Toan pt.de115.2011

Baøi giaûi cuûa GV. PHAÏM TROÏNG THÖ - 2 -
Sôû GD& ÑT ÑOÀNG THAÙP
TRÖÔØNG THPT TP.CAO LAÕNH
ÑEÀ THI THÖÛ ÑAÏI HOÏC LAÀN 2 - NAÊM 2011
Moân thi: TOAÙN, khoái A vaø B
Thôøi gian laøm baøi: 180 phuùt, khoâng keå thôøi gian phaùt ñeà.
(Ñeà coù 2 trang)
I. PHAÀN CHUNG CHO TAÁT CAÛ THÍ SINH (7, 0 ñieåm)
Caâu I. (2, 0 ñieåm)
Cho haøm soá 3 33 2 2 2
y x 3x (m 1)x m 1 (1),= − + + − − − vôùi m laø tham soá thöïc.
1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá (1) khi m 1.=
2. Tìm m ñeå haøm soá (1) coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu vaø caùc ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá (1) caùch ñeàu goác toïa ñoä O.
Caâu II. (2, 0 ñieåm)
1. Giaûi phöông trình 2 2
2 3
3 3 4 4
sin x sin x sinxtan x tan x
        π π π π
+ + − = + + − ⋅        
        
2. Giaûi phöông trình 2
2
2 1
2
2 1
x
x 6x 1 log
(x )
 +
− + = ⋅  − 
Caâu III. (1, 0 ñieåm) Tính tích phaân
2
4
2
ln(sinx)
I dx.
sin x
π
π
= ∫
Caâu IV. (1, 0 ñieåm)
Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh baèng a; hai maët phaúng (SAB) vaø (SAC) cuøng vuoâng goùc
maët phaúng (ABC). Goïi I laø trung ñieåm caïnh BC. Maët phaúng (P) qua A vuoâng goùc vôùi SI caét SB, SC laàn löôït taïi M, N.
Bieát raèng
1
4SAMN SABCV V ,= haõy tính SABCV ( SAMNV , SABCV laàn löôït theå tích caùc khoái choùp S.AMN vaø S.ABC).
Caâu V. (1, 0 ñieåm)
Cho x, y, z laø caùc soá thöïc khoâng aâm. Chöùng minh raèng neáu 0 a b c< ≤ ≤ thì
2
2
.
x y z (a c)
(ax by cz) (x y z)
a b c 4ac
  +
+ + + + ≤ + + 
 
II. PHAÀN RIEÂNG (3, 0 ñieåm)
Thí sinh chæ ñöôïc laøm moät trong hai phaàn (phaàn A hoaëc phaàn B)
A. Theo chöông trình Chuaån
Caâu VI.a. (2, 0 ñieåm)
1. Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy cho ñöôøng troøn 2 2
4 1(C): (x ) (y ) 25− + − = vaø ñieåm A(9; 6). Vieát phöông trình
ñöôøng thaúng qua A caét ñöôøng troøn (C) theo daây cung coù ñoä daøi baèng 4 5.
2. Trong khoâng gian toïa ñoä Oxyz cho hai ñieåm 1 3 1M( ; ; ), N(7; 5; 3)− − vaø ñöôøng thaúng d coù phöông trình
1 3 3
3 2
x y z
4
+ − −
= = ⋅
−
Tìm ñieåm I thuoäc d sao cho IM IN+ nhoû nhaát.
Caâu VII.a. (1, 0 ñieåm)
Giaûi phöông trình 3 3 2 3
2 1 4 1 8 0z ( i )z ( i)z i (z )− − + + + = ∈C ,bieát raèng phöông trình coù moät nghieäm thuaàn aûo.
B. Theo chöông trình Naâng cao
Caâu VI.b. (2, 0 ñieåm)
1. Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy. Tìm phöông trình chính taéc cuûa hypebol (H), bieát (H) coù hai tieâu ñieåm 1 5 0F ( ; )− ,
Thi thử Đại học www.toanpt.net

2 5 0F ( ; )vaø neáu M laø moät ñieåm thuoäc (H) thoûa 1 2 60o
F MF = thì dieän tích tam giaùc 1 2F MF baèng 9 3.
2. Trong khoâng gian toïa ñoä Oxyz cho hai ñöôøng thaúng 1 2
2
1 2
2 1
4
x 1 t
x y z
d : vaø d : y 1 t
1
z
 = − +
− + 
= = = +
−  =
vaø maët phaúng
7 5 0(P): x y z .+ − = Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ∆ vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P) vaø caét hai ñöôøng thaúng 1d , 2d .
Caâu VII.b. (1, 0 ñieåm)
Trong maët phaúng phöùc, tìm taäp hôïp caùc ñieåm bieåu dieãn soá phöùc
5 5
1
6 6
sin icos z ,
  π π
ω = 2 + −  
  
bieát soá phöùc z
thoûa maõn 1 2z .− ≤

Caâu Ñaùp aùn Ñieåm
1. (1, 0 ñieåm) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (1) khi…
3 2
y x 3x 4.= − + −
2
Taäp xaùc ñònh:
Söï bieán thieân:
x 0
- Chieàu bieán thieân: y 3x 6x; y 0 .
x 2
 =
′ ′= − + = ⇔ 
=
R.i
i 0,25
- Haøm soá nghòch bieán treân caùc khoaûng ( 0),(2; );− ∞ + ∞;;;;
- Haøm soá ñoàng bieán treân khoaûng ( 2).0;;;;
x x
CÑ
CT
- Cöïc trò:
+ Haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x 2, y 0.
+ Haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi x 0, y 4.
- Caùc giôùi haïn taïi voâ cöïc: lim y , lim y .
−∞ +∞→ →
= =
= = −
= +∞ = −∞
0,25
- Baûng bieán thieân:
x ∞− 0 2 ∞+
y′ − 0 + 0 −
y
∞+ 0
4− ∞−
0,25
i Ñoà thò qua ñieåm 1 2 1 0A( ; ), B( ; ).− −
0,25
2. Tìm m ñeå haøm soá (1) coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu vaø…
3 3 02 2 2 2
Ta coù y x 6x (m 1), y x 2x m 1 0 (*)′ ′= − + + − = ⇔ − − + = 0,25
Haøm soá (1) coù cöïc trò khi vaø chæ khi phöông trình (*) coù 2 nghieäm phaân bieät
2
m 0 m 0.′⇔ ∆ = > ⇔ ≠
0,25
Goïi A, B laø caùc ñieåm cöïc trò 3 3
A(1 m; 2 2m ), B(1 m; 2 2m )⇒ − − − + − +
0,25
I
(2,0 ñieåm)
Ta coù O caùch ñeàu A, B 3 1
OA OB 4m m m (do m 0).
2
⇔ = ⇔ = ⇔ = ± ≠
Vaäy
1
m
2
= ± laø caùc giaù trò caàn tìm.
0,25
x
y
4−
O
3
1−
1
2−

1. (1, 0 ñieåm) Giaûi phöông trình…
Ñieàu kieän 40
4 4
4
x k
cos x cos x (k )
x k
 π
≠ + π   π π 
+ − ≠ ⇔ ∈   
3π     ≠ + π

Z (*). 0,25
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông
1 1 3
3 3 4 4
cos 2x cos 2x sinxcot x tan x
       2π 2π π π
− + + − − = − − −       
       
0,25
2
1 0
3 3
1 2 2 0 1 2 0 2 0
3
sinx cos 2x cos 2x
sinx cos xcos cos x sinx sin x sinx
   2π 2π
⇔ − + + + − =   
   
2π
⇔ − + = ⇔ − − = ⇔ − =
1
sinx 0 hoaëc sinx
2
⇔ = =
0,25
π
π
π
5π
π
x k
x k2 (k )
6
x k2
6

 =

⇔ = + ∈


 = +

Z (thoûa maõn ñieàu kieän (*)) 0,25
1
Ñieàu kieän x 1 vaø x
2
≠ > − (1). 0,25
2
2
2x 1
Phöông trình ñaõ cho vieát laïi: 2(x 1) (2x 1) log
2(x 1)
 +
− − + =  
− 
2 2
2(x 1) log2(x 1) (2x 1) log(2x 1) (*)⇔ − + − = + + +
0,25
Xeùt haøm soá f(u) u logu, u 0.= + >
1
Ta coù f (u) 1 , u 0.
uln10
′ = + ∀ >
Suy ra haøm soá ñoàng bieán treân khoaûng (0; )+ ∞ .
0,25
II
(2,0 ñieåm)
Phöông trình (*) coù daïng 2
f(2(x 1) ) f(2x 1)− = + 2
2(x 1) 2x 1⇔ − = +
2 3 7
2x 6x 1 0 x
2
±
⇔ − + = ⇔ = ⋅
So vôùi ñieàu kieän (1) ta ñöôïc nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø
3 7
x
2
±
= ⋅
0,25
2
u ln(sinx) cosx
du dx cot xdx
Ñaët dx sin x
dv
v cot xsin x
 = 
= = 
⇒ 
=  = −
0,25
2
2
4 4
2
Tích phaân töøng phaàn, ta coù: I cotxln(sinx) cot xdx.
π
π
π
π
= − + ∫ 0,25
III
(1,0 ñieåm)
2 2
2 2
4 44 4
2 2
1
2 2
2
ln ( cot x)dx dx ln cotx x
π π
π π
π π
π π
= + + − = − −∫ ∫ 0,25

2
1
2 4
ln
π
= + − ⋅ 0,25
Ta coù
(SAB) (ABC)
(SAC) (ABC) SA (ABC) BC SA
(SAB) (SAC) SA
⊥

⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
∩ = 
(1)
Maø BC AI⊥ (tính chaát tam giaùc ñeàu) (2)
Töø (1) vaø (2) BC (SAI) BC SI⇒ ⊥ ⇒ ⊥ (3)
0,25
IV
(1,0 ñieåm)
Maët khaùc (P) SI⊥ (4)
Töø (3) vaø (4) (P)//BC⇒
Vì (P) (SBC) MN∩ =
Neân MN // BC
SM SN
SB SC
⇒ =
0,25
Ta coù
2
1 1 1 1
4 4 4 2
SAMN
SABC
V SA SM SN SM SM
V SA SB SC SB SB
 
= ⇔ ⋅ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⋅ 
 
Do ñoù M laø trung ñieåm cuûa caïnh SB, N laø trung ñieåm cuûa caïnh SC.
0,25
Goïi E laø giao ñieåm cuûa MN vaø SI thì E laø trung ñieåm cuûa SI. Vì AE naèm trong (P) neân AE
vuoâng goùc vôùi SI. Tam giaùc SAI coù AE laø trung tuyeán vaø cuõng laø ñöôøng cao neân tam giaùc
SAI caân taïi A, suy ra
3
2
a
SA AI= = ⋅
Theå tích cuûa khoái choùp S.ABC laø
2 3
1 1 3 3
3 3 4 2 8SABC ABC
a a a
V S .SA= = ⋅ ⋅ = (ñvtt).
0,25
2 2 2
2
2
0
4
Hieån nhieân (A B) A B 2AB
(A B)
(A B) 4AB AB (1)
− ≥ ⇒ + ≥
+
⇒ + ≥ ⇒ ≤
Ñaët
a c
,
b b
α = β =
1
x y z a c 1 b b
Xeùt P (ax by cz) b x y z x y z
a b c b b b a c
x z
x y z) y x y z) x y z)
     
= + + + + = + + ⋅ + +     
     
 
= (α + +β + + = (α + +β (β + αβ + α 
α β αβ 
0,5
21
x y z) x y z)]≤ [(α + + β + (β + αβ + α
4αβ
(aùp duïng (1))
21
1x ( y z]= [(α + β) + + αβ) + (α + β)
4αβ
0,25
V
(1,0 ñieåm)
Töø 0 a b c 0 1< ≤ ≤ ⇒ < α ≤ ≤ β ⇒ (1− α)(1−β) ≤ 0 ⇒1+ αβ ≤ α + β (2)
Söû duïng (2) ta ñöôïc:
2 2
2 2 21
.
(a c)
P x y z] x y z) (x y z)
4ac
(α +β) +
≤ [(α +β) + (α +β) + (α +β) = ( + + = + +
4αβ 4αβ
0,25
1. (1, 0 ñieåm) vieát phöông trình ñöôøng thaúng
(C) coù taâm I(4; 1), baùn kính 5R =
Ñöôøng thaúng d qua A(9; 6) coù daïng 2 2
0 6ax by c 0 (a b ) vaø 9a b c 0+ + = + > + + = (1).
0,25
VI.a
(2,0 ñieåm)
Giaû söû d caét (C) taïi M, N sao cho 4 5MN . Keû IH d,= ⊥ thì H laø trung ñieåm cuûa MN, neân
I
E
N
M
S
C
B
A

ta coù: 2 2
2 2
4
5 5
a b c
) (2), IH d(I,d)IH 5 (2
a b
+ +
= = == −
+
(3) 0,25
Töø (2), (3) suy ra 2 2 2
4 5a b c) ( )( a b+ + = + (4)
Töø (1) coù 6c 9a b= − − (5), thay (5) vaøo (4) vaø ruùt goïn laïi ñöôïc
2 2
2
2 5 02
a b
a 1
a b
2
ab b
 = −
+ = ⇔
 = −

+
0,25
2 1 2 12 0
1
2 2 3 0
2
1
2
a b: choïn b thì a 2, luùc naøy d : x y .
a b: choïn b thì a 1, luùc naøy d : x y .
= − = − = − − =
= − = − = − + =
i
i
0,25
2. (1, 0 ñieåm) Tìm ñieåm I thuoäc d sao cho IM IN+ nhoû nhaát.
6
2
Ñöôøng thaúng d ñi qua A( 1; 3; 3) coù VTCP u (3; 4; 2); MN ( ; 8; 4)
MN u
Maø M d neân MN//d
− = − = −
⇒ =
∉
u
α
d
M H
N
M’
I
0,25
Goïi M laø ñieåm ñoái xöùng cuûa M qua d′
αPhöông trình mp( ) qua M(1; 3; 1) vôùi moät VTPT n u laø− =
min
3(x 1) 4(y 3) 2(z 1) 0 3x 4y 2z 11 0
Ta coù IM IN IM IN M N neân (IM IN) M N I M N d.
− − − + + = ⇔ − + + =
′ ′ ′ ′+ = + ≥ + = ⇔ = ∩
0,25
α
1 3
3 1 3 4 2 11 0
Goïi H laø giao ñieåm cuûa d vaø mp( )
x t
y 3 4t
Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa heä phöông trình
z 3 2t
3x 4y 2z 11 0
2
( t) (3 4t) (3 2t) 29t 2 0 t
29
35 95 83 99
H ; ; M
29 29 29 2
 = − +

= −

= +
 − + + =
⇒ − + − − + + + = ⇒ + = ⇒ = −
 
′⇒ − ⇒ − 
 
103 195
; ;
9 29 29
 
⋅ 
 
0,25
99 103
7 5
52 2129 29
2 29 2 29
M N M N
I I
Ta thaáy HI//MN I laø trung ñieåm cuûa M N
x x y y
x ; y vaø
2 2
′ ′
′⇒
− + −
+ +
⇒ = = = = = = −
195
3
14129
2 29
M N
I
z z
z
2
′
+
+
= = = ⋅
⋅





−+
29
141
;;IlaønhaátnhoûINIMchosaodthuoäcIñieåmVaäy
29
21
29
52
0,25
Goïi nghieäm thuaàn aûo laø z bi (b ).= ∈R 0,25VII.a
(1,0 ñieåm)
Ta coù 3 3 2 3 2 3 2
2 1 4 1 8 0 2 4 2 4(bi) ( i )(bi) ( i)(bi) i b b ( b b b 8)i 0− − + + + = ⇔ − + − + + − =
0,25

2
3 2
2 4
2
2 4
b b 0
b .
b b b 8 0
 − =
⇔ ⇔ =
− + + − =
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông 2
2
2
2 2 0
2 0
z i
(z i)(z z 4)
z z 4
 =
− − + = ⇔ 
− + =
0,25
Töø ñoù suy ra nghieäm cuûa phöông trình laø 2 1 3z i, z i .= = ± 0,25
1. (1, 0 ñieåm) Tìm phöông trình chính taéc cuûa hypebol (H)…
Aùp duïng ñònh lí coâsin cho tam giaùc 1 2F MF , ta coù
2 2 2 2
1 1 2 1 2 1 22 1 2
2 60 2 1 60o o
F F MF MF MF MF cos (MF MF ) MF MF ( cos )= + − = − + −
0,25
2 2 2 2
1 2 1 24 4 4 4c a MF MF MF MF c a⇔ = + ⇔ = − 0,25
1 2
2 2 2
1 2
1 3
9 3 60 9 3 2 9 3 9
2 2
o
F MF ).S MF MF sin (c a b .= ⇔ = ⇔ − = ⇔ = 0,25
VI.b
(2,0 ñieåm)
Khi ñoù 2 2 2
25 9 16a c b .= − = − =
2 2
1
16 9
x y
Vaäy(H): .− =
0,25
2. (1, 0 ñieåm) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ∆ vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P) vaø caét…
Giaû söû 1 2 1 2,d A, d B thì A d B d neân∆ ∩ = ∆ ∩ = ∈ ∈
2 2 4A(2s; 1 s; s), B( 1 t; 1 t; )− − + − + +
0,25
1 6AB (2t 2s ; t s; s )= − − + − + 0,25
7 1 5
1 6
7 1 5 2
Vì (P) neân AB cuøng phöông vôùi n ( ; ; )
s 12t 2s t s s
t
∆ ⊥ = −
 =− − + − +
⇔ = = ⇔ 
− = −
0,25
Suy ra 0 1 4A(2; ; ), B( 5; 1; )− − − . Vaäy ∆ coù phöông trình
2 1
7 5
x y z
1
− +
= = ⋅
−
0,25
Caùch khaùc
1
2 1 4
+ d ñi qua M(0; 1; 2) vaø coù VTCP u (2; 1; 1).
d ñi qua N( ; 1; ) vaø coù VTCP v (2; 1; 0).
− = −
− =
Maët phaúng (P) coù VTPT 7 1 5n ( ; ; )= − .
+ Goïi (Q) laø maët phaúng chöùa 1d vaø vuoâng goùc (P), phöông trình maët phaúng (Q) qua M vaø
coù VTPT 1n [u, n] (4;17; 9)= = laø 44(x 0) 17(y 1) 9(z 2) 0 x 17y 9z 1 0− + − + + = ⇔ + + + = .
+ Goïi (R) laø maët phaúng chöùa 2d vaø vuoâng goùc (P), phöông trình maët phaúng (R) qua N vaø
coù VTPT 2 5n [v, n] ( 5; 10; )= = − − laø 1(x 1) 2(y 1) 1(z 4) 0 x 2y z 1 0+ − − + − = ⇔ − + − = .
+ 5 10Vì 4: 17: 9 : : 5≠ − − neân (Q) vaø (R) caét nhau.
+ Giaû söû (Q) (R) (P).∩ = ∆ ⇒ ∆ ⊥ Do ñoù ∆ coù VTCP 7 1 5n ( ; ; )= −
Trong (Q), ∆ caét 1d 1 7(do 2: : 1 : 1: 5)− ≠ − ; töông töï trong (R), ∆ caét 2d .
Vaäy ñöôøng thaúng
4x 17y 9z 1 0
:
x 2y z 1 0
 + + + =
∆ ⋅
− + − =
VII.b
(1,0 ñieåm)
Ñaët z a bi (a, b )= + ∈R vaø x yi (x, y )ω = + ∈R
2 2
1 2 1 4Ta coù z (a ) b− ≤ ⇔ − + ≤ (1)
0,25

5 5
1 1 3
6 6
3 3
1 3
3 3
Töø sin icos z ( i )z 2 suy ra
x a 1 b
x yi ( i )(a bi) 2
y (a 1) b
  π π
ω = 2 + − = + +  
  
 − = − −
+ = + + + ⇔ 
− = − +
0,25
Töø ñoù ( )2 2 2 2
3 3 4 1 16(x ) (y ) (a ) b− + − = − + ≤ (do (1)) 0,25
Vaäy taäp hôïp caùc ñieåm caàn tìm laø hình troøn 2 2
3 3 16(x ) (y )− + − ≤ , taâm 3 3I( ; ) , baùn kính
4R .=
0,25

Sôû GD& ÑT ÑOÀNG THAÙP
TRÖÔØNG THPT TP.CAO LAÕNH
ÑEÀ THI THÖÛ ÑAÏI HOÏC LAÀN 2 - NAÊM 2011
Moân thi: TOAÙN, khoái D (Ñeà coù 1 trang)
Thôøi gian laøm baøi: 180 phuùt, khoâng keå thôøi gian phaùt ñeà.
I. PHAÀN CHUNG CHO TAÁT CAÛ THÍ SINH (7, 0 ñieåm)
Caâu I. (2, 0 ñieåm) Cho haøm soá 8 10= − +4 2
y x x .
1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá ñaõ cho.
2. Tìm m ñeå phöông trình 4 2
2x 8x log m 0− − = coù 4 nghieäm phaân bieät.
Caâu II. (2, 0 ñieåm)
1. Giaûi phöông trình 2
(sin2x 3 cos2x) 5 cos 2x .
6
 π
+ − = − 
 
2. Giaûi baát phöông trình 2 2
5
x 1
( x 4x 3 1)log ( 2x 8x 6 1) 0.
5 x
− + + + − + − + ≤
Caâu III. (1, 0 ñieåm) Tính tích phaân
4
0
.
π
=
+∫ 3
cosx
I dx
(sinx cosx)
Caâu IV. (1, 0 ñieåm)
Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh baèng a; hai maët phaúng (SAB) vaø (SAC) cuøng vuoâng goùc
maët phaúng (ABC). Goïi I laø trung ñieåm caïnh BC. Maët phaúng (P) qua A vuoâng goùc vôùi SI caét SB, SC laàn löôït taïi M, N.
Bieát raèng
1
4SAMN SABCV V ,= haõy tính SABCV ( SAMNV , SABCV laàn löôït theå tích caùc khoái choùp S.AMN vaø S.ABC).
Caâu V. (1, 0 ñieåm) = + > =
+ +
3 3
a b
Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa P vôùi a, b 0 vaø ab 1.
1 b 1 a
II. PHAÀN RIEÂNG (3, 0 ñieåm)
Thí sinh chæ ñöôïc laøm moät trong hai phaàn (phaàn A hoaëc phaàn B)
A. Theo chöông trình Chuaån
Caâu VI.a. (2, 0 ñieåm)
1. Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, vieát phöông trình caïnh AB cuûa hình chöõ nhaät ABCD bieát caïnh AB, BC, CD, DA
laàn löôït ñi qua caùc ñieåm M(4; 5); N(6; 5); P(5; 2); Q(2; 1) vaø dieän tích hình chöõ nhaät baèng 16.
2. Trong khoâng gian toïa ñoä Oxyz cho ñöôøng thaúng
1 1
4 4
x y z
d :
1
− +
= = ⋅
− −
Vieát phöông trình tham soá cuûa ñöôøng
thaúng ∆ ñi qua ñieåm 2 5M( ; ; 3)− vuoâng goùc vaø caét d.
Caâu VII.a. (1, 0 ñieåm)
Trong maët phaúng phöùc, goïi A, B, C laàn löôït laø caùc ñieåm caùc soá phöùc 1 2 31 2 3 3= − + = − − = +z ( i)( i), z 1 i, z 1 i.
Xaùc ñònh tính chaát cuûa tam giaùc ABC.
B. Theo chöông trình Naâng cao
Caâu VI.b. (2, 0 ñieåm)
1. Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy cho hai ñieåm A(3; 2), B(1; 4). Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C) ñi qua hai ñieåm
A, B vaø tieáp xuùc vôùi truïc Ox.
2. Trong khoâng gian toïa ñoä Oxyz cho hoï maët phaúng a,b,c )(P coù phöông trình by c 1 cax z 0 (a, b, 0)+ + − = > vaø
1 1 1
a 2b 3c
6.+ + = Tìm a, b, c ñeå a,b,c )(P caét laàn löôït caùc truïc toïa ñoä Ox, Oy, Oz taïi A, B, C sao cho OABC coù theå
tích lôùn nhaát.
Caâu VII.b. (1, 0 ñieåm) Vieát soá phöùc sau döôùi daïng löôïng giaùc: 1 3 1= + −z ( i)( i).

Caâu Ñaùp aùn Ñieåm
1. (1, 0 ñieåm) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (1) khi…
•
•
=
′ ′= − = − = ⇔  = ±
3 2
Taäp xaùc ñònh:
Chieàu bieán thieân:
x 0
- Ta coù y 4x 16x 4x(x 4), y 0 .
x 2
R.
∞
+∞
- Haøm soá nghòch bieán treân caùc khoaûng ( 2) vaø (0; 2).
- Haøm soá ñoàng bieán treân caùc khoaûng ( 2 0) vaø (2; ).
− ; −− ; −− ; −− ; −
− ;− ;− ;− ;
0,25
→ →−∞ +∞
•
= = =
= ± = ± = −
• = = +∞
x x
CÑ
CT
Cöïc trò:
- Haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x 0, y y(0) 10.
- Haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi x 2, y y( 2) 6.
Caùc giôùi haïn taïi voâ cöïc: lim y lim y .
0,25
Baûng bieán thieân:•
x ∞− 2− 0 2 ∞+
y′ − 0 + 0 − 0 +
y
∞+ 10 ∞+
6− 6−
0,25
Ñoà thò• qua ñieåm −A( 1; 3) , B(1; 3).
-1 1
-6
O
-2 2
3
x
y
0,25
2. (1, 0 ñieåm) Tìm m ñeå phöông trình sau coù 4 nghieäm…
4 2 4 2
2 2Ta coù x 8x log m 0 x 8x 10 log m 10− − = ⇔ − + = +
4 2
x 8x 10 k.⇔ − + =
0,25
Ñeå phöông trình ñaõ cho coù 4 nghieäm phaân bieät ⇔ ñöôøng thaúng y k= caét ñoà thò (C) taïi 4
ñieåm phaân bieät.
Döïa vaøo ñoà thò cuûa haøm soá (C), ta coù 6 k 10− < <
0,25
I
(2,0 ñieåm)
⇔ − < + < ⇔ − < <2 26 log m 10 10 16 log m 0 −
⇔ < <16
2 m 1. 0,5
π π π
Ta coù sin2x 3cos2x 2 sin sin2x cos cos2x 2cos 2x
6 6 6
   
+ = + = −   
   
. 0,25
II
(2,0 ñieåm)
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông phöông trình
π π   
− − − − =   
   
2
4cos 2x cos 2x 5 0
6 6
π
cos 2x 1
6
 
⇔ − = − 
 
(nhaän) hoaëc
π 5
cos 2x 1 (loaïi)
6 4
 
− = > 
 
0,25

π
π π2x k2
6
⇔ − = + 0,25
7π
x π.
12
= +Vaäy nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø k 0,25
2. (1, 0 ñieåm) Giaûi baát phöông trình…
2
2
x 0
x 0
x 1 x 1
Ñieàu kieän x 4x 3 0
x 3 x 3
2x 8x 6 0
1 x 3
.
>
>
≤ =
+ ≥ ⇔ ⇔
≥ =
− ≥
≤

 
   
−  
  
− +  ≤
0,25
=+ Vôùi x 1 thì baát phöông trình ñaõ cho töông ñöông
+ ≤ ⇔ − + = ≤5
1
log 1 0 1 1 0 0 (luoân ñuùng).
5
0,25
=+ Vôùi x 3 thì baát phöông trình ñaõ cho töông ñöông
−
+ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤
1
3
5
3 1 3 27 1
log 0 5 (loaïi).
5 3 5 125 5
0,25
Vaäy baát phöông trình ñaõ cho coù nghieäm x 1= . 0,25
Ta coù
4 4
2
0 0
π π
= = ⋅ ⋅
+ +∫ ∫3 3
cosx 1 dx
I dx
(sinx cosx) (tanx 1) cos x
0,25
III
(1,0 ñieåm)
2
tan 1
cos
= + ⇒ = ⋅
dx
Ñaët u x du
x
0
4
π
= = = =Ñoåi caän x thì u 1; x thì u 2.
0,5
2
2
2 1
1
1 1 1 3
8 2 82
= = − = − + = ⋅∫ 3
du
Do ñoù I
u u
0,25
Ta coù
(SAB) (ABC)
(SAC) (ABC) SA (ABC) BC SA
(SAB) (SAC) SA
⊥

⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
∩ = 
(1)
Maø BC AI⊥ (tính chaát tam giaùc ñeàu) (2)
Töø (1) vaø (2) BC (SAI) BC SI⇒ ⊥ ⇒ ⊥ (3)
0,25
Maët khaùc (P) SI⊥ (4)
Töø (3) vaø (4) (P)//BC⇒
Vì (P) (SBC) MN∩ =
Neân MN // BC
SM SN
SB SC
⇒ =
0,25
Ta coù
2
1 1 1 1
4 4 4 2
SAMN
SABC
V SA SM SN SM SM
V SA SB SC SB SB
 
= ⇔ ⋅ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⋅ 
 
Do ñoù M laø trung ñieåm cuûa caïnh SB, N laø trung ñieåm cuûa caïnh SC.
0,25
IV
(1,0 ñieåm)
Goïi E laø giao ñieåm cuûa MN vaø SI thì E laø trung ñieåm cuûa SI. Vì AE naèm trong (P) neân AE
vuoâng goùc vôùi SI. Tam giaùc SAI coù AE laø trung tuyeán vaø cuõng laø ñöôøng cao neân tam giaùc
SAI caân taïi A, suy ra
3
2
a
SA AI= = ⋅
0,25
I
E
N
M
S
C
B
A

2 3
1 1 3 3
3 3 4 2 8SABC ABC
a a a
Theå tích cuûa khoái choùp S.ABC laø V S .SA= = ⋅ ⋅ = (ñvtt).
Ta coù
+ + + + + − + +
= =
+ + + + +
3 3 4 4 2 2 4 4
a b a b (a b)(a b ab) a b
P
1 a b ab a b 2
0,25
+ − +
≥
+ +
2 2
(a b)(2ab ab) 2a b
a b 2
ab(a b 2ab)
1.
a b 2
+ +
= =
+ +
(do ab 1)=
0, 5
V
(1,0 ñieåm)
= = =Ñaúng thöùc xaûy ra khi a b 1. Vaäy minP 1. 0,25
1. (1, 0 ñieåm) Vieát phöông trình caïnh BC.
Phöông trình caïnh AB ñi qua ñieåm M(4; 5) laø 2 2
4 5 0 0a(x ) b(y ) (a b )− + − = + ≠
Khi ñoù phöông trình ñöôøng thaúng BC ñi qua ñieåm N(6; 5) vaø vuoâng goùc vôùi AB laø
6 5 0b(x ) a(y ) .− − − =
0,25
Dieän tích hình chöõ nhaät ABCD laø
2 2 2 2
2 2
4 5 6 5
4 3
a(5 ) b(2 ) b(2 ) a(1 )
d(P;AB).d(Q;BC)
a b a b
(a b)(a b)
a b
+ +
+
− + − − − −
= ⋅
− −
=
Theo giaû thieát ta coù
2 2
2 2
4 3
16 3 4
1 1
1
1
3
(a b)(a b)
(a b)(a b) (a b )
a b
b a
b a
+
+
− −
= ⇔ − − =
 = ⇒ = −
⇒ ⋅
 = ⇒ = −

0,5
Vaäy phöông trình caïnh AB laø 1 0 3 11 0x y hoaëc x y .− + − = − + − = 0,25
2. (1, 0 ñieåm) Vieát phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng ∆ ñi qua …
Giaû söû ∆ caét ñöôøng thaúng d taïi ñieåm I, do I d∈ neân
I(1 4t; t; 1 4t).+ − − −
0,25
Khi ñoù ∆ coù VTCP laø 3 5 4u MI (4t ; t ; 4t ).= = + − − − − 0,25
4 3 5 4 4
33 1
d (4t ) ( t ) ( 4t ) 0
33t t .
∆ ⊥ ⇔ + − − − − − − =
⇔ = − ⇔ = −
0,25
VI.a
(2,0 ñieåm)
1 0Suy ra u ( ; 4; ).= − −
Vaäy phöông trình ñöôøng thaúng caàn tìm laø
2
5 4
3
x t
y t , t .
z
 = − −

= − ∈
 =
R
0,25
1z (1 i)(2 i) 3 i A(3; 1).= − + = − ⇒ − 0,25
2
3
z 1 3i B( 1; 3).
z 1 3i C(1; 3).
= − − ⇒ − −
= + ⇒
0,25
Ta coù:
AB ( 4; 2) AB 16 4 2 5
AC ( 2; 4) AC 4 16 2 5
= − − ⇒ = + =
= − ⇒ = + =
0,25
VII.a
(1,0 ñieåm)
AB.AC 8 8 0
Vì ABC vuoâng caân taïi A.
AB AC 2 5
 = − =
⇒ ∆
= =
0,25
VI.b 1. (1, 0 ñieåm) Vieát phöông trình ñöôøng troøn…
.
D
Q
P
N
M
C
BA

Goïi (C) laø phöông trình ñöôøng troøn caàn tìm, coù phöông trình 2 2
x y 2ax 2by c 0+ − − + =
(C) ñi qua hai ñieåm A(3; 2), B(1; 4) neân ta coù heä phöông trình:
13 6a 4b c 0
9 10a c 0
17 2a 8b c 0
 − − + =
⇒ − + − =
− − + =
(1)
0,25
(C) tieáp xuùc vôùi Ox neân 2 2 2
b R a b c a c= = + − ⇔ = (2) 0,25
Theá (2) vaøo (1) ta ñöôïc: 2
a 10a 9 0 a 1 hoaëc a 9.− + = ⇔ = = 0,25
2 2
1
Vôùi a 1 thì c 1, b 2 : Phöông trình ñöôøng troøn:
(C ): x y 2x 4y 1 0.
= = =
+ − − + =
i
2 2
2
Vôùi a 9 thì c 81, b 10 : Phöông trình ñöôøng troøn:
(C ): x y 18x 20y 81 0.
= = =
+ − − + =
i
0,25
2. (1, 0 ñieåm) Tìm a, b, c ñeå a,b,c )(P caét laàn löôït caùc truïc toïa ñoä Ox, Oy, Oz…
a,b,c )(P caét caùc truïc toïa ñoä taïi
1 1
A ; 0; 0 , B 0; ; 0 ,
a b
   
   
   
1
C 0; 0;
c
 
⋅ 
 
0,25
Theå tích töù dieän OABC ñöôïc cho bôûi:
O.ABC
1 1 1
V
a 2b 3c
= ⋅ ⋅
0,25
3
3
.
1 1 1
6a 2b 3c 8
3 3
 
+ +   
≤ = =   
   
 
0,25
Ñaúng thöùc xaûy ra khi
1
a
1 1 1 2
0
1a 2b 3c
b
1 1 1 4
6
1a 2b 3c c
6

=
= = > 
⇔ ⇔ = ⋅ 
 + + =
  =

O.ABC
1 1 1
V 8 a , b , c
2 4 6
Vaäy max ñaït ñöôïc taïi= = = = ⋅
0,25
1
1 3
1 3
2 2 3 3
   π π
= + = + = +       
Ta coù: z i 2 i 2 cos isin 0,25
2
1 1
1
4 42 2
      π π
= − = − = − + −      
      
z i 2 i 2 cos isin 0,25
VII.b
(1,0 ñieåm)
Do ñoù:
1 2 2
3 4 3 4
    π π π π
= = − + −    
    
z z z 2 cos isin 2
12 12
2 cos isin
 π π
= + ⋅ 
 
0,5

Toan pt.de115.2011

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (15)

Similar to Toan pt.de115.2011

Similar to Toan pt.de115.2011 (20)

More from BẢO Hí

More from BẢO Hí (20)

Toan pt.de115.2011