Đề thi thử Đại học môn Toán

1. Thi thử Đại học môn Toán toanpt.net
®Ò thi thö ®¹i häc - N¡M 2010 M«n To¸n
(Thêi gian lµm bµi 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò).
I: PHÇN CHUNG CHO TÊT C¶ THÝ SINH .
C©u I Cho hµm sè
1
12



x
x
y cã ®å thÞ (C).
1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè .
2. Víi ®iÓm M bÊt kú thuéc ®å thÞ (C) tiÕp tuyÕn t¹i M c¾t 2 tiÖm cËn t¹i Avµ B .
Gäi I lµ giao hai tiÖm cËn , T×m vÞ trÝ cña M ®Ó chu vi tam gi¸c IAB ®¹t gi¸ trÞ nhá
nhÊt.
C©u II 1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: xx
xx
2sin
2
1
cos2)
2
cos
2
(sin3 33

2. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh :






0222
0964
22
224
yxyx
yyxx
.
C©u III 1.TÝnh tÝch ph©n sau:
2
0
3sinx cos
sinx cos 2
x
I dx
x



 

2. Cho 0 x y z   : Chứng minh rằng
         
 
 
2
2
3
2 2 2 2 2 4 2 2
2 4 2
2
2
z y z x y z x z x z z x y xy x y
z z x y xy
x y
x y
            
      

C©u IV Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu S.ABC cã ®é dµi c¹nh ®¸y b»ng a. Gäi M vµ N lÇn l­ît lµ c¸c
trung ®iÓm cña c¸c c¹nh SB vµ SC. TÝnh theo a thÓ tÝch khèi chãp S.AMN, biÕt r»ng mÆt ph¼ng (AMN)
vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (SBC).
II, PHÇN RI£NG. (ThÝ sinh chØ lµm mét trong 2 phÇn ; phÇn 1 hoÆc phÇn 2 )
PhÇn 1( Dµnh cho thÝ sinh theo ch­¬ng tr×nh chuÈn )
C©u Va 1. Cho đường tròn (C): x2
+ y2
- 2x + 4y - 4 = 0 và đường thẳng d: x + y + m = 0. Tìm
m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn
(C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông.
2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm  4; 5;3M   và cắt cả hai
đường thẳng:
2 3 11 0
':
2 7 0
x y
d
y z
  

  
và
2 1 1
'':
2 3 5
x y z
d
  
 

.
.C©u VIa T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã 2 nghiÖm ph©n biÖt :
x10 1).12(48 22
 xxmx .
PhÇn 2 ( Dµnh cho thÝ sinh theo ch­¬ng tr×nh n©ng cao ) .
C©u Vb 1. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy cho h×nh vu«ng ABCD biÕt M(2;1); N(4; -2);
P(2;0); Q(1;2) lÇn l­ît thuéc c¹nh AB, BC, CD, AD. H·y lËp ph­¬ng tr×nh c¸c
c¹nh cña h×nh vu«ng.
2. ) Trong không gian Oxyz cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D” có A(0;0;0); B(1;0;0);
D(0;1;0),A’(0;0;1). Điểm M là trung điểm của AB , N là tâm hình vuông ADD’A’
a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua C,D’M,N
b) Tính bán kính đường tròn là giao của mặt cầu (S) với mặt cầu đi qua A’,B,C’,D
C©uVII.b ( 1,0 ®iÓm) Tính tổng: 0 4 8 2004 2008
2009 2009 2009 2009 2009...S C C C C C     
******** HÕt ********
®Ò chÝnh thøc

2. Thi thử Đại học môn Toán toanpt.net
Kú thi thö ®¹i häc- cao ®¼ng
n¨m 2010
H­íng dÉn chÊm m«n to¸n
C©u Néi dung §iÓm
I.1
Kh¶o s¸t hµm sè y=
1
12


x
x 1,00
1. TËp x¸c ®Þnh: R{1}
2. Sù biÕn thiªn:
+ ChiÒu biÕn thiªn: 22
)1(
3
)1(
)12()1(2
'






xx
xx
y
Hµm sè nghÞch biÕn trªn c¸c kho¶ng (-∞; 1) vµ (1;+∞)
. Cùc trÞ : Hµm sè ®· cho kh«ng cã cùc trÞ
0,25
. TiÖm cËn: 


 
  1
12
limlim
11 x
x
y
xx



 
  1
12
limlim
11 x
x
y
xx
Do ®ã ®­êng th¼ng x=1 lµ tiÖm cËn ®øng
2
1
12
limlim 



 x
x
y
xx
VËy ®­êng th¼ng y= 2 lµ tiÖm cËn ngang
0,25
* B¶ng biÕn thiªn:
x -∞ 1 +∞
y' - -
y 2
-∞
+∞
2
3* §å thÞ : HS tù vÏ ®å thÞ hµm sè.
0,5
I.2 Víi M bÊt k×  (C), tiÕp tuyÕn t¹i M c¾t 2 tiÖm cËn t¹i A, B. T×m M ®Ó chu vi tam
gi¸c IAB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. 1,00
Gäi M 







1
3
2;
0
0
x
x (C)
* TiÕp tuyÕn t¹i M cã d¹ng:
1
3
2)(
)1(
3
0
02
0 




x
xx
x
y
TiÕp tuyÕn t¹i M c¾t hai tiÖm cËn t¹i A vµ B nªn täa ®é A; B cã d¹ng lµ: 0,25

3. Thi thử Đại học môn Toán toanpt.net
C©u Néi dung §iÓm
A








1
6
2;1
0x
B(2x0-1; 2) ; I(1; 2)
* Ta cã: SIAB=
2
1
. IA. IB= 63.212
1
6
2
1
0
0


 x
x
(®vdt)
0,25
* IAB vu«ng cã diÖn tÝch kh«ng ®æi => chu vi IAB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi IA=
IB (HS tù chøng minh).







 31
31
12
1
6
0
0
0
0 x
x
x
x
* VËy cã hai ®iÓm M tháa m·n ®iÒu kiÖn
M1( 32;31  )
M2( 32;31  )
Khi ®ã chu vi AIB = 6234 
0,5
II.1 Gi¶i ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c...
x2sin
2
1
xcos2)
2
x
cos
2
x
(sin3 33
   xcosxsin2
2
x
cos
2
x
sin1
2
x
cos
2
x
sin3 












  
























2
x
sin
2
x
cos
2
x
sin
2
x
cosxsin2xsin
2
1
1
2
x
cos
2
x
sin3
0
2
3
2
x
cos
2
x
sin)xsin2(
2
x
sin
2
x
cos 












1,00
*
x x x x
sin cos 0 sin 0 k x k2 (k )
2 2 2 4 2 4 2
   
              
 

* 2xsin0xsin2  (v« nghiÖm)
0,5
*
22
3
4
xsin
2
3
42
x
sin2
2
3
2
x
cos
2
x
sin 




 





 
 (v« nghiÖm) VËy
nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ:  x k2 k
2

   
0,5
II.2
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:






0222
0964
22
224
yxyx
yyxx
* HÖ ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng víi
1,00
0,25

4. Thi thử Đại học môn Toán toanpt.net
C©u Néi dung §iÓm






022)2(
4)3()2(
22
222
xyx
yx 2 2 2
2 2
( 2) ( 3) 4
( 2 4)( 3 3) 2 20 0
x y
x y x
    

       
Dat
2
2
3
x u
y v
  

 
* Thay vµo hÖ ph­¬ng tr×nh ta cã:
2 2
4
. 4( ) 8
u v
u v u v
  

  
2
0
u
v



hoÆc
0
2
u
v



thÕ vµo c¸ch ®Æt ta ®­îc c¸c nghiÖm cña hÖ lµ
:
2
3
x
y



;
2
3
x
y
 


; 2
5
x
y
 


; 2
5
x
y
  


;
0,25
0,25
0,25
III.1
   
 
 
 
2
0
2 2 2
0 0 0
2
2
0
0
sinx cos 2 2 cos sinx 2
sinx cos 2
cos sinx
2 2
sinx cos 2sinx cos 2
2ln sinx cos 2 2
2
2 os( ) 1
4
x x
I dx
x
x dx
dx dx
xx
dx
x
c x

  




    

 

  
  
    
 
  
 

  

2
20
1
2 ln(1 2) ln(1 2)
2 2 os ( )
2 8
dx
x
c



       


2
0tan( ) 2tan
2 2 8 2 8
x 
   
    
0,25
0,25
0,25
0,25
III.2 Cho 0 x y z   : Chứng minh rằng
         
 
 
2
2
3
2 2 2 2 2 4 2 2
2 4 2
2
2
z y z x y z x z x z z x y xy x y
z z x y xy
x y
x y
            
      

           
   
  
 
3
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2
z y z x x y z x z y x y
z y z x
z y z x x y x y
x y
          
 
     

(1)
Đặt a=(2z+y); b=2z+x; c=2x+y
Từ (1) 32
2
ab
a b c b a c abc c
c
      
    2
2 2a c b c b c a c c ab ab c       (2)
Ta có:
0,25
0,25
1,00

5. Thi thử Đại học môn Toán toanpt.net
C©u Néi dung §iÓm
2 2
(3)
2
b c c b
c b c
ab
a c b c
 
  
  
Tương tự:  4
2
ab
b c a c 
 2
2 5c ab c ab 
Cộng (3); (4); (5) ta được:     2
2 2a c b c b c a c c ab ab c      đpcm
Dấu bằng xảy ra khi: a=b=2c
a. 2z+y=2z+x=4x+2y
b. x=y=
2
5
z
IV TÝnh thÓ tÝch khèi chãp...
Ta cã c¸c tam gi¸c SMN vµ AMN c©n t¹i S vµ A. Gäi I lµ trung ®iÓm cña MN suy ra SI
 MN vµ AI  MN. Do (SBC)  (AMN) nªn SI  (AMN).
Do ®ã MN.AI.SI
6
1
S.SI
3
1
V AMNAMN.S 
1,00
Gäi K lµ trung ®iÓm cña BC suy ra I lµ trung ®iÓm cña SK, mµ AI  SK nªn tam gi¸c
ASK c©n t¹i A. Do ®ã
2
3a
AKSA 
0,5
0,5
MN =
4
a
MN
2
1
NI,
2
a
BC
2
1
 ,
4
3a
2
SA
2
SC
SN 
4
2a
16
a
16
a3
NISNSI
22
22

1,00
S
A
C
B
M
N
I
K

6. Thi thử Đại học môn Toán toanpt.net
C©u Néi dung §iÓm
4
10a
8
a
4
a3
SISAAI
22
22
 . VËy
96
5a
2
a
4
10a
4
2a
6
1
V
3
AMN.S 
0, 5
0, 5
Chó ý: ThÝ sinh cã thÓ sö dông c«ng thøc:
4
1
SC
SN
.
SB
SM
.
SA
SA
V
V
ABC.S
AMN.S

1,00
+ Ta cã: (d1) // (d2) ( HS ph¶i chøng minh ®­îc)
0,25
Va 1.( 1 điểm)
Từ phương trình chính tắc của đường tròn ta có tâm I(1;-2), R =
3, từ A kẻ được 2 tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn và
ACAB  => tứ giác ABIC là hình vuông cạnh bằng 3 23 IA
VIa








7
5
6123
2
1
m
m
m
m 1,00
NhËn xÐt : 10x 482
 x = 2(2x+1)2
+2(x2
+1)
Ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng víi : 2 ( 02)
1
12
()
1
12
2
2
2






x
x
m
x
x
.
§Æt t
x
x



1
12
2
§iÒu kiÖn : -2< t 5 . Rót m ta cã: m=
t
t 22 2

LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè trªn  5,2 , ta cã kÕt qu¶ cña m ®Ó ph­¬ng
tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ:
5
12
4  m hoÆc -5 < 4m
0,25
0,75
Vb.1 Trong mÆt ph¼ng víi hÖ Oxy cho h×nh vu«ng ABCD biÕt c¸c ®iÓm M(2;1) ; N(4; -
2) ; P(2; 0); Q(1; 2) lÇn l­ît thuéc c¹nh AB; BC; CD vµ AD. H·y lËp ph­¬ng tr×nh
c¸c c¹nh cña h×nh vu«ng trªn.
1,00
+ Gi¶ sö ®­êng th¼ng AB qua M vµ cã vÐc t¬ ph¸p tuyÕn lµ );( ban

(a2
+ b2
 0) => vÐc t¬ ph¸p tuyÕn cña BC lµ: );(1 abn 

.Ph­¬ng tr×nh AB cã
d¹ng: a(x-2) +b(y-1)= 0
 ax + by -2a-b =0
0,5

7. Thi thử Đại học môn Toán toanpt.net
C©u Néi dung §iÓm
BC cã d¹ng: -b(x- 4) +a(y+ 2) =0  - bx + ay +4b + 2a =0
Do ABCD lµ h×nh vu«ng nªn d(P; AB) = d(Q; BC)
Hay 










ab
ab
ba
ab
ba
b 243
2222
Tr­êng hîp 1: b= -2a; Ph­¬ng tr×nh c¸c c¹nh cÇn t×m lµ:
AB: x- 2y = 0 ; CD : x- 2y-2 =0
BC: 2x +y 6= 0; AD: 2x + y -4 =0
Tr­êng hîp 2: b= -a . Khi ®ã
AB: -x + y+ 1 =0 BC: -x y + 2= 0
AD: -x y +3 =0 CD: -x + y+ 2 =0
0,25
0,25
Vb
2
Cho ():








4
21
3
z
ty
tx
; ( )








uz
uy
ux
42
2
22
ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng vu«ng gãc chung cña () vµ ( )
1,0
0
+ Gäi ®­êng vu«ng gãc chung cña () vµ ( ) lµ d
Khi ®ã   )1;2;4(',
2
1
 uuud

+ Gäi () lµ mÆt ph¼ng chøa () vµ (d) th× () qua N(3; -1; 4) vµ cã vÐc t¬ ph¸p
tuyÕn:   )10;1;2(,1  duun

VËy ph­¬ng tr×nh cña () lµ: 2x- y + 10z - 47 =0
+ Gäi () lµ mÆt ph¼ng chøa ( ) vµ (d) th× () qua M(-2; 0; 2) vµ cã vÐct¬ ph¸p
tuyÕn:   )12;18;6(,'2  duun

VËy ph­¬ng tr×nh cña () lµ: x + 3y- 2z + 6 =0
Do ®ã ®­êng vu«ng gãc chung cña  vµ  lµ giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng:
2x y + 10z 47 = 0 vµ x + 3y 2z + 6 =0
+LËp ph­¬ng tr×nh tham sè cña (d).(HS tù lµm)
0,25
0,25
0,25
0,25
VIIb Ta có: 2009 0 1 2009 2009
2009 2009 2009(1 ) ..i C iC i C    
0 2 4 6 2006 2008
2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 3 5 7 2007 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009
....
( ... )
C C C C C C
C C C C C C i
      
     
Thấy: 1
( )
2
S A B  , với 0 2 4 6 2006 2008
2009 2009 2009 2009 2009 2009....A C C C C C C      
0 2 4 6 2006 2008
2009 2009 2009 2009 2009 2009...B C C C C C C     
+ Ta có: 2009 2 1004 1004 1004 1004
(1 ) (1 )[(1 ) ] (1 ).2 2 2i i i i i        .
Đồng nhất thức ta có A chính là phần thực của 2009
(1 )i nên 1004
2A  .
+ Ta có: 2009 0 1 2 2 2009 2009
2009 2009 2009 2009(1 ) ...x C xC x C x C     
0,25
0,25
0,25

8. Thi thử Đại học môn Toán toanpt.net
C©u Néi dung §iÓm
Cho x=-1 ta có: 0 2 2008 1 3 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009... ...C C C C C C      
Cho x=1 ta có: 0 2 2008 1 3 2009 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009( ... ) ( ... ) 2C C C C C C        .
Suy ra: 2008
2B  .
+ Từ đó ta có: 1003 2007
2 2S   .
0,25
Chý ý häc sinh lµm c¸ch kh¸c kÕt quÈ ®óng vÉn ®­îc ®iÓm tèi ®a