penaksiran parameter

1. Penaksiran
Parameter
Bambang S. Soedibjo

2. Tujuan
 Mempelajari bagaimana menaksir karakteristik
populasi tertentu berdasarkan sample
 Mempelajari kekuatan taksiran titik dan taksiran
selang
 Menghitung seberapa akurat taksiran yang dibuat
 Mempelajari bagaimana menggunakan distribusi t
dalam membuat selang taksiran dalam kasus
dimana distribusi normal tidak dapat digunakan
 Menghitung ukuran sampel untuk tingkat presisi
yang diinginkan

3. Konsep Estimasi

ˆ


ˆ

ˆ
Statistik sampel
Parameter

4. Parameter 
 Rata-rata m
 Varians (s2)atau Simpangan Baku (s)
 Proporsi (p)
 Koefisien korelasi (r)
 dlsb

5. Jenis Taksiran
 Taksiran Titik
Bilangan tunggal yang digunakan untuk menaksir
sebuah parameter populasi
 Selang Taksiran
Suatu kisaran nilai untuk menaksir parameter
populasi

6. Taksiran dan Penaksir
 Setiap statistik sampel yang digunakan untuk
menaksir sebuah parameter populasi disebut
sebagai penaksir
 Taksiran adalah nilai pengamatan spesifik
dari statistik

7. Populasi yang ingin
dikaji
Parameter Populasi
yang ingin ditaksir
Statistik sampel yang akan
digunakan sebagai Penaksir
Taksiran yang dibuat
Pekerja di pabrik
furnitur
Rata-rata turnover per
tahun
Rata-rata turnover dalam
periode 1 bulan
8.9% turnover per tahun
Remaja dalam suatu
komunitas
Proporsi remaja yang
memiliki catatan
kriminal
Proporsi sampel berukuran 50
remaja yang memiliki
catatan kriminal
2% remaja memiliki catatan
kriminal

8. Kriteria Penaksir yang Baik
 Takbias
 Mempunyai variansi minimum
 Konsisten

9. Taksiran Titik
1
)
( 2
2




n
x
x
s
n
x
x i


N
xi


m
N
x
 

2
2
)
( m
s
Statistik
(Sampel)
Parameter
(Populasi)
N
X

p
n
X
p 

10. Selang Taksiran
sesuatu


 ˆ
Tergantung tingkat kepercayaan dan
kesalahan baku penaksir
Plus menghasilkan batas atas
Minus menghasilkan batas bawah
Confidence Limit
Tingkat percayaan :
peluang/probabilitas yang kita kaitkan dengan selang taksiran.
Peluang yang umum digunakan adalah 90%, 95% dan 99%

11. Menaksir Rata-rata m
1. s diketahui dan populasi berdistribusi Normal
n
z
x
n
z
x
s
m
s

 .
.
2
2




1
.
.
1
.
.
2
2








n
n
N
n
z
x
N
n
N
n
z
x
s
m
s


n
x
s
s  Dikenal sebagai kesalahan baku
(standard error) rata-rata

12. 2) s tidak diketahui dan populasi berdistribusi Normal
n
s
t
x
n
s
t
x p
p .
. 


 m
1
.
.
1
.








N
n
N
n
s
t
x
N
n
N
n
s
t
x p
p m
Sampel besar
Sampel kecil

13. Contoh : (sampel besar)
n
z
x
n
z
x
s
m
s

 .
.
2
2




Direktur pemasaran pabrik batere mobil ingin menaksir berapa rata-
rata daya tahan batere (dalam bulan) dari produk yang dihasilkan
pabrik tersebut. Untuk itu dipilih sampel berukuran 200 pemakai
batere. Dari catatan yang ada, diperoleh rata-rata daya tahan batere
adalah 36 bulan. Disamping itu hasil penaksiran simpangan baku
dari daya tahan batere adalah 10 bulan. Apa yang dapat diperoleh
dari hasil ini?
Titik taksiran dari rata-rata daya tahan batere adalah 36 bulan.
Selang taksiran untuk rata-rata adalah :
200
10
.
36
200
10
.
36
2
95
.
0
2
95
.
0 z
z 


 m
Ambil tingkat kepercayaan 95% , lihat tabel Normal (Z) :

14. 39
,
37
61
,
34 
 m
200
10
.
96
,
1
36
200
10
.
96
,
1
36 


 m
)
707
,
0
(
96
,
1
36
)
707
,
0
(
96
,
1
36 


 m
39
,
1
36
39
,
1
36 


 m
Kita yakin 95% bahwa rata-rata daya tahan batere antara 34,61 dan
37,39 bulan.

15. Sampel kecil
n
s
t
x
n
s
t
x p
p .
. 


 m
15
5
,
3
.
8
,
56
15
5
,
3
.
8
,
56 025
,
0
025
.
0 t
t 


 m
15
5
,
3
.
145
,
2
8
,
56
15
5
,
3
.
145
,
2
8
,
56 


 m
Rata-rata hasil penjualan 15 cabang penjualan yang diambil
secara acak adalah 56,8 juta dengan simpangan baku 3,5 juta.
Berapa selang taksiran untuk populasi yang ada.
Ambil tingkat kepercayaan 95%, lihat distribusi t dengan df = 14
35
.
57
52
.
56 
 m

16. Menaksir Proporsi, p
n
q
p
z
p
n
q
p
z
p
.
.
.
.
2
2

 p 



p = x/n dan q = 1 - p

17. Contoh
n
q
p
z
p
n
q
p
z
p
.
.
.
.
2
2

 p 



200
)
9
,
0
)(
1
,
0
(
.
96
,
1
1
.
0
200
)
9
,
0
)(
1
,
0
(
.
96
,
1
1
.
0 


 p
Dari 200 sampel pakaian jadi, 20 buah terdapat cacat produksi. Ada berapa
persen pakaian yang rusak dari produksi yang telah dikeluarkan dengan
tingkat kepercayaan 95%.
p = 20/200 = 10% = 0,1 q = 1 – 0,1 = 0,9
14
,
0
06
,
0 
 p
Kita yakin 95%, persentase barang yang rusak antara 6 s/d 14%

18. Menentukan Ukuran Sampel
Dalam Menaksir m
2
2
.











d
z
n

s
2
500
96
,
1
.
1500







n
x
d 
 m
Sebuah universitas akan melakukan survei mengenai penghasilan pertahun yang
diperoleh dari mahasiswa yang lulus tahun lalu. Dari pengalaman yang telah
lampau diketahui bahwa simpangan baku penghasilan pertahun dari keseluruhan
populasi mahasiswa (1000 alumni) adalah $ 1500. Berapa banyak mahasiswa
yang harus diambil untuk menaksir rata-rata penghasilan pertahunnya dari lulusan
tahun yang lalu. Diharapkan selisih (d) antara rata-rata penghasilan tidak melebihi
$500 dan tingkat kepercayaan 95%.
n = 34,6 ~ 35 mahasiswa
Kekeliruan menaksir

19. Menentukan Ukuran Sampel
Dalam Menaksir p
2
2
/
)
1
( 









d
z
n

p
p p
d 
 p
2
02
,
0
96
,
1
25
,
0 






n
Jika p tidak diketahui, maka varians p(1-p) menggunakan nilai
maksimum 0,25
Sebuah LSM ingin mengetahui berapa persen kira-kira penduduk di
sebuah daerah akan memilih Parto sebagai Presiden tahun 2025 yad.
Tingkat kepercayaan yang diambil adalah 95% dengan kekeliruan
menaksir tidak lebih dari 2%.
n > 2401

22. Assigment
1. Sebuah sampel berukuran 12 memiliki rata-rata 12 dan simpangan baku 10.
Tentukan selang taksiran rata-rata populasinya.
2. Sebuah populasi berukuran 1000 data menyebar secara normal dengan
simpangan baku 5,75. Diambil sampel berukuran 80 data. Rata-rata sampel
adalah 68,6. Tentukan selang taksiran rata-rata populasi dengan tingkat
kepercayaan 90 dan 95%. Apa yang dapat saudara simpulkan dari kedua hasil ini.
3. Dalam pengukuran waktu reaksi seseorang terhadap semacam stimulus, seorang
psikolog memperkirakan bahwa simpangan bakunya adalah 0,08 detik. Berapa
orang yang harus diukur agar didapat hasil rata-rata reaksi dengan tingkat
kepercayaan 95% dan kekeliruan penaksiran tidak melebihi 0,015 detik.
4. Dari 2000 TPS yang melaporkan hasil pencoblosan, Drs. Bahlul memperoleh
suara sekitar 1200 orang. Berapa selang taksiran persentase kemenangannya
secara keseluruhan jika diambil tingkat keperyaan sebesar 90% dan 95%.
5. Seorang calon akan dinyatakan menang dalam pemilihan bupati jika ia berhasil
mengumpulkan suara lebih dari 50%. Dari pengalaman yang lalu dia mendapat
55% suara. Untuk menjajagi pencalonannya yang akan datang, berapa ukuran
sampel yang harus diambil supaya dia yakin 95% akan menang dalam pemilihan
yad. Berapa ukuran sampel supaya dia yakin 99%.