Các phân phối thường dùng

1. Trao đổi trực tuyến tại:
http://www.mientayvn.com/Y_online.html

2. TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC Y DÖÔÏC
THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH
XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
GV: TS. TRAÀN ÑÌNH THANH

4. CAÙC PHAÂN PHOÁI THÖÔØNG DUØNG
 PHAÂN PHOÁI BERNOUILLI
 PHAÂN PHOÁI NHÒ THÖÙC
 PHAÂN PHOÁI POISSON
 PHAÂN PHOÁI CHUAÅN
 PHAÂN PHOÁI BÌNH THÖÔØNG
 PHAÂN PHOÁI GAMMA, CHI BÌNH PHÖÔNG
 PHAÂN PHOÁI STUDENT
 PHAÂN PHOÁI FISHER

5. I. PHAÂN PHOÁI BERNOUILLI: X  B(1, p)
• Cho bieán ngaãu nhieân X rôøi, laáy hai
trò soá 0, 1. BNN X goïi laø coù phaân
phoái Bernouilli khi haøm maät ñoä


 


khaùcnôi0
1,0xvôùi)p1(p
)x(f
x1x
vôùi 0 < p < 1
1. Ñònh nghóa:

6. • Kyù hieäu: X~B(1,p)
• Kyø voïng: EX = P
• Phöông sai: VarX = p(1-p)
• Haøm Moment:








khaùcnôikhi0
1xkhip
0xkhip1
t
pep1)t(M 

7. 2. Moâ hình phaân phoái Bernouilli
• Coi moät thí nghieäm ngaãu nhieân coù hai haäu
quaû:   ,
p)(P)1X(P 
•trong ñoù: P()=p
Goïi X laø soá laàn  xuaát hieän thì X=0 hay
X=1. Ta coù:
p1)(P)0X(P 

8. • Vaäy X coù maät ñoä


 


khaùcnôi
xvôùipp
xf
xx
0
1,0)1(
)(
1
Nghóa laø X coù phaân phoái Bernouilli.
Moïi thí nghieäm ngaåu nhieân coù hai haäu
quaû ñeàu coù phaân phoái Bernouilli.

9. Ví duï:






khaùcmaëtlaøneáu0Y
.hieänxuaát6maëtneáu1Y
 Quan saùt veà phaùi trong moät laàn sanh






6
1
,1~ BYthì






gaùiconneáu0z
traiconneáu1z






2
1
,1~ BZthì
 Tung con xuùc saéc, löu yù maët nuùt 6.

10. II. PHAÂN PHOÁI NHÒ THÖÙC: X ~ B(n, p)
• 1. Ñònh nghóa:
• Cho BNN X rôøi, laáy caùc trò soá 0, 1, 2,
…, n. X coù phaân phoái nhò thöùc, khi
haøm maät ñoä:


 


khaùcnôi;0
n...,,1,0:xvôùi;)p1(pC
)x(f
xnxx
n
trong ñoù: 0 < p < 1.

11. Kyù hieäu:
Haøm Moment:
Kyø voïng:
Phöông sai:
X~B(n,p)
E(X) = np
)1(2
pnp 
nt
peptM )1()( 

12. 2. Moâ hình nhò thöùc:
• Coi 1 thí nghieäm ngaãu nhieân coù hai
haäu quaû:   , vôùi p)(p 
Ta laäp laïi thí nghieäm naøy n laàn ñoäc
laäp vaø quan taâm ñeán soá laàn xuaát hieän
trong n laàn quan saùt ñoù.
Ñaët Xi laø keát quaû laàn quan saùt thöù i






laøneáu0
laøneáu1
Xi

13. • Goïi X laø soá laàn xuaát hieän trong n
laàn quan saùt:
n21 XXXX  
Vaäy X laáy trò soá: 0, 1, 2, …, n.
Ta coù:
      n
)p1(PP.P)0X(P  
     PP)1X(P
1n1
n
1n
)p1(pC)p1(np 


14. • Do ñoù haøm maät ñoä cuûa X laø:
knkk
n )p1(pC)kX(P 



 


khaùcnôi;0
n,...,2,1,0x;)p1(pC
)x(f
xnxx
n
Vaäy: X coù phaân phoái nhò thöùc.
Moâ hình nhò thöùc chính laø thí nghieäm
Bernouilli maø ta quan saùt n laàn ñoäc
laäp.

15. Ví duï 1:
• Tính khaû naêng sinh con trai trong
moät gia ñình coù 6 con.
2
1
p)trai(P)(P 
Giaûi:
Ta coù:
Goïi X soá con trai trong 6 laàn sinh.
X= 0, 1, …,6.






2
1
,6B~X

16. Ta coù baûng phaân phoái:



















khaùcnôi;0
.6,5,4,3,2,1,0x;
2
1
2
1
C
)x(f
x6x
x
6
X 0 1 2 3 4 5 6
P(x = k) 0.016 0.093 0.24 0.32 0.24 0.093 0.016
+ XS coù ñuùng 3 con trai. P(X = 3)=0.32
+ XS coù nhieàu nhaát 3 con trai.
67.0)3X(P)2X(P)1X(P)0X(P)3X(P 

17. Ví duï 2:
• Taïi 1 ñòa phöông tyû leä soát reùt laø 25%
daân soá. Choïn ngaãu nhieân 6 ngöôøi.
Tính khaû naêng ñeå coù 4 ngöôøi bò soát
reùt.
Giaûi:
Goïi X laø soá ngöôøi bò soát reùt trong 6
laàn choïn:






4
1
,6B~X

18. Ta coù baûng phaân phoái:



















khaùcnôi;0
.6,5,4,3,2,1,0x;
4
3
4
1
C
)x(f
x6x
x
6
X 0 1 2 3 4 5 6
P(x) 0.18 0.33 0.29 0.14 0.03 0.02 0.0002
P(X = 4) = 3%

19. Ví duï 3:
• Moät loâ thuoác (raát nhieàu), coù tyû leä hoûng
p = 0.20. Ta laáy ngaãu nhieân 5 loï. Goïi
X laø soá loï hoûng trong soá loï laáy ra. Tìm
haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa X?
Giaûi:
Goïi X laø soá loï hoûng trong 5 loï laáy ra.
thì: )20.0;5(B~X

20. Haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa X laø:


 


khaùcnôi;0
.5...,,1,0x;)8,0()2,0(C
)x(f
x5xx
5
Phaân phoái nhò thöùc B(n,p) raát thöôøng
gaëp trong thöïc teá, tuy nhieân khi n khaù
lôùn, vieäc tính caùc xaùc suaát raát vaát vaû.
Trong tröôøng hôïp naøy ta tính gaàn
ñuùng bôûi phaân phoái Poisson.

21. III. PHAÂN PHOÁI POISSON:
1. Ñònh nghóa: Cho BNN X rôøi, laáy
caùc trò soá 0, 1, 2, …, X coù phaân
phoái Poisson, khi haøm maät ñoä coù
daïng.
)0(),(P~X 










0vôùikhaùcnôi;0
...,2,1,0x;
!x
e
)x(f
x

22. • Kyù hieäu: )(P~X 
• Kyø voïng: EX
• Phöông sai: VarX
• Haøm Moment:
)1te(
e)t(M 


23. • 2. Ñònh lyù giôùi haïn Poisson:
!x
e)p1(pLimC
x
xnxx
n

 
 Ñònh lyù noùi raèng trong phaân phoái
nhò thöùc neáu n lôùn, p nhoû, thì ta
coù theå xaáp xæ maät ñoä nhò thöùc baèng
maät ñoä Poisson, nhö theá pheùp tính
seõ goïn nheï hôn.
Vôùi n
p 0
np 

24. 3. Moâ hình Poisson:
Ñoù laø nhöõng quan saùt maø soá laàn laëp
laïi lôùn (n lôùn) maø xaùc suaát bieán coá ta
löu taâm P()=p thì nhoû
Chaúng haïn ta löu yù ñeán nhöõng bieán
coá hieám, xaûy ra trong moät thôøi gian,
khoâng gian nhaát ñònh:

25.  Soá treû em sinh ñoâi trong 1 naêm
taïi 1 beänh vieän X.
 Soá tai naïn löu thoâng taïi 1 ngaõ
tö trong 1 naêm.
 Soá chöõ in sai trong moät trang
v...v…

26. Ví duï 1:
• Giaû söû xaùc suaát töû vong cuûa beänh
soát xuaát huyeát laø 70/00. Tính xaùc
suaát ñeå coù ñuùng 5 ngöôøi cheát do
soát xuaát huyeát trong moät nhoùm
400 ngöôøi.
Giaûi:
Goïi X laø soá ngöôøi cheát do soát xuaát
huyeát trong 400 ngöôøi thì X~B
(400; 0,007)

27. Do p = 0,007 nhoû, n = 400 lôùn neân
ta coù theå xaáp xæ: X~P() vôùi
 = 400 x 0,007 = 2,8
Neân:
0872,0
!5
)8,2(
)5(
58,2


e
XP
!
)8,2(
)(
8,2
x
e
xXP
x


28. Ví duï 2:
Tyû leä baïch caàu aùi kieàm cuûa ngöôøi
thöôøng p=0,005 neáu ñeám 100 baïch
caàu. Tính xaùc suaát ñeå gaëp moät baïch
caàu aùi kieàm.
Giaûi:
Goïi X laø soá baïch caàu aùi kieàm trong
100 baïch caàu thì X~B(100; 0,005)

29. Neân X~P() vôùi  = 100x0,005 = 0,5
!x
)5,0(e
)xX(P
x5,0

Vaäy
3033,0
!1
)5,0(e
)1X(P
15,0


Do p = 0,005 nhoû; n = 100 lôùn

30. Ví duï 3:
Tæ leä thuoác hoûng moät loâ thuoác (raát
nhieàu) laø p = 0,05. Ta laáy ngaãu
nhieân n = 20 loï. Goïi X laø soá loï
hoûng. Tìm haøm maät ñoä cuûa X, vaø
so saùnh vôùi giaù trò xaáp xæ bôûi phaân
phoái Poisson.

31. Goïi X laø soá loï thuoác hoûng trong 20 loï
laáy ra thì X~B(20; 0,05).


 


khaùcnôi;0
20,,2,1,0x;)95,0()05,0(C
)x(f
x20xx
20 
Neáu ta xaáp xæ bôûi qui luaät Poisson ().
Giaûi:
Do ñoù haøm maät ñoä cuûa X laø:

32. thì haøm maät ñoä laø:








khaùcnôi;0
,2,1,0x;
!x
e
!x
1.e
)x(g
1x1

Ta coù keát quaû sau ñaây ñöôïc tính
baèng nhò thöùc vaø baèng phaân phoái
Poisson.
Vôùi  = np = (20)(0,05) = 1,

33. X 0 1 2 3 4 5 6
B(n, p) 0.3585 0.3774 0.1887 0.0596 0.0133 0.0022 .....
P(1) 0.3674 0.3679 0.1839 0.0613 0.0153 0.0031 .....
Sai soá 0.0094 0.0095 0.0048 0.0017 0.0020 0.0009 .....
Ta thaáy sai soá khoâng lôùn laém khi ta
xaáp xæ B(n, p) bôûi P( = np) vieäc
xaáp xæ naøy sai soá caøng beù khi n
caøng lôùn.

34. IV.PHAÂN PHOÁI ÑEÀU TREÂN [a,b]
Ta noùi X phaân phoái ñeàu treân ñoaïn
[a,b] neáu haøm maät ñoä laø haèng soá
treân ñoaïn [a,b]:






khaùcnôi;0
bxa;
ab
1
)x(f
Kyù hieäu: X~U[a,b]

35. Ta tính ñöôïc deã daøng:
a bTrung bình:
2
ba 

ab
1

 Phöông sai:
12
)ab( 2
2 

Nhaän xeùt raèng trung bình
2
ba 

chính laø trung ñieåm cuûa [a,b]

36. V. PHAÂN PHOÁI CHUAÅN
• Cho BNN U lieân tuïc, U coù phaân
phoái chuaån (hay phaân phoái bình
thöôøng chuaån) khi haøm maät ñoä coù
daïng.
2
2u
e
2
1
)u(f



Kyù hieäu: U~N(0, 1)
1. Ñònh nghóa:

37. f(x)
-3 -2 -1 1 2 3



 0dx)x(xfEU



 1dx)x(fxVarU 222



 2
2t
txtU
edx)x(feEe)t(M

38. 



dte
2t
tích phaân Euler–Poisson
Haøm tích luõy: (u)





a
2
2u
due
2
1
)aU(P)a(
f(u)
u a b u
)a()b()bUa(P 

39. 
b
a
du)u(f)bUa(P
Taát caû giaù trò cuûa (u) ñöôïc tính saün
thaønh moät baûng tính ñeå tieän duøng.
 
 

b a
)u(fdu)u(f
)a()b( 

40. Phaân phoái chuaån ñoùng vai troø quan
troïng trong xaùc suaát thoáng keâ. Chuùng
ta haõy laøm quen vôùi caùch duøng baûng soá
naøy.
 f(u) laø haøm soá chaün neân baûng tính chæ
cho ta nhöõng trò soá öùng vôùi u > 0.
2. Caùch duøng baûng:

41. • a) Tröôøng hôïp u>0
Ví duï:
939,0)55,1U(P)55,1( 
0 1,55 u
0,5 0,439
•(Tra tröïc tieáp treân baûng)

42. b) Tröôøng hôïp u<0
Ví duï:
u
( 1,45) P(U 1,45)    
P(U 1,45)  1 P(U 1,45)  
= 1- 0,927 = 0,073
Chuù yù: )u(1)u( 

43. c) Tröôøng hôïp:
P( 1 U 1,5) (1,5) ( 1)       
 )1(1)5,1( 
= 0,774
 P U 1,96 0,95 
 P U 2,58 0,99 
d) Ghi chuù:
u
95%
-1,96 1,96

44. VI. PHAÂN PHOÁI BÌNH THÖÔØNG
1. Ñònh nghóa: Cho BNN X lieân tuïc,
vôùi >0,  laø hai thoâng soá, X coù
phaân phoái bình thöôøng, khi haøm maät
ñoä coù daïng.
22
2)x(
e
2
1
)x(f 



 vôùi x  R

45.  2
,N~X 
EX
2
VarX 
2
2t2
t
e)t(M



Kyù hieäu:
f(x)
x0 
Vaäy trong phaân phoái bình thöôøng
tham soá  vaø  chính laø trung bình
vaø ñoä leäch chuaån.

46. Caùc meänh ñeà sau ñaây giuùp ta ñöa veà
phaân phoái chuaån, töø ñoù ta coù theå
tính xaùc suaát caùc bieán coá caàn thieát
baèng caùch duøng baûng soá PP chuaån.
Ñònh lyù:
Neáu ),(N~X 2
 thì: )1,0(N~
X
U



2. Chuaån hoùa phaân phoái bình thöôøng:

47. Heä quaû 1:
Neáu
),(N~X 2
 thì:









a
)aX(P
Heä quaû 2:
),(N~X 2
 thì:

















ab
)bXa(P
Neáu

48. Ví duï 1: Cho X~N(5; 16).
Tính P(X4)





 



4
54
4
5X
P)4X(P





 

4
1
UP













4
1
1
4
1
401,0599,01 
401,0)4X(P 

49. Ví duï 2: Chieàu cao H ngöôøi Vieät
Nam coù phaân phoái: H~(1,6 ; 0,01).
Tính tyû leä ngöôøi Vieät Nam coù chieàu
cao trong khoaûng 1,5m – 1,7m.





 





 

1,0
6,15,1
1,0
6,17,1
)7,1H5,1(P
 
682,0
1841,021)1(2
)1(1)1(
)1()1(





50. Ñònh lyù MOIVRE – LAPLACE:
Neáu: X~B(n, p) thì:
X~N(np,np(1-p)) khi n lôùn
Ñònh lyù noùi raèng khi n lôùn ta xaáp
xæ phaân phoái nhò thöùc baèng phaân
phoái bình thöôøng.

51. c) Soá ngöôøi bò beänh trong khoaûng 6
ñeán 12 ngöôøi.
Moät beänh B chieám 10% daân soá.
Choïn ngaãu nhieân 100 ngöôøi. Tính
xaùc suaát.
Ví duï:
a) Coù 6 ngöôøi bò beänh B.
b) Khoâng tôùi 6 ngöôøi bò beänh B.

52. AÙp duïng ñònh lyù Moivre – Laplace:
Goïi X laø soá ngöôøi bò beänh B trong
100 laàn choïn thì X = 0, 1, …, 100 vaø






10
1
,100~ BX
06.0
10
9
10
1
C)6X(P
946
6
100 












)5(...)1()0()5( PPPXP 
)12(...)7()6()126( PPPXP 
X~N(10,9)

53. P(X=6)#P(5,5X6,5)
3
)105,5(
3
)105,6( 



)5,1()17,1( 
= (1,5) - (1,17)
3
)105,5(
)5,5()#5(

 XPXP
)5,1(1)5,1( 
= 0,933 – 0,897 = 0,054
= 1 – 0,933 = 0,067

54. 5 6 10 12 x
=0,794+0,933-1
=(0,83)+(1,5)-1
=(0,83) - (-1,5)
=(0,83) – [1 - (1,5)]
3
)105,5(
3
)105,12( 



)5,125,5()#126(  XPXP
=0,727

55. VII. PHAÂN PHOÁI GAMMA VAØ CHI BÌNH PHÖÔNG
1. Haøm Gamma:
Vôùi >0, ñaët: 



0
x.1
dxex)(
Ta coù:
  1eeedxe)1( 0
0
x
0
x
 



)(.dxex)1(
0
x
 



56. Vaäy: )(.)1( 
Töø ñoù suy ra:
!31.2.3)3(.3)4(
!21.2)2(.2)3(
11.1)1(.1)2(



Toång quaùt: !n)1n( 
Chuù yù: 






2
1
vôùi:

 







0
t
dt
t
e
2
1

57. 2. Phaân phoái Gamma:
)0,();,(G~X 
Ta noùi X coù phaân phoái Gamma (, )
neáu haøm maät ñoä cuûa X coù daïng:











khaùcnôi;0
0x;ex.
)(
1
)x(f
x
1

58.  Trung bình:
 Phöông sai: 22

 Haøm gaây moment: 


)t1(
1
)t(M
X
f
=

59. 3. Phaân phoái chi bình phöông:
,3,2,1r),r(~X 2

Ñònh nghóa:






 2,
2
r
G~Xneáu),r(~X 2
Vaäy haøm maät ñoä cuûa X laø:
















khaùcnôi;0
0x;e.x.
2
2
r
1
)x(f
2
x
1
2
r
2
r

60.  Trung bình:
 Phöông sai:
 Haøm moment:
r2.
2
r

r22.
2
r 222

2
r
)t21(
1
)t(M


Phaân phoái
2
 raát quan troïng trong
duïng ñeå laøm kieåm ñònh, giaû thieát
thoáng keâ.

61. Ñònh lyù 1:
Neáu: )1(~XYthì:)1,0(N~X 22

Ñònh lyù 2:
Neáu: )s(~Y);r(~X 22

X, Y ñoäc laäp
thì: )sr(~YXZ 2


62. Heä quaû: )r(~X 1
2
1 

)r(~X 2
2
2 
laäpñoäcX),r(~X in
2
n 
thì : )rrr(~XXX n21
2
n21  
°Neáu : r21 X,,X,X  ñoäc laäp vaø coù
cuøng phaân phoái chuaån N(0, 1)
°Neáu :
thì : )r(~XXX 22
r
2
2
2
1  

63. VIII. PHAÂN PHOÁI STUDENT: T~Student(n)
Xeùt 2 bieán ngaãu nhieân X, Y ñoäc laäp:
)n(~Y);1;0(N~X 2

Ñaët:
n
Y
X
T 
Bieán soá T ñöôïc goïi laø bieán soá
Student n ñoä töï do.
Kyù hieäu: T~Student(n)

64. Haøm maät ñoä cuûa T laø:












 


2
n
n.
2
1n
)t(g Rt;
n
t
1
1
2
)1n(
2











.
- 
   tTP

65. IX. PHAÂN PHOÁI FISHER: F~Fisher(n, m).
Xeùt hai bieán coá ngaãu nhieân X, Y
ñoäc laäp: )m(~Y),n(~X 22

Ñaët:
m
Y
n
X
F  thì F ñöôïc goïi laø bieán
Kyù hieäu: F~Fisher(n,m)
soá Fisher(n,m)

66. Haøm maät ñoä cuûa F:
0f;
f
n
m
1
f
.
n
m
.
2
m
2
n
2
nm
)f(h
2
nm
1
2
m
2
m
































 

 

   fFP
f x

67. Phaân phoái T vaø F ñöôïc söû duïng
nhieàu trong thoáng keâ suy ñoaùn. Phaân
phoái T ñöôïc duøng ñeå giaûi quyeát caùc
baøi toaùn lieân quan ñeán trung bình vaø
tyû leä. Phaân phoái F cuõng ñöôïc duøng
ñeå giaûi quyeát caùc baøi toaùn lieân quan
ñeán phöông sai. Do ñoù, ngöôøi ta ñaõ
thieát laäp saün baûng tính cho nhöõng
giaù trò caàn thieát trong phaân phoái T
vaø F.

68. TOÙM TAÉT

69. I. PHAÂN PHOÁI BERNOUILLI
Moät thí nghieäm ngaãu nhieân coù hai haäu quaû
  , trong ñoù: p)(P 
Goïi X laø soá laàn xuaát hieän thì: X~B(1,p)


 


khaùcnôi0
1,0xvôùi)p1(p
)x(f
x1x
vôùi 0 < p < 1
EX=pKyø voïng:
Phöông sai: )p1(pVarX 

70. II. PHAÂN PHOÁI NHÒ THÖÙC: X ~ B(n, p)
Moät thí nghieäm ngaãu nhieân coù hai haäu quaû
  , trong ñoù: p)(P 
Goïi X laø soá laàn xuaát hieän thì: )p,n(B~X


 


khaùcnôi;0
n...,,1,0:xvôùi;)p1(pC
)x(f
xnxx
n
laäp laïi thí nghieäm naøy n laàn ñoäc laäp.
trong ñoù: 0 < p < 1
E(X)=np
)p1(np2


71. III. PHAÂN PHOÁI POISSON
1. Cho BNN X rôøi, laáy caùc trò soá 0, 1, 2, …, X coù
phaân phoái Poisson, khi haøm maät ñoä coù daïng.










0vôùikhaùcnôi;0
...,2,1,0x;
!x
e
)x(f
x
Kyù hieäu: )(P~X 
Kyø voïng: EX
Phöông sai: VarX = 
2. Xaáp xæ PP Nhò thöùc baèng PP Poisson:
Neáu X~B(n,p) thì X~P(np) khi






100
1
p
,30n

72. IV. PHAÂN PHOÁI CHUAÅN
1. U coù phaân phoái chuaån khi haøm maät ñoä
coù daïng.
2
2u
e
2
1
)u(f



kyù hieäu U ~ N(0, 1)
 = 0
12

2. Tra baûng phaân phoái chuaån

73. IV. PHAÂN PHOÁI BÌNH THÖÔØNG
1. X coù phaân phoái bình thöôøng, khi haøm maät
ñoä coù daïng.
22
2)(
2
1
)( 




x
exf Vôùi x  R
kyù hieäu:  2
,~ NX
EX
2
VarX

74. Ñònh lyù:
Neáu ),(~ 2
NX thì )1,0(~ N
X
U



3. Xaáp xæ PP Nhò thöùc baèng PP Bình thöôøng
Neáu: X~B(n, p) thì: X~N(np, np(1-p))
khi n30
Chuù yù: khi xaáp xæ PP Nhò thöùc baèng PP Bình
thöôøng thì:
)5,05,0()(  kXkPkXP
2. Chuaån hoùa phaân phoái bình thöôøng:

76. 5. Moät maùy saûn xuaát saûn phaåm vôùi tyû leä pheá
phaåm laø 7%
a. Quan saùt ngaãu nhieân 10 saûn phaåm.
Tính xaùc suaát:
 Coù moät saûn phaåm hoûng?
 Coù ít nhaát moät saûn phaåm hoûng?
 Coù nhieàu nhaát moät saûn phaåm hoûng?
b. Quan saùt toái thieåu maáy saûn phaåm ñeå
xaùc suaát coù ít nhaát moät saûn phaåm hoûng
 0,90.

77. GIAÛI (5):
5a. Goïi X = soá saûn phaåm hoûng trong 10 saûn
phaåm quan saùt.
Ta coù: X~B(n = 10; p = 0,07)
Do ñoù haøm maät ñoä cuûa X laø:


 


khaùcnôi
xC
xf
xxx
;0
10...,,1,0;)93,0()07,0(
)(
10
10
36,0)93,0)(07,0()1( 91
10  CXP
52,0)93,0(1)0(1)1( 10
 XPXP
)1()0()1(  XPXPXP
85,0)93,0)(07,0()93,0( 91
10
10
 C

78. 5b. Goïi n laø soá laàn quan saùt, ta coù:
)0X(P1)1X(P 
90,0)93,0(1 n

n
)93,0(90,01 
10,0)93,0( n

10,0ln)93,0ln(n 
72,31
93,0ln
10,0ln
n 




Vaäy quan saùt ít nhaát 32 saûn phaåm.

79. 7. Khi tieâm truyeàn moät loaïi huyeát thanh
trung bình coù moät tröôøng hôïp bò phaûn öùng
treân 1000. Ta laïi duøng huyeát thanh treân
tieâm cho 2000 ngöôøi. Tính xaùc suaát ñeå:
a. Coù 3 ca bò phaûn öùng.
b. Nhieàu nhaát 3 ca bò phaûn öùng.
c. Hôn 3 ca bò phaûn öùng.

80. GIAÛI (7):
Goïi X laø soá ca bò phaûn öùng
!
2
)2(~
1000
1
,2000~
2
x
e
PBX
x






18,0
3
4
!3
2
)3( 2
32


e
e
XP
7.a

81. 135,0
1
)0( 2 
e
XP
270,0
2
)1( 2 
e
XP
270,0
2
)2( 2 
e
XP
)1()0()3(  XPXPXP
854,0)3()2(  XPXP
7.c
7.b
146,0854,01)3(1)4(  XPXP

82. 9. Cho X  B(n, p) vôùi E(X) = 2, Var(X) = 4/3.
Tìm haøm maät ñoä.
GIAÛI (9):
Ta coù EX = np = 2
2 4
np(1 p)
3
   
n 6
1
p
3


 

Vaäy
1
X ~ B 6,
3
 
 
 
Neân haøm maät ñoä
x 6 x
x
6
1 2
f(x) C ; x 0, 1, ...,6.
3 3

   
    
   

83. 15. Ñöôøng kính cuûa moät chi tieát maùy do moät
maùy tieän töï ñoäng saûn xuaát coù phaân phoái bình
thöôøng vôùi trung bình  = 50 mm vaø ñoä leäch
chuaån  = 0,05 mm. Chi tieát maùy ñöôïc xem
nhö ñaït yeâu caàu neáu ñöôøng kính khoâng sai
quaù 0,10 mm.
a. Tính tæ leä ñaït yeâu caàu.
b. Laáy ngaãu nhieân 3 saûn phaåm cuûa maùy
tieän ñoù. Tính xaùc suaát coù ít nhaát moät saûn
phaåm khoâng ñaït yeâu caàu.

84. GIAÛI (15):
a. Goïi X = ñöôøng kính cuûa chi tieát maùy. Ta
coù:
 P X 0,10  
0,10 X 0,10
P
0,05 0,05
 
     
P( 2 U 2)    2P(U 2) 1  
2(0,977) 1  = 0,954
b. Goïi Y = soá saûn phaåm khoâng ñaït yeâu caàu
(trong 3 saûn phaåm laáy ra).
Ta coù: Y ~ B(3; 0,0456)
P(Y 1) 1 P(Y 0)   
3
1 (0,9544) 0,1307  

85. 16. Troïng löôïng X(gam) cuûa moät loaïi traùi
caây coù phaân phoái bình thöôøng
)16;500(N 2

Traùi caây thu hoaïch ñöôïc phaân loaïi theo
troïng löôïng:
Loaïi 1: treân 505 gam
Loaïi 2: 495 ~ 505 gam
Loaïi 3: döôùi 495 gam
Tính læ leä moãi loaïi ?

86. GIAÛI (16):
Ta coù:





 




4
500505X
P)505X(Pp1
P(U 1,25) 1 P(U 1,25) 0,1056     
)505X495(Pp2 





 



4
500505
U
4
500495
P
)25,1U25,1(P  2P(U 1,25) 1  
2(0,894) 1 0,788  





 




4
500495x
P)495X(Pp3
1056,0)25,1U(P)25.1U(P 

87. 17. Tyû leä loï thuoác hoûng trong caùc loâ thuoác A, B
laàn löôït laø 0,10 vaø 0,07. Giaû söû caùc loâ thuoác naøy
coù raát nhieàu loï.
a. Laáy ngaãu nhieân 3 loï ôû loâ thuoác A. Tính xaùc
suaát coù ít nhaát 1 loï thuoác hoûng. Laáy toái thieåu
maáy loï trong loâ thuoác A ñeå xaùc suaát coù ít nhaát
moät loï hoûng  0,90?
b. Choïn ngaãu nhieân moät trong hai loâ roài laáy
töø ñoù ra 1 loï.
Tính xaùc suaát ñeå loï laáy ra laø hoûng.
Bieát loï laáy ra laø hoûng. Tính xaùc suaát ñeå loâ
thuoác laáy ra laø loâ A.
c. Laáy ngaãu nhieân 50 loï ôû loâ thuoác A. Tính xaùc
suaát ñeå coù 3 loï hoûng.

88. GIAÛI (17):
 P (coù ít nhaát moät loï hoûng) 271,0)9,0(1 3

17.a
9,0)9,0(1 n

10,0)9,0( n
 22n 
17.b
P(H) P(H | A).P(A) P(H | B).P(B) 
588,0
085,0
2
1
10,0
)H(P
)A(P).A|H(P
)H|A(P 


 Goïi n laø soá loï thuoác caàn laáy
085,0
2
1
07,0
2
1
10,0 
P (coù ít nhaát 1 loï hoûng)

89. Goïi X laø soá loï hoûng trong 50 loï laáy ra:
X~B(50 ; 0,1)  X~N(5 ; 4,5) do n = 50
lôùn
17.c
P(X = 3) = P(2,5 < X < 3,5)





 



5,4
55,3
U
5,4
55,2
P
)71,0U118(P 
= P(0,71 < U < 1,18)
= 0,881 – 0,761 = 0,12

90. 18. Cho bieát troïng löôïng treû sô sinh phaân
phoái Bình Thöôøng vôùi kyø voïng laø 3,2 kg
vaø phöông sai 0,16kg2. Moät treû sô sinh
ñöôïc goïi laø bình thöôøng neáu troïng löôïng
töø 2,688  3,712 kg. Do troïng moät caùch
ngaãu nhieân treân 100 treû sô sinh. Tính:
a. Xaùc suaát ñeå coù 85 treû bình
thöôøng.
b. Xaùc suaát ñeå coù ít nhaát 75 treû bình
thöôøng.

91. GIAÛI (18):
Goïi X laø troïng löôïng treû sô sinh, ta coù:
)712,3X688,2(PP 





 





4,0
2,3712,3
4,0
2,3X
4,0
2,3688,2
P
)28,1U28,1(P 
1)28,1U(P2 
X~N(3,2 ; 0,16).
Xaùc suaát ñeå ñöùa treû bình thöôøng laø:
= 2(0,9)-1=0,8

92. Goïi Y laø soá treû bình thöôøng trong 100 treû
quan saùt
18.a  5,85Y5,84P)85Y(P 





 





4
805,85
4
80Y
4
805,84
P
)1,0(NUvôùi),38,1U13,1(P 
)13,1U(P)38,1U(P 
=0,916 – 0,871 = 0,045.(#0,048)
18.b )5,74Y(P)75Y(P 





 



4
805,74
4
80Y
P
=P(U>-1,38)=P(U<1,38)=0,916
 Y~B(100; 0,8) Y~N(80 ; 16)

93. 19. Cho bieát troïng löôïng vieân thuoác saûn
xuaát taïi moät xí nghieäp laø ñoäc laäp vaø coù
phaân phoái Bình Thöôøng vôùi kyø voïng laø
250mg, phöông sai laø 8,1 mg2. Thuoác ñöôïc
ñoùng thaønh vó, moãi vó 10 vieân. Moãi vó goïi laø
ñuùng tieâu chuaån khi troïng löôïng töø 2490
mg ñeán 2510 mg (ñaõ tröø bao bì). Laáy ngaãu
nhieân 100 vó ñeå kieåm tra. Tính xaùc suaát
ñeå:
a. Coù 80 vó ñaït tieâu chuaån.
b. Coù töø 70 vó trôû leân ñaït tieâu chuaån.

94. GIAÛI (19):



)81;2500(N~X:thuoácvólöôïngtroïngX
)1,8;250(N~X:thuoácvieânlöôïngtroïngX ii
Goïi A: Bieán coá vó thuoác ñaït tieâu chuaån.
Ta coù:
)2510X2490(P)A(P 
7,0
9
10
U
9
10
P 






Y laø soá vó ñaït tieâu chuaån trong 100 vó choïn
kieåm tra:
Y~B(100 ; 0,74)~N(74 ; 19,24)

95. 19.a Y~B(100 ; 0,74)~N(74 ; 19,24)





 



836,4
745,80
U
386,4
745,79
P
037,0)48,1U25,1(P 
19.b





 

386,4
745,69
UP)70Y(P
)03,1U(P  )03,1U(P 
849,0
      037.026.074.0C80YP
208080
100 

96. 20. Khaûo saùt moät loâ thuoác vieân, troïng löôïng
trung bình cuûa moät vieân thuoác laø =252,6 mg
vaø coù ñoä leäch chuan =4,2 mg. Giaû söû troïng
löôïng phaân phoái theo qui luaät Bình Thöôøng.
a. Tính tæ leä vieân thuoác coù troïng löôïng lôùn
hôn 260mg.
b. Tính troïng löôïng x0 sao cho coù 30%
vieân thuoác nheï hôn x0.
c. Theo döôïc ñieån, vieân thuoác ñuùng tieâu
chuaån phaûi coù troïng löôïng xung quanh troïng
löôïng trung bình vôùi ñoä gia giaûm toái ña 5%.
Tính tyû leä caùc vieân thuoác ñuùng tieâu chuaån cuûa
loâ thuoác ñöôïc khaûo saùt.

97. GIAÛI (20):
Goïi Xi laø troïng löôïng vieân thuoác:
20.a





 




2,4
6,252260X
P)260X(P
)76,1U(P 
039,0961,01)76,1U(P1 
X~N(252,6 ; (4,2)2)

98. 20.b 3,0)xX(P 0 
0xX
P 0,3
   
     
3,0
2,4
6,252x
UP 0





 

0252,6 x
1 P U 0,3
4,2
 
    
 
0252,6 x
P U 0,7
4,2
 
   
 
52,0
2,4
x6,252 0



mg4,250x0 

99. 20.c Ñaët:
1
5
M 252,6 252,6
100
  
2
5
M 252,6 252,6
100
   252,6 12,63 
Xaùc suaát vieân thuoác ñaït tieâu chuaån laø:
)MXM(P 21  










 21 M
U
M
P







2,4
63,12
U
2,4
63,12
P = P(-3U3)
= 0,998 = 99,8%
= 252,6 - 12,63