 −
2 (y − 2)
x − 1
−
(y − 2)2
(x − 1)2
= C (x − 1)
2.3.3. Phương trình Becnuly.
Là phương trình vi phân có dạng
y + p(x)y = q(x)yα
(2.5)
trong đó α = 0, α = 1 (nếu α = 0, α = 1 phương trình có dạng phương trình vi phân
tuyến tính).
Cách giải: Với y = 0 chia cả hai vế của phương trình cho yα
ta được
y−α
y + p (x) y1−α
= q (x)

Đặt z = y1−α
ta có z = (1 − α) y−α
y thay vào phương trình ta được
z + (1 − α) p (x) z = (1 − α) q (x)
Đây là phương trình vi phân tuyến tính.
Mặt khác y = 0 cũng là một nghiệm của phương trình 2.5.
Ví dụ. Giải phương trình y +
y
x
= x2
y4
.
Giải:
+ Với y = 0 chia cả hai vế của phương trình cho y4
ta có
y−4
y +
y−3
x
= x2
Đặt z = y−3
ta có z = −3y−4
y thay vào phương trình trên ta được −
z
3
+
z
x
= x2
, đây
là phương trình tuyến tính.
Xét phương trình −
z
3
+
z
x
= 0 hay
dz
z
= 3
dx
x
. Lấy tích phân hai vế ta được
ln |z| = 3 ln |x| + ln |C| ⇒ z = C.x3
Coi C là hàm số của x suy ra z = C x3
+3Cx2
thay vào phương trình tuyến tính ta được
C = −
3
x
⇒ C = −3 ln |x| + K
do đó nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính là z = Kx3
− 3x3
ln |x|. Vậy nghiệm
tổng quát của phương trình đã cho là
1
y3
= x3
(K − 3 ln |x|) hay y =
1
x 3
K − 3 ln |x|
+ Mặt khác y = 0 cũng là một của phương trình.
2.3.4. Phương trình vi phân toàn phần.
Là phương trình vi phân có dạng
P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0 (2.6)
trong đó P(x), Q(x) là các hàm số liên tục cùng với đạo hàm riêng cấp một của chúng
trong miền đơn liên D thỏa mãn điều kiện
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
Khi đó P (x, y) dx + Q (x, y) dy là vi phân toàn phần của hàm số u(x, y) nào đó, tức là
du (x, y) = P (x, y) dx + Q (x, y) dy

Cách giải: Với D = R2
, hàm số u(x, y) được xác định bởi công thức
u (x, y) =
x
x0
P (x, y) dx+
y
y0
Q (x0, y) dy
hoặc
u (x, y) =
x
x0
P (x, y0) dx+
y
y0
Q (x, y) dy
trong đó (x0, y0) là điểm thuộc miền D.
Vậy tích phân tổng quát của phương trình 2.6 là
x
x0
P (x, y) dx+
y
y0
Q (x0, y) dy = C
hoặc
x
x0
P (x, y0) dx+
y
y0
Q (x, y) dy = C
Ví dụ 1. Giải phương trình (3x2
+ 6xy2
) dx + (6x2
y + 4y3
) dy = 0.
Giải: Ta có P (x, y) = 3x2
+ 6xy2
, Q (x, y) = 6x2
y + 4y3
suy ra
∂P
∂y
= 12xy,
∂Q
∂x
= 12xy ⇒
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
= 12xy
Vậy
P (x, y) dx + Q (x, y) dy
là biểu thức vi phân toàn phần của hàm số u(x, y). Chọn x0 = y0 = 0 ta có
x
0
3x2
+ 6xy2
dx+
y
0
4y3
dy = u (x, y) hay x3
+ 3x2
y2
+ y4
= C
Chú ý. Có những trường hợp phương trình (2.6) không phải là phương trình vi phân
toàn phần, nhưng ta có thể chọn hàm số α (x, y) sao cho phương trình
α (x, y) P (x, y) dx + α (x, y) Q (x, y) dy = 0 (2.7)
trở thành phương trình vi phân toàn phần, tức là
∂
∂y
(αP) =
∂
∂x
(αQ)
Khi đó hàm số α (x, y) được gọi là thừa số tích phân của phương trình vi phân (2.6).
Nghiệm tổng quát của phương trình (2.7) cũng là nghiệm tổng quát của phương trình

(2.6).
Cách tìm thừa số tích phân.
Ở đây ta chỉ đề cập đến trường hợp thừa số tích phân là hàm số một biến x hoặc biến y.
+ Nếu
∂P/∂y − ∂Q/∂x
Q (x, y)
= φ (x)
thì
α (x, y) = α (x) = e φ(x)dx
+ Nếu
∂P/∂y − ∂Q/∂x
P (x, y)
= φ (y)
thì
α (x, y) = α (y) = e− φ(y)dy
Ví dụ 2. Giải phương trình ydx − (4x2
y + x) dy = 0.
Giải: Ta có P (x, y) = y, Q (x, y) = − (4x2
y + x) suy ra
∂P
∂y
= 1,
∂Q
∂x
= − (8xy + 1) ⇒
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
Mặt khác
∂P/∂y − ∂Q/∂x
Q (x, y)
=
8xy + 2
− (4x2y + x)
= -
2
x
= φ (x)
suy ra
α (x) = e
−
2
x
dx
= e−2 ln|x|
=
1
x2
Nhân hai vế của phương trình với
1
x2
ta có
y
x2
dx − 4y +
1
x
dy = 0.
Khi đó
P (x, y) =
y
x2
, Q (x, y) = − 4y +
1
x
suy ra
∂P
∂y
=
1
x2
,
∂Q
∂x
=
1
x2
⇒
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
Vậy P (x, y) dx + Q (x, y) dy là biểu thức vi phân toàn phần của hàm số u(x, y). Chọn
x0 = 1, y0 = 0 ta có tích phân tổng quát của phương trình là
x
1
y
x2
dx−
y
0
(4y + 1) dy = u (x, y) hay −
y
x
− 2y2
= C

2.4. Một số mô hình phương trình vi phân cấp 1 trong
phân tích kinh tế
2.4.1. Phân tích định tính quỹ đạo thời gian của một số biến số
kinh tế bằng phương pháp đồ thị
Một trong các đề tài quan trọng của kinh tế học là phân tích xu hướng vận động của các
biến số kinh tế theo thời gian. Giả sử quy luật vận động của biến số y theo thời gian t
được biểu diễn dưới dạng phương trình vi phân cấp 1:
dy
dt
= f(t, y) (2.8)
Nghiệm y = y(t) của phương trình (2.8) thỏa mãn điều kiện ban đầu y(0) = y0 được gọi
là quỹ đạo thời gian của biến số y. Việc phân tích định lượng quỹ đạo thời gian chỉ có
thể thực hiện được khi ta giải được phương trình vi phân (2.8) và biểu diễn nghiệm của
nó dưới dạng hàm hiện. Phương pháp định tính dưới đây cho phép ta phân tích quỹ đạo
thời gian của biến số y ngay cả khi không tìm được nghiệm của phương trình (2.8) dưới
dạng hiện.
Xét trường hợp vế phải của phương trình (2.8) khuyết biến số t:
dy
dt
= f(y) (2.9)
Phương trình (2.9) được gọi là phương trình vi phân otonom. Trong trường hợp này ta
có thể phân tích xu hướng vận động theo thời gian của biến số y thông qua hàm số f(y)
ở vế phải.
a, Biểu đồ pha
Trên mặt phẳng tọa độ với trục hoành biểu diễn biến số y và trục tung biểu diễn biến số
y , ta lập đồ thị hàm số (2.9). Đồ thị đó được gọi là đường pha. Ta đã biết y cho biết xu
hướng tăng giảm của y theo t, do đó xu hướng vận động của y theo thời gian có thể được
xác định theo quy tắc sau:
• Tại những điểm của đường pha nằm trên trục hoành, y nhận giá trị dương, do đó
y tăng theo thời gian.
• Tại những điểm của đường pha nằm dưới trục hoành, y nhận giá trị âm, do đó y
giảm theo thời gian.
• Tại giao điểm (y, 0) của đường pha với trục hoành, y = 0.
Ta gọi y là trạng thái tĩnh, hay trạng thái cân bằng của biến số y. Trạng thái cân bằng
tồn tại khi và chỉ khi đường pha cắt trục hoành.

Hai trường hợp thường gặp của biểu đồ pha được thể hiện như hình dưới đây.
Hình 2.1: Đường pha 1
Hình 2.2: Đường pha 2
b, Quỹ đạo thời gian và tính ổn định động của trạng thái cân bằng
Dựa vào biểu đồ pha chúng ta có thể phân tích định tính quỹ đạo thời gian của biến số
y. Để minh hoạ, ta biểu diễn quỹ đạo thời gian tương ứng với hai biểu đồ pha trên. Trục
hoành biểu diễn thời gian t, trục tung biểu diễn biến số y, đường thẳng y = y biểu diễn
trạng thái cân bằng.
Quỹ đạo thời gian tương ứng với biểu đồ pha ở hình 2.1 được minh hoạ ở hình 2.3. Nếu
tại thời điểm xuất phát y nhận giá trị y1 < y (y = y1 khi t = 0) thì điểm tương ứng trên
đường pha nằm phía trên trục hoành, do đó y tăng theo thời gian và tiến dần đến trạng
thái cân bằng y. Nếu tại thời điểm xuất phát y nhận giá trị y2 > y thì điểm tương ứng
trên đường pha nằm phía dưới trục hoành, do đó y giảm theo thời gian và tiến dần đến
trạng thái cân bằng y. Như vậy trong trường hợp này mọi quỹ đạo thời gian của biến số
y đều hội tụ đến trạng thái cân bằng, điều này có nghĩa là:
lim
t→∞
y(t) = ¯y
Trong trường hợp này người ta nói rằng trạng thái cân bằng y ổn định động và y được
gọi là trạng thái ổn định.

Quỹ đạo thời gian tương ứng với biểu đồ pha ở hình 2.2 được minh hoạ ở hình 2.4. Nếu
tại thời điểm xuất phát y nhận giá trị y1 < y thì điểm tương ứng trên đường pha nằm
phía dưới trục hoành, do đó y giảm theo thời gian và ngày càng dời xa trạng thái cân
bằng y. Nếu tại thời điểm xuất phát y nhận giá trị y2 > y thì điểm tương ứng trên đường
pha nằm phía trên trục hoành, do đó y tăng theo thời gian và cũng ngày càng dời xa
trạng thái cân bằng. Trong trường hợp này ta nói trạng thái cân bằng y không ổn định.
Hình 2.3: Quỹ đạo thời gian có trạng thái cân bằng ổn định
Phân tích trên đây cho thấy tính ổn định của trạng thái cân bằng y phụ thuộc vào dấu
Hình 2.4: Quỹ đạo thời gian có trạng thái cân bằng không ổn định
của f (y) tại điểm cân bằng y, trạng thái cân bằng y ổn định động khi và chỉ khi f (y) < 0.
Ví dụ: Xét mô hình phương trình vi phân tuyến tính cấp 1:
dy
dt
+ py = q ⇔
dy
dt
= −py + q
Trong trường hợp này f(y) = −py + q, f (y) = −p. Trạng thái cân bằng y = q
p
ổn định
động khi và chỉ khi p > 0.
2.4.2. Mô hình tăng trưởng Domar
Mô hình tăng trưởng Domar đề cập đến việc xác định luồng đầu tư cho nền kinh tế
luôn luôn ở trạng thái cân bằng. Các giả thiết của mô hình như sau:

1. Các yếu tố sản xuất được sử dụng theo một tỷ lệ cố định:
K
L
= const
do đó có thể xét hàm sản xuất như là hàm số một biến số K:
Q = f(K)
trong đó Q là sản lượng tiềm năng và K là tư bản hay quỹ vốn.
2. Tỷ lệ giữa sản lượng tiềm năng và quỹ vốn không đổi, tức là
Q = ρK, (ρ là một hằng số dương).
3. Nền kinh tế luôn luôn ở trạng thái sử dụng hết khả năng sản xuất, tức là thu nhập
Y bằng sản lượng tiềm năng Q:
Y = Q
4. Xu hướng tiết kiệm cận biên không đổi và đầu tư bằng tiết kiệm:
I = S = sY
Hằng số s là xu hướng tiết kiệm cận biên, 0 < s < 1). Ta xét tất cả các biến số nêu
trên như các hàm số của biến thời gian t. Tại thời điểm t lượng đầu tư I(t) biểu thị
tốc độ gia tăng của quỹ vốn K(t), do đó
I(t) =
dK(t)
dt
Theo giả thiết thứ hai ta có:
dQ
dt
= ρ
dK
dt
= ρI (2.10)
Từ giả thiết thứ ba suy ra
dQ
dt
=
dY
dt
(2.11)
Từ giả thiết thứ tư suy ra
dI
dt
= s
dY
dt
⇔
dY
dt
=
1
s
dI
dt
(2.12)
Kết hợp các hệ thức (2.10), (2.11), (2.12) ta được
1
s
dI
dt
= ρI (2.13)
Phương trình (2.13) là phương trình tuyến tính thuần nhất. Giải phương trình này ta
được quỹ đạo thời gian của biến số I:
I = Aeρst

với t = 0 ta có I(0) = A, do đó
I = I(0)eρst
trong đó I(0) là lượng đầu tư ban đầu (tại thời điểm xuất phát). Do ρ > 0 và s > 0 nên,
với I(0) > 0, I tăng không ngừng. Trạng thái cân bằng không tồn tại và I → +∞ khi
t → +∞.
2.4.3. Mô hình tăng trưởng Solow
Trong mô hình Domar sản lượng tiềm năng được xét như là hàm số của một biến số K
(quỹ vốn). Sự vắng mặt của biến số lao động L hàm ý rằng lao động và vốn được kết hợp
theo một tỷ lệ cố định. Mô hình Solow đã tìm cách phân tích tăng trưởng trong điều kiện
vốn và lao động được kết hợp theo tỷ lệ thay đổi.
a. Thiết lập mô hình
Ta xuất phát từ hàm sản xuất:
Q = F(K, L), K > 0, L > 0
trong đó các biến số Q, K và L được xét dưới góc độ kinh tế vĩ mô. Các giả thiết của mô
hình như sau:
1. Hàm sản xuất Q = F(K, L) là hàm thuần nhất bậc 1 (biểu thị hiệu quả không đổi
theo quy mô). Với giả thiết này ta có:
1
L
Q =
1
L
F(K, L) = F
1
L
K,
1
L
L = F
K
L
, 1 = φ(k)
⇒ Q = Lφ(k)
(2.14)
trong đó biến số k =
K
L
được gọi là tỷ số vốn - lao động. Biến số k biểu thị hàm
lượng vốn tính bình quân cho một đơn vị lao động.
2. Tại mọi thời điểm nền kinh tế phát huy hết khả năng công nghệ, tức là tổng thu
nhập Y bằng sản lượng tiềm năng Q:
Q(t) = Y (t)∀t ≥ 0
.
3. Tại mọi thời điểm, một tỷ phần cố định của thu nhập được tiết kiệm và dùng hết
cho đầu tư:
dK
dt
= I(t) = sY (t)
trong đó s là xu hướng tiết kiệm cận biên (s là hằng số dương nhỏ hơn 1).

4. Lực lựng lao động tăng theo quy luật hàm mũ.
dL
dt
= λL
Từ đồng nhất thức K = kL ta có:
dK
dt
= L
dk
dt
+ k
dL
dt
(2.15)
Từ giả thiết 3, kết hợp với giả thiết 2 và hệ thức (2.14) suy ra:
dK
dt
= sQ = sL.φ(k)
Kết hợp hệ thức này với hệ thức ở giả thiết 4, ta có thể viết (2.15) dưới dạng:
sL.φ(k) = L
dk
dt
+ kλL
Từ đây ta được mô hình Solow:
dk
dt
= sφ(k) − λk (2.16)
Mô hình tăng trưởng Solow cho phép ta phân tích quỹ đạo thời gian của biến số k.
b. Phân tích định tính
Gọi f(k) là hàm số ở vế phải của phương trình (2.16). Trạng thái tĩnh ¯k được xác định
từ phương trình
f(k) = sφ(k) − λk = 0 ⇔ sφ(k) = λk
Từ hệ thức (2.14) ta có
Q
L
= φ(k)
Như vậy, hàm số φ(k) biểu diễn sự phụ thuộc của sản lượng bình quân của lao động (tỷ
số Q
L
) vào tỷ số vốn - lao động k.
Nếu biểu diễn bằng đồ thị thì trạng thái cân bằng ¯k là hoành độ giao điểm của đường
h = sφ(k) với đường thẳng h = λk. Theo quy luật kinh tế thì φ(k) là hàm đơn điệu tăng.
Mặt khác theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần thì φ (k) < 0, do đó đồ thị h = sφ(k) là
lồi. Với giả thiết K là một yếu tố không thể bỏ qua được của sản xuất, đường h = sφ(k)
xuất phát từ gốc toạ độ. Ngoài ra ta giả thiết rằng sφ(k) > λk trong một khoảng giá trị
nào đó của k, kể từ k = 0. Hình vẽ dưới đây biểu diễn vị trí của điểm tĩnh ¯k và đồ thị
pha của phương trình (2.16)
Biểu đồ pha cho thấy trạng thái tĩnh ¯k ổn định động: Dù xuất phát từ bất cứ giá trị
nào, cùng với thời gian k(t) → ¯k. Khi đó ¯k được gọi là trạng thái ổn định.
Một điều có ý nghĩa quan trọng là khi trạng thái cân bằng ¯k đã đạt được thì tỷ lệ vốn

Hình 2.5: Điểm trạng thái tĩnh
Hình 2.6: Đồ thị pha
- lao động không thay đổi theo thời gian, do đó K(t) và L(t) tăng với cùng tỷ lệ λ, kéo
theo đầu tư ròng I(t) cũng tăng với cùng tỷ lệ λ. Thật vậy, ta có:
˙k =
˙KL − ˙LK
L2
= 0 ⇒ ˙KL = ˙LK ⇒
˙K
K
=
˙L
L
= λ
⇒ K = K0eλt
, L = L0eλt
⇒ I = ˙K = λK = λK0eλt
= I0eλt
Như vậy mô hình tăng trưởng Solow chỉ ra rằng nếu lực lượng lao động tăng với tỷ lệ ổn
định λ thì tự thân nền kinh tế sẽ tiến dần đến trạng thái tăng trưởng ổn định, khi mà
đầu tư ròng tăng theo cùng tỷ lệ λ, như K và L. Hơn nữa, do Q = Lφ(¯k) và φ(¯k) không
đổi nên Q cũng tăng với cùng tỷ lệ λ. Vì thế mà ¯k được gọi là trạng thái tăng trưởng ổn
định.
Chú ý rằng các phân tích trên đây được thực hiện với giả thiết hàm sản xuất f không
thay đổi theo thời gian. Để tính đến tiến bộ công nghệ ta chỉ cần thay đổi mô hình hàm
sản xuất. Chẳng hạn, có thể xét hàm sản xuất dưới dạng:
Q = T(t)f(K, L), T > 0
Trong đó T(t) là hàm đặc trưng cho tiến bộ công nghệ theo thời gian: Ứng với mỗi tổ hợp
yếu tố (K,L) sản lượng tiềm năng Q được nhân với hệ số T(t) tăng theo thời gian. Trong
bối cảnh đó đường cong h = sφ(k) được đẩy lên phía trên và cắt đường thẳng h = λk tại

điểm có hoành độ ¯k lớn hơn. Điều này có nghĩa là, với sự tiến bộ của công nghệ, trạng
thái ổn định sẽ đạt được với một hàm lượng vốn tính theo đầu công nhân ngày càng lớn
hơn.
c. Phân tích định lượng
Để có thể phân tích định lượng ta phải biết hàm sản xuất F. Chẳng hạn, nếu hàm sản
xuất có dạng Cobb-Douglas
Q = aKα
L1−α
, (a > 0, 0 < α < 1)
thì
φ(k) =
Q
L
= a
K
L
α
= akα
Phương trình (2.16) trở thành
dk
dt
= askα
− λk ⇔
dk
dt
+ λk = askα
Phương trình này là phương trình Becnully. Theo phương pháp đã biết ta tìm được
k = k0
1−α
−
as
λ
e−λ(1−α)t
+
as
λ
1
1−α
trong đó k0 = k(0).
Do λ > 0 và 1 − α > 0 nên k → as
λ
1
1−α
khi t → +∞. Trạng thái ổn định là:
¯k =
as
λ
1
1−α
2.4.4. Mô hình điều chỉnh giá thị trường
Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại hàng hoá như sau:
Qd = a − bP, (a > 0, b > 0) (2.17)
Qs = −c + dP, (c > 0, d > 0) (2.18)
Khi đó giá cân bằng (Giá khi Qs = Qd) là một hằng số dương:
¯P =
a + c
b + d
Nếu tại thời điểm xuất phát t = 0 giá P(0) đúng bằng giá cân bằng ¯P thì thị trường
đã ở trạng thái cân bằng. Nhưng nếu P(0) = ¯P thì phải sau một thời gian điều chỉnh
thị trường mới có thể tiến tới trạng thái cân bằng. Trong khoảng thời gian đó cả giá P,
lượng cầu Qd và lượng cung Qs đều thay đổi, do đó ta xem cả giá và lượng là các hàm số
của thời gian t. Vấn đề phân tích động được đặt ra như sau: Nếu có đủ thời gian để điều
chỉnh thì liệu thị trường có tiến tới trạng thái cân bằng hay không? tức là P(t) có hội tụ

đến ¯P hay không khi t → +∞?
Để trả lời câu hỏi này ta lập quỹ đạo thời gian của giá cả, tức là thiết lập hàm số P = P(t).
Để cho đơn giản ta giả thiết rằng tốc độ biến thiên của giá cả tỷ lệ thuận với lượng chênh
lệch giữa cung và cầu Qd − Qs tại mọi thời điểm:
dP
dt
= δ(Qd − Qs), (δ > 0) (2.19)
Hằng số δ được gọi là hệ số điều chỉnh. Chú ý rằng trong phương trình (2.19), dP
dt
= 0 khi
và chỉ khi Qd = Qs. Thay (2.17) và (2.18) vào (2.19) ta được:
dP
dt
= δ(a + c) − δ(b + d)P
⇔
dP
dt
+ δ(b + d)P = δ(a + c) (2.20)
Phương trình (2.20) là một phương trình vi phân tuyến tính. Giải phương trình này ta
được:
P(t) = P(0) − ¯P e−δ(b+d)t
+ ¯P
trong đó ¯P là trạng thái cân bằng:
¯P =
a + c
b + d
Do δ(b + d) > 0 nên P(0) − ¯P e−δ(b+d)t
→ 0 khi t → +∞. Như vậy, mô hình trên đây
cho thấy P(t) → ¯P khi t → +∞, tức là trạng thái cân bằng ¯P là trạng thái ổn định.
2.5. Phương trình vi phân cấp 2
2.5.1. Khái quát chung về phương trình vi phân thường cấp 2
a. Nghiệm tổng quát và nghiệm riêng
Phương trình vi phân thường cấp 2 có dạng tổng quát như sau:
F(x, y, y , y ) = 0 (2.21)
trong đó F là một hàm số của 4 biến số x, y, y , y .
Dạng đã giải theo đạo hàm cấp 2:
y = f(x, y, y ) (2.22)
Việc giải phương trình vi phân cấp 2 thường phải qua hai lần lấy tính phân bất định, do
đó nghiệm của nó có dạng
y = ϕ(x, C1, C2) (2.23)

Họ hàm số (2.23) được gọi là nghiệm tổng quát của một phương trình vi phân thường cấp
2 nếu khi gán cho mỗi C1, C2 các giá trị bất kỳ ta được một nghiệm của phương trình.
Mỗi nghiệm ứng với các giá trị cụ thể của C1, C2 được gọi là các nghiệm riêng của phương
trình.
Ví dụ: Phương trình y = 2x có thể giải như sau:
(y ) = y = 2x ⇒ y = 2xdx = x2
+ C1
⇒ y = (x2
+ C1)dx =
1
3
x3
+ C1x + C2
Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y =
1
3
x3
+ C1x + C2
Từ nghiệm tổng quát ta có các nghiệm riêng, chẳng hạn:
y = 1
3
x3
(khi C1 = C2 = 0)
y = 1
3
x3
+ x + 1 (khi C1 = C2 = 1),v.v..
b. Bài toán Cauchy
Bài toán Cauchy trong trường hợp phương trình vi phân cấp 2 được đặt ra như sau:
Tìm nghiệm của phương trình (2.22) thoả mãn các điều kiện:
y = y0, y = y0 (2.24)
Với y0 và y0 là giá trị tại điểm x = x0 cho trước.
Điều kiện (2.24) được gọi là điều kiện ban đầu. Chú ý rằng điều kiện ban đầu bao gồm
giá trị riêng của nghiệm và giá trị của đạo hàm của nó tại một điểm x0 cho trước. Bộ ba
số thực (x0, y0, y0) được gọi là bộ giá trị ban đầu.
Khi đã tìm ra nghiệm tổng quát của phương trình (2.22), để tìm nghiệm riêng thoả mã
điều kiện ban đầu (2.24) ta tìm C1, C2 từ hệ 2 phương trình:
ϕ(x0, C1, C2) = y0, ϕ (x0, C1, C2) = y0
Ví dụ: Nghiệm tổng quát của phương trình y = 2x là:
y =
1
3
x3
+ C1x + C2
Đạo hàm của nghiệm tổng quát là y = x2
+ C1.
Để tìm nghiệm thoả mãn điều kiện y(1) = 1, y (1) = 2 ta giải hệ phương trình:
1
3
+ C1 + C2 = 1
1 + C1 = 2
⇔
C1 = 1
C2 = −1
3

Nghiệm riêng thoả mãn điều kiện đã cho là:
y =
1
3
x3
+ x −
1
3
. Định lý sau đây được gọi là định lý tồn tại và duy nhất đối với phương trình vi phân
cấp 2:
Định lý 2. Giả sử hàm số f(x, y, y ) ở vế phải của phương trình (2.22) xác định, liên
tục trong một lân cận V của điểm M0(x0, y0, y0) và tồn tại các hằng số K, L sao cho:
|f(x, y2, y ) − f(x, y1, y )| ≤ K |y2 − y1| ∀(x, y1, y ), (x, y2, y ) ∈ V
|f(x, y, y2) − f(x, y, y1)| ≤ L |y2 − y1| ∀(x, y, y1), (x, y, y2) ∈ V
Khi đó, trong một khoảng (x0 − δ, x0 + δ) với δ đủ nhỏ tồn tại một và chỉ một nghiệm của
phương trình (2.22) thoả mãn điều kiện ban đầu (2.24).
2.5.2. Một số phương trình vi phân giải được bằng phương pháp
hạ cấp
Xét phương trình vi phân cấp 2:
y = f (x, y, y ) (2.25)
a. Dạng 1: Vế phải (2.25) không phụ thuộc y,y
Dạng tổng quát: y = f(x)
Công thức nghiệm: y = f (x) dx dx + C1x + C2
Ví dụ: Giải phương trình y = x2
+ xex
+ 1
Giải:
y = (x2
+ xex
+ 1) dx + C1 = x3
3
+ xex
− ex
+ C1
y = x3
3
+ xex
− ex
+ C1 dx = x4
12
+ x2
2
+ xex
+ C1x + C2
b. Dạng 2: Vế phải (2.25) không phụ thuộc y
Dạng tổng quát: y = f (x, y )
Phương pháp giải: Đặt y = z(x). Suy ra
y = z
. Thay vào phương trình ta được z = f(x, z). Đây là phương trình vi phân cấp 1. Giải
phương trình để tìm z, sau đó tìm y.
Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:
y = x −
y
x

Giải: Đặt y = z được y = z , suy ra phương trình: z = x −
z
x
⇔ z + z
x
= x. Đây là
phương trình vi phân tuyến tính cấp 1. Nghiệm: z = e
− dx
x
xe
dx
x
dx + C1 = x2
3
+ C1
x
Do đó y = x2
3
+ C1
x
. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:
y =
x3
9
+ C1 ln x + C2
c. Dạng 3: Vế phải (2.25) không phụ thuộc x
Dạng tổng quát: y = f (y, y )
Phương pháp giải: Đặt y = p, quan niệm y là biến, p là hàm của biến y, ta có: y = dy
dx
=
dp
dx
= dp
dy
dy
dx
= p p. Thay vào phương trình ta được pp = f (y, p). Đây là phương trình vi
phân cấp 1 đối với hàm p. Giải phương trình này tìm ra p, rồi tìm được y.
Ví dụ: Giải phương trình vi phân cấp 2: yy − y 2
= 0
Giải: Đặt y = p(y), có y = pp , thay vào phương trình ta có: ypp − p2
= 0
a, p = 0, suy ra y = 0,y = C1 là nghiệm.
b, yp = p hay dp
p
= dy
y
⇔ p = C1y. Thay p = y ta có y = C1y ⇔ dy
y
= C1dx ⇔ dy
y
= C1dx + ln C2
Nghiệm tổng quát: y = C2eC1x
2.5.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2
a. Định nghĩa
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai là phương trình có dạng:
y + p (x) y + q (x) y = f (x) (2.26)
trong đó p (x) , q (x) , f (x) là các hàm liên tục
Nếu f(x) = 0 thì phương trình
y + p (x) y + q (x) y = 0 (2.27)
được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất.
Nếu f (x) = 0 thì phương trình (2.26) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp
hai không thuần nhất. Đặc biệt, nếu trong đó p (x) , q (x) là các hằng số thì phương trình
(2.26) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng số.
b. Các định lý về cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2
Định lý 3. Nếu y1 (x) ; y2 (x) là hai nghiệm của phương trình (2.27) thì y = C1y1 (x) +
C2y2 (x) cũng là một nghiệm của phương trình (2.27). Đặc biệt nếu y1 (x) ; y2 (x) là hai

nghiệm độc lập tuyến tính của (2.27) thì y = C1y1 (x) + C2y2 (x) là nghiệm tổng quát của
(2.27)
Chú ý:
1. Hai hàm số y1 (x) và y2 (x) được gọi là độc lập tuyến tính nếu
y1 (x)
y2 (x)
k = const
2. Đối với phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất có hệ số thay đổi, không có
phương pháp chung để tìm được hai nghiệm độc lập tuyến tính của nó. Tuy nhiên
người ta có thể tìm được nghiệm thứ hai độc lập tuyến tính với một nghiệm khác
không cho trước.
Định lý 4. Nếu biết một nghiệm riêng y1 (x) = 0 của (2.27) thì ta có thể tìm được
nghiệm riêng thứ hai y2 (x) của (2.27) độc lập tuyến tính với y1 (x) bằng cách đặt y2 (x) =
y1 (x) u (x)
Chú ý: Để tìm nghiệm riêng thứ hai ta có thể sử dụng công thức Liouville:
y2 (x) = y1 (x)
e− p(x)dx
y1
2 (x)
dx
Định lý 5. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất
(2.26) bằng nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất (2.27) cộng với một
nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất (2.26)
Định lý 6. (Nguyên lý chồng chất nghiệm)
Nếu vế phải của phương trình (2.26) được viết dưới dạng f (x) =
n
i=1
fi (x) và y∗
i là nghiệm
riêng của phương trình y + p (x) y + q (x) y = fi (x) (i = 1, n) thì y∗
=
n
i=1
y∗
i là nghiệm
riêng của phương trình (2.26)
Định lý 7. (Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange)
Nếu y1 (x), y2 (x) là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất (2.27)
thì một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất (2.27) là y∗
= C1 (x) y1 (x) +
C2 (x) y2 (x) trong đó C1 (x) ; C2 (x) là nghiệm của hệ:
C1 (x) y1 (x) + C2 (x) y2 (x) = 0
C1 (x) y1 (x) + C2 (x) y2 (x) = f (x)
c. Một số ví dụ
1. Các ví dụ về phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất
Ví dụ 1
Tìm nghiệm tổng quát của phương trình (x2
+ 1) y − 2xy + 2y = 0 biết một nghiệm

riêng y1 = x
Giải: Theo công thức Liouville ta có nghiệm riêng thứ hai y2(x) độc lập tuyến tính với
y1(x) đươc xác định:
y2 (x) = x x2+1
x2 dx = x x −
1
x
= x2
− 1
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình cần giải là:
y = C1x + C2 x2
− 1
Ví dụ 2
Xác định α, β để y1 = α +
β
1 − x
là nghiệm của phương trình vi phân: x(x − 1)2
y +
x (x − 1) y − y = 0. Từ đó tìm nghiệm tổng quát của phương trình.
Giải: Tính đạo hàm y1 =
β
(1 − x)2 ; y =
2β
(1 − x)3 . Thay vào phương trình ta được đồng
nhất thức x(x − 1)2 2β
(1−x)3 + x (x − 1) β
(1−x)2 − α − β
1−x
= 0 hay (α + β) x − (α + β) = 0 ⇒
α = −β. Chọn α = 1 ta được nghiệm riêng của phương trình cần giải:
y1 = 1 −
1
1 − x
=
x
x − 1
Áp dụng công thức Liouville:
y2 =
x
x − 1
e− 1
x−1
dx
x
x−1
2 dx =
1 + x ln x
x − 1
.
2.5.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng
a. Dạng tổng quát
y + a1y + a2y = f (x) (2.28)
Để giải phương trình (2.28) người ta giải phương trình thuần nhất tương ứng
y + a1y + a2y = 0 (2.29)
Sau đó dùng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange để tìm nghiệm của phương trình
không thuần nhất. Trong một số trường hợp việc tìm nghiệm của phương trình không
thuần nhất (2.29) được quy về giải các phương trình đại số. Dưới đây ta chỉ đề cập các
trường hợp đặc biệt ấy.
b. Tìm nghiệm
Giả sử nghiệm của (2.29) có dạng y = ekx
. Khi đó thay vào (2.29) ta được phương trình,
gọi là phương trình đặc trưng của (2.29).
k2
+ a1k + a2 = 0 (2.30)

Các khả năng có thể xảy ra đối với cấu trúc nghiệm của phương trình đặc trưng và cấu
trúc nghiệm của phương trình thuần nhất (2.29) là:
Nếu (2.30) có hai nghiệm thực phân biệt k1 = k2 thì nghiệm tổng quát của (2.29) là
y = C1ek1x
+ C2ek2x
Nếu (2.30) có nghiệm kép k0 thì nghiệm tổng quát của (2.29) là y = ek0
(C1 + C2x)
Nếu (2.30) có nghiệm phức k = α ± iβ thì nghiệm tổng quát của (2.29) là
y = eαx
(C1 cos βx + C2 sin βx)
Ví dụ: Giải các phương trình sau
y − 5y + 6y = 0
y − 4y + 4y = 0
y + 4y = 0
Sau khi tìm được nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
(2.29), ta đi tìm một nghiệm riêng của (2.28). Việc nhẩm nghiệm được tiến hành trong
các trường hợp sau đây:
a/ Trường hợp f (x) = eαx
Pn (x) trong đó α là hằng số, Pn (x) là đa thức bậc n.
Trường hợp 1: Nếu α không là nghiệm của phương trình đặc trưng (2.30). Khi đó phương
trình (2.28) có một nghiệm riêng có dạng y = eαx
Qn (x) trong đó Qn (x) là đa thức cùng
bậc với Pn (x). Các hệ số của Qn (x) được xác định bằng cách thay nghiệm riêng vào
phương trình (2.28) và đồng nhất hệ số hai vế.
Trường hợp 2: Nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng. Xác định nghiệm riêng
có dạng: y = xeαx
Qn (x)
Trường hợp 3: Nếu α là nghiệm kép của phương trình đặc trưng. Xác định nghiệm riêng
có dạng: y = x2
eαx
Qn (x)
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
y − 2y + y = 1 + x
y − 3y + 2y = ex
(3 − 4x)
y − 4y + 4y = 4e2x
y + y = xex
+ 2e−x
b/ Trường hợp f (x) = eαx
(Pn (x) cos βx + Qm (x) sin βx)
Trường hợp 1: Nếu α ± iβ không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì nghiệm
riêng của phương trình (2.28) có dạng y = eαx
(Hs (x) cos βx + Ls (x) sin βx) trong đó
Hs (x) , Ls (x) là các đa thức bậc s=max(m,n) có các hệ số cần xác định.
Trường hợp 2: Nếu α ± iβ là nghiệm của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng của
phương trình (2.28) có dạng y = xeαx
(Hs (x) cos βx + Ls (x) sin βx)
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
y + y = 4x sin x
y − 2y = 2cos2
x

2.6. Một số mô hình phương trình vi phân tuyến tính
cấp 2 trong phân tích kinh tế
2.6.1. Điều kiện ổn định động
Giả sử quy luật vận động theo thời gian t của biến số y được thiết lập dưới dạng phương
trình:
y + py + qy = r (2.31)
Trạng thái cân bằng y = ¯y là một nghiệm riêng của phương trình (2.31). Trạng thái cân
bằng ¯y tồn tại khi và chỉ khi q = 0. Khi đó:
¯y =
r
q
Điều kiện ổn định động của trạng thái cân bằng ¯y là điều kiện để mọi quỹ đạo thời gian
hội tụ đến ¯y.
Định lý 8. Trạng thái cân bằng ¯y ổn định động khi và chỉ khi tất cả các nghiệm của
phương trình đặc trưng k2
+ pk + q = 0 đều có phần thực là số âm.
2.6.2. Mô hình thị trường với kỳ vọng giá
Khi xét biến thời gian t liên tục, thông tin về xu hướng giá P(t) có thể biết được thông
qua P (t) (giá tăng hay giảm) và P (t) (tốc độ tăng giảm). Các thông tin đó có thể ảnh
hưởng đến quyết định của người tiêu dùng và nhà sản xuất. Chẳng hạn nếu cho rằng
trong tương lai gần, giá một loại hàng hoá sẽ tăng thì người tiêu dùng sẽ mua nhiều hơn
hàng hoá đó. Để xem xét ảnh hưởng của kỳ vọng giá (nhận định về xu hướng thay đổi
của giá cả trên thị trường) đối với lượng cung và lượng cầu người ta xem xét hàm cung
và hàm cầu dưới dạng:
Qdt = D[P(t), P (t), P (t)]
Qst = S[P(t), P (t), P (t)]
Quỹ đạo thời gian của giá thị trường (giá cân bằng cung cầu) được thiết lập dưới dạng
phương trình vi phân cấp 2:
S[P(t), P (t), P (t)] = D[P(t), P (t), P (t)] (2.32)
Nếu hạn chế ở mô hình tuyến tính và đơn giản hoá các ký hiệu ta có thể viết:
Qd = a − bP + αP + βP
Qs = −c + dP + γP + δP
Để cho đơn giản ta giả thiết rằng chỉ có hàm cầu chứa kỳ vọng giá, tức là γ = δ = 0. Khi
đó phương trình (2.32) có dạng:
−c + dP = a − bP + αP + βP

⇔ P +
α
β
−
b + d
β
P = −
a + c
β
(2.33)
Trạng thái cân bằng là:
¯P =
a + c
b + d
Dựa vào định lý về điều kiện ổn định động của trạng thái cân bằng ta có thể rút ra một
số kết luận khái quát về tính ổn định động của trạng thái cân bằng như sau
• Nếu β > 0 thì phương trình đặc trưng có hai nghiêm thực trái dấu, do đó trạng
thái cân bằng ¯P không ổn định
• Nếu β < 0 và α < 0 thì hệ số các phương trình (2.33) dương, do đó các nghiệm của
phương trình đặc trưng của nó hoặc là các số thực âm, hoặc là các số có phần thực
âm. Trong trường hợp này trạng thái cân bẳng ¯P ổn định
• Nếu β < 0 và α > 0 thì hệ số của P âm và hệ số của P dương. Trong trường hợp
này phương trình đặc trưng hoặc có các nghiệm thực dương, hoặc có các nghiệm
phức với phần thực dương, do đó trạng thái cân bằng ¯P không ổn định.
2.6.3. Mô hình điều chỉnh giá có tính đến hàng hoá tồn đọng
Trong mục 2.4.4 ta đã xét mô hình điều chỉnh giá với giả sử tốc độ điều chỉnh giá tỷ lệ
thuận với lượng chênh lệch cung và cầu:
dP
dt
= α(Qd − Qs), α > 0
trong đó lượng cung Qs và lượng cầu Qd là các hàm số biến số t (thời gian).
Trong mô hình nói trên ta bỏ qua lượng hàng hoá tồn đọng khi có sự dư cung. Vấn đề
đặt ra là không chỉ lượng dư cung hiện thời mà cả lượng hàng tồn đọng chưa bán được
cũng gây áp lực hạ giá. Để biểu diễn ý tưởng này ta xét mô hình:
dP
dt
= α(Qd − Qs) − β
t
0
[Qs(x) − Qd(x)]dx (2.34)
trong đó α và β là các hằng số dương.
Từ (2.34) ta có:
d2
P
dt2
= α(
dQd
dt
−
dQs
dt
) − β[Qs(x) − Qd(x)]
Giả sử hàm cung và hàm cầu là các hàm tuyến tính:
Qd = a − bP, (a > 0, b > 0)
Qs = −c + dP, (C > 0, d > 0)

Khi đó
d2
P
dt2
= α −b
dP
dt
− d
dP
dt
− β[−(a + c) + (b + d)P]
⇔
d2
P
dt2
+ α(b + d)
dP
dt
+ β(b + d)P = β(a + c) (2.35)
Quỹ đạo thời gian của giá cả được thiết lập gián tiếp dưới dạng phương trình vi phân
(2.35). Với giả thiết a, b, c, d, α, β là các hằng số dương, các hệ số của phương trình (2.35)
dương, do đó phương trình đặc trưng hoặc có các nghiệm thực âm, hoặc có các nghiệm
phức với phần thực âm. Trạng thái cân bằng
¯P =
a + c
b + d
ổn định động. Dù xuất phát ở trạng thái P0 = P(0) nào, giá thị trường sẽ được điều chỉnh
dần đến trạng thái cân bằng.
2.7. BÀI TẬP
Bài tập 1. Giải các phương trình vi phân tuyến tính sau.
1, xy + y − ex
= 0
2, y = x (y − x cos x)
3, ydx + 2 (x + y) dy = 0
4, xy − 2y = 2x4
5, y − y
1−x2 − 1 − x = 0
6, xy + (x + 1) y = 3x2
e−x
7, (xy − 1) ln x = 2y
8, xy = x + 2y thỏa mãn y| x=1 = 0
9, y +
3
x
y = 2
x3 thỏa mãn y|x=1 = 1
10, y − ytgx =
1
cos x
thỏa mãn y|x=0 = 0.
Bài tập 2. Giải các phương trình vi phân biến sô phân ly sau.
1, y =
x2
y − y
x + 1
2, 2x 1 − y2 + yy = 0
3, (xy2
+ 4x) dx + (y + x2
y) dy = 0
4, y =
cos y − sin y − 1
cos x − sin x + 1
5, y = cos (x − y)
6, x 1 − y2dx + y
√
1 − x2dy = 0 thỏa mãn y|x=1 = 0, y|x=0 = 0
7, sin xdy − y ln ydx = 0 thỏa mãn y|
x=
π
2
= e
8, (x2
− 1) y + 2xy2
= 0 thỏa mãn y|x=0 = 1

9, (xy2
− y2
+ x − 1) dx + (x2
y − 2xy + x2
+ 2y − 2x + 2) dy = 0
10, y = (4x + y − 1)2
Bài tập 3. Giải các phương trình vi phân đẳng cấp sau.
1, xy = y − xe
y
x
2, xy − y = (x + y) ln
x + y
x
3, y2
+ x2
y = xyy
4, xy = x sin
y
x
+ y
5, xy + xtg
y
x
− y = 0
6, xy + xtg
y
x
− y = 0
7, (x + y + 2) dx + (2x + 2y − 1) dy = 0
8, (2x − 4y + 6) dx + (x + y − 3) dy = 0
9, xdy − (x + y) dx = 0 thỏa mãn y|x=1 = 0
10, y + x2 + y2 dx − xdy = 0 thỏa mãn y|x=1 = 0
Bài tập 4. Giải các phương trình vi phân Becnuly sau.
1, 3y + y = (1 − 2x) y4
2, y + 2xy = 2x3
y3
3, y + 2y = y2
ex
4, y = y4
cos x + ytgx
5, (xy + x2
y3
) y = 1
6, (x2
− 1) y sin y + 2x cos y = 2x − 2x3
7, x (ey
− y ) = 2
8, xy + y = y2
ln x thỏa mãn y|x=1 = 1
9, y − y = xy2
thỏa mãn y|x=0 = 0
10, xy − y = y2
thỏa mãn y|x=1 = 0
Bài tập 5. Giải các phương trình vi phân toàn phần sau.
1, (2x − y + 1) dx + (2y − x − 1) dy = 0
2,
xdy − ydx
x2 + y2
= 0
3,
2x (1 − ey
)
(1 + x2)2 dx +
ey
1 + x2
dy = 0
4, (1 + y2
sin 2x) dx − 2y cos2
xdy = 0
5,

x + e
x
y

 dx + e
x
y 1 −
x
y
dy = 0
6, 2x 1 + x2 − y dx − x2 − ydy = 0
7,
1
y
sin
x
y
−
y
x2
cos
y
x
+ 1 dx +
1
x
cos
y
x
−
x
y2
sin
x
y
+
1
y2
dy = 0
Bài tập 6. Giải các phương trình vi phân toàn phần sau bằng phương pháp thừa số tích

phân.
1, (x2
+ y2
) dx − 2xydy = 0
2, (y2
− 6xy) dx + (3xy − 6x2
) dy = 0
3, y (1 + xy) dx − xdy = 0
4,
x
y
+ 1 dx +
x
y
− 1 dy = 0
5, (x cos y − y sin y) dy + (x sin y + y cos y) dx = 0
6, (x2
+ y) dx = xdy
7,
(x + 2y) dx + ydy
(x + y)2 = 0 thỏa mãn y|x=1 = 0
8, (xy2
+ y) dx − xdy = 0
9, (x + y) dx + (x − y) dy = 0 thỏa mãn y|x=0 = 0
10, (x − y) dx + (2y − x) dy = 0 thỏa mãn y|x=0 = 0
Bài tập 7. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:
1, y − 5y + 7y = x2
+ 1
2, y − 6y + 3y = x2
+ 3x
3, y − 4y + 4y = 2x2
− x + 3
4, y + 6y = x2
+ x
5, y + y = x2
+ 2x + 3
6, y − 5y + 6y = ex
(x + 1)
7, y − 3y + 2y = e2x
(2x + 3)
8, y − 2y + y = ex
4x
9, y − 4y + 3y = e2x
(x − 3)
10, y − 3y + 3y = ex
x2
11, y − 2y + 2y = 5ex
12, y − 4y + 3y = ex
(x + 2)
13, y + 3y + 3y = e−x
5x
14, y + 4y + 3y = e−3x
(x + 1)
15, y − 2y + y = ex
(x + 1)
16, y − 4y + 4y = e2x
x
17, y + 4y + 4y = e−2x
(2x + 3)
18, y + 4y + 4y = ex
(sinx + cosx)
19, y − 2y + 2y = ex
sinx
20, y + 4y − 5y = sinx.cos2x
Bài tập 8. Dùng nguyên lý chồng chất nghiệm, tìm nghiệm tổng quát của phương trình:
1, y − 3y + 2y = x + sin2
x
2, y − 5y + 6y = e2x
(x + 1) + sin
x
2
cos
x
2
3, y − y = x + cos2
x

Bai giang toan kinh te 2015

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (7)

Similar to Bai giang toan kinh te 2015

Similar to Bai giang toan kinh te 2015 (20)

More from ICTU

More from ICTU (17)

Recently uploaded

Recently uploaded (12)

Bai giang toan kinh te 2015