Bài giảng toán 1 - Chương 7

1. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT
BI˜N SÈ
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng
Ng y 15 th¡ng 12 n«m 2010
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

2. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Nëi dung ch½nh
¤o h m cõa h m sè
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

3. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Nëi dung ch½nh
¤o h m cõa h m sè
Vi ph¥n cõa h m sè
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

4. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Nëi dung ch½nh
¤o h m cõa h m sè
Vi ph¥n cõa h m sè
C¡c ành lþ v· h m kh£ vi
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

5. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Nëi dung ch½nh
¤o h m cõa h m sè
Vi ph¥n cõa h m sè
C¡c ành lþ v· h m kh£ vi
Cæng thùc Taylor, Maclaurint
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

6. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
ành ngh¾a ¤o h m
ành ngh¾a
H m sè f(x) x¡c ành trong l¥n cªn cõa iºm x0.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

7. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
ành ngh¾a ¤o h m
ành ngh¾a
H m sè f(x) x¡c ành trong l¥n cªn cõa iºm x0.
f 0 (x0) = lim
x!0
f (x0 + x) f (x0)
x
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

8. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
ành ngh¾a ¤o h m
ành ngh¾a
H m sè f(x) x¡c ành trong l¥n cªn cõa iºm x0.
f 0 (x0) = lim
x!0
f (x0 + x) f (x0)
x
f 0 (x0) ÷ñc gåi l ¤o h m cõa h m f (x) t¤i iºm x0.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

9. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
ành ngh¾a ¤o h m
ành ngh¾a
H m sè f(x) x¡c ành trong l¥n cªn cõa iºm x0.
f 0 (x0) = lim
x!0
f (x0 + x) f (x0)
x
f 0 (x0) ÷ñc gåi l ¤o h m cõa h m f (x) t¤i iºm x0.
V½ dö: T¼m ¤o h m cõa h m sè y = cosx t¤i iºm x0.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

10. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
ành ngh¾a ¤o h m
ành ngh¾a
H m sè f(x) x¡c ành trong l¥n cªn cõa iºm x0.
f 0 (x0) = lim
x!0
f (x0 + x) f (x0)
x
f 0 (x0) ÷ñc gåi l ¤o h m cõa h m f (x) t¤i iºm x0.
V½ dö: T¼m ¤o h m cõa h m sè y = cosx t¤i iºm x0.
f 0(x0) = lim
x!0
f (x0 + x) f (x0)
x
= lim
x!0
cos(x0 + x) cos x0
x
= lim
x!0
sin
x0 + x
2
sin x
2
x
2
= sin(x0)
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

11. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
ành ngh¾a ¤o h m mët ph½a
ành ngh¾a ¤o h m ph£i
H m sè f(x) x¡c ành trong l¥n cªn cõa iºm x0.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

12. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
ành ngh¾a ¤o h m mët ph½a
ành ngh¾a ¤o h m ph£i
H m sè f(x) x¡c ành trong l¥n cªn cõa iºm x0.
f 0+
(x0) = lim
x!0+
f (x0 + x) f (x0)
x
f 0+
(x0) ÷ñc gåi l ¤o h m ph£i cõa h m f (x) t¤i iºm x0.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

13. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
ành ngh¾a ¤o h m mët ph½a
ành ngh¾a ¤o h m ph£i
H m sè f(x) x¡c ành trong l¥n cªn cõa iºm x0.
f 0+
(x0) = lim
x!0+
f (x0 + x) f (x0)
x
f 0+
(x0) ÷ñc gåi l ¤o h m ph£i cõa h m f (x) t¤i iºm x0.
ành ngh¾a ¤o h m ph£i
H m sè f(x) x¡c ành trong l¥n cªn cõa iºm x0.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

14. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
ành ngh¾a ¤o h m mët ph½a
ành ngh¾a ¤o h m ph£i
H m sè f(x) x¡c ành trong l¥n cªn cõa iºm x0.
f 0+
(x0) = lim
x!0+
f (x0 + x) f (x0)
x
f 0+
(x0) ÷ñc gåi l ¤o h m ph£i cõa h m f (x) t¤i iºm x0.
ành ngh¾a ¤o h m ph£i
H m sè f(x) x¡c ành trong l¥n cªn cõa iºm x0.
f 0
(x0) = lim
x!0
f (x0 + x) f (x0)
x
f 0
(x0) ÷ñc gåi l ¤o h m ph£i cõa h m f (x) t¤i iºm x0.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

15. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
ành ngh¾a ¤o h m mët ph½a
ành ngh¾a ¤o h m ph£i
H m sè f(x) x¡c ành trong l¥n cªn cõa iºm x0.
f 0+
(x0) = lim
x!0+
f (x0 + x) f (x0)
x
f 0+
(x0) ÷ñc gåi l ¤o h m ph£i cõa h m f (x) t¤i iºm x0.
ành ngh¾a ¤o h m ph£i
H m sè f(x) x¡c ành trong l¥n cªn cõa iºm x0.
f 0
(x0) = lim
x!0
f (x0 + x) f (x0)
x
f 0
(x0) ÷ñc gåi l ¤o h m ph£i cõa h m f (x) t¤i iºm x0.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

16. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
ành lþ
H m sè y = f (x) câ ¤o h m t¤i iºm x0 khi v ch¿ khi nâ câ ¤o
h m tr¡i v ¤o h m ph£i t¤i iºm x0 v hai ¤o h m n y b¬ng
nhau.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

17. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
ành lþ
H m sè y = f (x) câ ¤o h m t¤i iºm x0 khi v ch¿ khi nâ câ ¤o
h m tr¡i v ¤o h m ph£i t¤i iºm x0 v hai ¤o h m n y b¬ng
nhau.
ành ngh¾a ¤o h m væ còng
N¸u lim
x!0
f (x0 + x) f (x0)
x
= 1 th¼ ta nâi f (x) câ ¤o h m væ
còng t¤i iºm x0.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

18. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T¼m f 0+
(0); f 0
(0) bi¸t f (x) =
8
1
x ; x6= 0
0; x = 0
: e
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

19. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T¼m f 0+
(0); f 0
(0) bi¸t f (x) =
8
1
x ; x6= 0
0; x = 0
: e
f 0+
(0) = lim
x!0+
f (0 + x) f (0)
x
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

20. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T¼m f 0+
(0); f 0
(0) bi¸t f (x) =
8
1
x ; x6= 0
0; x = 0
: e
f 0+
(0) = lim
x!0+
f (0 + x) f (0)
x
= lim
x!0+
e1=x 0
x
= +1
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

21. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T¼m f 0+
(0); f 0
(0) bi¸t f (x) =
8
1
x ; x6= 0
0; x = 0
: e
f 0+
(0) = lim
x!0+
f (0 + x) f (0)
x
= lim
x!0+
e1=x 0
x
= +1
f 0
(0) = lim
x!0
f (0 + x) f (0)
x
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

22. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T¼m f 0+
(0); f 0
(0) bi¸t f (x) =
8
1
x ; x6= 0
0; x = 0
: e
f 0+
(0) = lim
x!0+
f (0 + x) f (0)
x
= lim
x!0+
e1=x 0
x
= +1
f 0
(0) = lim
x!0
f (0 + x) f (0)
x
= lim
x!0
e1=x 0
x
= 0
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

23. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T¼m f 0+
(0); f 0
(0) bi¸t f (x) =
8
1
x ; x6= 0
0; x = 0
: e
f 0+
(0) = lim
x!0+
f (0 + x) f (0)
x
= lim
x!0+
e1=x 0
x
= +1
f 0
(0) = lim
x!0
f (0 + x) f (0)
x
= lim
x!0
e1=x 0
x
= 0
¤o h m tr¡i v ¤o h m ph£i khæng b¬ng nhau n¶n khæng tçn t¤i
¤o h m t¤i iºm x = 0
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

24. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T¼m f 0(x) bi¸t f (x) = x2 3jxj + 2
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

25. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T¼m f 0(x) bi¸t f (x) = x2 3jxj + 2
f (x) =
x2 3x + 2; x 0
x2 + 3x + 2; x 0
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

26. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T¼m f 0(x) bi¸t f (x) = x2 3jxj + 2
f (x) =
x2 3x + 2; x 0
x2 + 3x + 2; x 0 ) f 0(x) =
2x 3; x 0
2x + 3; x 0
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

27. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T¼m f 0(x) bi¸t f (x) = x2 3jxj + 2
f (x) =
x2 3x + 2; x 0
x2 + 3x + 2; x 0 ) f 0(x) =
2x 3; x 0
2x + 3; x 0
T¤i iºm x = 0: f 0+(0) = 3; f 0
(0) = 3.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

28. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T¼m f 0(x) bi¸t f (x) = x2 3jxj + 2
f (x) =
x2 3x + 2; x 0
x2 + 3x + 2; x 0 ) f 0(x) =
2x 3; x 0
2x + 3; x 0
T¤i iºm x = 0: f 0+(0) = 3; f 0
(0) = 3.
¤o h m tr¡i v ¤o h m ph£i khæng b¬ng nhau suy ra khæng tçn
t¤i ¤o h m t¤i iºm x = 0.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

29. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
B£ng ¤o h m cì b£n
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

30. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
B£ng ¤o h m cì b£n
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

31. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
C¡c ph²p to¡n ¤o h m
¤o h m cõa têng hi»u, t½ch th÷ìng:
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

32. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
C¡c ph²p to¡n ¤o h m
¤o h m cõa têng hi»u, t½ch th÷ìng:
1 (u)0 = u0
2 (u v)0 = u0 v0
3 (u:v)0 = u:v0 + u0:v
4
u
v
0
=
u0v v0u
v2
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

33. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
C¡c ph²p to¡n ¤o h m
¤o h m cõa têng hi»u, t½ch th÷ìng:
1 (u)0 = u0
2 (u v)0 = u0 v0
3 (u:v)0 = u:v0 + u0:v
4
u
v
0
=
u0v v0u
v2
¤o h m cõa h m hñp:
f = f (u); u = u(x) ) f 0(x) = f 0(u) u0(x)
¤o h m cõa h m ng÷ñc:
x0(y) =
1
y0(x)
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

34. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
C¡c ph²p to¡n ¤o h m
¤o h m cõa h m cho bði ph÷ìng tr¼nh tham sè
H m y = y(x) ÷ñc cho bði ph÷ìng tr¼nh tham sè:
x = x(t)
y = y(t)
Gi£ sû h m x = x(t) câ h m ng÷ñc t = t(x). Khi â h m
y = y(t)=y(t(x)) l h m cõa y theo bi¸n x.
y0(x) =
dy
dx
=
y0(t)dt
x0(t)dt
=
y0(t)
x0(t)
) y0(x) =
y0(t)
x0(t)
¤o h m cõa
h m ©n
H m y = y(x) vîi x 2 (a; b) cho ©n bði ph÷ìng tr¼nh F(x; y) = 0
º t¼m ¤o h m h m ©n, ta ¤o h m hai v¸, coi x l bi¸n, y l
h m theo x
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

35. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
C¡c v½ dö
V½ dö 1: T¼m ¤o h m cõa h m ng÷ñc h m f (x) = x + x3
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

36. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
C¡c v½ dö
V½ dö 1: T¼m ¤o h m cõa h m ng÷ñc h m f (x) = x + x3
f (x) l h m 11 tr¶n R, ¤o h m f 0(x) = 1+3x26= 0; 8x. Do â
dx
dy
=
1
y0(x)
=
1
1 + 3x2
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

37. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
C¡c v½ dö
V½ dö 1: T¼m ¤o h m cõa h m ng÷ñc h m f (x) = x + x3
f (x) l h m 11 tr¶n R, ¤o h m f 0(x) = 1+3x26= 0; 8x. Do â
dx
dy
=
1
y0(x)
=
1
1 + 3x2
V½ dö 2: T¼m ¤o h m cõa h m cho bði ph÷ìng tr¼nh tham sè:
x = a cos3t; y = b sin3t; t 2 (0; =2):
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

38. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
C¡c v½ dö
V½ dö 1: T¼m ¤o h m cõa h m ng÷ñc h m f (x) = x + x3
f (x) l h m 11 tr¶n R, ¤o h m f 0(x) = 1+3x26= 0; 8x. Do â
dx
dy
=
1
y0(x)
=
1
1 + 3x2
V½ dö 2: T¼m ¤o h m cõa h m cho bði ph÷ìng tr¼nh tham sè:
x = a cos3t; y = b sin3t; t 2 (0; =2):
x0(t) = 3acos2t sin t6= 0; 8t 2 (0; =2)
y0(t) = 3bsin2t cos t
y0(x) =
y0(t)
x0(t)
=
3bsin2t cos t
3acos2t sin t
=
b
a
tan t
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

39. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
C¡c v½ dö
V½ dö 3: T¼m y0(x) bi¸t y = y(x) l h m ©n x¡c ành bði ph÷ìng
tr¼nh e2x+y = x3 + cos y
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

40. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
C¡c v½ dö
V½ dö 3: T¼m y0(x) bi¸t y = y(x) l h m ©n x¡c ành bði ph÷ìng
tr¼nh e2x+y = x3 + cos y
e2x+y (2 + y0(x)) = 3x2 y0(x) sin y
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

41. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
C¡c v½ dö
V½ dö 3: T¼m y0(x) bi¸t y = y(x) l h m ©n x¡c ành bði ph÷ìng
tr¼nh e2x+y = x3 + cos y
e2x+y (2 + y0(x)) = 3x2 y0(x) sin y ) y0(x) =
3x2 2e2x+y
e2x+y + sin y
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

42. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
ành ngh¾a
¤o h m cõa h m y = f (x) l mët h m sè
Câ thº l§y mët l¦n núa cõa ¤o h m c§p mët ta ÷ñc kh¡i ni»m
¤o h m c§p 2
f 00(x) =
f 0(x)
0
Ti¸p töc qu¡ tr¼nh tr¶n ta câ ¤o h m c§p n
f (n)(x) =
f (n1)(x)
0
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

43. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
Cæng thùc leibnitz
Gi£ sû y = f :g
Dòng quy n¤p ta chùng minh ÷ñc cæng thùc:
Pn
(f g)(n) =
k=0
Ck
n f (k) g(nk)
, (f g)(n) = C0
n f (0) g(n) + C1
n f (1) g(n1) + + Cn
n f (n) g(0)
Trong â quy ÷îc f (0) = f ; g(0) = g:
Ph÷ìng ph¡p t½nh ¤o h m c§p cao
1 Sû döng ¤o h m c§p cao cõa mët sè h m sè ¢ bi¸t
2 Ph¥n t½ch th nh têng c¡c h m ìn gi£n
3 Sû döng cæng thùc leibnitz
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

44. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

45. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

46. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T½nh y(n)(x) bi¸t y =
1
x2 4
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

47. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T½nh y(n)(x) bi¸t y =
1
x2 4
Gi£i:
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

48. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T½nh y(n)(x) bi¸t y =
1
x2 4
Gi£i:
y =
1
(x 2)(x + 2)
=
1
4
1
x 2
1
x + 2
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

49. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T½nh y(n)(x) bi¸t y =
1
x2 4
Gi£i:
y =
1
(x 2)(x + 2)
=
1
4
1
x 2
1
x + 2
Sû döng cæng thùc
1
x + a
(n)
= (1)nn!
1
(x + a)n+1
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

50. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T½nh y(n)(x) bi¸t y =
1
x2 4
Gi£i:
y =
1
(x 2)(x + 2)
=
1
4
1
x 2
1
x + 2
Sû döng cæng thùc
1
x + a
(n)
= (1)nn!
1
(x + a)n+1
Ta ֖c y(n) =
(1)nn!
4
1
(x 2)n+1
1
(x + 2)n+1
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

51. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T½nh y(100)(0) bi¸t y =
1
x2 + 4
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

52. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T½nh y(100)(0) bi¸t y =
1
x2 + 4
Gi£i:
y =
1
(x 2i )(x + 2i )
=
1
4i
1
x 2i
1
x + 2i
Sû döng cæng thùc
1
x + a
(n)
= (1)nn!
1
(x + a)n+1
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

53. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T½nh y(100)(0) bi¸t y =
1
x2 + 4
Gi£i:
y =
1
(x 2i )(x + 2i )
=
1
4i
1
x 2i
1
x + 2i
Sû döng cæng thùc
1
x + a
(n)
= (1)nn!
1
(x + a)n+1
Ta ֖c:
y(n) =
(1)nn!
4i
1
(x 2i )n+1
1
(x + 2i )n+1
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

54. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T½nh y(100)(0) bi¸t y =
1
x2 + 4
Gi£i:
y =
1
(x 2i )(x + 2i )
=
1
4i
1
x 2i
1
x + 2i
Sû döng cæng thùc
1
x + a
(n)
= (1)nn!
1
(x + a)n+1
Ta ֖c:
y(n) =
(1)nn!
4i
1
(x 2i )n+1
1
(x + 2i )n+1
) y(100) = (1)100
100!
4i
1
1
(2i)101 (2i)101
= 100!
42100
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

55. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan dao ham
Dao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T½nh y(100)(x) bi¸t
y = sin2x
y = (3x2 + 1) ln x
y = (2x + 3) cos 2x
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

56. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan vi phan
Ung dung
ành ngh¾a
ành ngh¾a kh£ vi
H m sè f (x) ÷ñc gåi l kh£ vi t¤i iºm x0 n¸u
f (x0 + x) f (x0) = A x + o(x)
Khi â, A x ÷ñc gåi l vi ph¥n cõa h m f (x) t¤i iºm x0, kþ
hi»u df (x0) = A x
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

57. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan vi phan
Ung dung
ành ngh¾a
ành ngh¾a kh£ vi
H m sè f (x) ÷ñc gåi l kh£ vi t¤i iºm x0 n¸u
f (x0 + x) f (x0) = A x + o(x)
Khi â, A x ÷ñc gåi l vi ph¥n cõa h m f (x) t¤i iºm x0, kþ
hi»u df (x0) = A x
ành lþ
H m sè y = f (x) kh£ vi t¤i x0 khi v ch¿ khi tçn t¤i f 0(x0):
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

58. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan vi phan
Ung dung
Chùng minh
N¸u f (x) kh£ vi t¤i x0, khi â:
f (x0 + x) f (x0) = A x + o(x)
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

59. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan vi phan
Ung dung
Chùng minh
N¸u f (x) kh£ vi t¤i x0, khi â:
f (x0 + x) f (x0) = A x + o(x)
)
f (x0 + x) f (x0)
x
= A +
o(x)
x
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

60. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan vi phan
Ung dung
Chùng minh
N¸u f (x) kh£ vi t¤i x0, khi â:
f (x0 + x) f (x0) = A x + o(x)
)
f (x0 + x) f (x0)
x
= A +
o(x)
x
) 9f 0(x0) = lim
x!0
f (x0 + x) f (x0)
x
= lim
x!0
A +
o(x)
x
= A
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

61. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan vi phan
Ung dung
Chùng minh
N¸u f (x) kh£ vi t¤i x0, khi â:
f (x0 + x) f (x0) = A x + o(x)
)
f (x0 + x) f (x0)
x
= A +
o(x)
x
) 9f 0(x0) = lim
x!0
f (x0 + x) f (x0)
x
= lim
x!0
A +
o(x)
x
= A
Ng÷ñc l¤i, n¸u tçn t¤i
f 0(x0) = lim
x!0
f (x0 + x) f (x0)
x
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

62. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan vi phan
Ung dung
Chùng minh
N¸u f (x) kh£ vi t¤i x0, khi â:
f (x0 + x) f (x0) = A x + o(x)
)
f (x0 + x) f (x0)
x
= A +
o(x)
x
) 9f 0(x0) = lim
x!0
f (x0 + x) f (x0)
x
= lim
x!0
A +
o(x)
x
= A
Ng÷ñc l¤i, n¸u tçn t¤i
f 0(x0) = lim
x!0
f (x0 + x) f (x0)
x
) f (x0+x)f (x0)
x f 0(x0) ! 0.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

63. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan vi phan
Ung dung
Chùng minh
N¸u f (x) kh£ vi t¤i x0, khi â:
f (x0 + x) f (x0) = A x + o(x)
)
f (x0 + x) f (x0)
x
= A +
o(x)
x
) 9f 0(x0) = lim
x!0
f (x0 + x) f (x0)
x
= lim
x!0
A +
o(x)
x
= A
Ng÷ñc l¤i, n¸u tçn t¤i
f 0(x0) = lim
x!0
f (x0 + x) f (x0)
x
) f (x0+x)f (x0)
x f 0(x0) ! 0. Suy ra f (x) kh£ vi t¤i x0
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

64. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan vi phan
Ung dung
T½nh ch§t cõa vi ph¥n
Vi ph¥n cõa h m f (x) t¤i iºm x0: df (x0) = f 0(x0)dx
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

65. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan vi phan
Ung dung
T½nh ch§t cõa vi ph¥n
Vi ph¥n cõa h m f (x) t¤i iºm x0: df (x0) = f 0(x0)dx
T½nh ch§t
1 d = 0; 2 R
2 d (f ) = df ; 2 R
3 d (f + g) = df + dg
4 d
(f g) = gdf + fdg
5 d
f
g
= gdf fdg
g2
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

66. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan vi phan
Ung dung
T½nh ch§t cõa vi ph¥n
Vi ph¥n cõa h m f (x) t¤i iºm x0: df (x0) = f 0(x0)dx
T½nh ch§t
1 d = 0; 2 R
2 d (f ) = df ; 2 R
3 d (f + g) = df + dg
4 d
(f g) = gdf + fdg
5 d
f
g
= gdf fdg
g2
C¡c t½nh ch§t n y suy ra trüc ti¸p tø t½nh ch§t cõa ¤o h m.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

67. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan vi phan
Ung dung
Vi ph¥n cõa h m hñp
y = y(u)
u = u(x)
) y = y(u(x))
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

68. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan vi phan
Ung dung
Vi ph¥n cõa h m hñp
y = y(u)
u = u(x)
) y = y(u(x))
dy = y0(x)dx = y0(u) u0(x)dx = y0(u)du
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

69. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan vi phan
Ung dung
Vi ph¥n cõa h m hñp
y = y(u)
u = u(x)
) y = y(u(x))
dy = y0(x)dx = y0(u) u0(x)dx = y0(u)du
dy = y0(x)dx; dy = y0(u)du
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

70. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan vi phan
Ung dung
Vi ph¥n cõa h m hñp
y = y(u)
u = u(x)
) y = y(u(x))
dy = y0(x)dx = y0(u) u0(x)dx = y0(u)du
dy = y0(x)dx; dy = y0(u)du
Hai cæng thùc n y câ d¤ng gièng nhau, khæng phö thuëc bi¸n ëc
lªp x hay bi¸n h m u.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

71. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan vi phan
Ung dung
Vi ph¥n cõa h m hñp
y = y(u)
u = u(x)
) y = y(u(x))
dy = y0(x)dx = y0(u) u0(x)dx = y0(u)du
dy = y0(x)dx; dy = y0(u)du
Hai cæng thùc n y câ d¤ng gièng nhau, khæng phö thuëc bi¸n ëc
lªp x hay bi¸n h m u.
Vi ph¥n c§p 1 câ t½nh b§t bi¸n.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

72. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan vi phan
Ung dung
Vi ph¥n cõa h m hñp
y = y(u)
u = u(x)
) y = y(u(x))
dy = y0(x)dx = y0(u) u0(x)dx = y0(u)du
dy = y0(x)dx; dy = y0(u)du
Hai cæng thùc n y câ d¤ng gièng nhau, khæng phö thuëc bi¸n ëc
lªp x hay bi¸n h m u.
Vi ph¥n c§p 1 câ t½nh b§t bi¸n.
Vi ph¥n cõa h m cho bði ptts
x = x(t)
y = y(t)
) dy = y0(x)dx =
y0(t)
x0(t)
dx
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

73. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan vi phan
Ung dung
Ùng döng vi ph¥n t½nh g¦n óng
y = y(x) l h m kh£ vi trong l¥n cªn cõa x0.
f (x0 + x) f (x0) = f 0(x0)x + o(x)
) f (x) f (x0) f 0(x0) (x x0)
f df
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

74. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan vi phan
Ung dung
Ùng döng vi ph¥n t½nh g¦n óng
y = y(x) l h m kh£ vi trong l¥n cªn cõa x0.
f (x0 + x) f (x0) = f 0(x0)x + o(x)
) f (x) f (x0) f 0(x0) (x x0)
f df
Cæng thùc t½nh g¦n óng nhí vi ph¥n c§p 1:
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

75. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan vi phan
Ung dung
Ùng döng vi ph¥n t½nh g¦n óng
y = y(x) l h m kh£ vi trong l¥n cªn cõa x0.
f (x0 + x) f (x0) = f 0(x0)x + o(x)
) f (x) f (x0) f 0(x0) (x x0)
f df
Cæng thùc t½nh g¦n óng nhí vi ph¥n c§p 1:
f (x) f (x0) + f 0(x0) (x x0)
Thay v¼ t½nh gi¡ trà f phùc t¤p, ta t½nh df ìn gi£n hìn.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

76. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan vi phan
Ung dung
V½ dö
V½ dö 1
Cho f (x) = x3 + x2 2x + 1
a. T½nh f v df n¸u x thay êi tø 2 ¸n 2:01
b. T½nh f v df n¸u x thay êi tø 2 ¸n 2:05
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

77. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan vi phan
Ung dung
V½ dö
V½ dö 1
Cho f (x) = x3 + x2 2x + 1
a. T½nh f v df n¸u x thay êi tø 2 ¸n 2:01
b. T½nh f v df n¸u x thay êi tø 2 ¸n 2:05
Gi£i
a. f (2) = 23 + 22 2:2 + 1 = 9
f (2:01) = (2:01)3 + (2:01)2 2: (2:01) + 1 = 9:140701
f = f (x0 + x) f (x0) = f (2:01) f (2) = 0:140701
df = f 0(x0) (x x0) =
3:22 + 2:2 2
0:01 = 0:14
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

78. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan vi phan
Ung dung
V½ dö
V½ dö 1
Cho f (x) = x3 + x2 2x + 1
a. T½nh f v df n¸u x thay êi tø 2 ¸n 2:01
b. T½nh f v df n¸u x thay êi tø 2 ¸n 2:05
Gi£i
a. f (2) = 23 + 22 2:2 + 1 = 9
f (2:01) = (2:01)3 + (2:01)2 2: (2:01) + 1 = 9:140701
f = f (x0 + x) f (x0) = f (2:01) f (2) = 0:140701
df = f 0(x0) (x x0) =
3:22 + 2:2 2
0:01 = 0:14
b. T÷ìng tü, f = 0:717625, df = 0:7
Khi x thay êi nhä f v df c ng g¦n nhau.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

79. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan vi phan
Ung dung
V½ dö
V½ dö 2
T½nh g¦n óng 4 p
17
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

80. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan vi phan
Ung dung
V½ dö
V½ dö 2
T½nh g¦n óng 4 p
17
Gi£i Ta x²t h m sè f (x) = 4 p
x. p döng cæng thùc t½nh g¦n óng
ta câ:
4 p x0 + x =
4 p
x0 +
1
4 4 p
x0
3
x
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

81. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan vi phan
Ung dung
V½ dö
V½ dö 2
T½nh g¦n óng 4 p
17
Gi£i Ta x²t h m sè f (x) = 4 p
x. p döng cæng thùc t½nh g¦n óng
ta câ:
4 p x0 + x =
4 p
x0 +
1
4 4 p
x0
3
x
Chån x0 = 16, x = 1 ta câ:
4 p
17 =
4 p 16 +
1
4 4 p
163
:1 = 2 +
1
4:23 = 2:031
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

82. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan vi phan
Ung dung
Vi ph¥n c§p cao
df (x) = f 0(x)dx l mët h m theo bi¸n x
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

83. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan vi phan
Ung dung
Vi ph¥n c§p cao
df (x) = f 0(x)dx l mët h m theo bi¸n x. Vi ph¥n (n¸u câ) cõa
df (x) ÷ñc gåi l vi ph¥n c§p 2 cõa h m y = f (x)
d2f (x) = d (df ) = d
f 0(x)dx
= dxd
f 0(x)
= dx
f 0(x)
0
dx = f 00(x)dxdx = f 00(x)dx2
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

84. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghia
Cac phep toan vi phan
Ung dung
Vi ph¥n c§p cao
df (x) = f 0(x)dx l mët h m theo bi¸n x. Vi ph¥n (n¸u câ) cõa
df (x) ÷ñc gåi l vi ph¥n c§p 2 cõa h m y = f (x)
d2f (x) = d (df ) = d
f 0(x)dx
= dxd
f 0(x)
= dx
f 0(x)
0
dx = f 00(x)dxdx = f 00(x)dx2
T÷ìng tü, vi ph¥n c§p n l vi ph¥n (n¸u câ) cõa vi ph¥n c§p n 1
dnf (x) = f (n)(x)dxn
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ

85. Dao ham
Vi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Phat bieu cac dinh ly
C¡c ành lþ v· h m kh£ vi
ành lþ Rolle: Cho h m y = f (x) thäa m¢n li¶n töc tr¶n [a; b], kh£
vi trong (a; b) v f (a) = f (b). Khi â tçn t¤i mët iºm c 2 (a; b)
sao cho f 0(c) = 0.
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH’P TNH VI PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ