Toan 1-Chuong4

1. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ng y 12 th¡ng 10 n«m 2010 m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

2. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ 4.1 Khæng gian v²ctì. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

3. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ 4.1 Khæng gian v²ctì. 4.2 Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh cõa mët h» v²c tì. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

4. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ 4.1 Khæng gian v²ctì. 4.2 Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh cõa mët h» v²c tì. 4.3 H¤ng cõa mët h» v²c tì. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

5. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ 4.1 Khæng gian v²ctì. 4.2 Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh cõa mët h» v²c tì. 4.3 H¤ng cõa mët h» v²c tì. 4.4 Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

6. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ 4.1 Khæng gian v²ctì. 4.2 Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh cõa mët h» v²c tì. 4.3 H¤ng cõa mët h» v²c tì. 4.4 Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì. 4.5 Khæng gian con. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

7. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö ành ngh¾a Cho V l tªp hñp kh¡c réng. V ÷ñc gåi l khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R n¸u tr¶n V x¡c ành hai ph²p to¡n: m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

8. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö ành ngh¾a Cho V l tªp hñp kh¡c réng. V ÷ñc gåi l khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R n¸u tr¶n V x¡c ành hai ph²p to¡n: a, Ph²p to¡n cëng u + v 2 V; 8u; v 2 V m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

9. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö ành ngh¾a Cho V l tªp hñp kh¡c réng. V ÷ñc gåi l khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R n¸u tr¶n V x¡c ành hai ph²p to¡n: a, Ph²p to¡n cëng u + v 2 V; 8u; v 2 V b, Ph²p to¡n nh¥n u 2 V; 8 2 R; 8u 2 V m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

10. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö ành ngh¾a Cho V l tªp hñp kh¡c réng. V ÷ñc gåi l khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R n¸u tr¶n V x¡c ành hai ph²p to¡n: a, Ph²p to¡n cëng u + v 2 V; 8u; v 2 V b, Ph²p to¡n nh¥n u 2 V; 8 2 R; 8u 2 V thäa m¢n 8 ti¶n · sau: m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

11. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö ành ngh¾a Cho V l tªp hñp kh¡c réng. V ÷ñc gåi l khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R n¸u tr¶n V x¡c ành hai ph²p to¡n: a, Ph²p to¡n cëng u + v 2 V; 8u; v 2 V b, Ph²p to¡n nh¥n u 2 V; 8 2 R; 8u 2 V thäa m¢n 8 ti¶n · sau: 1 x + y = y + x; 8x; y 2 V m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

12. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö ành ngh¾a Cho V l tªp hñp kh¡c réng. V ÷ñc gåi l khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R n¸u tr¶n V x¡c ành hai ph²p to¡n: a, Ph²p to¡n cëng u + v 2 V; 8u; v 2 V b, Ph²p to¡n nh¥n u 2 V; 8 2 R; 8u 2 V thäa m¢n 8 ti¶n · sau: 1 x + y = y + x; 8x; y 2 V 2 (x + y) + z = x + (y + z); 8x; y; z 2 V m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

13. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö ành ngh¾a Cho V l tªp hñp kh¡c réng. V ÷ñc gåi l khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R n¸u tr¶n V x¡c ành hai ph²p to¡n: a, Ph²p to¡n cëng u + v 2 V; 8u; v 2 V b, Ph²p to¡n nh¥n u 2 V; 8 2 R; 8u 2 V thäa m¢n 8 ti¶n · sau: 1 x + y = y + x; 8x; y 2 V 2 (x + y) + z = x + (y + z); 8x; y; z 2 V 3 Tçn t¤i ph¦n tû 0 2 V sao cho x + 0 = x; 8x 2 V m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

14. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö ành ngh¾a Cho V l tªp hñp kh¡c réng. V ÷ñc gåi l khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R n¸u tr¶n V x¡c ành hai ph²p to¡n: a, Ph²p to¡n cëng u + v 2 V; 8u; v 2 V b, Ph²p to¡n nh¥n u 2 V; 8 2 R; 8u 2 V thäa m¢n 8 ti¶n · sau: 1 x + y = y + x; 8x; y 2 V 2 (x + y) + z = x + (y + z); 8x; y; z 2 V 3 Tçn t¤i ph¦n tû 0 2 V sao cho x + 0 = x; 8x 2 V 4 8x 2 V tçn t¤i ph¦n tû èi x 2 V sao cho x + (x) = 0; 8x 2 V m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

15. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö ành ngh¾a Cho V l tªp hñp kh¡c réng. V ÷ñc gåi l khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R n¸u tr¶n V x¡c ành hai ph²p to¡n: a, Ph²p to¡n cëng u + v 2 V; 8u; v 2 V b, Ph²p to¡n nh¥n u 2 V; 8 2 R; 8u 2 V thäa m¢n 8 ti¶n · sau: 1 x + y = y + x; 8x; y 2 V 2 (x + y) + z = x + (y + z); 8x; y; z 2 V 3 Tçn t¤i ph¦n tû 0 2 V sao cho x + 0 = x; 8x 2 V 4 8x 2 V tçn t¤i ph¦n tû èi x 2 V sao cho x + (x) = 0; 8x 2 V 5 8;

16. 2 R; 8x 2 V, ta câ ( +

17. )x = x +

18. x m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

20. 2 R; 8x 2 V, ta câ ( +

21. )x = x +

22. x 6 8 2 R; 8x; y 2 V, ta câ (x + y) = x + y m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

24. 2 R; 8x 2 V, ta câ ( +

25. )x = x +

26. x 6 8 2 R; 8x; y 2 V, ta câ (x + y) = x + y 7 8;

27. 2 R; 8x 2 V, ta câ (

28. )x = (

29. x) m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

31. 2 R; 8x 2 V, ta câ ( +

32. )x = x +

33. x 6 8 2 R; 8x; y 2 V, ta câ (x + y) = x + y 7 8;

34. 2 R; 8x 2 V, ta câ (

35. )x = (

36. x) 8 1 2 R; 8x 2 V; 1:x = x m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

38. 2 R; 8x 2 V, ta câ ( +

39. )x = x +

40. x 6 8 2 R; 8x; y 2 V, ta câ (x + y) = x + y 7 8;

41. 2 R; 8x 2 V, ta câ (

42. )x = (

43. x) 8 1 2 R; 8x 2 V; 1:x = x m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

44. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö V½ dö 1 Tªp hñp c¡c v²c tì trong h¼nh håc l mët khæng gian v²c tì, vîi ph²p to¡n cëng 2 v²c tì theo quy tc h¼nh b¼nh h nh ho°c quy tc ta gi¡c v ph²p nh¥n v²c tì vîi mët sè, l mët khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

45. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö V½ dö 1 Tªp hñp c¡c v²c tì trong h¼nh håc l mët khæng gian v²c tì, vîi ph²p to¡n cëng 2 v²c tì theo quy tc h¼nh b¼nh h nh ho°c quy tc ta gi¡c v ph²p nh¥n v²c tì vîi mët sè, l mët khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R 2 Tªp hñp Rn = f(x1; x2; :::; xn) : x1; x2; :::; xn 2 Rg l mët khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

46. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö V½ dö 1 Tªp hñp c¡c v²c tì trong h¼nh håc l mët khæng gian v²c tì, vîi ph²p to¡n cëng 2 v²c tì theo quy tc h¼nh b¼nh h nh ho°c quy tc ta gi¡c v ph²p nh¥n v²c tì vîi mët sè, l mët khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R 2 Tªp hñp Rn = f(x1; x2; :::; xn) : x1; x2; :::; xn 2 Rg l mët khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R. 3 Tªp hñp Pn [x] = fa0 + a1x + + anxn : a0; a1; :::; an 2 Rg c¡c a thùc câ bªc khæng v÷ñt qu¡ n vîi h» sè thüc, l mët khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

47. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö V½ dö 1 Tªp hñp c¡c v²c tì trong h¼nh håc l mët khæng gian v²c tì, vîi ph²p to¡n cëng 2 v²c tì theo quy tc h¼nh b¼nh h nh ho°c quy tc ta gi¡c v ph²p nh¥n v²c tì vîi mët sè, l mët khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R 2 Tªp hñp Rn = f(x1; x2; :::; xn) : x1; x2; :::; xn 2 Rg l mët khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R. 3 Tªp hñp Pn [x] = fa0 + a1x + + anxn : a0; a1; :::; an 2 Rg c¡c a thùc câ bªc khæng v÷ñt qu¡ n vîi h» sè thüc, l mët khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R. 4 Tªp hñp sè phùc C = fa + bi : a; b 2 Rg l mët khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

48. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö V½ dö 1 Tªp hñp c¡c v²c tì trong h¼nh håc l mët khæng gian v²c tì, vîi ph²p to¡n cëng 2 v²c tì theo quy tc h¼nh b¼nh h nh ho°c quy tc ta gi¡c v ph²p nh¥n v²c tì vîi mët sè, l mët khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R 2 Tªp hñp Rn = f(x1; x2; :::; xn) : x1; x2; :::; xn 2 Rg l mët khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R. 3 Tªp hñp Pn [x] = fa0 + a1x + + anxn : a0; a1; :::; an 2 Rg c¡c a thùc câ bªc khæng v÷ñt qu¡ n vîi h» sè thüc, l mët khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R. 4 Tªp hñp sè phùc C = fa + bi : a; b 2 Rg l mët khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R. 5 Tªp hñp Mmxn [R] c¡c ma trªn còng c§p m:n h» sè thüc, vîi ph²p to¡n cëng hai ma trªn, nh¥n ma trªn vîi mët sè, l mët khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

49. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö V½ dö 1 Tªp hñp c¡c v²c tì trong h¼nh håc l mët khæng gian v²c tì, vîi ph²p to¡n cëng 2 v²c tì theo quy tc h¼nh b¼nh h nh ho°c quy tc ta gi¡c v ph²p nh¥n v²c tì vîi mët sè, l mët khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R 2 Tªp hñp Rn = f(x1; x2; :::; xn) : x1; x2; :::; xn 2 Rg l mët khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R. 3 Tªp hñp Pn [x] = fa0 + a1x + + anxn : a0; a1; :::; an 2 Rg c¡c a thùc câ bªc khæng v÷ñt qu¡ n vîi h» sè thüc, l mët khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R. 4 Tªp hñp sè phùc C = fa + bi : a; b 2 Rg l mët khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R. 5 Tªp hñp Mmxn [R] c¡c ma trªn còng c§p m:n h» sè thüc, vîi ph²p to¡n cëng hai ma trªn, nh¥n ma trªn vîi mët sè, l mët khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R. 6 Tªp hñp F = (x1; x2; x3) 2 R3 jx1 + x2 2x3 = 1 khæng l khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

50. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö V½ dö 1 Tªp hñp c¡c v²c tì trong h¼nh håc l mët khæng gian v²c tì, vîi ph²p to¡n cëng 2 v²c tì theo quy tc h¼nh b¼nh h nh ho°c quy tc ta gi¡c v ph²p nh¥n v²c tì vîi mët sè, l mët khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R 2 Tªp hñp Rn = f(x1; x2; :::; xn) : x1; x2; :::; xn 2 Rg l mët khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R. 3 Tªp hñp Pn [x] = fa0 + a1x + + anxn : a0; a1; :::; an 2 Rg c¡c a thùc câ bªc khæng v÷ñt qu¡ n vîi h» sè thüc, l mët khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R. 4 Tªp hñp sè phùc C = fa + bi : a; b 2 Rg l mët khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R. 5 Tªp hñp Mmxn [R] c¡c ma trªn còng c§p m:n h» sè thüc, vîi ph²p to¡n cëng hai ma trªn, nh¥n ma trªn vîi mët sè, l mët khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R. 6 Tªp hñp F = (x1; x2; x3) 2 R3 jx1 + x2 2x3 = 1 khæng l khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè thüc R. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

51. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Chó þ ành ngh¾a Trong khæng gian v²c tì V tr¶n tr÷íng sè thüc R, cho h» v²c tì E = fe1; e2; :::; eng. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

52. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Chó þ ành ngh¾a Trong khæng gian v²c tì V tr¶n tr÷íng sè thüc R, cho h» v²c tì E = fe1; e2; :::; eng. H» thùc 1e1 +2e2 +:::+nen ÷ñc gåi l tê hñp tuy¸n t½nh cõa h» v²c tì E, trong â i (1 6 i 6 n) l c¡c sè thüc. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

53. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Chó þ ành ngh¾a Trong khæng gian v²c tì V tr¶n tr÷íng sè thüc R, cho h» v²c tì E = fe1; e2; :::; eng. H» thùc 1e1 +2e2 +:::+nen ÷ñc gåi l tê hñp tuy¸n t½nh cõa h» v²c tì E, trong â i (1 6 i 6 n) l c¡c sè thüc. N¸u 1e1 + 2e2 + ::: + nen = 0 ) 1 = 2 = ::: = n = 0 th¼ h» v²c tì E ÷ñc gåi l ëc lªp tuy¸n t½nh. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

54. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Chó þ ành ngh¾a Trong khæng gian v²c tì V tr¶n tr÷íng sè thüc R, cho h» v²c tì E = fe1; e2; :::; eng. H» thùc 1e1 +2e2 +:::+nen ÷ñc gåi l tê hñp tuy¸n t½nh cõa h» v²c tì E, trong â i (1 6 i 6 n) l c¡c sè thüc. N¸u 1e1 + 2e2 + ::: + nen = 0 ) 1 = 2 = ::: = n = 0 th¼ h» v²c tì E ÷ñc gåi l ëc lªp tuy¸n t½nh. N¸u tçn t¤i 1; 2; :::; n khæng çng thíi b¬ng 0 th¼ h» v²c tì E ÷ñc gåi l phö thuëc tuy¸n t½nh. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

55. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Chó þ ành ngh¾a Trong khæng gian v²c tì V tr¶n tr÷íng sè thüc R, cho h» v²c tì E = fe1; e2; :::; eng. H» thùc 1e1 +2e2 +:::+nen ÷ñc gåi l tê hñp tuy¸n t½nh cõa h» v²c tì E, trong â i (1 6 i 6 n) l c¡c sè thüc. N¸u 1e1 + 2e2 + ::: + nen = 0 ) 1 = 2 = ::: = n = 0 th¼ h» v²c tì E ÷ñc gåi l ëc lªp tuy¸n t½nh. N¸u tçn t¤i 1; 2; :::; n khæng çng thíi b¬ng 0 th¼ h» v²c tì E ÷ñc gåi l phö thuëc tuy¸n t½nh. V²c tì x 2 V ÷ñc gåi l tê hñp tuy¸n t½nh cõa h» v²c tì E n¸u 91; 2; :::; n 2 R sao cho x = 1e1 + 2e2 + ::: + nen m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

56. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Chó þ ành ngh¾a Trong khæng gian v²c tì V tr¶n tr÷íng sè thüc R, cho h» v²c tì E = fe1; e2; :::; eng. H» thùc 1e1 +2e2 +:::+nen ÷ñc gåi l tê hñp tuy¸n t½nh cõa h» v²c tì E, trong â i (1 6 i 6 n) l c¡c sè thüc. N¸u 1e1 + 2e2 + ::: + nen = 0 ) 1 = 2 = ::: = n = 0 th¼ h» v²c tì E ÷ñc gåi l ëc lªp tuy¸n t½nh. N¸u tçn t¤i 1; 2; :::; n khæng çng thíi b¬ng 0 th¼ h» v²c tì E ÷ñc gåi l phö thuëc tuy¸n t½nh. V²c tì x 2 V ÷ñc gåi l tê hñp tuy¸n t½nh cõa h» v²c tì E n¸u 91; 2; :::; n 2 R sao cho x = 1e1 + 2e2 + ::: + nen m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

57. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Chó þ V½ dö 1 V½ dö 1. Trong khæng gian R3 cho h» v²c tì M = f(1; 1; 1); (2; 1; 3); (1; 2; 0)g. Häi M ëc lªp tuy¸n t½nh hay phö thuëc tuy¸n t½nh. V²c tì x = (2;1; 3) câ l tê hñp tuy¸n t½nh cõa hå M khæng? m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

58. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Chó þ V½ dö 1 V½ dö 1. Trong khæng gian R3 cho h» v²c tì M = f(1; 1; 1); (2; 1; 3); (1; 2; 0)g. Häi M ëc lªp tuy¸n t½nh hay phö thuëc tuy¸n t½nh. V²c tì x = (2;1; 3) câ l tê hñp tuy¸n t½nh cõa hå M khæng? Gi£i: X²t tê hñp tuy¸n t½nh (1; 1; 1) +

59. (2; 1; 3) + (1; 2; 0) = 0 , ( + 2

60. + ; +

61. + 2 ; + 3

62. ) = (0; 0; 0) , 8 : + 2

63. + = 0 +

64. + 2 = 0 + 3

65. = 0 ) ( = 3

67. n¶n h» M phö thuëc tuy¸n t½nh. M°t kh¡c ta câ (1; 1; 1) +

68. (2; 1; 3) + (1; 2; 0) = x , 8 : + 2

69. + = 2 +

70. + 2 = 1 + 3

71. = 3 h» væ nghi»m. Vªy x khæng l tê hñp tuy¸n t½nh cõa M. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

72. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Chó þ V½ dö 2 V½ dö 2. Trong khæng gian v²c tì P2[x] (khæng gian c¡c a thùc câ bªc khæng v÷ñt qu¡ 2) cho h» v²c tì M = x2 + 2x + 1; x2 + 1; x + 1 . Häi M ëc lªp tuy¸n t½nh hay phö thuëc tuy¸n t½nh. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

73. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Chó þ V½ dö 2 V½ dö 2. Trong khæng gian v²c tì P2[x] (khæng gian c¡c a thùc câ bªc khæng v÷ñt qu¡ 2) cho h» v²c tì M = x2 + 2x + 1; x2 + 1; x + 1 . Häi M ëc lªp tuy¸n t½nh hay phö thuëc tuy ¸n t½nh. Gi£i. X²t tê hñp tuy¸n t½nh x2 + 2x + 1 +

74. x2 + 1 + (x + 1) = 0 , ( +

75. ) x2 + (2 + ) x + ( +

76. + ) = 0 , 8 : +

77. = 0 2 + = 0 +

78. + = 0 ) =

79. = = 0. Vªy M ëc lªp tuy¸n t½nh. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

80. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Chó þ Chó þ 1 N¸u h» v²c tì M chùa v²c tì 0 th¼ M phö thuëc tuy¸n t½nh. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

81. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Chó þ Chó þ 1 N¸u h» v²c tì M chùa v²c tì 0 th¼ M phö thuëc tuy¸n t½nh. 2 M = fx1; x2; ; xng phö thuëc tuy¸n t½nh khi v ch¿ khi tçn t¤i xi l tê hñp cõa c¡c v²c tì cán l¤i trong M. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

82. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Chó þ Chó þ 1 N¸u h» v²c tì M chùa v²c tì 0 th¼ M phö thuëc tuy¸n t½nh. 2 M = fx1; x2; ; xng phö thuëc tuy¸n t½nh khi v ch¿ khi tçn t¤i xi l tê hñp cõa c¡c v²c tì cán l¤i trong M. 3 Th¶m mët sè v²c tì v o hå phö thuëc tuy¸n t½nh ta thu ÷ñc mët hå phö thuëc tuy¸n t½nh. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

83. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Chó þ Chó þ 1 N¸u h» v²c tì M chùa v²c tì 0 th¼ M phö thuëc tuy¸n t½nh. 2 M = fx1; x2; ; xng phö thuëc tuy¸n t½nh khi v ch¿ khi tçn t¤i xi l tê hñp cõa c¡c v²c tì cán l¤i trong M. 3 Th¶m mët sè v²c tì v o hå phö thuëc tuy¸n t½nh ta thu ÷ñc mët hå phö thuëc tuy¸n t½nh. 4 Bä i mët sè v²c tì cõa hå ëc lªp tuy¸n t½nh ta thu ÷ñc hå ëc lªp tuy¸n t½nh. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

84. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Chó þ Chó þ 1 N¸u h» v²c tì M chùa v²c tì 0 th¼ M phö thuëc tuy¸n t½nh. 2 M = fx1; x2; ; xng phö thuëc tuy¸n t½nh khi v ch¿ khi tçn t¤i xi l tê hñp cõa c¡c v²c tì cán l¤i trong M. 3 Th¶m mët sè v²c tì v o hå phö thuëc tuy¸n t½nh ta thu ÷ñc mët hå phö thuëc tuy¸n t½nh. 4 Bä i mët sè v²c tì cõa hå ëc lªp tuy¸n t½nh ta thu ÷ñc hå ëc lªp tuy¸n t½nh. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

85. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a Nhªn x²t V½ dö ành ngh¾a Cho khæng gian v²c tì V v h» v²c tì M = fx1; x2; ; xn; g V. H¤ng cõa M l mët sè k n¸u tçn t¤i k v²c tì ëc lªp tuy¸n t½nh cõa M v måi tªp con cõa M chùa nhi·u hìn k v²c tì ·u phö thuëc tuy¸n t½nh. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

86. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a Nhªn x²t V½ dö ành ngh¾a Cho khæng gian v²c tì V v h» v²c tì M = fx1; x2; ; xn; g V. H¤ng cõa M l mët sè k n¸u tçn t¤i k v²c tì ëc lªp tuy¸n t½nh cõa M v måi tªp con cõa M chùa nhi·u hìn k v²c tì ·u phö thuëc tuy¸n t½nh. Vªy h¤ng cõa h» v²c tì M l sè v²c tì ëc lªp tuy¸n tèi ¤i cõa M. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

87. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a Nhªn x²t V½ dö ành ngh¾a Cho khæng gian v²c tì V v h» v²c tì M = fx1; x2; ; xn; g V. H¤ng cõa M l mët sè k n¸u tçn t¤i k v²c tì ëc lªp tuy¸n t½nh cõa M v måi tªp con cõa M chùa nhi·u hìn k v²c tì ·u phö thuëc tuy¸n t½nh. Vªy h¤ng cõa h» v²c tì M l sè v²c tì ëc lªp tuy¸n tèi ¤i cõa M. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

88. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a Nhªn x²t V½ dö Nhªn x²t Cho h» v²c tì M câ n v²c tì m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

89. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a Nhªn x²t V½ dö Nhªn x²t Cho h» v²c tì M câ n v²c tì N¸u h¤ng cõa M b¬ng n (sè v²c tì cõa M) th¼ M ëc lªp tuy¸n t½nh. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

90. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a Nhªn x²t V½ dö Nhªn x²t Cho h» v²c tì M câ n v²c tì N¸u h¤ng cõa M b¬ng n (sè v²c tì cõa M) th¼ M ëc lªp tuy¸n t½nh. N¸u h¤ng cõa M nhä hìn n (sè v²c tì cõa M) th¼ M phö thuëc tuy¸n t½nh. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

91. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a Nhªn x²t V½ dö Nhªn x²t Cho h» v²c tì M câ n v²c tì N¸u h¤ng cõa M b¬ng n (sè v²c tì cõa M) th¼ M ëc lªp tuy¸n t½nh. N¸u h¤ng cõa M nhä hìn n (sè v²c tì cõa M) th¼ M phö thuëc tuy¸n t½nh. N¸u h¤ng cõa M vîi h¤ng cõa M th¶m v²c tì x th¼ x l tê hñp tuy¸n t½nh cõa M. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

92. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a Nhªn x²t V½ dö Nhªn x²t Cho h» v²c tì M câ n v²c tì N¸u h¤ng cõa M b¬ng n (sè v²c tì cõa M) th¼ M ëc lªp tuy¸n t½nh. N¸u h¤ng cõa M nhä hìn n (sè v²c tì cõa M) th¼ M phö thuëc tuy¸n t½nh. N¸u h¤ng cõa M vîi h¤ng cõa M th¶m v²c tì x th¼ x l tê hñp tuy¸n t½nh cõa M. C¡ch t¼m h¤ng cõa h» v²c tì x1; x2; ; xn m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

93. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a Nhªn x²t V½ dö Nhªn x²t Cho h» v²c tì M câ n v²c tì N¸u h¤ng cõa M b¬ng n (sè v²c tì cõa M) th¼ M ëc lªp tuy¸n t½nh. N¸u h¤ng cõa M nhä hìn n (sè v²c tì cõa M) th¼ M phö thuëc tuy¸n t½nh. N¸u h¤ng cõa M vîi h¤ng cõa M th¶m v²c tì x th¼ x l tê hñp tuy¸n t½nh cõa M. C¡ch t¼m h¤ng cõa h» v²c tì x1; x2; ; xn 1 Lªp ma trªn A câ c¡c h ng l tåa ë cõa c¡c v²c tì x1; x2; ; xn. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

94. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a Nhªn x²t V½ dö Nhªn x²t Cho h» v²c tì M câ n v²c tì N¸u h¤ng cõa M b¬ng n (sè v²c tì cõa M) th¼ M ëc lªp tuy¸n t½nh. N¸u h¤ng cõa M nhä hìn n (sè v²c tì cõa M) th¼ M phö thuëc tuy¸n t½nh. N¸u h¤ng cõa M vîi h¤ng cõa M th¶m v²c tì x th¼ x l tê hñp tuy¸n t½nh cõa M. C¡ch t¼m h¤ng cõa h» v²c tì x1; x2; ; xn 1 Lªp ma trªn A câ c¡c h ng l tåa ë cõa c¡c v²c tì x1; x2; ; xn. 2 Sû döng c¡c ph²p bi¸n êi sì c§p tr¶n h ng, ÷a ma trªn A v· d¤ng bªc thang. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

95. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a Nhªn x²t V½ dö Nhªn x²t Cho h» v²c tì M câ n v²c tì N¸u h¤ng cõa M b¬ng n (sè v²c tì cõa M) th¼ M ëc lªp tuy¸n t½nh. N¸u h¤ng cõa M nhä hìn n (sè v²c tì cõa M) th¼ M phö thuëc tuy¸n t½nh. N¸u h¤ng cõa M vîi h¤ng cõa M th¶m v²c tì x th¼ x l tê hñp tuy¸n t½nh cõa M. C¡ch t¼m h¤ng cõa h» v²c tì x1; x2; ; xn 1 Lªp ma trªn A câ c¡c h ng l tåa ë cõa c¡c v²c tì x1; x2; ; xn. 2 Sû döng c¡c ph²p bi¸n êi sì c§p tr¶n h ng, ÷a ma trªn A v· d¤ng bªc thang. 3 H¤ng cõa ma trªn A công l h¤ng cõa h» v²c tì x1; x2; ; xn. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

96. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a Nhªn x²t V½ dö Nhªn x²t Cho h» v²c tì M câ n v²c tì N¸u h¤ng cõa M b¬ng n (sè v²c tì cõa M) th¼ M ëc lªp tuy¸n t½nh. N¸u h¤ng cõa M nhä hìn n (sè v²c tì cõa M) th¼ M phö thuëc tuy¸n t½nh. N¸u h¤ng cõa M vîi h¤ng cõa M th¶m v²c tì x th¼ x l tê hñp tuy¸n t½nh cõa M. C¡ch t¼m h¤ng cõa h» v²c tì x1; x2; ; xn 1 Lªp ma trªn A câ c¡c h ng l tåa ë cõa c¡c v²c tì x1; x2; ; xn. 2 Sû döng c¡c ph²p bi¸n êi sì c§p tr¶n h ng, ÷a ma trªn A v· d¤ng bªc thang. 3 H¤ng cõa ma trªn A công l h¤ng cõa h» v²c tì x1; x2; ; xn. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

97. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a Nhªn x²t V½ dö V½ dö 1 V½ dö 1. H¢y x¡c ành tªp hñp c¡c v²c tì sau ëc lªp tuy¸n t½nh hay phö thuëc tuy¸n t½nh M1 = f(1; 1; 1); (2; 1; 3); (1; 2; 0)g m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

98. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a Nhªn x²t V½ dö V½ dö 1 V½ dö 1. H¢y x¡c ành tªp hñp c¡c v²c tì sau ëc lªp tuy¸n t½nh hay phö thuëc tuy¸n t½nh M1 = f(1; 1; 1); (2; 1; 3); (1; 2; 0)g Gi£i. Ta câ A = 0 @ 1 1 1 2 1 3 1 2 0 1 A h22h1 ! h3h1 0 @ 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 A ! h3+h2 0 @ 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 A ) r (A) = 2 ) r (M1) = 2 Vªy M1 phö thuëc tuy¸n t½nh. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

99. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a Nhªn x²t V½ dö V½ dö 2 V½ dö 2. H¢y x¡c ành tªp hñp c¡c v²c tì sau ëc lªp tuy¸n t½nh hay phö thuëc tuy¸n t½nh M2 = fx2 + x + 1; 2x2 + 3x + 2; 2x + 1g Gi£i. Ta câ A = 0 @ 1 1 1 2 3 2 0 2 1 1 A h22h1 ! 0 @ 1 1 1 0 1 0 0 2 1 1 A ! h32h2 0 @ 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 A ) r (A) = 3 ) r (M2) = 3 Vªy M2 ëc lªp tuy¸n t½nh. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

100. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a Nhªn x²t V½ dö V½ dö 3 V½ dö 3. H¢y x¡c ành tªp hñp c¡c v²c tì sau ëc lªp tuy¸n t½nh hay phö thuëc tuy¸n t½nh M3 = 1 1 1 0 ; 2 1 1 1 ; 3 4 0 1 ; 1 3 1 2 m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

101. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a Nhªn x²t V½ dö V½ dö 3 V½ dö 3. H¢y x¡c ành tªp hñp c¡c v²c tì sau ëc lªp tuy¸n t½nh hay phö thuëc tuy¸n t½nh M3 = 1 1 1 0 ; 2 1 1 1 ; 3 4 0 1 ; 1 3 1 2 Gi£i. Ta câ A = 0 BB@ 1 1 1 0 2 1 1 1 3 4 0 1 1 3 1 2 1 CCA h22h1 ! h33h1 h4h1 0 BB@ 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 3 1 0 2 2 2 1 CCA ! h3+h2 h4+2h2 0 BB@ 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 4 0 0 0 4 0 1 CCA ) r (A) = 3 ) r (M3) = 3 Vªy M3 phö thuëc tuy¸n t½nh. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

102. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con H» sinh Cì sð Sè chi·u Tåa ë cõa v²c tì trong cì sð ành ngh¾a h» sinh H» v²c tì M = fv1; v2; :::; vng ÷ñc gåi l h» sinh cõa khæng gian v²c tì V n¸u måi v²c tì x 2 V ·u biºu thà tuy¸n qua h» v²c tì fv1; v2; :::; vng. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

103. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con H» sinh Cì sð Sè chi·u Tåa ë cõa v²c tì trong cì sð ành ngh¾a h» sinh H» v²c tì M = fv1; v2; :::; vng ÷ñc gåi l h» sinh cõa khæng gian v²c tì V n¸u måi v²c tì x 2 V ·u biºu thà tuy¸n qua h» v²c tì fv1; v2; :::; vng. V½ dö.(B¤n åc tü gi£i) 1 Cho M = f(1; 1; 1); (1; 2; 1); (2; 3; 1)g. M câ l h» sinh cõa R3 khæng? m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

104. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con H» sinh Cì sð Sè chi·u Tåa ë cõa v²c tì trong cì sð ành ngh¾a h» sinh H» v²c tì M = fv1; v2; :::; vng ÷ñc gåi l h» sinh cõa khæng gian v²c tì V n¸u måi v²c tì x 2 V ·u biºu thà tuy¸n qua h» v²c tì fv1; v2; :::; vng. V½ dö.(B¤n åc tü gi£i) 1 Cho M = f(1; 1; 1); (1; 2; 1); (2; 3; 1)g. M câ l h» sinh cõa R3 khæng? 2 Cho M = f(1; 1;1); (2; 3; 1); (3; 4; 0)g. M câ l h» sinh cõa R3 khæng? m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

105. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con H» sinh Cì sð Sè chi·u Tåa ë cõa v²c tì trong cì sð ành ngh¾a h» sinh H» v²c tì M = fv1; v2; :::; vng ÷ñc gåi l h» sinh cõa khæng gian v²c tì V n¸u måi v²c tì x 2 V ·u biºu thà tuy¸n qua h» v²c tì fv1; v2; :::; vng. V½ dö.(B¤n åc tü gi£i) 1 Cho M = f(1; 1; 1); (1; 2; 1); (2; 3; 1)g. M câ l h» sinh cõa R3 khæng? 2 Cho M = f(1; 1;1); (2; 3; 1); (3; 4; 0)g. M câ l h» sinh cõa R3 khæng? 3 Cho M = fx2 + x + 1; 2x2 + 3x + 1; x2 + 2xg. M câ l h» sinh cõa P2 [x] khæng? m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

106. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con H» sinh Cì sð Sè chi·u Tåa ë cõa v²c tì trong cì sð ành ngh¾a h» sinh H» v²c tì M = fv1; v2; :::; vng ÷ñc gåi l h» sinh cõa khæng gian v²c tì V n¸u måi v²c tì x 2 V ·u biºu thà tuy¸n qua h» v²c tì fv1; v2; :::; vng. V½ dö.(B¤n åc tü gi£i) 1 Cho M = f(1; 1; 1); (1; 2; 1); (2; 3; 1)g. M câ l h» sinh cõa R3 khæng? 2 Cho M = f(1; 1;1); (2; 3; 1); (3; 4; 0)g. M câ l h» sinh cõa R3 khæng? 3 Cho M = fx2 + x + 1; 2x2 + 3x + 1; x2 + 2xg. M câ l h» sinh cõa P2 [x] khæng? m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

107. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con H» sinh Cì sð Sè chi·u Tåa ë cõa v²c tì trong cì sð ành ngh¾a cì sð H» v²c tì M = fv1; v2; :::; vng ÷ñc gåi l cì sð cõa khæng gian v²c tì V n¸u nâ l h» sinh cõa V v l h» ëc lªp tuy¸n t½nh. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

108. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con H» sinh Cì sð Sè chi·u Tåa ë cõa v²c tì trong cì sð ành ngh¾a cì sð H» v²c tì M = fv1; v2; :::; vng ÷ñc gåi l cì sð cõa khæng gian v²c tì V n¸u nâ l h» sinh cõa V v l h» ëc lªp tuy¸n t½nh. Tø ành ngh¾a ta câ, h» v²c tì H» v²c tì M = fv1; v2; :::; vng l cì sð c£ khæng gian v²c tì V n¸u 1 M = fv1; v2; :::; vng ëc lªp tuy¸n t½nh. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

109. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con H» sinh Cì sð Sè chi·u Tåa ë cõa v²c tì trong cì sð ành ngh¾a cì sð H» v²c tì M = fv1; v2; :::; vng ÷ñc gåi l cì sð cõa khæng gian v²c tì V n¸u nâ l h» sinh cõa V v l h» ëc lªp tuy¸n t½nh. Tø ành ngh¾a ta câ, h» v²c tì H» v²c tì M = fv1; v2; :::; vng l cì sð c£ khæng gian v²c tì V n¸u 1 M = fv1; v2; :::; vng ëc lªp tuy¸n t½nh. 2 Måi v²c tì x 2 V ·u biºu thà tuy¸n qua h» v²c tì M = fv1; v2; :::; vng. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

110. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con H» sinh Cì sð Sè chi·u Tåa ë cõa v²c tì trong cì sð ành ngh¾a cì sð H» v²c tì M = fv1; v2; :::; vng ÷ñc gåi l cì sð cõa khæng gian v²c tì V n¸u nâ l h» sinh cõa V v l h» ëc lªp tuy¸n t½nh. Tø ành ngh¾a ta câ, h» v²c tì H» v²c tì M = fv1; v2; :::; vng l cì sð c£ khæng gian v²c tì V n¸u 1 M = fv1; v2; :::; vng ëc lªp tuy¸n t½nh. 2 Måi v²c tì x 2 V ·u biºu thà tuy¸n qua h» v²c tì M = fv1; v2; :::; vng. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

111. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con H» sinh Cì sð Sè chi·u Tåa ë cõa v²c tì trong cì sð V½ dö 1 D¹ th§y h» v²c tì E = f(1; 0; 0; :::; 0); (0; 1; 0; :::; 0); :::; (0; 0; 0; :::; 1)g l cì sð cõa Rn v ÷ñc gåi l cì sð ch½nh tc m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

112. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con H» sinh Cì sð Sè chi·u Tåa ë cõa v²c tì trong cì sð V½ dö 1 D¹ th§y h» v²c tì E = f(1; 0; 0; :::; 0); (0; 1; 0; :::; 0); :::; (0; 0; 0; :::; 1)g l cì sð cõa Rn v ÷ñc gåi l cì sð ch½nh tc 2 T÷ìng tü ta câ thº kiºm tra ÷ñc h» v²c tì E = { xn; xn1; :::; x; 1} l cì sð cõa Pn[x] v ÷ñc gåi l cì sð ch½nh tc. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

113. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con H» sinh Cì sð Sè chi·u Tåa ë cõa v²c tì trong cì sð V½ dö 1 D¹ th§y h» v²c tì E = f(1; 0; 0; :::; 0); (0; 1; 0; :::; 0); :::; (0; 0; 0; :::; 1)g l cì sð cõa Rn v ÷ñc gåi l cì sð ch½nh tc 2 T÷ìng tü ta câ thº kiºm tra ÷ñc h» v²c tì E = { xn; xn1; :::; x; 1} l cì sð cõa Pn[x] v ÷ñc gåi l cì sð ch½nh tc. 3 D¹ 0 kiºm tra h» v²c tì E = @ 8 : 1 0 ::: 0 0 0 ::: 0 0 0 ::: 0 1 A; 0 @ 0 1 ::: 0 0 0 ::: 0 0 0 ::: 0 1 A; :::; 0 @ 0 0 ::: 0 0 0 ::: 0 0 0 ::: 1 9= 1 A ; l cì sð cõa Mn [R] v ÷ñc gåi l cì sð ch½nh tc. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

114. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con H» sinh Cì sð Sè chi·u Tåa ë cõa v²c tì trong cì sð ành lþ 4.4.1 Trong khæng gian v²c tì V cho h» v²c tì M = fv1; v2; :::; vng ëc lªp tuy¸n v méi v²c tì cõa M l tê hñp tuy¸n t½nh cõa h» v²c tì E = fu1; u2; :::; umg. Khi â n m m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

115. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con H» sinh Cì sð Sè chi·u Tåa ë cõa v²c tì trong cì sð ành lþ 4.4.1 Trong khæng gian v²c tì V cho h» v²c tì M = fv1; v2; :::; vng ëc lªp tuy¸n v méi v²c tì cõa M l tê hñp tuy¸n t½nh cõa h» v²c tì E = fu1; u2; :::; umg. Khi â n m ành lþ 4.4.2 N¸u khæng gian v²c tì V câ mët cì sð húu h¤n gçm n v²c tì th¼ måi cì sð kh¡c cõa V công câ n v²c tì (trong mët khæng gian v²c tì måi cì sð ·u câ sè v²c tì b¬ng nhau) m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

116. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con H» sinh Cì sð Sè chi·u Tåa ë cõa v²c tì trong cì sð ành lþ 4.4.1 Trong khæng gian v²c tì V cho h» v²c tì M = fv1; v2; :::; vng ëc lªp tuy¸n v méi v²c tì cõa M l tê hñp tuy¸n t½nh cõa h» v²c tì E = fu1; u2; :::; umg. Khi â n m ành lþ 4.4.2 N¸u khæng gian v²c tì V câ mët cì sð húu h¤n gçm n v²c tì th¼ måi cì sð kh¡c cõa V công câ n v²c tì (trong mët khæng gian v²c tì måi cì sð ·u câ sè v²c tì b¬ng nhau) m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

117. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con H» sinh Cì sð Sè chi·u Tåa ë cõa v²c tì trong cì sð ành ngh¾a sè chi·u Sè chi·u cõa khæng gian v²c tì V l sè v²c tì trong mët cì sð cõa V, k½ hi»u dim V m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

118. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con H» sinh Cì sð Sè chi·u Tåa ë cõa v²c tì trong cì sð ành ngh¾a sè chi·u Sè chi·u cõa khæng gian v²c tì V l sè v²c tì trong mët cì sð cõa V, k½ hi»u dim V N¸u sè chi·u cõa khæng gian v²c tì V l húu h¤n th¼ V ÷ñc gåi l khæng gian húu h¤n chi·u. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

119. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con H» sinh Cì sð Sè chi·u Tåa ë cõa v²c tì trong cì sð ành ngh¾a sè chi·u Sè chi·u cõa khæng gian v²c tì V l sè v²c tì trong mët cì sð cõa V, k½ hi»u dim V N¸u sè chi·u cõa khæng gian v²c tì V l húu h¤n th¼ V ÷ñc gåi l khæng gian húu h¤n chi·u. N¸u sè chi·u cõa khæng gian v²c tì V l væ h¤n th¼ V ÷ñc gåi l khæng gian væ h¤n chi·u. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

120. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con H» sinh Cì sð Sè chi·u Tåa ë cõa v²c tì trong cì sð ành ngh¾a sè chi·u Sè chi·u cõa khæng gian v²c tì V l sè v²c tì trong mët cì sð cõa V, k½ hi»u dim V N¸u sè chi·u cõa khæng gian v²c tì V l húu h¤n th¼ V ÷ñc gåi l khæng gian húu h¤n chi·u. N¸u sè chi·u cõa khæng gian v²c tì V l væ h¤n th¼ V ÷ñc gåi l khæng gian væ h¤n chi·u. N¸u dim V = n khi â 1 Måi h» câ sè v²c tì lîn hìn n ·u phö thuëc tuy¸n t½nh. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

121. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con H» sinh Cì sð Sè chi·u Tåa ë cõa v²c tì trong cì sð ành ngh¾a sè chi·u Sè chi·u cõa khæng gian v²c tì V l sè v²c tì trong mët cì sð cõa V, k½ hi»u dim V N¸u sè chi·u cõa khæng gian v²c tì V l húu h¤n th¼ V ÷ñc gåi l khæng gian húu h¤n chi·u. N¸u sè chi·u cõa khæng gian v²c tì V l væ h¤n th¼ V ÷ñc gåi l khæng gian væ h¤n chi·u. N¸u dim V = n khi â 1 Måi h» câ sè v²c tì lîn hìn n ·u phö thuëc tuy¸n t½nh. 2 Måi h» ëc lªp tuy¸n t½nh câ n v²c tì ·u l cì sð cõa V. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

122. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con H» sinh Cì sð Sè chi·u Tåa ë cõa v²c tì trong cì sð ành ngh¾a sè chi·u Sè chi·u cõa khæng gian v²c tì V l sè v²c tì trong mët cì sð cõa V, k½ hi»u dim V N¸u sè chi·u cõa khæng gian v²c tì V l húu h¤n th¼ V ÷ñc gåi l khæng gian húu h¤n chi·u. N¸u sè chi·u cõa khæng gian v²c tì V l væ h¤n th¼ V ÷ñc gåi l khæng gian væ h¤n chi·u. N¸u dim V = n khi â 1 Måi h» câ sè v²c tì lîn hìn n ·u phö thuëc tuy¸n t½nh. 2 Måi h» ëc lªp tuy¸n t½nh câ n v²c tì ·u l cì sð cõa V. 3 Måi h» h» sinh cõa V câ n v²c tì ·u l cì sð cõa V. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

123. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con H» sinh Cì sð Sè chi·u Tåa ë cõa v²c tì trong cì sð ành ngh¾a sè chi·u Sè chi·u cõa khæng gian v²c tì V l sè v²c tì trong mët cì sð cõa V, k½ hi»u dim V N¸u sè chi·u cõa khæng gian v²c tì V l húu h¤n th¼ V ÷ñc gåi l khæng gian húu h¤n chi·u. N¸u sè chi·u cõa khæng gian v²c tì V l væ h¤n th¼ V ÷ñc gåi l khæng gian væ h¤n chi·u. N¸u dim V = n khi â 1 Måi h» câ sè v²c tì lîn hìn n ·u phö thuëc tuy¸n t½nh. 2 Måi h» ëc lªp tuy¸n t½nh câ n v²c tì ·u l cì sð cõa V. 3 Måi h» h» sinh cõa V câ n v²c tì ·u l cì sð cõa V. 4 Måi h» ëc lªp tuy¸n t½nh câ k v²c tì ·u câ thº bê sung th¶m n k v²c tì º ÷ñc cì sð cõa V. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

124. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con H» sinh Cì sð Sè chi·u Tåa ë cõa v²c tì trong cì sð Chó þ Tø nhªn x²t ta câ; Trong khæng gian v²c tì n chi·u º chùng minh mët h» gçm n v²c tì l cì sð ta ch¿ c¦n ch¿ ra chóng thäa m¢n mët trong hai i·u ki»n ho°c h» ëc lªp tuy¸n t½nh ho°c h» l h» sinh cõa khæng gian v²c tì â. V½ dö. 1 Kiºm tra h» v²c tì M = f(1; 1; 1); (2; 3; 1); (3; 1; 0)g câ l cì sð cõa R3 khæng? Ta câ

130. 1 2 3 1 3 1 1 1 0

136. = 2 + 3 9 1 = 56= 0, suy ra M ëc lªp tuy¸n t½nh. M°t kh¡c dim R3 = 3. Vªy M l cì sð cõa R3 m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

143. 1 2 3 1 3 1 1 1 0

149. = 2 + 3 9 1 = 56= 0, suy ra M ëc lªp tuy¸n t½nh. M°t kh¡c dim R3 = 3. Vªy M l cì sð cõa R3 2 T÷ìng tü ta câ thº kiºm tra h» v²c tì M = fx2 + x + 1; 2x2 + x + 1; x2 + 2x + 2g câ l cì sð cõa P2[x] khæng? m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

156. 1 2 3 1 3 1 1 1 0

162. = 2 + 3 9 1 = 56= 0, suy ra M ëc lªp tuy¸n t½nh. M°t kh¡c dim R3 = 3. Vªy M l cì sð cõa R3 2 T÷ìng tü ta câ thº kiºm tra h» v²c tì M = fx2 + x + 1; 2x2 + x + 1; x2 + 2x + 2g câ l cì sð cõa P2[x] khæng? m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

163. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con H» sinh Cì sð Sè chi·u Tåa ë cõa v²c tì trong cì sð ành ngh¾a Cho V l khæng gian v²c tì n chi·u câ cì sð l E = fe1; e2; :::; eng. Vîi x 2 V, khi â x vi¸t ÷ñc duy nh§t d÷îi d¤ng x = a1e1 + a2e2 + + anen; ai 2 R Bë sè (a1; a2; :::; an) ÷ñc gåi l tåa ë cõa x trong cì sð E, kþ hi»u (x)E = (a1; a2; :::; an) ho°c [x]E = 0 BBBB@ a1 a2 ... an 1 CCCCA m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

164. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con H» sinh Cì sð Sè chi·u Tåa ë cõa v²c tì trong cì sð V½ dö 1 Ta câ h» E = f(1; 0; 0; :::; 0); (0; 1; 0; :::; 0); :::; (0; 0; 0; :::; 1)g l ch½nh tc cõa Rn câ n v²ctì, suy ra dimRn = n. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

165. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con H» sinh Cì sð Sè chi·u Tåa ë cõa v²c tì trong cì sð V½ dö 1 Ta câ h» E = f(1; 0; 0; :::; 0); (0; 1; 0; :::; 0); :::; (0; 0; 0; :::; 1)g l ch½nh tc cõa Rn câ n v²ctì, suy ra dimRn = n. 2 H» v²c tì E = { xn; xn1; :::; x; 1} l cì sð cõa Pn[x] câ n + 1 v²c tì, suy ra dim(Pn[x]) = n + 1 m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

166. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con H» sinh Cì sð Sè chi·u Tåa ë cõa v²c tì trong cì sð V½ dö 1 Ta câ h» E = f(1; 0; 0; :::; 0); (0; 1; 0; :::; 0); :::; (0; 0; 0; :::; 1)g l ch½nh tc cõa Rn câ n v²ctì, suy ra dimRn = n. 2 H» v²c tì E = { xn; xn1; :::; x; 1} l cì sð cõa Pn[x] câ n + 1 v²c tì, suy ra dim(Pn[x]) = n + 1 3 H» 0 v²c tì E = @ 8 : 1 0 ::: 0 0 0 ::: 0 0 0 ::: 0 1 A; 0 @ 0 1 ::: 0 0 0 ::: 0 0 0 ::: 0 1 A; :::; 0 @ 0 0 ::: 0 0 0 ::: 0 0 0 ::: 1 9= 1 A ; l cì sð cõa Mn [R] câ n2 v²c tì, suy ra dim(Mn [R]) = n2. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

167. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con H» sinh Cì sð Sè chi·u Tåa ë cõa v²c tì trong cì sð V½ dö 1 Chùng minh E = f(1; 1; 1); (1; 0; 1); (1; 1; 0)g l mët cì sð cõa R3. T¼m tåa ë cõa v²c tì x = (3; 1;2) trong cì sð E. Ta câ

173. 1 1 1 1 0 1 1 1 0

179. = 1+11 = 16= 0 suy ra M ëc lªp tuy¸n t½nh. M°t kh¡c dim R3 = 3. Vªy M l cì sð cõa R3 X²t tê hñp tuy¸n t½nh x = (1; 1; 1) +

180. (1; 0; 1) + (1; 1; 0) , (3; 1;2) = ( +

181. + ; + ; +

182. ) , 8 : +

183. + = 3 + = 1 +

184. = 2 , 8 : = 4

185. = 2 = 5 ) [x]E = 0 B@ 1 4 2 5 CA 2 Chùng minh E = fx2 + x + 1; x2 + 2x + 1; x2 + x + 2g l cì sð cõa P2[x]. T¼m p(x), bi¸t [p(x)]E = 0 @ 3 5 2 1 A (B¤n åc tü gi£i) m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

186. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Khæng gian con sinh bði mët h» v²c tì B i tªp ành ngh¾a Cho khæng gian v²c tì V tr¶n tr÷íng sè thüc R. Tªp con W kh¡c réng cõa V ÷ñc gåi l khæng gian v²c tì con (hay khæng gian con) cõa khæng gian v²c tì V n¸u nâ thäa m¢n hai i·u ki»n: m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

187. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Khæng gian con sinh bði mët h» v²c tì B i tªp ành ngh¾a Cho khæng gian v²c tì V tr¶n tr÷íng sè thüc R. Tªp con W kh¡c réng cõa V ÷ñc gåi l khæng gian v²c tì con (hay khæng gian con) cõa khæng gian v²c tì V n¸u nâ thäa m¢n hai i·u ki»n: 1 8x; y 2 W : x + y 2 W m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

188. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Khæng gian con sinh bði mët h» v²c tì B i tªp ành ngh¾a Cho khæng gian v²c tì V tr¶n tr÷íng sè thüc R. Tªp con W kh¡c réng cõa V ÷ñc gåi l khæng gian v²c tì con (hay khæng gian con) cõa khæng gian v²c tì V n¸u nâ thäa m¢n hai i·u ki»n: 1 8x; y 2 W : x + y 2 W 2 8x 2 W; 8 2 R : x 2 W m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

189. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Khæng gian con sinh bði mët h» v²c tì B i tªp ành ngh¾a Cho khæng gian v²c tì V tr¶n tr÷íng sè thüc R. Tªp con W kh¡c réng cõa V ÷ñc gåi l khæng gian v²c tì con (hay khæng gian con) cõa khæng gian v²c tì V n¸u nâ thäa m¢n hai i·u ki»n: 1 8x; y 2 W : x + y 2 W 2 8x 2 W; 8 2 R : x 2 W ành lþ 4.5.1 Tªp con W kh¡c réng cõa khæng gian v²c tì V l khæng gian con cõa V khi v ch¿ khi m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

190. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Khæng gian con sinh bði mët h» v²c tì B i tªp ành ngh¾a Cho khæng gian v²c tì V tr¶n tr÷íng sè thüc R. Tªp con W kh¡c réng cõa V ÷ñc gåi l khæng gian v²c tì con (hay khæng gian con) cõa khæng gian v²c tì V n¸u nâ thäa m¢n hai i·u ki»n: 1 8x; y 2 W : x + y 2 W 2 8x 2 W; 8 2 R : x 2 W ành lþ 4.5.1 Tªp con W kh¡c réng cõa khæng gian v²c tì V l khæng gian con cõa V khi v ch¿ khi 8x; y 2 W; 8;

191. 2 R : x +

192. y 2 W m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

193. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Khæng gian con sinh bði mët h» v²c tì B i tªp V½ dö 1 Khæng gian v²c tì V b§t ký ·u câ hai khæng gian con l V v tªp f0g ch¿ câ mët v²c tì khæng. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

194. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Khæng gian con sinh bði mët h» v²c tì B i tªp V½ dö 1 Khæng gian v²c tì V b§t ký ·u câ hai khæng gian con l V v tªp f0g ch¿ câ mët v²c tì khæng. 2 Cho F = (x1; x2; x3) 2 R3 j x1 + 2x2 x3 = 0g. Chùng tä F l khæng gian con cõa R3, t¼m cì sð v sè chi·u cõa F. Ta câ (0; 0; 0) 2 F ) F6= 8;

195. 2 R; 8x; y 2 F; x = (x1; x2; x3) : x1 + 2x2 x3 = 0; y = (y1; y2; y3) : y1 + 2y2 y3 = 0 x +

196. y = (x1 +

197. y1; x2 +

198. y2; x3 +

199. y3) ) x1 +

200. y1 + 2 (x2 +

201. y2) (x3 +

202. y3) = 0 ) x +

203. y 2 F, do â F l khæng gian con cõa R3. M°t kh¡c 8x 2 F; x = (x1; x2; x3) : x1 + 2x2 x3 = 0 ) x1 = 2x2 + x3 ) x = (2x2 + x3; x2; x3) = (2x2; x2; 0) + (x3; 0; x3) = x2 (2; 1; 0) + x3 () E = f(2; 1; 0) ; (1; 0; 1)g l h» sinh cõa F. D¹ th§y E ëc lªp tuy¸n t½nh. Vªy E l cì sð cõa F ) dim F = 2 m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

204. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Khæng gian con sinh bði mët h» v²c tì B i tªp V½ dö 1 Khæng gian v²c tì V b§t ký ·u câ hai khæng gian con l V v tªp f0g ch¿ câ mët v²c tì khæng. 2 Cho F = (x1; x2; x3) 2 R3 j x1 + 2x2 x3 = 0g. Chùng tä F l khæng gian con cõa R3, t¼m cì sð v sè chi·u cõa F. Ta câ (0; 0; 0) 2 F ) F6= 8;

205. 2 R; 8x; y 2 F; x = (x1; x2; x3) : x1 + 2x2 x3 = 0; y = (y1; y2; y3) : y1 + 2y2 y3 = 0 x +

206. y = (x1 +

207. y1; x2 +

208. y2; x3 +

209. y3) ) x1 +

210. y1 + 2 (x2 +

211. y2) (x3 +

212. y3) = 0 ) x +

213. y 2 F, do â F l khæng gian con cõa R3. M°t kh¡c 8x 2 F; x = (x1; x2; x3) : x1 + 2x2 x3 = 0 ) x1 = 2x2 + x3 ) x = (2x2 + x3; x2; x3) = (2x2; x2; 0) + (x3; 0; x3) = x2 (2; 1; 0) + x3 () E = f(2; 1; 0) ; (1; 0; 1)g l h» sinh cõa F. D¹ th§y E ëc lªp tuy¸n t½nh. Vªy E l cì sð cõa F ) dim F = 2 m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

214. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Khæng gian con sinh bði mët h» v²c tì B i tªp V½ dö I Cho F = a + b a 2b b 2a j a; b 2 R . Chùng tä F l khæng gian con cõa M2 [R], t¼m cì sð v sè chi·u cõa F. + Ta câ 0 0 0 0 2 F ) F6= + 8;

215. 2 R; 8x; y 2 F; x = a + b a 2b b 2a ; y = c + d c 2d d 2c ) x +

216. y = a + b a 2b b 2a +

217. c + d c 2d d 2c = a +

218. c + b +

219. d a +

220. c 2 (b +

221. d) b +

222. d 2 (a +

223. c) 2 F Vªy F l khæng gian con cõa M2 [R]

224. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Khæng gian con sinh bði mët h» v²c tì B i tªp V½ dö II + M°t kh¡c 8x 2 F; x = a + b a 2b b 2a = a a 0 2a + b 2b b 0 = a 1 1 0 2 + b 1 2 1 0 suy ra E = 1 1 0 2 ; 1 2 1 0 l h» sinh cõa F. D¹ th§y E ëc lªp tuy¸n t½nh. Vªy E l cì sð cõa F, do â dim F = 2

225. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Khæng gian con sinh bði mët h» v²c tì B i tªp ành ngh¾a Trong khæng gian v²c tì V cho h» v²c tì S = fv1; v2; :::; vng. Tªp hñp t§t c£ c¡c tê hñp tuy¸n t½nh cõa h» v²c tì S ÷ñc gåi l khæng gian con sinh bði h» v²c tì S (hay bao tuy¸n t½nh cõa h» S), k½ hi»u l span(S) hay hv1; v2; :::; vni. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

226. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Khæng gian con sinh bði mët h» v²c tì B i tªp ành ngh¾a Trong khæng gian v²c tì V cho h» v²c tì S = fv1; v2; :::; vng. Tªp hñp t§t c£ c¡c tê hñp tuy¸n t½nh cõa h» v²c tì S ÷ñc gåi l khæng gian con sinh bði h» v²c tì S (hay bao tuy¸n t½nh cõa h» S), k½ hi»u l span(S) hay hv1; v2; :::; vni. Gåi W l khæng gian con sinh bði S, tø ành ngh¾a ta câ 1 W = spanfv1; v2; :::; vng = f1v1 + 2v2 + + nvn j8i 2 R g. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

227. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Khæng gian con sinh bði mët h» v²c tì B i tªp ành ngh¾a Trong khæng gian v²c tì V cho h» v²c tì S = fv1; v2; :::; vng. Tªp hñp t§t c£ c¡c tê hñp tuy¸n t½nh cõa h» v²c tì S ÷ñc gåi l khæng gian con sinh bði h» v²c tì S (hay bao tuy¸n t½nh cõa h» S), k½ hi»u l span(S) hay hv1; v2; :::; vni. Gåi W l khæng gian con sinh bði S, tø ành ngh¾a ta câ 1 W = spanfv1; v2; :::; vng = f1v1 + 2v2 + + nvn j8i 2 R g. 2 W l mët khæng gian con cõa V. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

228. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Khæng gian con sinh bði mët h» v²c tì B i tªp ành ngh¾a Trong khæng gian v²c tì V cho h» v²c tì S = fv1; v2; :::; vng. Tªp hñp t§t c£ c¡c tê hñp tuy¸n t½nh cõa h» v²c tì S ÷ñc gåi l khæng gian con sinh bði h» v²c tì S (hay bao tuy¸n t½nh cõa h» S), k½ hi»u l span(S) hay hv1; v2; :::; vni. Gåi W l khæng gian con sinh bði S, tø ành ngh¾a ta câ 1 W = spanfv1; v2; :::; vng = f1v1 + 2v2 + + nvn j8i 2 R g. 2 W l mët khæng gian con cõa V. 3 dimW = H¤ng cõa h» v²c tì S. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

229. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Khæng gian con sinh bði mët h» v²c tì B i tªp V½ dö V½ dö. Cho F = (1; 1; 1); (2; 1; 1); (3; 1; 1) . T¼m cì sð v sè chi·u cõa F. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

230. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Khæng gian con sinh bði mët h» v²c tì B i tªp V½ dö V½ dö. Cho F = (1; 1; 1); (2; 1; 1); (3; 1; 1) . T¼m cì sð v sè chi·u cõa F. Gi£i. Ta t¼m h¤ng cõa h» v²ctì f(1; 1; 1); (2; 1; 1); (3; 1; 1)g. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

231. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Khæng gian con sinh bði mët h» v²c tì B i tªp V½ dö V½ dö. Cho F = (1; 1; 1); (2; 1; 1); (3; 1; 1) . T¼m cì sð v sè chi·u cõa F. Gi£i. Ta t¼m h¤ng cõa h» v²ctì f(1; 1; 1); (2; 1; 1); (3; 1; 1)g. 0 @ 1 1 1 2 1 1 3 1 1 1 A h22h1 ! h33h1 0 @ 1 1 1 0 1 1 0 2 2 1 A ! h32h2 0 @ 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 A m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

232. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Khæng gian con sinh bði mët h» v²c tì B i tªp V½ dö V½ dö. Cho F = (1; 1; 1); (2; 1; 1); (3; 1; 1) . T¼m cì sð v sè chi·u cõa F. Gi£i. Ta t¼m h¤ng cõa h» v²ctì f(1; 1; 1); (2; 1; 1); (3; 1; 1)g. 0 @ 1 1 1 2 1 1 3 1 1 1 A h22h1 ! h33h1 0 @ 1 1 1 0 1 1 0 2 2 1 A ! h32h2 0 @ 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 A Vªy cì sð cõa F l f(1; 1; 1); (2; 1; 1)g v dim F = 2 m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

233. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Khæng gian con sinh bði mët h» v²c tì B i tªp B i tªp I 1 Chùng minh r¬ng trong khæng gian R3 a, C¡c v²c tì v1 = (2; 1; 1); v2 = (1; 3; 1); v3 = (2; 1; 3) ëc lªp tuy¸n t½nh. b, C¡c v²c tì v1 = (1; 0; 3); v2 = (0; 1; 2); v3 = (2;3; 0) phö thuëc tuy¸n t½nh 2 Chùng minh r¬ng c¡c v²c tì v1 = (0; 1; 1; 1); v2 = (1; 0; 1; 1); v3 = (1; 1; 0; 1); v4 = (1; 1; 1; 0) lªp th nh mët cì sð cõa khæng gian R4. T¼m tåa ë cõa v²c tì v = (1; 1; 1; 1) theo cì sð â. 3 Cho P2 [x] = ax2 + bx + c ja; b; c 2 R l khæng gian c¡c a thùc câ bªc khæng v÷ñt qu¡ 2. Chùng minh h» v²c tì B = f1; x 1; x(x 1)g l mët cì sð cõa P2 [x]. T¼m tåa ë cõa p(x) = 2 + 3x + 4x2 theo cì sð B. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

234. Khæng gian v²c tì Sü ëc lªp tuy¸n t½nh, phö thuëc tuy¸n t½nh H¤ng cõa mët h» v²c tì Cì sð, sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Khæng gian con ành ngh¾a V½ dö Khæng gian con sinh bði mët h» v²c tì B i tªp B i tªp II 4 Chùng minh h» v²c tì E = fx2 + x + 1; x2 + 2x + 1; x2 + x + 2g l mët cì sð cõa P2 [x]. T¼m p(x), bi¸t [p(x)]E = 0 @ 3 5 2 1 A 5 Cho F = x2 + x + 1; 2x2 + 3x 1; x2 + 2x 2 . T¼m cì sð v sè chi·u cõa F. 6 Cho F = 1 1 2 1 ; 2 1 0 1 ; 3 1 2 1 ; 1 0 2 0 . T¼m cì sð v sè chi·u cõa F. 7 Cho x = (1;2; 3);M = f(1; 1; 1); (2; 1; 0); (3;1; 3)g. x câ thuëc khæng gian con sinh bði M khæng? 8 Cho x = (1; 0;m);M = f(1; 1; 1); (2; 3; 1); (3; 2; 0)g. T¼m c¡c gi¡ trà cõa m º x thuëc khæng gian con sinh bði M. 9 Cho F = fA 2 M2[R] j A 1 1 2 2 = 0 Chùng tä F l khæng gian con, t¼m cì sð v sè chi·u cõa F. m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng IV: KHÆNG GIAN V’C TÌ

Toan 1-Chuong4

Recommended

Recommended

More Related Content

Viewers also liked

Viewers also liked (16)

Similar to Toan 1-Chuong4

Similar to Toan 1-Chuong4 (20)

More from ICTU

More from ICTU (16)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Toan 1-Chuong4