Đề thi Đại học môn Toán năm 2010

1. Thi thử Đại học www.toanpt.net
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010
Môn: Toán. Khối A, B.
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu I. (2 điểm). Cho hàm số
4 2 2
2 1y x m x   (1).
1) Với m = 1, khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2) Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C và diện tích tam giác
ABC bằng 32 (đơn vị diện tích).
Câu II. (2 điểm)
1) Giải phương trình:
2
3 2 1 2 4 3x x x x x x       .
2) Giải phương trình lượng giác: 2
1 sin 2
1 t an2x
os 2
x
c x

 
.
Câu III. (1 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
cosy x và
2
2 3
4
y x x

  
Câu IV. (1 điểm)
Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng
đáy bằng 300
. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đường thẳng B1C1. Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng AA1 và B1C1 theo a.
Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
4 4
3
2 2
c a b
a b b c c a
  
  
Câu VI. (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(3; 0), đường thẳng d1: 2x – y – 2 = 0,
đường thẳng d2: x + y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt d1, d2 lần lượt tại A và B
sao cho MA = 2MB.
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P): 5x – 4y + z – 6 = 0,
(Q): 2x – y + z + 7 = 0, đường thẳng d:
1 7
3
1 2
x t
y t
z t
 


  
. Viết phương trình mặt cầu (S) cắt (Q) theo thiết diện
là hình tròn có diện tích bằng 20 và có tâm là giao của d với (P) .
Câu VII. (1 điểm) Giải hệ phương trình :
2
3
2
2 16
log log ( )
y x
x yy xy
 


--------------- HẾT ---------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Đề thi thử lần 2
(Tháng 03 năm 2010)

2. Thi thử Đại học www.toanpt.net
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 TRƯỜNG THPT THANH OAI B
THÁNG 03 NĂM 2010
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
I.1
Với m = 1 hàm số là:
4 2
2 1y x x  
+) TXĐ: R
+) Giới hạn, đạo hàm: lim lim
x x
y y
 
  
3 0
' 4 4 ; ' 0
1
x
y x x y
x

      
+) BBT:
x -  - 1 0 1 +
y' - 0 + 0 - 0 +
y +  1 + 
0 0
+) Hàm số đồng biến trên các khoảng (- 1; 0), (1; +  ); nghiechj biến trên các khoảng
(-  ; - 1), (0; 1)
Hàm đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 1, cực tiểu tại x =  1, yCT = 0
+) ĐT: Dạng đồ thị
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-15 -10 -5 5 10 15
0,25
0,25
0,25
0,25
I.2
+) Ta có y’ = 4x3
– 4m2
x ; y’ = 0  2 2
0x
x m



; ĐK có 3 điểm cực trị : m  0
+) Tọa độ ba điểm cực trị : A(0 ; 1), B(- m ; 1 – m4
), C(m ; 1 – m4
) ;
+) CM tam giác ABC cân đỉnh A. Tọa độ trung điểm I của BC là I(0 ; 1 – m4
).
+)
541
. 32 2
2
ABCS AI BC m m m m       (tm)
0,25
0,25
2,25
0,25
II.1
+) ĐK: 1x  
   
  
2
3 2 1 2 4 3 2 1 1 3 1 1 0
1 1 2 3 0
x x x x x x x x x x
x x x
              
     
0
01 1 0
( )
1 13 2
3/ 4
x
xx x
tm
x xx x
x

                
0,25
0,25
0,5

3. Thi thử Đại học www.toanpt.net
II.2
+) ĐK: ,
4 2
x k k Z
 
  
2
2
1 sin 2
1 tan2x os 2 sin 2 os2 1 sin 2
os 2
x
c x xc x x
c x

     
2
sin 2 sin 2 sin 2 . os2 0x x x c x   
sin 2 (sin 2 os2 1) 0x x c x   
sin 2 0 2 ( , )
sin 2 os2 1
;
2 4
x k
x
k l Z
x c x
x l x l

 
 


         

+) Kết hợp ĐK ta được nghiệm của phương trình là , ;( , )
2
x k x l k l Z

  
0,5
0,25
0,25
III
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-15 -10 -5 5 10 15
Chứng minh được hai đường có đúng hai giao điểm hoành độ 2

 v
3
2

2 2 32
2 3 2
2
3 1 3 42
2 cos 2. sinx 4
4 3 2 4 3
2
S x x x dx x x x



   



   
           
    

0,25
0,25
0,5
IV
Do )( 111 CBAAH  nªn gãc HAA1 lµ gãc gi÷a AA1 vµ (A1B1C1), theo gi¶ thiÕt th× gãc
HAA1 b»ng 300
. XÐt tam gi¸c vu«ng AHA1 cã AA1 = a, gãc HAA1 =300
2
3
1
a
HA  . Do tam gi¸c A1B1C1 lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a, H thuéc B1C1 vµ
2
3
1
a
HA 
nªn A1H vu«ng gãc víi B1C1. MÆt kh¸c 11CBAH  nªn )( 111 HAACB 
KÎ ®­êng cao HK cña tam gi¸c AA1H
th× HK chÝnh lµ kho¶ng c¸ch gi÷a AA1 vµ B1C1
Ta cã AA1.HK = A1H.AH
4
3.
1
1 a
AA
AHHA
HK 
1
điểm
V
4 4 4 4
3 2 2 2 9
2 2 2 2
c a b c a b
a b b c c a a b b c c a
     
                        
1
điểm
A
A B
C
C
B1
K
H

4. Thi thử Đại học www.toanpt.net
 
2 2 1
2 2 9
2 2
a b c
a b b c c a
 
      
   
 
1 1 1
9
2 2
2 2
b b
a c c a
b b c aa c
 
     
                    
 
+) Áp dụng BĐT Cô – si cho ba số dương  , ,
2 2
b b
a c c a
   
     
   
và
1 1 1
, ,
2 2
b b c aa c  
rồi nhân hai BĐT cùng chiều ta có đpcm.
VI.1
+) Dạng tham số của d1 và d2 : 1 2: , :
2 2 3
x t x u
d d
y t y u
  
 
      
+) Tọa độ A(t; - 2 + 2t), B(u; - 3 – u).    3; 2 2 ; 3; 3MA t t MB u u       
 
+) TH1: 2.MA MB
 
: Tìm được  
7 16 20
, ; : 4;5
3 3 3
dt MA VTCPd u
 
       
 
 
3
: 5 4 15 0
4 5
x y
d x y

     
+) TH2: 2.MA MB 
 
: Tìm được  
17 8 28
, ; : 2;7
3 3 3
dt MA VTCPd u
 
    
 
 
3
: 7 2 21 0
2 7
x y
d x y

     
0,25
0,25
0,25
0,25
VI.2
+) Tâm I của mặt cầu là giao của d và (P) nên tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:
1 7 0
3 1
(1;0;1)
1 2 0
5 4 6 0 1
x t t
y t x
I
z t y
x y z z
   
   
  
   
      
+) Gọi h là khoảng cách từ I đến mp(Q), ta có: 2
2 2 2
2.1 0 1 7 10 50
362 ( 1) ( 1)
h h
  
   
   
+) Thiết diện của (Q) với mặt cầu (S) là hình tròn có diện tích bằng
2 2
20 20 . 20r r      (r là bán kính hình tròn)
+) Gọi R là bán kính mặt cầu (S), ta có
2 2 2 50 110
20
3 3
R h r    
Suy ra phương trình mặt cầu (S):    
2 22 110
1 1
3
x y z    
0,25
0,25
0,25
0,25
VII
+) ĐK: 0 1,0 1x y   
+)
2
23
2
3 4 (1)2 16
2log 1 log (2)log log ( )
y x
x yx y
y x
y xy xy
    
 
   
+) Đặt 2
2
1
1
log (2):2 1 2 1 0 1
2
x
t
x y
y t t t t
t t x y
              

+) Với x = y, kết hợp (1) ta được x = y = 1 (loại) và x = y = 3 (nhận).
+) Với x = y-2
, kết hợp với (1) ta được y2
= 1 (loại), y = - 4 (loại)
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x = y =3.
0,25
0,25
0,25
0,25