Tài liệu đề cập đến đề thi môn toán đại học năm 2009-2010, bao gồm các câu hỏi liên quan đến khảo sát hàm số, giải phương trình và tính tích phân. Nó cũng chứa phần hướng dẫn cho thí sinh chọn giữa hai phần đề khác nhau và các bài toán cụ thể liên quan đến hình học và bất đẳng thức. Cuối cùng, tài liệu đưa ra kiến thức tổng quát cần thiết và các phương pháp giải toán cho thí sinh.

1. Thi thử Đại học môn Toán toanpt.net
Tr­êng thpt Xu©n ¸ng
®Ò thi thö ®¹i häc n¨m 2009-2010
M«n To¸n
(Thêi gian lµm bµi 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò).
I- PHÇN CHUNG CHO TÊT C¶ THÝ SINH .
C©u I Cho hµm sè
1
12



x
x
y cã ®å thÞ (C).
1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè .
2. Víi ®iÓm M bÊt kú thuéc ®å thÞ (C) tiÕp tuyÕn t¹i M c¾t 2 tiÖm cËn t¹i Avµ B .
Gäi I lµ giao hai tiÖm cËn , T×m vÞ trÝ cña M ®Ó chu vi tam gi¸c IAB ®¹t gi¸ trÞ nhá
nhÊt.
C©u II 1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 2
cos.2sin
2sin x-2x3sin

xx
2. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh :






0222
0964
22
224
yxyx
yyxx
.
C©u III 1.TÝnh tÝch ph©n sau: dx..cos.sin. 3
2
0
sin2
xxe x


2. Cho 3 sè d­¬ng x, y, z tho¶ m·n : x +3y+5z 3 .Chøng minh r»ng:
46253 4
zxy + 415 4
xyz + 4815 4
yzx  45 5 xyz.
C©u IV Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD cã c¹nh bªn b»ng a , mÆt bªn hîp víi ®¸y gãc  .
T×m  ®Ó thÓ tÝch cña h×nh chãp ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
II- PHÇN RI£NG. (ThÝ sinh chØ lµm mét trong 2 phÇn ; phÇn 1 hoÆc phÇn 2 )
PhÇn 1( Dµnh cho thÝ sinh theo ch­¬ng tr×nh chuÈn )
C©u Va 1. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã t©m I(
2
1
; 0) .
§­êng th¼ng chøa c¹nh AB cã ph­¬ng tr×nh x-2y+2= 0 , AB =2AD.
T×m to¹ ®é c¸c ®Ønh A, B, C, D, biÕt A cã hoµnh ®é ©m .
2.Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho 2 ®­êng th¼ng )( 1d vµ )( 2d cã ph­¬ng tr×nh
.
LËp ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa (d1 ) vµ )( 2d .
.C©u VIa T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã 2 nghiÖm ph©n biÖt :
x10 1).12(48 22
 xxmx .
PhÇn 2 ( Dµnh cho thÝ sinh theo ch­¬ng tr×nh n©ng cao ) .
C©u Vb 1. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy cho h×nh vu«ng ABCD biÕt M(2;1); N(4; -2);
P(2;0); Q(1;2) lÇn l­ît thuéc c¹nh AB, BC, CD, AD. H·y lËp ph­¬ng tr×nh c¸c
c¹nh cña h×nh vu«ng.
2. Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho 2 ®­êng th¼ng ( ) vµ ( )' cã ph­¬ng tr×nh
.
   


















4t'2
t'2y
t'2-2x
:;
4
2t-1y
t3x
: '
zz
ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng vu«ng gãc chung cña (  ) vµ ( )'
C©u VIb Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh : 1mx ( .243)22 2322
 xxxmxxm
3
3
9
1
6
4-x
:)(d;
1
2-z
3
1y
2
1
);( 21






 zyx
d
®Ò chÝnh thøc

2. Thi thử Đại học môn Toán toanpt.net
Tr­êng THPT
Xuan ¸ng
Kú thi thö ®¹i häc- cao ®¼ng
n¨m 2009-2010
H­íng dÉn chÊm m«n to¸n
C©u Néi dung §iÓm
I.1
Kh¶o s¸t hµm sè y=
1
12


x
x 1,00
1. TËp x¸c ®Þnh: R{1}
2. Sù biÕn thiªn:
+ ChiÒu biÕn thiªn: 22
)1(
3
)1(
)12()1(2
'






xx
xx
y
Hµm sè nghÞch biÕn trªn c¸c kho¶ng (-∞; 1) vµ (1;+∞)
. Cùc trÞ : Hµm sè ®· cho kh«ng cã cùc trÞ
0,25
. TiÖm cËn: 


 
  1
12
limlim
11 x
x
y
xx



 
  1
12
limlim
11 x
x
y
xx
Do ®ã ®­êng th¼ng x=1 lµ tiÖm cËn ®øng
2
1
12
limlim 



 x
x
y
xx
VËy ®­êng th¼ng y= 2 lµ tiÖm cËn ngang
0,25
* B¶ng biÕn thiªn:
x -∞ 1 +∞
y' - -
y 2
-∞
+∞
2
3* §å thÞ : HS tù vÏ ®å thÞ hµm sè.
0,5
I.2 Víi M bÊt k×  (C), tiÕp tuyÕn t¹i M c¾t 2 tiÖm cËn t¹i A, B. T×m M ®Ó chu vi tam
gi¸c IAB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. 1,00
Gäi M 







1
3
2;
0
0
x
x (C)
* TiÕp tuyÕn t¹i M cã d¹ng:
1
3
2)(
)1(
3
0
02
0 




x
xx
x
y
TiÕp tuyÕn t¹i M c¾t hai tiÖm cËn t¹i A vµ B nªn täa ®é A; B cã d¹ng lµ:
A








1
6
2;1
0x
0,25

3. Thi thử Đại học môn Toán toanpt.net
C©u Néi dung §iÓm
B(2x0-1; 2) ; I(1; 2)
* Ta cã: SIAB=
2
1
. IA. IB= 63.212
1
6
2
1
0
0


 x
x
(®vdt) 0,25
* IAB vu«ng cã diÖn tÝch kh«ng ®æi => chu vi IAB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi
IA= IB (HS tù chøng minh).







 31
31
12
1
6
0
0
0
0 x
x
x
x
* VËy cã hai ®iÓm M tháa m·n ®iÒu kiÖn
M1( 32;31  )
M2( 32;31  )
Khi ®ã chu vi AIB = 6234 
0,5
II.1
Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 2
cos.2sin
sin22sin3


xx
xx 1,00
* Ph­¬ng tr×nh  2
cos.2sin
sin22sin3


xx
xx
§iÒu kiÖn: sin2x  0 =>





0cos
0sin
x
x
* Tõ ph­¬ng tr×nh => 3sin2x -2sinx = 2sin2x.cosx
 (2sin2x 2sin2x.cosx)+ sin2x- 2sinx = 0
 2sin2x(1- cosx)+ 2sinx(cosx -1)= 0
0,5
*  2(1- cosx)(sin2x- sinx) =0








0)1cos2(sin0sin2sin
0sin1cos
xxxx
xx
*  2cosx -1 =0 (do sinx  0)
 

2
33
cos
2
1
cos kxx  (kZ)
0,5
II.2
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:






0222
0964
22
224
yxyx
yyxx
* HÖ ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng víi
1,00
(lo¹i)

4. Thi thử Đại học môn Toán toanpt.net
C©u Néi dung §iÓm






022)2(
4)3()2(
22
222
xyx
yx
§Æt * Thay vµo hÖ ph­¬ng tr×nh ta cã:
hoÆc
thÕ vµo c¸ch ®Æt ta ®­îc c¸c nghiÖm cña hÖ lµ
: ; ; ;
0,25
0,25
0,5
III.1 TÝnh tÝch ph©n 
2/
0
3sin
cos.sin.
2

xdxxe x
1,00
§Æt sin2
x= t => dt= 2sinx. cosxdx
§æi cËn: x=0 => t=0; x= 1
2
 t

Khi ®ã I=  
1
0
)1(
2
1
dttet
0,5
§Æt













tt
ev
dtdu
dvdte
ut
2
1
2
1
1
Dïng tÝch ph©n tõng phÇn ta cã I= e
2
1
.
0,5
III.2 Cho 3 sè d­¬ng x, y, z tho¶ m·n : x +3y+5z  3 . Chøng minh r»ng:
xy3 4625 4
z + zx5 415481 44
 xyzy xyz545
1,00

5. Thi thử Đại học môn Toán toanpt.net
C©u Néi dung §iÓm
BÊt ®¼ng thøc
 2
2 4
x
x  + 2
2
9
4
9
y
y  + 2
2
25
4
25
z
z   45
VT  22
)
5
2
3
22
()53(
zyx
zyx
3 2
2
3
)5.3.(
36
)5.3.(.9
zyx
zyx  .
0,5
§Æt t = 3 2
)5.3.( zyx
ta cã 1
3
53
)5.3.(
3
3 




 

zyx
zyx do ®ã t  1
§iÒu kiÖn . 0 < t  1. XÐt hµm sè f(t)= t9 +
t
36
=45
DÊu b»ng x¶y ra khi: t=1 hay x=1; y=
3
1
; z=
5
1
.
0,5
IV
Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD cã c¹nh bªn b»ng a,mÆt bªn hîp víi ®¸y gãc
 . TÝnh  ®Ó thÓ tÝch V cña h×nh chãp ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
1,00
* TÝnh V=
32
3
)tan2(
tan
.
3
4



a .
* Ta cã 
 32
2
)tan2(
tan




2
2
tan2
tan

.
2
tan2
1

.
2
tan2
1
 27
1

V max
27
34 3
a
 khi ®ã tan 2
=1   = 45o
0,5
0,5
Va.1
Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã t©m I 





0;
2
1
; AB cã ph­¬ng tr×nh: x- 2y+2= 0;
AB= 2AD. T×m täa ®é A; B; C; D biÕt A cã hoµnh ®é ©m
1,00
Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña I lªn AB ,khi ®ã IH=
2
5
Ta cã tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®­êng trßn (C) cã t©m I vµ b¸n kÝnh R= IA.
®­êng trßn (C) cã ph­¬ng tr×nh lµ:
4
25
2
1 2
2






 yx  A(-2; 0);
 B(2; 2). Do C ®èi xøng víi A qua I qua ®ã C(3; 0)
Do D ®èi xøng víi B qua I qua ®ã D(-1;-2)
0, 5
0, 5

6. Thi thử Đại học môn Toán toanpt.net
C©u Néi dung §iÓm
Va.2
Trong kh«ng gian víi hÖ trôc Oxyz cho ®­êng th¼ng (d1) vµ (d2)cã ph­¬ng tr×nh:
d1:








tz
ty
tx
2
31
21
; d2:
3
3
9
1
6
4 



 zyx
H·y lËp ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa (d1) vµ (d2)
1,00
+ Ta cã: (d1) // (d2) ( HS ph¶i chøng minh ®­îc)
0,25
Gäi mÆt ph¼ng cÇn t×m lµ (P).Hai vÐc t¬ kh«ng cïng ph­¬ng cã gi¸ song song
hoÆc n»m trªn mÆt ph¼ng (P) lµ: )1;3;2(1u

vµ 21MM (3;2;1).VËy (P) cã vÐc t¬
ph¸p tuyÕn lµ:   )5;1;1(, 211  MMun

MÆt ph¼ng (P) qua M1(1; -1; 2) VËy ph­¬ng tr×nh (P) lµ:  x+ y- 5z +10 =0
0,25
0, 5
VIa T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
m( 2x+1). 12
x =10x 482
 x
1,00
NhËn xÐt : 10x 482
 x = 2(2x+1)2
+2(x2
+1)
Ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng víi : 2 ( 02)
1
12
()
1
12
2
2
2






x
x
m
x
x
.
§Æt t
x
x



1
12
2
§iÒu kiÖn : -2< t 5 . Rót m ta cã: m=
t
t 22 2

LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè trªn  5,2 , ta cã kÕt qu¶ cña m ®Ó ph­¬ng
tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ:
5
12
4  m hoÆc -5 < 4m
0,25
0,75
Vb.1 Trong mÆt ph¼ng víi hÖ Oxy cho h×nh vu«ng ABCD biÕt c¸c ®iÓm M(2;1) ; N(4;
-2) ; P(2; 0); Q(1; 2) lÇn l­ît thuéc c¹nh AB; BC; CD vµ AD. H·y lËp ph­¬ng
tr×nh c¸c c¹nh cña h×nh vu«ng trªn.
1,00
+ Gi¶ sö ®­êng th¼ng AB qua M vµ cã vÐc t¬ ph¸p tuyÕn lµ );( ban

(a2
+ b2
 0) => vÐc t¬ ph¸p tuyÕn cña BC lµ: );(1 abn 

.Ph­¬ng tr×nh AB cã
d¹ng: a(x-2) +b(y-1)= 0
 ax + by -2a-b =0
BC cã d¹ng: -b(x- 4) +a(y+ 2) =0  - bx + ay +4b + 2a =0
Do ABCD lµ h×nh vu«ng nªn d(P; AB) = d(Q; BC)
0,5
Hay 










ab
ab
ba
ab
ba
b 243
2222
Tr­êng hîp 1: b= -2a; Ph­¬ng tr×nh c¸c c¹nh cÇn t×m lµ:
AB: x- 2y = 0 ; CD : x- 2y-2 =0
BC: 2x +y 6= 0; AD: 2x + y -4 =0
Tr­êng hîp 2: b= -a . Khi ®ã
AB: -x + y+ 1 =0 BC: -x y + 2= 0
0,25
0,25

7. Thi thử Đại học môn Toán toanpt.net
C©u Néi dung §iÓm
AD: -x y +3 =0 CD: -x + y+ 2 =0
Vb
2
Cho ():








4
21
3
z
ty
tx
; ( )








uz
uy
ux
42
2
22
ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng vu«ng gãc chung cña () vµ ( )
1,0
0
+ Gäi ®­êng vu«ng gãc chung cña () vµ ( ) lµ d
Khi ®ã   )1;2;4(',
2
1
 uuud

+ Gäi () lµ mÆt ph¼ng chøa () vµ (d) th× () qua N(3; -1; 4) vµ cã vÐc t¬ ph¸p
tuyÕn:   )10;1;2(,1  duun

VËy ph­¬ng tr×nh cña () lµ: 2x- y + 10z - 47 =0
+ Gäi () lµ mÆt ph¼ng chøa ( ) vµ (d) th× () qua M(-2; 0; 2) vµ cã vÐct¬ ph¸p
tuyÕn:   )12;18;6(,'2  duun

VËy ph­¬ng tr×nh cña () lµ: x + 3y- 2z + 6 =0
Do ®ã ®­êng vu«ng gãc chung cña  vµ  lµ giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng:
2x y + 10z 47 = 0 vµ x + 3y 2z + 6 =0
+LËp ph­¬ng tr×nh tham sè cña (d).(HS tù lµm)
0,25
0,25
0,25
0,25
VI.b Gi¶i vµ biÖn luËn: 243)22(1 2322
 xxxmxxmmx 1,0
0
* Ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng víi: )1()1(1)1( 33
 xxmxmx
XÐt hµm sè: f(t)= tt 3
, hµm sè nµy ®ång biÕn trªn R.
)1()1(  xfmxf  11  xmx
* Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh trªn ta cã kÕt qu¶ cÇn t×m.
+ 11  m ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x=
1
2


m
+m=-1 ph­¬ng tr×nh nghiÖm 1x
C¸c tr­êng hîp cßn l¹i ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm
0,5
0,5
Chý ý häc sinh lµm c¸ch kh¸c kÕt quÈ ®óng vÉn ®­îc ®iÓm tèi ®a