Đề thi thử Đại học môn Toán

1. Thi thử Đại học môn Toán toanpt.net
Tr­êng thpt Xu©n ¸ng
®Ò thi thö ®¹i häc n¨m 2009-2010
M«n To¸n
(Thêi gian lµm bµi 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò).
I- PHÇN CHUNG CHO TÊT C¶ THÝ SINH .
C©u I Cho hµm sè
1
12



x
x
y cã ®å thÞ (C).
1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè .
2. Víi ®iÓm M bÊt kú thuéc ®å thÞ (C) tiÕp tuyÕn t¹i M c¾t 2 tiÖm cËn t¹i Avµ B .
Gäi I lµ giao hai tiÖm cËn , T×m vÞ trÝ cña M ®Ó chu vi tam gi¸c IAB ®¹t gi¸ trÞ nhá
nhÊt.
C©u II 1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 2
cos.2sin
2sin x-2x3sin

xx
2. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh :






0222
0964
22
224
yxyx
yyxx
.
C©u III 1.TÝnh tÝch ph©n sau: dx..cos.sin. 3
2
0
sin2
xxe x


2. Cho 3 sè d­¬ng x, y, z tho¶ m·n : x +3y+5z 3 .Chøng minh r»ng:
46253 4
zxy + 415 4
xyz + 4815 4
yzx  45 5 xyz.
C©u IV Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD cã c¹nh bªn b»ng a , mÆt bªn hîp víi ®¸y gãc  .
T×m  ®Ó thÓ tÝch cña h×nh chãp ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
II- PHÇN RI£NG. (ThÝ sinh chØ lµm mét trong 2 phÇn ; phÇn 1 hoÆc phÇn 2 )
PhÇn 1( Dµnh cho thÝ sinh theo ch­¬ng tr×nh chuÈn )
C©u Va 1. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã t©m I(
2
1
; 0) .
§­êng th¼ng chøa c¹nh AB cã ph­¬ng tr×nh x-2y+2= 0 , AB =2AD.
T×m to¹ ®é c¸c ®Ønh A, B, C, D, biÕt A cã hoµnh ®é ©m .
2.Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho 2 ®­êng th¼ng )( 1d vµ )( 2d cã ph­¬ng tr×nh
.
LËp ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa (d1 ) vµ )( 2d .
.C©u VIa T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã 2 nghiÖm ph©n biÖt :
x10 1).12(48 22
 xxmx .
PhÇn 2 ( Dµnh cho thÝ sinh theo ch­¬ng tr×nh n©ng cao ) .
C©u Vb 1. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy cho h×nh vu«ng ABCD biÕt M(2;1); N(4; -2);
P(2;0); Q(1;2) lÇn l­ît thuéc c¹nh AB, BC, CD, AD. H·y lËp ph­¬ng tr×nh c¸c
c¹nh cña h×nh vu«ng.
2. Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho 2 ®­êng th¼ng ( ) vµ ( )' cã ph­¬ng tr×nh
.
   


















4t'2
t'2y
t'2-2x
:;
4
2t-1y
t3x
: '
zz
ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng vu«ng gãc chung cña (  ) vµ ( )'
C©u VIb Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh : 1mx ( .243)22 2322
 xxxmxxm
3
3
9
1
6
4-x
:)(d;
1
2-z
3
1y
2
1
);( 21






 zyx
d
®Ò chÝnh thøc

2. Thi thử Đại học môn Toán toanpt.net
Tr­êng THPT
Xuan ¸ng
Kú thi thö ®¹i häc- cao ®¼ng
n¨m 2009-2010
H­íng dÉn chÊm m«n to¸n
C©u Néi dung §iÓm
I.1
Kh¶o s¸t hµm sè y=
1
12


x
x 1,00
1. TËp x¸c ®Þnh: R{1}
2. Sù biÕn thiªn:
+ ChiÒu biÕn thiªn: 22
)1(
3
)1(
)12()1(2
'






xx
xx
y
Hµm sè nghÞch biÕn trªn c¸c kho¶ng (-∞; 1) vµ (1;+∞)
. Cùc trÞ : Hµm sè ®· cho kh«ng cã cùc trÞ
0,25
. TiÖm cËn: 


 
  1
12
limlim
11 x
x
y
xx



 
  1
12
limlim
11 x
x
y
xx
Do ®ã ®­êng th¼ng x=1 lµ tiÖm cËn ®øng
2
1
12
limlim 



 x
x
y
xx
VËy ®­êng th¼ng y= 2 lµ tiÖm cËn ngang
0,25
* B¶ng biÕn thiªn:
x -∞ 1 +∞
y' - -
y 2
-∞
+∞
2
3* §å thÞ : HS tù vÏ ®å thÞ hµm sè.
0,5
I.2 Víi M bÊt k×  (C), tiÕp tuyÕn t¹i M c¾t 2 tiÖm cËn t¹i A, B. T×m M ®Ó chu vi tam
gi¸c IAB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. 1,00
Gäi M 







1
3
2;
0
0
x
x (C)
* TiÕp tuyÕn t¹i M cã d¹ng:
1
3
2)(
)1(
3
0
02
0 




x
xx
x
y
TiÕp tuyÕn t¹i M c¾t hai tiÖm cËn t¹i A vµ B nªn täa ®é A; B cã d¹ng lµ:
A








1
6
2;1
0x
0,25

3. Thi thử Đại học môn Toán toanpt.net
C©u Néi dung §iÓm
B(2x0-1; 2) ; I(1; 2)
* Ta cã: SIAB=
2
1
. IA. IB= 63.212
1
6
2
1
0
0


 x
x
(®vdt) 0,25
* IAB vu«ng cã diÖn tÝch kh«ng ®æi => chu vi IAB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi
IA= IB (HS tù chøng minh).







 31
31
12
1
6
0
0
0
0 x
x
x
x
* VËy cã hai ®iÓm M tháa m·n ®iÒu kiÖn
M1( 32;31  )
M2( 32;31  )
Khi ®ã chu vi AIB = 6234 
0,5
II.1
Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 2
cos.2sin
sin22sin3


xx
xx 1,00
* Ph­¬ng tr×nh  2
cos.2sin
sin22sin3


xx
xx
§iÒu kiÖn: sin2x  0 =>





0cos
0sin
x
x
* Tõ ph­¬ng tr×nh => 3sin2x -2sinx = 2sin2x.cosx
 (2sin2x 2sin2x.cosx)+ sin2x- 2sinx = 0
 2sin2x(1- cosx)+ 2sinx(cosx -1)= 0
0,5
*  2(1- cosx)(sin2x- sinx) =0








0)1cos2(sin0sin2sin
0sin1cos
xxxx
xx
*  2cosx -1 =0 (do sinx  0)
 

2
33
cos
2
1
cos kxx  (kZ)
0,5
II.2
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:






0222
0964
22
224
yxyx
yyxx
* HÖ ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng víi
1,00
(lo¹i)

4. Thi thử Đại học môn Toán toanpt.net
C©u Néi dung §iÓm






022)2(
4)3()2(
22
222
xyx
yx
§Æt * Thay vµo hÖ ph­¬ng tr×nh ta cã:
hoÆc
thÕ vµo c¸ch ®Æt ta ®­îc c¸c nghiÖm cña hÖ lµ
: ; ; ;
0,25
0,25
0,5
III.1 TÝnh tÝch ph©n 
2/
0
3sin
cos.sin.
2

xdxxe x
1,00
§Æt sin2
x= t => dt= 2sinx. cosxdx
§æi cËn: x=0 => t=0; x= 1
2
 t

Khi ®ã I=  
1
0
)1(
2
1
dttet
0,5
§Æt













tt
ev
dtdu
dvdte
ut
2
1
2
1
1
Dïng tÝch ph©n tõng phÇn ta cã I= e
2
1
.
0,5
III.2 Cho 3 sè d­¬ng x, y, z tho¶ m·n : x +3y+5z  3 . Chøng minh r»ng:
xy3 4625 4
z + zx5 415481 44
 xyzy xyz545
1,00

5. Thi thử Đại học môn Toán toanpt.net
C©u Néi dung §iÓm
BÊt ®¼ng thøc
 2
2 4
x
x  + 2
2
9
4
9
y
y  + 2
2
25
4
25
z
z   45
VT  22
)
5
2
3
22
()53(
zyx
zyx
3 2
2
3
)5.3.(
36
)5.3.(.9
zyx
zyx  .
0,5
§Æt t = 3 2
)5.3.( zyx
ta cã 1
3
53
)5.3.(
3
3 




 

zyx
zyx do ®ã t  1
§iÒu kiÖn . 0 < t  1. XÐt hµm sè f(t)= t9 +
t
36
=45
DÊu b»ng x¶y ra khi: t=1 hay x=1; y=
3
1
; z=
5
1
.
0,5
IV
Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD cã c¹nh bªn b»ng a,mÆt bªn hîp víi ®¸y gãc
 . TÝnh  ®Ó thÓ tÝch V cña h×nh chãp ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
1,00
* TÝnh V=
32
3
)tan2(
tan
.
3
4



a .
* Ta cã 
 32
2
)tan2(
tan




2
2
tan2
tan

.
2
tan2
1

.
2
tan2
1
 27
1

V max
27
34 3
a
 khi ®ã tan 2
=1   = 45o
0,5
0,5
Va.1
Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã t©m I 





0;
2
1
; AB cã ph­¬ng tr×nh: x- 2y+2= 0;
AB= 2AD. T×m täa ®é A; B; C; D biÕt A cã hoµnh ®é ©m
1,00
Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña I lªn AB ,khi ®ã IH=
2
5
Ta cã tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®­êng trßn (C) cã t©m I vµ b¸n kÝnh R= IA.
®­êng trßn (C) cã ph­¬ng tr×nh lµ:
4
25
2
1 2
2






 yx  A(-2; 0);
 B(2; 2). Do C ®èi xøng víi A qua I qua ®ã C(3; 0)
Do D ®èi xøng víi B qua I qua ®ã D(-1;-2)
0, 5
0, 5

6. Thi thử Đại học môn Toán toanpt.net
C©u Néi dung §iÓm
Va.2
Trong kh«ng gian víi hÖ trôc Oxyz cho ®­êng th¼ng (d1) vµ (d2)cã ph­¬ng tr×nh:
d1:








tz
ty
tx
2
31
21
; d2:
3
3
9
1
6
4 



 zyx
H·y lËp ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa (d1) vµ (d2)
1,00
+ Ta cã: (d1) // (d2) ( HS ph¶i chøng minh ®­îc)
0,25
Gäi mÆt ph¼ng cÇn t×m lµ (P).Hai vÐc t¬ kh«ng cïng ph­¬ng cã gi¸ song song
hoÆc n»m trªn mÆt ph¼ng (P) lµ: )1;3;2(1u

vµ 21MM (3;2;1).VËy (P) cã vÐc t¬
ph¸p tuyÕn lµ:   )5;1;1(, 211  MMun

MÆt ph¼ng (P) qua M1(1; -1; 2) VËy ph­¬ng tr×nh (P) lµ:  x+ y- 5z +10 =0
0,25
0, 5
VIa T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
m( 2x+1). 12
x =10x 482
 x
1,00
NhËn xÐt : 10x 482
 x = 2(2x+1)2
+2(x2
+1)
Ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng víi : 2 ( 02)
1
12
()
1
12
2
2
2






x
x
m
x
x
.
§Æt t
x
x



1
12
2
§iÒu kiÖn : -2< t 5 . Rót m ta cã: m=
t
t 22 2

LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè trªn  5,2 , ta cã kÕt qu¶ cña m ®Ó ph­¬ng
tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ:
5
12
4  m hoÆc -5 < 4m
0,25
0,75
Vb.1 Trong mÆt ph¼ng víi hÖ Oxy cho h×nh vu«ng ABCD biÕt c¸c ®iÓm M(2;1) ; N(4;
-2) ; P(2; 0); Q(1; 2) lÇn l­ît thuéc c¹nh AB; BC; CD vµ AD. H·y lËp ph­¬ng
tr×nh c¸c c¹nh cña h×nh vu«ng trªn.
1,00
+ Gi¶ sö ®­êng th¼ng AB qua M vµ cã vÐc t¬ ph¸p tuyÕn lµ );( ban

(a2
+ b2
 0) => vÐc t¬ ph¸p tuyÕn cña BC lµ: );(1 abn 

.Ph­¬ng tr×nh AB cã
d¹ng: a(x-2) +b(y-1)= 0
 ax + by -2a-b =0
BC cã d¹ng: -b(x- 4) +a(y+ 2) =0  - bx + ay +4b + 2a =0
Do ABCD lµ h×nh vu«ng nªn d(P; AB) = d(Q; BC)
0,5
Hay 










ab
ab
ba
ab
ba
b 243
2222
Tr­êng hîp 1: b= -2a; Ph­¬ng tr×nh c¸c c¹nh cÇn t×m lµ:
AB: x- 2y = 0 ; CD : x- 2y-2 =0
BC: 2x +y 6= 0; AD: 2x + y -4 =0
Tr­êng hîp 2: b= -a . Khi ®ã
AB: -x + y+ 1 =0 BC: -x y + 2= 0
0,25
0,25

7. Thi thử Đại học môn Toán toanpt.net
C©u Néi dung §iÓm
AD: -x y +3 =0 CD: -x + y+ 2 =0
Vb
2
Cho ():








4
21
3
z
ty
tx
; ( )








uz
uy
ux
42
2
22
ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng vu«ng gãc chung cña () vµ ( )
1,0
0
+ Gäi ®­êng vu«ng gãc chung cña () vµ ( ) lµ d
Khi ®ã   )1;2;4(',
2
1
 uuud

+ Gäi () lµ mÆt ph¼ng chøa () vµ (d) th× () qua N(3; -1; 4) vµ cã vÐc t¬ ph¸p
tuyÕn:   )10;1;2(,1  duun

VËy ph­¬ng tr×nh cña () lµ: 2x- y + 10z - 47 =0
+ Gäi () lµ mÆt ph¼ng chøa ( ) vµ (d) th× () qua M(-2; 0; 2) vµ cã vÐct¬ ph¸p
tuyÕn:   )12;18;6(,'2  duun

VËy ph­¬ng tr×nh cña () lµ: x + 3y- 2z + 6 =0
Do ®ã ®­êng vu«ng gãc chung cña  vµ  lµ giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng:
2x y + 10z 47 = 0 vµ x + 3y 2z + 6 =0
+LËp ph­¬ng tr×nh tham sè cña (d).(HS tù lµm)
0,25
0,25
0,25
0,25
VI.b Gi¶i vµ biÖn luËn: 243)22(1 2322
 xxxmxxmmx 1,0
0
* Ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng víi: )1()1(1)1( 33
 xxmxmx
XÐt hµm sè: f(t)= tt 3
, hµm sè nµy ®ång biÕn trªn R.
)1()1(  xfmxf  11  xmx
* Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh trªn ta cã kÕt qu¶ cÇn t×m.
+ 11  m ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x=
1
2


m
+m=-1 ph­¬ng tr×nh nghiÖm 1x
C¸c tr­êng hîp cßn l¹i ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm
0,5
0,5
Chý ý häc sinh lµm c¸ch kh¸c kÕt quÈ ®óng vÉn ®­îc ®iÓm tèi ®a